資源簡介

二次函數的實際應用　
中考考點 考查頻率 新課標要求
二次函數的應用 ★★★ 能用二次函數解決實際問題
二次函數的應用在中考中較為常見，其中二次函數在實際生活中的應用多為小題，出題率不高，一般需要根據題意自行建議二次函數模型; 而利用二次函數圖象解決實際問題和最值問題則多為解答題，此類問題需要多注意題意的理解，而且一般計算數據較大，還需根據實際情況判斷所求結果是否有合適，需要考生在做題過程中認真對待。
一、用二次函數解決實際問題的一般步驟：
1.審：仔細審題，理清題意；
2.設：找出題中的變量和常量，分析它們之間的關系，與圖形相關的問題要結合圖形具體分析，設出適當的未知數；
3.列：用二次函數表示出變量和常量之間的關系，建立二次函數模型，寫出二次函數的解析式；
4.解：依據已知條件，借助二次函數的解析式、圖象和性質等求解實際問題；
5.檢：檢驗結果，進行合理取舍，得出符合實際意義的結論.
【注意】二次函數在實際問題中的應用通常是在一定的取值范圍內，一定要注意是否包含頂點坐標，如果頂點坐標不在取值范圍內，應按照對稱軸一側的增減性探討問題結論．
二、利用二次函數解決利潤最值的方法：巧設未知數，根據利潤公式列出函數關系式，再利用二次函數的最值解決利潤最大問題。
三、利用二次函數解決拱橋/隧道/拱門類問題的方法：先建立適當的平面直角坐標系，再根據題意找出已知點的坐標，并求出拋物線解析式，最后根據圖象信息解決實際問題。
四、利用二次函數解決面積最值的方法：先找好自變量，再利用相關的圖形面積公式，列出函數關系式，最后利用函數的最值解決面積最值問題。
根據實際問題列二次函數關系式
（2024·廣東·中考真題）廣東省全力實施“百縣千鎮萬村高質量發展工程”，年農產品進出口總額居全國首位，其中荔枝鮮果遠銷歐美某果商以每噸萬元的價格收購早熟荔枝，銷往國外，若按每噸萬元出售，平均每天可售出噸市場調查反映：如果每噸降價萬元，每天銷售量相應增加噸該果商如何定價才能使每天的“利潤”或“銷售收入”最大？并求出其最大值題中“元”為人民幣
【答案】解：設該果商定價萬元時每天的“利潤”為萬元，
，
，
隨的增大而減小，
當時，有最大值，最大值為萬元，
答：該果商定價為萬元時才能使每天的“利潤”或“銷售收入”最大，其最大值為萬元．
【解析】設該果商定價萬元時每天的“利潤”為萬元，根據題意列出與之間的函數關系式，再根據二次函數的單調性即可得出答案．
本題主要考查二次函數的應用，找到等量關系是解題的關鍵．
1.2022年北京冬奧會舉辦期間，冬奧會吉祥物“冰墩墩”深受廣大人民的喜愛．某特許零售店“冰墩墩”的銷售日益火爆，每個紀念品進價40元．銷售期間發現，當銷售單價定為44元時，每天可售出300個，銷售單價每降價1元，每天銷量增加20個．現商家決定降價銷售，設每天銷售量為個，銷售單價為元，商家每天銷售紀念品獲得的利潤元，則下列等式正確的是　　
A． B．
C． D．
【答案】
【解析】解：根據題意得：，，
即，．
故選：．
2.某特許零售店“冰墩墩”的銷售日益火爆，每個紀念品進價40元，銷售期間發現，當銷售單價定為44元時，每天可售出300個；銷售單價每上漲1元，每天銷量減少10個．現商家決定提價銷售，設每天銷售量為個，銷售單價為元，商家每天銷售紀念品獲得的利潤元，則下列等式正確的是　　
A． B．
C． D．
【答案】
【解析】解：當銷售單價定為44元時，每天可售出300個；銷售單價每上漲1元，每天銷量減少10個，
銷售單價為元時，每天的銷售量，商家每天銷售紀念品獲得的利潤，
，．
故選：．
3.某農戶要改造部分農田種植蔬菜，經調查，平均每畝改造費用是900元，添加輔助設備費用（元與改造面積（畝的平方成正比，比例系數為18，每畝種植蔬菜還需種子、人工費用600元，若每畝蔬菜年銷售額為7000元，設改造農田畝，改造當年收益為元，則與之間的數量關系可列式為　　
A． B．
C． D．
【答案】
【解析】解：設改造農田畝，則總成本為，總銷售額為，
可列方程為．
故選：．
4.據省統計局公布的數據，合肥市2021年第一季度總值約為2.4千億元人民幣，若我市第三季度總值為千億元人民幣，平均每個季度增長的百分率為，則關于的函數表達式是　　
A． B．
C． D．
【答案】
【解析】解：根據題意得，
關于的函數表達式是：．
故選：．
5.某暢銷書的售價為每本30元，每星期可賣出200本，書城準備開展“讀書節活動”，決定降價促銷．經調研，如果調整書籍的售價，每降價2元，每星期可多賣出40本．設每件商品降價元后，每星期售出此暢銷書的總銷售額為元，則與之間的函數關系為　　
A． B．
C． D．
【答案】
【解析】解：設每本降價元，則售價為元，銷售量為本，
根據題意得，，
故選：．
二次函數的應用
（2024·河北省邯鄲·中考真題）如圖，壯壯同學投擲實心球，出手點處的高度是，出手后實心球沿一段拋物線運行，到達最高點時，水平距離是，高度是若實心球落地點為，則 ______
【答案】
【解析】解：如圖，以為坐標原點，為軸正半軸，為軸正半軸，建立直角坐標系，
由題意可知，，，其中點為拋物線頂點，
設拋物線頂點式為：，
將代入上式，
解得：，
即拋物線的解析式式為：，
為拋物線與軸的交點，
即，
解得：，舍，
故答案為：．
以為坐標原點，為軸正半軸，為軸正半軸，建立直角坐標系，由題意可知，，，其中點為拋物線頂點，
設拋物線頂點式為：，將代入上式，求出的值，進而求出拋物線表達式，最后將代入表達式中即可得出答案．
本題主要考查二次函數的應用，建立合適的直角坐標系是解題的關鍵．
1.如圖1是太原晉陽湖公園一座拋物線型拱橋，按如圖所示建立坐標系，得到函數，在正常水位時水面寬米，當水位上升5米時，則水面寬CD=（ ）　
A．20米 B．15米 C．10米 D．8米
【答案】
【解析】解：米，
當時，，
當水位上升5米時，，
把代入得，，
解得，
此時水面寬米，
故選：．
2.已知實心球運動的高度與水平距離之間的函數關系是，則該同學此次投擲實心球的成績是　　
A． B． C． D．
【答案】
【解析】解：在中，令得：
，
解得或（舍去），
該同學此次投擲實心球的成績是，
故選：．
3.西安大雁塔音樂噴泉是西安的一張名片，許多人慕名前往．若其中一組噴泉水型可近似看成拋物線族，如圖建立坐標系后，可由函數確定，其中為實數．若其中某個噴泉水柱的最大高度是4，則此時對應的值為　　
A．2 B．4 C．2或 D．4或
【答案】
【解析】解：，其中為實數．其中某個噴泉水柱的最大高度是4，
，
解得，
故選：．
4.如圖，不考慮空氣阻力，以一定的速度將小球沿斜上方擊出時，小球飛行的高度是飛行時間的二次函數．現以相同的初速度沿相同的方向每隔t秒依次擊出三個質地一樣的小球，小球在各自擊出后2秒到達相同的最大飛行高度，若整個過程中，保持空中始終有1或2個小球（不考慮小球落地后再彈起），則t的取值范圍是（　　）
A．0＜t＜2 B．2≤t＜4 C．1≤t＜3 D．3≤t＜5
【答案】B
【解析】解：以球出發的地方為原點建立直角坐標系，
由題意得，二次函數過原點且對稱軸為直線t＝2，
∴設二次函數解析式為h＝a（t﹣2）2+k，
代入原點坐標得0＝a（0﹣2）2+k，
解得k＝﹣4a，
∴h＝a（t﹣2）2﹣4a，
令h＝0得a（t﹣2）2﹣4a＝0，解得t1＝0，t2＝4，
∴一個球從出發到落地用時4秒，
∵整個過程中，保持空中始終有1或2個小球（不考慮小球落地后再彈起），
∴，
解得2≤t＜4，
故選：B．
5.如圖（1）是一個橫斷面為拋物線形狀的拱橋，當水面在時，拱頂（拱橋洞的最高點）離水面，水面寬．如圖（2）建立平面直角坐標系，則拋物線的解析式是　　
A． B． C． D．
【答案】
【解析】解：設出拋物線方程，
由圖象可知該圖象經過點，
故，
，
故，故選：．
二次函數綜合題
（2024·陜西·中考真題）一條河上橫跨著一座宏偉壯觀的懸索橋橋梁的纜索與纜索均呈拋物線型，橋塔與橋塔均垂直于橋面，如圖所示，以為原點，以直線為軸，以橋塔所在直線為軸，建立平而直角坐標系．
已知：纜索所在拋物線與纜索所在拋物線關于軸對稱，橋塔與橋塔之間的距離，，纜索的最低點到的距離橋塔的粗細忽略不計
求纜索所在拋物線的函數表達式；
點在纜索上，，且，，求的長．
【答案】解：由題意，，
．
又，纜索的最低點到的距離，
拋物線的頂點為．
故可設拋物線為．
又將代入拋物線可得，
．
．
纜索所在拋物線為．
由題意，纜索所在拋物線與纜索所在拋物線關于軸對稱，
又纜索所在拋物線為，
纜索所在拋物線為．
又令，
．
，．
又，
．
的長為．
【解析】依據題意，由，從而，又，纜索的最低點到的距離，可得拋物線的頂點為，故可設拋物線為，又將代入拋物線可求得的值，進而可以得解；
依據題意，由纜索所在拋物線與纜索所在拋物線關于軸對稱，又纜索所在拋物線為，從而可得纜索所在拋物線為，又令，可得，求出或，進而計算可以判斷得解．
1.已知，如圖，拋物線與軸交于、兩點，與軸交于點，，，點為軸下方的拋物線上一點．
（1）求拋物線的函數表達式；
（2）連接、，求四邊形面積的最大值；
（3）是否存在這樣的點，使得點到和兩邊的距離相等，若存在，請求出點的坐標；若不存在，請說明理由．
【答案】（1）拋物線的解析式為：；
（2）四邊形的最大值為51；
（3），．
【解析】解：（1），，
，，，
拋物線的解析式為：，
，
解得，
拋物線的解析式為：；
（2）令，則，
；
直線的解析式為：；
連接，過點作軸交于點，
設點的橫坐標為，
，，
，
；
，，
；
，
當時，四邊形的最大值為51；
（3）存在，理由如下：
若點到和兩邊的距離相等，則是的平分線，設與軸交于點，過點作于點，
平分，，，
，，
，，
，
設，
，，
在中，由勾股定理可得，，
解得，
，
直線的解析式為：，
令，
解得（舍或，
，．
2.已知拋物線．
（1）求該拋物線的頂點坐標（用含的式子表示）；
（2）當時，拋物線上有兩點，，若時，直接寫出的取值范圍；
（3）若，，都在拋物線上，是否存在實數，使得恒成立？若存在，求出的取值范圍；若不存在，請說明理由．
【答案】（1）；
（2）；
（3）存在實數，使得恒成立，的取值范圍為．
【解析】解：（1）拋物線，
拋物線的頂點坐標為；
（2）當時，如圖，
當時，隨的增大而增大，當時，隨的增大而減小，
拋物線的頂點坐標為，
拋物線的對稱軸為為直線，
點關于直線的對稱點為，
點，，，
；
（3）存在實數，使得恒成立，
，拋物線的頂點坐標為，
拋物線開口向下，，
如圖，當，關于拋物線對稱軸對稱時，，
解得，
時，，
當，關于拋物線對稱軸對稱時，，
解得，
時，，
當，關于拋物線對稱軸對稱時，，
解得，
時，，
綜上，存在實數，使得恒成立，的取值范圍為．
3.如圖，已知拋物線與軸交于，兩點（點在點的左側），與軸交于點．
（1）求拋物線的解析式；
（2）點是第一象限內拋物線上的一個動點（與點，不重合），過點作軸于點，交直線于點，連接，直線能否把分成面積之比為的兩部分？若能，請求出點的坐標；若不能，請說明理由．
（3）若為拋物線對稱軸上一動點，使得為直角三角形，請直接寫出點的坐標．
【解析】解：（1）將，代入，
得：，
解得，
則拋物線解析式為；
（2）能．
設直線的解析式為，
把，代入得，
解得，
所以直線的解析式為，
設，則，，，
，，
當時，，即，
整理得，
解得，（舍去），此時點坐標為，；
當時，，即，
整理得，
解得，（舍去），此時點坐標為，；
綜上所述，當點的坐標為，或，時，直線把分成面積之比為的兩部分；
（3）拋物線的對稱軸為直線，如圖，
設，
，，
，，，
當時，為直角三角形，，即，解得，此時點的坐標為；
當時，為直角三角形，，即，解得，此時點的坐標為；
當時，為直角三角形，，即，解得，，此時點的坐標為或，
綜上所述，滿足條件的點的坐標為，，，．
4.如圖，已知拋物線與軸交于，兩點（點在點的左側），與軸交于點．
（1）求拋物線的解析式；
（2）若為拋物線對稱軸上一動點，使得為直角三角形，請求出點的坐標．
（3）如圖1，為直線上方的拋物線上一點，軸交于點，過點作于點．設，求的最大值及此時點坐標．
【答案】（1）；
（2），，，；
（3）最大為，此時為．
【解析】解：（1）把，兩點代入解析式，得，
解得，
拋物線的解析式為．
（2）如圖，當時，延長交軸于點，
，，，
，
，
，
，，
，
，
，
設直線的解析式為，
，
解得，
直線的解析式為，
時，，
此時；
如圖，當時，延長交軸于點，
，，，
，
，
，
，
，
，
，
設直線的解析式為，
，
解得，
直線的解析式為，
時，，
此時；
當時，設，
，，
，
，，，
，
，
，
整理，得，
解得，
此時或；
綜上所述，點或點或點或點．
（3）如圖，設與軸的交點為，點，
，，
設直線的解析式為，
，
解得，
直線的解析式為，
，
；
，，
，
，
連接，
，
，
，
，
拋物線開口向下，
有最大值，且當時，取得最大值，且為，
此時，
故點．
5.平面直角坐標系中，拋物線與軸交于，兩點，與軸交于點．
（1）求拋物線的解析式，并直接寫出點，的坐標；
（2）在拋物線的對稱軸上是否存在點，使是直角三角形？若存在，請直接寫出點的坐標，若不存在，請說明理由；
（3）如圖，點是直線上的一個動點，連接，，是否存在點使最小，若存在，請求出點的坐標，若不存在，請說明理由．
【答案】（1），，；
（2）存在，，，，；
（3）存在，，．
【解析】解：（1）將代入，
即，
解得：，
，
令，則，
令，則，
解得：，，，；
（2）存在點，使是直角三角形，
，對稱軸為直線，
設，
，，
，，，
①當時，，
，
解得：；
②當時，，
解得：；
③當時，，
解得：或，
綜上所述：，，，；
（3）存在點使最小，理由如下：
作點關于的對稱點，連接交于點，連接，
由對稱性可知，，
，
當、、三點共線時，有最小值，
，，
，
，
由對稱性可知，
，
，
設直線的解析式為，
，
解得：，
直線的解析式，
設直線的解析式為，
，
，
直線的解析式為，
聯立方程組，
解得：，
，．二次函數的實際應用　
中考考點 考查頻率 新課標要求
二次函數的應用 ★★★ 能用二次函數解決實際問題
二次函數的應用在中考中較為常見，其中二次函數在實際生活中的應用多為小題，出題率不高，一般需要根據題意自行建議二次函數模型; 而利用二次函數圖象解決實際問題和最值問題則多為解答題，此類問題需要多注意題意的理解，而且一般計算數據較大，還需根據實際情況判斷所求結果是否有合適，需要考生在做題過程中認真對待。
一、用二次函數解決實際問題的一般步驟：
1.審：仔細審題，理清題意；
2.設：找出題中的變量和常量，分析它們之間的關系，與圖形相關的問題要結合圖形具體分析，設出適當的未知數；
3.列：用二次函數表示出變量和常量之間的關系，建立二次函數模型，寫出二次函數的解析式；
4.解：依據已知條件，借助二次函數的解析式、圖象和性質等求解實際問題；
5.檢：檢驗結果，進行合理取舍，得出符合實際意義的結論.
【注意】二次函數在實際問題中的應用通常是在一定的取值范圍內，一定要注意是否包含頂點坐標，如果頂點坐標不在取值范圍內，應按照對稱軸一側的增減性探討問題結論．
二、利用二次函數解決利潤最值的方法：巧設未知數，根據利潤公式列出函數關系式，再利用二次函數的最值解決利潤最大問題。
三、利用二次函數解決拱橋/隧道/拱門類問題的方法：先建立適當的平面直角坐標系，再根據題意找出已知點的坐標，并求出拋物線解析式，最后根據圖象信息解決實際問題。
四、利用二次函數解決面積最值的方法：先找好自變量，再利用相關的圖形面積公式，列出函數關系式，最后利用函數的最值解決面積最值問題。
根據實際問題列二次函數關系式
（2024·廣東·中考真題）廣東省全力實施“百縣千鎮萬村高質量發展工程”，年農產品進出口總額居全國首位，其中荔枝鮮果遠銷歐美某果商以每噸萬元的價格收購早熟荔枝，銷往國外，若按每噸萬元出售，平均每天可售出噸市場調查反映：如果每噸降價萬元，每天銷售量相應增加噸該果商如何定價才能使每天的“利潤”或“銷售收入”最大？并求出其最大值題中“元”為人民幣
1.2022年北京冬奧會舉辦期間，冬奧會吉祥物“冰墩墩”深受廣大人民的喜愛．某特許零售店“冰墩墩”的銷售日益火爆，每個紀念品進價40元．銷售期間發現，當銷售單價定為44元時，每天可售出300個，銷售單價每降價1元，每天銷量增加20個．現商家決定降價銷售，設每天銷售量為個，銷售單價為元，商家每天銷售紀念品獲得的利潤元，則下列等式正確的是　　
A． B．
C． D．
2.某特許零售店“冰墩墩”的銷售日益火爆，每個紀念品進價40元，銷售期間發現，當銷售單價定為44元時，每天可售出300個；銷售單價每上漲1元，每天銷量減少10個．現商家決定提價銷售，設每天銷售量為個，銷售單價為元，商家每天銷售紀念品獲得的利潤元，則下列等式正確的是　　
A． B．
C． D．
3.某農戶要改造部分農田種植蔬菜，經調查，平均每畝改造費用是900元，添加輔助設備費用（元與改造面積（畝的平方成正比，比例系數為18，每畝種植蔬菜還需種子、人工費用600元，若每畝蔬菜年銷售額為7000元，設改造農田畝，改造當年收益為元，則與之間的數量關系可列式為　　
A． B．
C． D．
4.據省統計局公布的數據，合肥市2021年第一季度總值約為2.4千億元人民幣，若我市第三季度總值為千億元人民幣，平均每個季度增長的百分率為，則關于的函數表達式是　　
A． B．
C． D．
5.某暢銷書的售價為每本30元，每星期可賣出200本，書城準備開展“讀書節活動”，決定降價促銷．經調研，如果調整書籍的售價，每降價2元，每星期可多賣出40本．設每件商品降價元后，每星期售出此暢銷書的總銷售額為元，則與之間的函數關系為　　
A． B．
C． D．
二次函數的應用
（2024·河北省邯鄲·中考真題）如圖，壯壯同學投擲實心球，出手點處的高度是，出手后實心球沿一段拋物線運行，到達最高點時，水平距離是，高度是若實心球落地點為，則 ______
1.如圖1是太原晉陽湖公園一座拋物線型拱橋，按如圖所示建立坐標系，得到函數，在正常水位時水面寬米，當水位上升5米時，則水面寬CD=（ ）
A．20米 B．15米 C．10米 D．8米
2.已知實心球運動的高度與水平距離之間的函數關系是，則該同學此次投擲實心球的成績是　　
A． B． C． D．
3.西安大雁塔音樂噴泉是西安的一張名片，許多人慕名前往．若其中一組噴泉水型可近似看成拋物線族，如圖建立坐標系后，可由函數確定，其中為實數．若其中某個噴泉水柱的最大高度是4，則此時對應的值為　　
A．2 B．4 C．2或 D．4或
4.如圖，不考慮空氣阻力，以一定的速度將小球沿斜上方擊出時，小球飛行的高度是飛行時間的二次函數．現以相同的初速度沿相同的方向每隔t秒依次擊出三個質地一樣的小球，小球在各自擊出后2秒到達相同的最大飛行高度，若整個過程中，保持空中始終有1或2個小球（不考慮小球落地后再彈起），則t的取值范圍是（　　）
A．0＜t＜2 B．2≤t＜4 C．1≤t＜3 D．3≤t＜5
5.如圖（1）是一個橫斷面為拋物線形狀的拱橋，當水面在時，拱頂（拱橋洞的最高點）離水面，水面寬．如圖（2）建立平面直角坐標系，則拋物線的解析式是　　
A． B． C． D．
二次函數綜合題
（2024·陜西·中考真題）一條河上橫跨著一座宏偉壯觀的懸索橋橋梁的纜索與纜索均呈拋物線型，橋塔與橋塔均垂直于橋面，如圖所示，以為原點，以直線為軸，以橋塔所在直線為軸，建立平而直角坐標系．
已知：纜索所在拋物線與纜索所在拋物線關于軸對稱，橋塔與橋塔之間的距離，，纜索的最低點到的距離橋塔的粗細忽略不計
求纜索所在拋物線的函數表達式；
點在纜索上，，且，，求的長．
1.已知，如圖，拋物線與軸交于、兩點，與軸交于點，，，點為軸下方的拋物線上一點．
（1）求拋物線的函數表達式；
（2）連接、，求四邊形面積的最大值；
（3）是否存在這樣的點，使得點到和兩邊的距離相等，若存在，請求出點的坐標；若不存在，請說明理由．
2.已知拋物線．
（1）求該拋物線的頂點坐標（用含的式子表示）；
（2）當時，拋物線上有兩點，，若時，直接寫出的取值范圍；
（3）若，，都在拋物線上，是否存在實數，使得恒成立？若存在，求出的取值范圍；若不存在，請說明理由．
3.如圖，已知拋物線與軸交于，兩點（點在點的左側），與軸交于點．
（1）求拋物線的解析式；
（2）點是第一象限內拋物線上的一個動點（與點，不重合），過點作軸于點，交直線于點，連接，直線能否把分成面積之比為的兩部分？若能，請求出點的坐標；若不能，請說明理由．
（3）若為拋物線對稱軸上一動點，使得為直角三角形，請直接寫出點的坐標．
4.如圖，已知拋物線與軸交于，兩點（點在點的左側），與軸交于點．
（1）求拋物線的解析式；
（2）若為拋物線對稱軸上一動點，使得為直角三角形，請求出點的坐標．
（3）如圖1，為直線上方的拋物線上一點，軸交于點，過點作于點．設，求的最大值及此時點坐標．
5.平面直角坐標系中，拋物線與軸交于，兩點，與軸交于點．
（1）求拋物線的解析式，并直接寫出點，的坐標；
（2）在拋物線的對稱軸上是否存在點，使是直角三角形？若存在，請直接寫出點的坐標，若不存在，請說明理由；
（3）如圖，點是直線上的一個動點，連接，，是否存在點使最小，若存在，請求出點的坐標，若不存在，請說明理由．

展開更多......

收起↑