資源簡介

　二次函數的圖象與性質
中考考點 考查頻率 新課標要求
二次函數的相關概念 ★★ 通過對實際問題的分析，體會二次函數的意義.
二次函數的圖象與性質 ★★★ 能畫二次函數的圖象，通過圖象了解二次函數的性質，知道二次函數系數與圖象形狀和對稱軸的關系. 會求二次函數的最大值或最小值，并能確定相應自變量的值.
二次函數與各項系數的關系 ★★ 理解二次函數與各項系數的關系.
二次函數與方程、不等式 ★★ 知道二次函數和一元二次方程之間的關系，會利用二次函數的圖象求一元二次方程的近似解.
二次函數作為初中三大函數中考點最多，出題最多，難度最大的函數，一直都是各地中考數學中最重要的考點，年年都會考查.而對于二次函數圖象和性質的考查，主要集中在二次函數的圖象、圖象與系數的關系、與方程及不等式的關系、圖象上點的坐標特征等幾大方面.題型變化較多，考生復習時需要熟練掌握相關知識.
一、二次函數的概念
一般地，如果y＝ax ＋bx＋c（a，b，c是常數，a≠0），那么y叫做x的二次函數．
注意：
（1）二次項系數a≠0；
（2）ax ＋bx＋c必須是整式；
（3）一次項可以為零，常數項也可以為零，一次項和常數項可以同時為零；
（4）自變量x的取值范圍是全體實數．
二、二次函數y＝ax ＋bx＋c（a，b，c為常數，a≠0）的圖象及性質
圖象 （a＞0） （a＜0）
開口方向 開口向上 開口向下
對稱軸 直線x＝－ 直線x＝－
頂點坐標 （－，） （－，）
增減性 當x＜－時，y隨x的增大而減小；當x＞－時，y隨x的增大而增大 當x＜－時，y隨x的增大而增大；當x＞－時，y隨x的增大而減小
最值 當x＝－時，y有最小值 當x＝－時，y有最大值
三、二次函數的性質
（1）拋物線的頂點式，對稱軸是平行于軸的直線．
（2）當時，拋物線在x軸的上方（除頂點外），它的開口向上，并且向上無限伸展；
當時，拋物線在x軸的下方（除頂點外），它的開口向下，并且向下無限伸展．
（3）當時，在對稱軸（）的左側，隨著的增大而減小；在對稱軸（）的右側，隨著的增大而增大；當時，函數的值最小（是0）；
當時，在對稱軸（）的左側，隨著的增大而增大；在對稱軸（）的右側，隨著的增大而減小；當時，函數的值最大（是0）．
（4）二次函數與的圖像形狀相同，可以看作是拋物線整體沿軸平移了個單位（當時，向右平移個單位；當時，向左平移個單位）得到的．
二次函數的定義
下列函數中，二次函數是　　
A． B． C． D．
【答案】
【解析】解：、是一次函數，不是二次函數，故此選項不合題意；
、是二次函數，故此選項符合題意；
、可化為，不是二次函數，故此選項不合題意；
、不是二次函數，故此選項不符合題意．
故選：．
1.下列函數中，是二次函數的是　　
A． B． C． D．
【答案】
【解析】解：、，是正比例函數，故本選項不符合題意；
、，是反比例函數，故本選項不符合題意；
、，符合定義，故本選項符合題意；
、，是一次函數，故本選項不符合題意；
故選．
2.下列函數是二次函數的是　　
A． B． C． D．
【答案】
【解析】解：、該函數不符合二次函數的定義，故本選項不符合題意；
、該函數不符合二次函數的定義，故本選項不符合題意；
、該函數符合二次函數的定義，故本選項符合題意；
、該函數的右邊不是整式，它不是二次函數，故本選項不符合題意；
故選：．
3.關于的函數是二次函數的條件是　　
A． B． C． D．
【答案】
【解析】解：當，即，則是二次函數．
故選：．
4.下列函數是二次函數的是　　
A． B． C． D．
【答案】
【解析】解：、是一次函數，不是二次函數，故本選項不符合題意；
、是二次函數，故本選項符合題意；
、當時，不是二次函數，故本選項不符合題意；
、是正比例函數，不是二次函數，故本選項不符合題意；
故選：．
二次函數的圖象
（2024·廣東省廣州·中考真題）函數與的圖象如圖所示，當 時，，均隨著的增大而減小．
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】解：根據二次函數圖象當時，隨著的增大而減小，同樣當時，反比例函數隨著的增大而減小．
故選：．
根據二次函數和反比例函數圖象解答即可．
本題考查了反比例函數與二次函數的圖象與性質，數形結合是解答本題的關鍵．
1.二次函數與一次函數在同一平面直角坐標系中的圖象可能是　　
A． B． C． D．
【答案】
【解析】解：二次函數，
對稱軸為直線，
一次函數，
當，則，
直線與二次函數的對稱軸交于軸上同一點，
故、、不合題意，
、由拋物線可知，，，得，由直線可知，，，故本選項正確；
故選：．
2.如圖是四個二次函數的圖象，則、、、的大小關系為　　
A． B． C． D．
【答案】
【解析】解：因為直線與四條拋物線的交點從上到下依次為，，，，
所以，．
故選：．
3.在同一平面直角坐標系中，一次函數與二次函數的大致圖象可以是　　
A． B． C． D．
【答案】
【解析】解：由可知拋物線的開口向上，故不合題意；
二次函數與軸交于負半軸，則，
一次函數的圖象經過經過第一、二、四象限，、選項不符合題意，符合題意；
故選：．
4.如圖，在同一平面直角坐標系中，二次函數與一次函數的圖象可能是　　
A． B． C． D．
【答案】
【解析】解：、由拋物線可知，，，，則，由直線可知，，，故本選項不合題意；
、由拋物線可知，，，，則，由直線可知，，，故本選項符合題意；
、由拋物線可知，，，，則，由直線可知，，，故本選項不合題意；
、由拋物線可知，，，，則，由直線可知，，，故本選項不合題意．
故選：．
5.已知二次函數的圖象如圖所示，則二次函數與正比例函數的圖象大致為　　
A． B． C． D．
【答案】
【解析】解：由二次函數的圖象可知，，，二次函數與軸的交點坐標為和，
二次函數的開口向上，與軸交于負半軸，且二次函數與正比例函數的交點的橫坐標為，3，故正確．
故選：．
二次函數的性質
（2024·四川省甘孜藏族自治州·中考真題）二次函數的圖象如圖所示，給出下列結論：；；當時，其中所有正確結論的序號是( )
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】解：由題意，函數圖象與軸交于負半軸，
當時，，故正確．
又根據函數的圖象可得，，且，
．
．
對稱軸是直線，故正確．
由題意，或時，，且拋物線開口向上，
當時，，故正確．
故選：．
依據題意，由函數圖象與軸交于負半軸，則當時，，故可判斷；又根據函數的圖象可得，，且，進而，則，從而對稱軸是直線，故可判斷；依據題意，當或時，，且拋物線開口向上，進而可以判斷．
本題主要考查了二次函數的圖象與性質、拋物線與軸的交點，解題時要熟練掌握并能靈活運用二次函數的性質是關鍵．
1.對于拋物線，下列判斷正確的是　　
A．拋物線的開口向上 B．拋物線的頂點坐標是
C．對稱軸為直線 D．當時，
【答案】C
【解析】解：、，拋物線的開口向下，本選項錯誤，
、拋物線的頂點為，本選項錯誤，
、拋物線的對稱軸為：，本選項正確，
、把代入，解得：，本選項錯誤，
故選：．
2.對于二次函數的圖象的特征，下列描述正確的是　　
A．開口向上 B．經過原點 C．對稱軸是軸 D．頂點在軸上
【答案】
【解析】解：，
拋物線開口向下，頂點為，對稱軸為直線，
故選：．
3.已知二次函數，，是常數，的與的部分對應值如下表：
0 1 3
3
下列各選項中，錯誤的是　　
A．這個函數的圖象開口向上
B．當時，
C．這個函數的最小值為
D．當時，的值隨值的增大而減小
【答案】
【解析】解：將，，代入得：
，
解得，
，
拋物線開口向上，選項正確，
將代入得，
正確．
拋物線經過，，
拋物線對稱軸為直線，
將代入得，
函數最小值為，選項錯誤，
拋物線對稱軸為直線，
時，隨增大而減小，選項正確．
故選：．
4.二次函數，，為常數）中，與的部分對應值如下表：
1 2 3 4
0 1 0
以下結論：①該二次函數圖象開口向上；
②當時，該二次函數取最大值為1；
③當時，；
④若點，，在該二次函數圖象上，則；
其中正確的是　　
A．①②③ B．①②④ C．②③ D．②③④
【答案】
【解析】解：①由表可知，二次函數與軸交點坐標為和，
對稱軸為直線，
又當時，，
該二次函數圖象開口向下．
故①不正確．
②對稱軸為直線，圖象開口向下，
當時，函數取最大值．
故②正確．
③拋物線上的點關于對稱軸對稱，
點和點關于直線對稱，
當時，．
故③正確．
④當或時，，
無法判斷與的大小．
故④不正確．
故選：．
二次函數圖象與系數的關系
（2024·四川省瀘州·中考真題）已知二次函數是自變量的圖象經過第一、二、四象限，則實數的取值范圍為( )
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】略
1.二次函數的圖象如圖所示．下列結論：①；②；③為任意實數，則；④；⑤若且，則．其中正確的有　　
A．①④ B．③④ C．②⑤ D．②③⑤
【答案】
【解析】解：①拋物線開口方向向下，則．
拋物線對稱軸位于軸右側，則、異號，即．
拋物線與軸交于正半軸，則．
所以．
故①錯誤．
②拋物線對稱軸為直線，
，即，
故②正確；
③拋物線對稱軸為直線，
函數的最大值為：；
，即，
故③錯誤；
④拋物線與軸的一個交點在的左側，而對稱軸為直線，
拋物線與軸的另一個交點在的右側，
當時，，
，
故④錯誤；
⑤，
，
，
，
而，
，即，
，
，
故⑤正確．
綜上所述，正確的有②⑤．
故選：．
2.已知二次函數的圖象如圖所示，則下列結論正確的是　　
A． B． C． D．
【答案】
【解析】解：拋物線開口向上，
，
拋物線的對稱軸為直線，
，
拋物線與軸的交點在軸下方，
，
，所以①不正確；
拋物線與軸有兩個交點，
△，所以②不正確；
，
，
所以③正確；
時，，
，
所以④不正確．
故選：．
3.如圖，二次函數的圖象關于直線對稱，與軸交于，，，兩點，若，則下列四個結論：①，②，③，④，⑤．正確結論的個數為　　
A．1個 B．2個 C．3個 D．4個
【答案】
【解析】解：二次函數的圖象關于直線對稱，與軸交于，，，兩點，且，
，故①正確；
二次函數的圖象關于直線對稱，
其對稱軸為直線，即，
，
．
由圖象可知該拋物線開口向上，
，
，故②錯誤；
拋物線與軸有兩個交點，
△．
由圖象結合題意可知當時，，
，
．
，
，
，
，即，故③正確；
拋物線開口向上，與軸的交點在軸下方，
，，
，
由③可知，，
，
，
，
，故④正確；
由圖象可知當時，有最小值，且為．
，
又對于任意實數，都有，
，即，
，故⑤錯誤．
故選：．
4.已知拋物線，，是常數，，經過點，其對稱軸是直線．有下列結論：①；②關于的方程有兩個不相等的實數根；③．其中，正確結論的個數是　　
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】
【解析】解：拋物線，，是常數，，經過點，其對稱軸是直線，
拋物線與軸的另一交點坐標為，
，
拋物線的開口向下，
，
拋物線的對稱軸是直線，
，
，故①正確；
拋物線開口向下，與軸有兩個交點，頂點在軸的上方，且，
拋物線與直線有兩個交點，
關于的方程有兩個不等的實數根，故②正確；
拋物線，，是常數，，經過點，
，
又，
，
，
，
，
，解得，故③正確，
①②③都正確，
故選：．
二次函數圖象上點的坐標特征
（2024·廣州·中考真題）若點都在二次函數的圖象上，則( )
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】【分析】本題考查了二次函數的圖象和性質、二次函數圖象上點的坐標特征等知識點，根據二次函數的解析式得出函數圖象的對稱軸是軸直線，圖象的開口向上，在對稱軸的右側，隨的增大而增大，再比較即可．
【詳解】解二次函數的對稱軸為軸，開口向上，
當時，隨的增大而增大，
點都在二次函數的圖象上，且，
，
故選．
1.已知二次函數為常數，且的圖象上有三點，，，則，，的大小關系為　　
A． B． C． D．
【答案】
【解析】解：二次函數為常數，且，
開口向上，對稱軸為直線，當時，隨的增大而增大，
當與的函數值相同，
即拋物線經過，
，
．
故選：．
2.已知關于的二次函數的圖象上有兩點，，，，，且，則與的大小關系是　　
A． B． C． D．
【答案】
【解析】解：，
拋物線開口向上，對稱軸為直線，
，且，
，
，
，
點到對稱軸的距離大于點到對稱軸的距離，
．
故選：．
3.已知，，，，是拋物線上的三個點，若，則　　
A． B． C． D．
【答案】
【解析】解：拋物線的開口向下，對稱軸是直線，當時，隨的增大而減小，
，，，，是拋物線上的三個點，且，
，
故選：．
4.如圖，在平面直角坐標系中，點，都在二次函數的圖象上．若，則的取值范圍是　　
A． B． C． D．
【答案】
【解析】解：點，都在二次函數的圖象上，
，
，
，
，
，
即，
，
故選：．
5.已知二次函數，，，為常數），若，記，則　　
A． B． C． D．
【答案】
【解析】解：二次函數，
該拋物線開口向上，與軸的交點分別為，、，．
當時，，
．
對稱軸，，
，
．
當時，，
，
．
．
故選：．
二次函數圖象與幾何變換
（2024·黑龍江省牡丹江·中考真題）將拋物線向下平移個單位長度后，經過點，則 ______．
【答案】
【解析】解：拋物線向下平移個單位長度后得到，
把點代入得到，，
得到，
，
故答案為：．
根據平移規律得到函數解析式，把點的坐標代入得到，再整體代入變形后代數式即可．
此題考查了二次函數圖象與幾何變換，掌握二次函數的平移規律是解題的關鍵．
1.將拋物線向下平移2個單位，所得拋物線的表達式為　　
A． B． C． D．
【答案】
【解析】解：將拋物線向下平移2個單位，則所得拋物線的表達式為，
故選：．
2.將拋物線先向右平移3個單位長度，再向下平移2個單位長度得到的新拋物線解析式為　　
A． B． C． D．
【答案】
【解析】解：將拋物線先向右平移3個單位長度，再向下平移2個單位長度得到的新拋物線解析式為，
故選：．
3.拋物線向右平移1個單位，再向下平移2個單位，所得到的拋物線是　　
A． B． C． D．
【答案】
【解析】解：拋物線向右平移1個單位，再向下平移2個單位，所得到的拋物線是，
故選：．
4.已知拋物線經過平移后得到拋物線，若拋物線上任意一點坐標是，則其對應點坐標一定是　　
A． B． C． D．
【答案】
【解析】解：拋物線經過平移后得到拋物線，
拋物線向下平移2個單位后得到拋物線，
拋物線上任意一點坐標是，則其對應點坐標為，
故選：．
二次函數的最值
（2024·黑龍江省哈爾濱·中考真題）二次函數的最小值是( )
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】解：由題意，，
當時，取最小值為．
故選：．
依據題意，由，從而可以判斷得解．
本題主要考查了二次函數的最值，解題時要熟練掌握并能靈活運用二次函數的性質是關鍵．
1.二次函數的圖象經過點，，在范圍內有最大值為4，最小值為，則的取值范圍是　　
A． B． C． D．
【答案】
【解析】解：二次函數的圖象經過點，，
解得：，
二次函數為，
，
拋物線開口向下，對稱軸為直線，函數有最大值4，
把代入得，，即，
解得，，
在范圍內有最大值為4，最小值為，
．
故選：．
2.拋物線的最大值為　　
A．4 B． C．5 D．
【答案】
【解析】解：拋物線的最大值是，
拋物線的最大值為．
故選：．
3.關于二次函數的最值，說法正確的是　　
A．最小值為 B．最小值為3 C．最大值為1 D．最大值為3
【答案】
【解析】解：二次函數中，
，
函數圖象開口向下，
函數有最大值，
函數圖象的頂點坐標為，
二次函數的最大值為3．
故選：．
4.已知二次函數的圖象經過點，，在范圍內有最大值為4，最小值為，則的取值范圍是　　
A． B． C． D．
【答案】
【解析】解：把，代入，得，
解得，
，
拋物線開口向下，當時，取得最大值4，
在范圍內有最大值為4，
．
解，得，，
當時，拋物線在范圍內有最大值為4，最小值為．
故選：．
5.已知二次函數在時有最小值，則　　
A．或 B．4或 C．或 D．4或
【答案】
【解析】解：二次函數，
對稱軸為直線，
①，拋物線開口向上，
時，有最小值，
解得：；
②，拋物線開口向下，
對稱軸為直線，在時有最小值，
時，有最小值，
解得：；
故選：．
待定系數法求二次函數解析式
（2024·福建·中考真題）如圖，已知二次函數的圖象與軸交于，兩點，與軸交于點，其中，．
求二次函數的表達式；
若是二次函數圖象上的一點，且點在第二象限，線段交軸于點，的面積是的面積的倍，求點的坐標．
【答案】解：將 ，代入，
得
解得
所以，二次函數的表達式為．
設，因為點在第二象限，所以 ，．
依題意，得，即，
所以．
由已知，得，
所以．
由，
解得 ，舍去，
所以點坐標為．
【解析】本題考查待定系數法求二次函數解析式、二次函數圖象上點的坐標特征、三角形面積等基礎知識，考查運算能力、推理能力、幾何直觀等．
根據待定系數法求解即可；
設，因為點在第二象限，所以依題意，得，即可得出，求出，由，求出，即可求出點的坐標．
1.已知拋物線的最低點的縱坐標為，則拋物線的表達式是　　
A． B． C． D．
【答案】
【解析】解：拋物線的最低點的縱坐標為，
，
即，
，
，
，
解得：，，
當時，拋物線為．
故選：．
2.已知拋物線頂點坐標為，則拋物線的解析式可能為　　
A． B． C． D．
【答案】
【解析】解：．，頂點坐標為，
故不符合題意；
．；頂點坐標為，
故不符合題意；
．，頂點坐標為，
故不符合題意；
．，頂點坐標為，
故符合題意；
故選．
3.已知一個拋物線經過點，和．
（1）求這個二次函數的解析式；
（2）求這個二次函數圖象的頂點坐標和對稱軸．
【答案】（1）；
（2）頂點坐標為；對稱軸為直線．
【解析】解：（1）設，
將代入，則，
，
（2），，
頂點坐標為；對稱軸為直線．
4.已知二次函數的圖象經過點和．
（1）求二次函數的表達式和頂點坐標．
（2）當時，有最小值，求的值．
【答案】（1），頂點坐標是；
（2）或3．
【解析】解：（1）根據題意得，，
解得，
二次函數的解析式為，
，
其頂點坐標是；
（2）由（1）知拋物線的對稱軸是直線，開口向上，
當時，隨的增大而減小，當時，隨的增大而增大，
當，即時，
當時有最小值，
，
解得或（舍去）；
當時，當時有最小值，
，
解得或（舍去）；
當且，即時有最小值，不合題意，舍去；
綜上，的值為或3．
5.如圖，拋物線經過點，點，且．
（1）求拋物線的表達式；
（2）如圖，點是拋物線的頂點，求的面積．
【答案】（1）；
（2）3．
【解析】解：（1）拋物線經過點，點，且，
，
，
設拋物線的解析式為，將代入得，
，
，
拋物線的解析式為；
（2），
．
如圖，過點作于點，交于點．
設直線的解析式為，將代入得，，
，
直線的解析式為，
當時，，
，
，
二次函數的三種形式
用配方法把二次函數寫成的形式　　．
【解析】解：
．
故答案為：．
1.將二次函數化成形式為 　　．
【答案】．
【解析】解：，
所以，．
故答案為：．
2.將拋物線化成頂點式為 　　．
【答案】．
【解析】解：，即，
故答案為：．
3.將二次函數的右邊進行配方，正確的結果是　　
A． B． C． D．
【解析】解：提出二次項系數得，，
配方得，，
即．
故選：．
4.把二次函數化為的形式，那么　3　．
【解析】解：，
，，
．
故答案為：3．
拋物線與x軸的交點
已知拋物線過點，且，則關于的一元二次方程的解為　　
A．， B．， C．， D．，
【答案】
【解析】解：由題意可知，拋物線過點，且，
則有，
，，
方程可化為，
解得：，，
整理關于的一元二次方程可得，
，
或，
解得，，
故選：．
1.拋物線與坐標軸有且僅有兩個交點，則的值為　　
A．3 B．2 C．2或 D．2或3
【答案】
【解析】解：拋物線與坐標軸有且僅有兩個交點，
即與軸有一個交點，與軸一個交點．
令得，
與軸一個交點時，
△，
解得，
當與軸有兩個交點，且其中一個交點與軸交點相重合時，
此時，
，
故選：．
2.二次函數的圖象與軸的交點情況是　　
A．有1個交點 B．有2個交點 C．無交點 D．無法確定
【答案】
【解析】解：△，
，
，
△，
二次函數的圖象與軸有兩個交點，
故選：．
3.若拋物線與軸沒有交點，則的值可以是　　
A． B．0 C．4 D．8
【答案】
【解析】解：拋物線與軸沒有交點，
無解，
△，
解得，
故選：．
4.已知二次函數的部分與的值如表：
1 2 4
0
根據表格可知，一元二次方程的解是　　
A．， B．， C．， D．，
【答案】
【解析】解：時，；時，，
拋物線的對稱軸為直線，
時，，
時，，
關于的一元二次方程的解為，．
故選：．
圖象法求一元二次方程的近似根
（2024·山東省泰安·中考真題）如圖所示是二次函數的部分圖象，該函數圖象的對稱軸是直線，圖象與軸交點的縱坐標是則下列結論：；方程一定有一個根在和之間；方程一定有兩個不相等的實數根；其中，正確結論的個數有( )
A. 個 B. 個 C. 個 D. 個
【答案】B
【解析】解：拋物線的對稱軸為直線，
，
，
，故正確；
拋物線的對稱軸為直線，與軸的一個交點在，之間，
與軸的另一個交點在，之間，
方程一定有一個根在和之間，故錯誤；
拋物線與直線有兩個交點，
方程一定有兩個不相等的實數根，故正確；
拋物線與軸的另一個交點在，之間，
，
圖象與軸交點的縱坐標是，
，
，
故錯誤．
綜上，正確的結論有，共個．
故選：．
根據拋物線與坐標軸的交點情況、二次函數與方程的關系、二次函數的性質判斷即可．
本題考查的是圖象法求一元二次方程的近似值，拋物線與軸的交點、二次函數圖象與系數的關系以及二次函數與方程的關系，掌握二次函數的性質、二次函數圖象與系數的關系是解題的關鍵．
1.在探究關于的二次三項式的值時，小明計算了如下四組值：
1.1 1.2 1.3 1.4
0.84 2.29 3.76
小明說，他通過這四組值能得到方程的一個近似根，這個近似根的個位是____，十分位是____．
【答案】1；1．
【解析】解：根據題意可得：，
方程的一個近似根取值范圍為：，
這個近似根的個位是1，十分位是1，
故答案為：1，1．
2.下表是若干組二次函數的自變量與函數值的對應值：
1.3 1.4 1.5 1.6 1.7
0.36 0.13
那么方程的一個近似根（精確到是　　
A．1.4 B．1.5 C．3.5 D．3.6
【答案】
【解析】解：觀察表格得：方程的一個近似根（精確到是1.5，
的對稱軸為，
方程的另一個近似根（精確到是3.5，
故選：．
3.下表是一組二次函數的自變量與函數值的對應值：
1 1.2 1.3 1.4
0.04 0.59 1.16
那么方程的一個近似根是　　
A．1 B．1.1 C．1.2 D．1.3
【解析】解：觀察表格得：方程的一個近似根為1.2，
故選：．
4.小穎用計算器探索方程的根，作出如圖所示的圖象，并求得一個近似根，則方程的另一個近似根（精確到為　　
A．4.4 B．3.4 C．2.4 D．1.4
【解析】解：拋物線與軸的一個交點為，又拋物線的對稱軸為：，
另一個交點坐標為：，
則方程的另一個近似根為1.4，
故選：．
5.已知二次函數，小明利用計算器列出了下表：
0.56
那么方程的一個近似根是　　
A． B． C． D．
【答案】
【解析】解：根據表格得，當時，，即，
距近一些，
方程的一個近似根是，
故選：．
二次函數與不等式（組）
如圖，二次函數的圖象經過點，點，點，其中，下列結論：①，②，③方程有兩個不相等的實數根，④不等式的解集為，其中正確結論的個數為　　
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】
【解析】解：①二次函數的圖象經過點，點，
二次函數的圖象的對稱軸是直線：，
，
，
，
，
，，
，
故①正確；
②把點代入中可得：，
，
由①得：，
，
，
，
，
故②正確；
③由圖可知：
直線與二次函數的圖象拋物線有兩個交點，
方程有兩個不相等的實數根，
故③正確；
④二次函數的圖象經過點，點，
，
二次函數的圖象經過點，
，
，
二次函數的對稱軸為直線：，
把代入二次函數中可得：，
二次函數的圖象與軸的交點為：，
設二次函數的圖象與軸的另一個交點為，
，
，
不等式的解集為，
不等式的解集為，
二次函數的圖象的對稱軸是直線：，
，
，
不等式的解集為，
故④正確，
所以：正確結論的個數有4個，故選：．
1.二次函數，，是常數）的自變量與函數值的部分對應值如下表：
1
0 0
其中，，，以下結論中不正確的是　　
A．對稱軸為直線
B．關于的方程 的兩根為或
C．
D．關于的不等式的解集為
【答案】
【解析】解：（1）當時，；
當時，．
點和關于拋物線對稱軸對稱，
對稱軸為，故對．
（2）對稱軸，
．
的根為，，
即的兩根為或，故對．
（3）當時，，
．
且，拋物線對稱軸為
，點、，、，、、都在對稱軸右側．
在對稱軸右側隨增大而增大，且拋物線開口向上，
，．
又．
，
，故正確．
（4）拋物線開口向上，時，時，
時，的解為或，
時即的解集為或．
的解集為或，故錯，
綜上本題答案為．
2.如圖，已知拋物線與直線交于，兩點，則關于的不等式的解集是　　
A．或 B．或 C． D．
【答案】
【解析】解：如圖所示：
，，
根據函數圖象得：不等式的解集是或，
故選：．
3.如圖，拋物線與直線交于，兩點，則不等式的解集為　　
A． B． C． D．或
【答案】
【解析】解：，，
時，直線在拋物線上方，即時，，
不等式的解集為．
故選：．　二次函數的圖象與性質
中考考點 考查頻率 新課標要求
二次函數的相關概念 ★★ 通過對實際問題的分析，體會二次函數的意義.
二次函數的圖象與性質 ★★★ 能畫二次函數的圖象，通過圖象了解二次函數的性質，知道二次函數系數與圖象形狀和對稱軸的關系. 會求二次函數的最大值或最小值，并能確定相應自變量的值.
二次函數與各項系數的關系 ★★ 理解二次函數與各項系數的關系.
二次函數與方程、不等式 ★★ 知道二次函數和一元二次方程之間的關系，會利用二次函數的圖象求一元二次方程的近似解.
二次函數作為初中三大函數中考點最多，出題最多，難度最大的函數，一直都是各地中考數學中最重要的考點，年年都會考查.而對于二次函數圖象和性質的考查，主要集中在二次函數的圖象、圖象與系數的關系、與方程及不等式的關系、圖象上點的坐標特征等幾大方面.題型變化較多，考生復習時需要熟練掌握相關知識.
一、二次函數的概念
一般地，如果y＝ax ＋bx＋c（a，b，c是常數，a≠0），那么y叫做x的二次函數．
注意：
（1）二次項系數a≠0；
（2）ax ＋bx＋c必須是整式；
（3）一次項可以為零，常數項也可以為零，一次項和常數項可以同時為零；
（4）自變量x的取值范圍是全體實數．
二、二次函數y＝ax ＋bx＋c（a，b，c為常數，a≠0）的圖象及性質
圖象 （a＞0） （a＜0）
開口方向 開口向上 開口向下
對稱軸 直線x＝－ 直線x＝－
頂點坐標 （－，） （－，）
增減性 當x＜－時，y隨x的增大而減小；當x＞－時，y隨x的增大而增大 當x＜－時，y隨x的增大而增大；當x＞－時，y隨x的增大而減小
最值 當x＝－時，y有最小值 當x＝－時，y有最大值
三、二次函數的性質
（1）拋物線的頂點式，對稱軸是平行于軸的直線．
（2）當時，拋物線在x軸的上方（除頂點外），它的開口向上，并且向上無限伸展；
當時，拋物線在x軸的下方（除頂點外），它的開口向下，并且向下無限伸展．
（3）當時，在對稱軸（）的左側，隨著的增大而減小；在對稱軸（）的右側，隨著的增大而增大；當時，函數的值最小（是0）；
當時，在對稱軸（）的左側，隨著的增大而增大；在對稱軸（）的右側，隨著的增大而減小；當時，函數的值最大（是0）．
（4）二次函數與的圖像形狀相同，可以看作是拋物線整體沿軸平移了個單位（當時，向右平移個單位；當時，向左平移個單位）得到的．
二次函數的定義
下列函數中，二次函數是　　
A． B． C． D．
1.下列函數中，是二次函數的是　　
A． B． C． D．
2.下列函數是二次函數的是　　
A． B． C． D．
3.關于的函數是二次函數的條件是　　
A． B． C． D．
4.下列函數是二次函數的是　　
A． B． C． D．
二次函數的圖象
（2024·廣東省廣州·中考真題）函數與的圖象如圖所示，當 時，，均隨著的增大而減小．
A. B. C. D.
1.二次函數與一次函數在同一平面直角坐標系中的圖象可能是　　
A． B． C． D．
2.如圖是四個二次函數的圖象，則、、、的大小關系為　　
A． B． C． D．
3.在同一平面直角坐標系中，一次函數與二次函數的大致圖象可以是　　
A． B． C． D．
4.如圖，在同一平面直角坐標系中，二次函數與一次函數的圖象可能是　　
A． B． C． D．
5.已知二次函數的圖象如圖所示，則二次函數與正比例函數的圖象大致為　　
A． B． C． D．
二次函數的性質
（2024·四川省甘孜藏族自治州·中考真題）二次函數的圖象如圖所示，給出下列結論：；；當時，其中所有正確結論的序號是( )
A. B. C. D.
1.對于拋物線，下列判斷正確的是　　
A．拋物線的開口向上 B．拋物線的頂點坐標是
C．對稱軸為直線 D．當時，
2.對于二次函數的圖象的特征，下列描述正確的是　　
A．開口向上 B．經過原點 C．對稱軸是軸 D．頂點在軸上
3.已知二次函數，，是常數，的與的部分對應值如下表：
0 1 3
3
下列各選項中，錯誤的是　　
A．這個函數的圖象開口向上
B．當時，
C．這個函數的最小值為
D．當時，的值隨值的增大而減小
4.二次函數，，為常數）中，與的部分對應值如下表：
1 2 3 4
0 1 0
以下結論：①該二次函數圖象開口向上；
②當時，該二次函數取最大值為1；
③當時，；
④若點，，在該二次函數圖象上，則；
其中正確的是　　
A．①②③ B．①②④ C．②③ D．②③④
二次函數圖象與系數的關系
（2024·四川省瀘州·中考真題）已知二次函數是自變量的圖象經過第一、二、四象限，則實數的取值范圍為( )
A. B. C. D.
1.二次函數的圖象如圖所示．下列結論：①；②；③為任意實數，則；④；⑤若且，則．其中正確的有　　
A．①④ B．③④ C．②⑤ D．②③⑤
2.已知二次函數的圖象如圖所示，則下列結論正確的是　　
A． B． C． D．
3.如圖，二次函數的圖象關于直線對稱，與軸交于，，，兩點，若，則下列四個結論：①，②，③，④，⑤．正確結論的個數為　　
A．1個 B．2個 C．3個 D．4個
4.已知拋物線，，是常數，，經過點，其對稱軸是直線．有下列結論：①；②關于的方程有兩個不相等的實數根；③．其中，正確結論的個數是　　
A．0 B．1 C．2 D．3
二次函數圖象上點的坐標特征
（2024·廣州·中考真題）若點都在二次函數的圖象上，則( )
A. B. C. D.
1.已知二次函數為常數，且的圖象上有三點，，，則，，的大小關系為　　
A． B． C． D．
2.已知關于的二次函數的圖象上有兩點，，，，，且，則與的大小關系是　　
A． B． C． D．
3.已知，，，，是拋物線上的三個點，若，則　　
A． B． C． D．
4.如圖，在平面直角坐標系中，點，都在二次函數的圖象上．若，則的取值范圍是　　
A． B． C． D．
5.已知二次函數，，，為常數），若，記，則　　
A． B． C． D．
二次函數圖象與幾何變換
（2024·黑龍江省牡丹江·中考真題）將拋物線向下平移個單位長度后，經過點，則 ______．
1.將拋物線向下平移2個單位，所得拋物線的表達式為　　
A． B． C． D．
2.將拋物線先向右平移3個單位長度，再向下平移2個單位長度得到的新拋物線解析式為　　
A． B． C． D．
3.拋物線向右平移1個單位，再向下平移2個單位，所得到的拋物線是　　
A． B． C． D．
4.已知拋物線經過平移后得到拋物線，若拋物線上任意一點坐標是，則其對應點坐標一定是　　
A． B． C． D．
二次函數的最值
（2024·黑龍江省哈爾濱·中考真題）二次函數的最小值是( )
A. B. C. D.
1.二次函數的圖象經過點，，在范圍內有最大值為4，最小值為，則的取值范圍是　　
A． B． C． D．
2.拋物線的最大值為　　
A．4 B． C．5 D．
3.關于二次函數的最值，說法正確的是　　
A．最小值為 B．最小值為3 C．最大值為1 D．最大值為3
4.已知二次函數的圖象經過點，，在范圍內有最大值為4，最小值為，則的取值范圍是　　
A． B． C． D．
5.已知二次函數在時有最小值，則　　
A．或 B．4或 C．或 D．4或
待定系數法求二次函數解析式
（2024·福建·中考真題）如圖，已知二次函數的圖象與軸交于，兩點，與軸交于點，其中，．
求二次函數的表達式；
若是二次函數圖象上的一點，且點在第二象限，線段交軸于點，的面積是的面積的倍，求點的坐標．
1.已知拋物線的最低點的縱坐標為，則拋物線的表達式是　　
A． B． C． D．
2.已知拋物線頂點坐標為，則拋物線的解析式可能為　　
A． B． C． D．
3.已知一個拋物線經過點，和．
（1）求這個二次函數的解析式；
（2）求這個二次函數圖象的頂點坐標和對稱軸．
4.已知二次函數的圖象經過點和．
（1）求二次函數的表達式和頂點坐標．
（2）當時，有最小值，求的值．
5.如圖，拋物線經過點，點，且．
（1）求拋物線的表達式；
（2）如圖，點是拋物線的頂點，求的面積．
二次函數的三種形式
用配方法把二次函數寫成的形式　
1.將二次函數化成形式為 　．
2.將拋物線化成頂點式為
3.將二次函數的右邊進行配方，正確的結果是　　
A． B． C． D．
4.把二次函數化為的形式，那么 　．
拋物線與x軸的交點
已知拋物線過點，且，則關于的一元二次方程的解為　　
A．， B．， C．， D．，
1.拋物線與坐標軸有且僅有兩個交點，則的值為　　
A．3 B．2 C．2或 D．2或3
2.二次函數的圖象與軸的交點情況是　　
A．有1個交點 B．有2個交點 C．無交點 D．無法確定
3.若拋物線與軸沒有交點，則的值可以是　　
A． B．0 C．4 D．8
4.已知二次函數的部分與的值如表：
1 2 4
0
根據表格可知，一元二次方程的解是　　
A．， B．， C．， D．，
圖象法求一元二次方程的近似根
（2024·山東省泰安·中考真題）如圖所示是二次函數的部分圖象，該函數圖象的對稱軸是直線，圖象與軸交點的縱坐標是則下列結論：；方程一定有一個根在和之間；方程一定有兩個不相等的實數根；其中，正確結論的個數有( )
A. 個 B. 個 C. 個 D. 個
1.在探究關于的二次三項式的值時，小明計算了如下四組值：
1.1 1.2 1.3 1.4
0.84 2.29 3.76
小明說，他通過這四組值能得到方程的一個近似根，這個近似根的個位是____,十分位是____ ．
2.下表是若干組二次函數的自變量與函數值的對應值：
1.3 1.4 1.5 1.6 1.7
0.36 0.13
那么方程的一個近似根（精確到是　　
A．1.4 B．1.5 C．3.5 D．3.6
3.下表是一組二次函數的自變量與函數值的對應值：
1 1.2 1.3 1.4
0.04 0.59 1.16
那么方程的一個近似根是　　
A．1 B．1.1 C．1.2 D．1.3
4.小穎用計算器探索方程的根，作出如圖所示的圖象，并求得一個近似根，則方程的另一個近似根（精確到為　　
A．4.4 B．3.4 C．2.4 D．1.4
5.已知二次函數，小明利用計算器列出了下表：
0.56
那么方程的一個近似根是　　
A． B． C． D．
二次函數與不等式（組）
如圖，二次函數的圖象經過點，點，點，其中，下列結論：①，②，③方程有兩個不相等的實數根，④不等式的解集為，其中正確結論的個數為　　
A．1 B．2 C．3 D．4
1.二次函數，，是常數）的自變量與函數值的部分對應值如下表：
1
0 0
其中，，，以下結論中不正確的是　　
A．對稱軸為直線
B．關于的方程 的兩根為或
C．
D．關于的不等式的解集為
2.如圖，已知拋物線與直線交于，兩點，則關于的不等式的解集是　　
A．或 B．或 C． D．
3.如圖，拋物線與直線交于，兩點，則不等式的解集為　　
A． B． C． D．或

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