資源簡介

圖形的旋轉
一、課標要求
2022版新課程標準對本章的要求是：
（1）通過具體實例認識平面圖形關于旋轉中心的旋轉.
（2）探究它的性質：一個圖形和它經過旋轉所得的圖形中，對應點到旋轉中心的距離相等，兩組對應點分別與旋轉中心連線所成的角相等.
（3）能利用軸對稱、平移、旋轉進行圖案設計.
二、內容分析
本節課內容：圖形旋轉的第一課時
從初中數學課程整體來看：初中數學共有四個板塊的課程內容：“數與代數”“圖形與幾何”“統計與概率”“綜合與實踐”.其中旋轉是學習軸對稱、平移后的又一圖形變化，圖形變化是“圖形與幾何”板塊的重要內容.初中階段要學習的圖形變化有：軸對稱、平移、旋轉、中心對稱、相似。因此旋轉在整個學科體系中有著承上啟下的作用，平移軸對稱的學習為旋轉提供了研究思路，旋轉為中心對稱、相似的學習奠定了基礎，為解題提供了線段、角的等量關系.
從本章內容來看：旋轉的概念與性質是核心知識，為后續作圖奠定基礎.
核心素養：本節也是培養學生“幾何直觀”、“數學抽象”、“推理能力”、“應用意識”的良好素材.
學情分析
學生情況：本班學生基礎較好，思維能力較強，學習習慣很好.
認知基礎：小學三年級已經初步感知了旋轉現象，能夠辨別哪些運動是旋轉。小學六年級借助鐘表，對旋轉有了更深入的學習，能夠在網格中進行簡單圖形的旋轉作圖。但對旋轉的知識只停留在直觀感知階段，七年級軸對稱、八年級平移的學習，讓學生從直觀感知過渡到了數學抽象，為旋轉的學習積累了活動經驗.
（3）認知阻礙：學生雖有了平移軸對稱的學習經驗，但是對旋轉的認識還停留在直觀感知上，不易抽象出旋轉的共同特征，不易發現旋轉的本質.旋轉前后圖形全等這一性質容易發現，但是不易想到連接對應點與旋轉中心，連接后不易發現其數量和位置特征。需要在教師的引導和啟發下才能完成。
四、教學目標
1.結合具體情景感受旋轉與生活息息相關，能抽象得出旋轉的概念，理解旋轉三要素，會找旋轉角.
2.經歷“類比—觀察—猜想—驗證—解釋（證明）”活動過程，探究并掌握旋轉的性質.領悟研究圖形運動的一般思路，滲透類比和化歸思想，發展學生的數學抽象能力.
3.通過欣賞旋轉在生活中的例子，感受數學來源于生活，應用于生活.發展應用意識、創新意識，提升審美能力.
五、教學重難點
1.課時教學重點：旋轉概念的理解，旋轉性質的探究；
2.課時教學難點：旋轉角的識別和旋轉局部性質的探究
六、教學過程
（一）情境引入，感知激趣
播放“風動力雕塑”藝術作品，視頻中的作品能隨風而動，主要是在設計中添加了哪種圖形運動？引入旋轉課題，旋轉現象在生活中隨處可見，出示圖片：風車、雨刮器、蕩秋千、摩天輪、方向盤等.
問題1：你還能列舉出其它類似的例子嗎？（學生回答）
旋轉和我們的生活息息相關，我們把這些圖形抽象成平面圖形，就成了我們今天要研究的數學中的旋轉變換.（板書課題）
問題2：前面我們學習了哪兩種圖形變換？（軸對稱和平移，板書導圖）
回憶研究平移軸對稱的研究思路,類比這樣的研究思路學習旋轉，感受了大量旋轉例子以后，抽象共性，得到概念，探究性質，利用性質作圖，最后研究坐標變換.今天研究旋轉的概念和性質.
教學說明：視頻引入旋轉設計吸引學生興趣，感受旋轉與生活息息相關.回憶軸對稱和平移的研究思路，類比學習旋轉，形成系統的學習體系。
（二）抽象共性，形成概念
1.蕩秋千的人——點的旋轉。（呈現抽象后的動圖，圍繞三要素提問）
追問1：你能描述下點A是怎么運動的嗎？（學生回答）
追問2：A點運動的整個過程中哪個點沒有動？
追問3：點A轉動的角是哪個角？
追問4：點A的運動軌跡是什么？
設計意圖：圖形是由點線面構成的，圖形運動的本質是點的運動，弄清楚點的旋轉特征，才能更好的理解面的旋轉。以問題串的形式啟發學生感受旋轉運動的特征，追問4為后續研究性質埋下伏筆。
2.雨刮器——線段的旋轉
追問1：線段AB在運動的整個過程中，有不動的點嗎？（學生回答）
追問2：請你描述線段AB是怎樣運動的？
追問3：它的端點和線段的運動方式一樣嗎？
追問4：點A、B分別運動到哪兒了？
設計意圖：抓住運動過程中的不動點，學生易抽象出旋轉運動的特征，同時啟發學生感受線段的運動本質還是點的運動，為后續找旋轉角和性質探究奠定基礎。
3.風車的一片扇葉——面的旋轉
追問1：四邊形是怎樣運動的？整個過程中有不動的點嗎？（學生易回答）
追問2：四邊形的邊OA邊的運動方式和四邊形一樣嗎？OA邊運動到哪了？OB邊呢？
設計意圖：面的旋轉本質上是線的旋轉、點的旋轉，經歷觀察、抽象、歸納、總結的思維過程，啟發學生從大量的例子中抽象出旋轉的共同特征、本質屬性。從點線面的模型角度出發，從易到難，學生更易發現旋轉運動的本質和特征，為后續得到旋轉概念奠定基礎.
學生活動：經歷觀察、抽象、歸納、總結的思維過程，問題串采用齊答與抽問相結合.
4.抽象共性，得到概念
提問：點、線、面的旋轉模型有何共同之處？（要素？）旋轉的基本概念是什么？
學生活動：學生思考討論，抽問學生回答，類比平移得出旋轉的概念.
（三）挖掘內涵，深化概念
在平面內，將一個圖形，繞平面內一個定點，按某個方向，轉動一個角度，這樣的圖形運動稱為旋轉。這個定點叫旋轉中心，轉動的角叫旋轉角.
活動一：感受旋轉.將30°的三角板放在白紙上，描出三角形的輪廓，記作△ABC。將三角板繞著直角頂點B旋轉30°，描出旋轉后的圖形，記作△A'BC'.完成作圖思考以下問題：
（1）對應點、對應邊、對應角？
（2）轉動的角是哪個角？
（3）要使旋轉后圖形的位置唯一確定，需要知道哪些要素？
學生活動：學生小組合作，動手感受旋轉，一組同學上黑板展示.
設計意圖：通過動手操作，具體感知旋轉、旋轉角、對應元素。同時提問繞直角頂點旋轉30°的圖形唯一嗎？從而得出旋轉三要素.
理解概念,突破難點
①點A繞O點沿順時鐘方向轉動一定的角度得到點A’
旋轉角: _______
②線段AB繞O點，沿逆時針方向轉動一定的角度得到線段DE
追問:如何找旋轉角？
③四邊形OACB繞O點，沿順時鐘方向轉動一定的角度得到四邊形ODFE
設計意圖：從實際例子感知——具體操作感知，旋轉中心、旋轉方向學生易得到，但是旋轉角的識別有一定難度，在操作感知的基礎上，進一步識別旋轉角，突破教學難點.
（五）小組合作、探究性質
活動二：小組合作，探究性質.
第一步：將紙板放在A4紙上，描出紙板上的三角形，記作△ABC。
第二步：自定旋轉中心O,用圓規固定紙板.
第三步：將紙板旋轉一定的角度，描出旋轉后的圖形，記作△A'B'C'。時間1分鐘.（播放操作示范視頻，讓活動更規范）
學生活動：學生小組合作、完成以上活動.
問題1：通過剛剛的操作，你發現運動前后的圖形改變的是什么？不變的是什么？（學生回答，位置，形狀大小）
總結性質1，旋轉前后的圖形全等，這一性質和軸對稱平移類似，三大變換稱為全等變換，板書流程框圖.
問題2：運動前后圖形全等是圖形整體方面的性質，那旋轉前后的圖形還有其他的性質嗎？接下來我們又該如何進一步去探究旋轉的性質？
設計意圖：全等這一性質很好得出，但如何進一步研究旋轉性質，學生會遇到障礙，為什么要連接旋轉中心，這里是思維的增值點，也是難點.
問題3：軸對稱和平移的性質是什么？我們是如何研究的？（帶著學生回憶）
對應點所連線段被對稱軸垂直平分 對應點所連線段平行（或在一條直線上）且相等
問題4：研究軸對稱和平移的性質關鍵是在研究什么？（對應點，數量、位置關系，不變性）
學生活動：在引導下，學生容易想到兩種思路：思路一：連接對應點與旋轉中心。思路二：連接對應點。根據學生的情況適當調整教學.
設計意圖：類比軸對稱、平移的性質，發現研究圖形運動性質的一般思路及關鍵。引導學生找到研究旋轉局部性質的突破口——對應點.是連接對應點還是旋轉中心，學生又會遇到思維障礙。課標對對應點連線過旋轉中心這一性質沒有要求，因此可以作為思考和拓展作業.
問題5：連接對應點與旋轉中心后，你發現了什么？你如何驗證下呢？
學生活動：小組合作，測量驗證猜想.
幾何畫板動態演示驗證這一性質.如圖1
問題6：你能用文字描述這一性質嗎？
問題7：你能結合點的運動軌跡理論說明為什么他們相等嗎？
（學生回答，軌跡是圓，幾何畫板驗證。如圖2）
問題8：三角形中除了三組頂點外，還有其他的對應點，AC的中點P，運動后在哪兒？這一組對應點也滿足這樣的性質嗎？（學生回答，軌跡依舊是圓.如圖3）
問題9：其他對應點呢？因此性質2要如何完善？
（歸納完善總結得到性質2：任意一組對應點到旋轉中心的距離相等。）
問題10：連接后除了線段的數量關系，你還有其他的發現嗎？可以從旋轉的三要素出發？（學生容易想到旋轉角，前面有鋪墊)
設計意圖：在前面旋轉角的識別中，學生容易發現角度的特征，引導學生量一量驗證猜想，如何用幾何畫板演示驗證，如圖4.
總結性質3：任意一組對應點與旋轉中心所連線段的夾角都相等，都等于旋轉角.
問題11：以上性質對所有平面圖形的旋轉都適用嗎？（幾何畫板驗證，改變三要素，改變圖形形狀）
總結三條性質。
（六）回顧梳理、構建網絡
我這節課你收獲了什么？引導學生從知識方法、數學思想等方面總結。
（七）應用性質、學科育人
安東尼豪利用旋轉設計出了極具動態美的圖形，旋轉經常會應用到設計領域。旋轉讓靜態的圖案有了動態美，例如：
此外，旋轉還能豐富作品的含義，給設計師帶來一些靈感。例如小米手機的logo，正面看是mi，旋轉180度后，“心”少了一點，設計師想傳達“用小米的手機會讓客戶更省心”。他們用旋轉，創造出了舉世之作，那你將用旋轉創造出什么與眾不同的作品呢？我，我們期待著……
設計意圖：首尾呼應，感受旋轉在生活中的應用，發展學生的應用意識，符合2022版新課標的要求。
七、布置作業
（一）基礎性作業：
1.下列關于旋轉和平移的說法中正確的是 （ ）
A．旋轉使圖形的形狀發生改變 B．由旋轉得到的圖形一定可以通過平移得
C．對應點到旋轉中心距離相等 D．平移與旋轉都可改變圖形的位置和大小
2.如圖，將 繞點 旋轉到 時，一定與 相等的角是 ．
3.如圖， 繞點 逆時針旋轉 得到 ，若 ，，則 的度數是多少
4.如圖，在 中，，，．
(1)以點 為旋轉中心，將 沿逆時針方向旋轉 得到 ，請畫出變換后的圖形；
(2)求點 和點 之間的距離．
5.（旋轉60°）如圖，△ABC是等邊三角形，P是三角形內的一點，△ABP經過旋轉至△ABP′，其中AP=4,BP=3。
（1） 點A,B,P的對應點是？ 旋轉中心是？旋轉方向是？旋轉角度是？旋轉角是？
求AP′,CP′
連接PP′,判斷△APP′的形狀，并求PP′求PP′
連接PP′,若∠AP′C=150°,則PP′與CP′有何位置關系
連接PP′，PC ,若PC=5,你發現了什么？，∠APB的度數是多少？
（二）發展性作業
（旋轉90°） 如圖，點E是正方形ABCD內一點，連接AE、BE、CE，將△ABE繞點B順時針旋轉90°到△CBE′的位置，若AE＝1，BE＝2，CE＝3 則∠BE′C＝________度．
設計意圖：作業設計兼顧學科素養和知識技能，利用旋轉形成簡單的圖案，發展學生應用意識，同時分層布置作業，題目有生長性，層次性，關聯性，符合當下雙減背景，且使得每個學生都能得到最大的收獲和進步。
八、板書設計
九、教學思考
圖形的旋轉是在已經學習了軸對稱和平移的情況下開展學習，因此為本節課奠定了“類比”基調，同時也降低學生的思維難度，通過本節課的學習，一方面要達到學生知識層面的進步，同時在思維層面上，會更加系統的認識圖形運動的研究的一般的思路，更加深刻的體會圖形運動的性質就是研究運動前后的不變性。

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