資源簡介

第一節(jié) 冪的乘除（第4課時）
教學設計
一、教學內容和內容解析
（一）教學內容
教材第6～8頁，冪的乘除（4）
（二）教學內容解析
同底數(shù)冪的除法和零指數(shù)冪的內容占據(jù)著關鍵地位。這部分內容不僅是對冪運算知識體系的進一步完善，更是后續(xù)學習整式除法以及其他代數(shù)知識的重要基石。
從教材編排來看，在七年級上冊學生已經學習了有理數(shù)及其運算、整式及其加減 ，初步建立了數(shù)與式的概念和運算基礎。在本章前面，又依次學習了同底數(shù)冪的乘法、冪的乘方、積的乘方，這些內容為同底數(shù)冪的除法做了充分的知識鋪墊。同底數(shù)冪的除法與前面三種冪的運算有著緊密聯(lián)系，它們都圍繞著冪的意義展開，但同底數(shù)冪的除法是在乘法的基礎上進行逆向運算，這種從乘法到除法的轉變，有助于學生深化對冪運算的理解，體會數(shù)學運算的互逆性。
重點在于讓學生熟練掌握同底數(shù)冪的除法法則并能準確運用，理解零指數(shù)冪的意義；教學難點則是如何引導學生深入理解同底數(shù)冪除法法則的推導過程，以及零指數(shù)冪規(guī)定的合理性。在教學過程中，教師應注重引導學生通過自主探究、合作交流等方式，經歷法則的探索和歸納過程，培養(yǎng)學生的邏輯思維能力和推理能力。同時，結合大量的實際問題，讓學生在解決問題的過程中體會同底數(shù)冪的除法和零指數(shù)冪在實際生活中的應用價值，提高學生學習數(shù)學的興趣和積極性。
二、課程標準內容要求
理解概念：學生要了解同底數(shù)冪的除法運算性質，理解零指數(shù)冪的意義，知道任何不等于零的數(shù)的零次冪都等于 1，即a0=1(a≠0）。
掌握法則：掌握同底數(shù)冪的除法法則，即am ÷an=am - n(a≠0)，(m，n都是正整數(shù)，且m＞n）)，并能運用該法則進行準確運算。
簡單運算：能熟練運用同底數(shù)冪的除法和零指數(shù)冪的運算法則，進行簡單的整式除法運算，解決與之相關的數(shù)學問題。
三、教學目標和目標解析
（一）教學目標
1. 數(shù)學抽象
能夠從具體的數(shù)字運算實例中，抽象出同底數(shù)冪的除法運算形式，培養(yǎng)學生從特殊到一般的抽象思維能力。
對于零指數(shù)冪，能從同底數(shù)冪除法的運算規(guī)律中，抽象出當m = n時，am÷an = a0（a≠0）的概念，理解零指數(shù)冪的意義是一種數(shù)學規(guī)定，體會數(shù)學抽象在數(shù)學概念形成中的作用。
2. 邏輯推理
依據(jù)同底數(shù)冪乘法的運算法則以及除法是乘法的逆運算，推導同底數(shù)冪的除法法則，即am ÷an=am - n(a≠0)，(m，n都是正整數(shù)，且m＞n）)，培養(yǎng)學生的邏輯推理能力，讓學生理解數(shù)學知識之間的內在聯(lián)系和邏輯關系。
在探究零指數(shù)冪的過程中，通過對同底數(shù)冪除法法則適用范圍的拓展討論，如當被除數(shù)和除數(shù)指數(shù)相等時的情況分析，培養(yǎng)學生嚴謹?shù)倪壿嬎季S，能夠有條理地進行思考和推理。
3. 數(shù)學運算
熟練運用同底數(shù)冪的除法法則進行簡單的整式除法運算，提高學生的運算能力，要求學生能準確計算，注意運算符號和指數(shù)的變化。
掌握零指數(shù)冪的運算，能正確計算底數(shù)不為零的零指數(shù)冪的值，理解零指數(shù)冪在數(shù)學運算中的特殊性質，避免出現(xiàn)錯誤運算。
4.直觀想象
在講解同底數(shù)冪的除法法則以及零指數(shù)冪 時，可以借助圖形面積的變化來直觀呈現(xiàn)。
5. 數(shù)學建模
引導學生運用同底數(shù)冪的除法和零指數(shù)冪的知識解決實際生活中的數(shù)學問題，如在科學記數(shù)法中，當表示較小的數(shù)時，會用到負指數(shù)冪和零指數(shù)冪的相關知識，通過建立數(shù)學模型，將實際問題轉化為數(shù)學問題，培養(yǎng)學生的數(shù)學應用意識和建模能力。
在解決一些涉及數(shù)量變化比例的問題時，可利用同底數(shù)冪的除法來構建數(shù)學模型，分析數(shù)量之間的關系，如細胞分裂、人口增長等問題經過簡化后可用相關知識建模求解 。
（二）目標解析
《義務教育數(shù)學課程標準（2022年版）》中明確指出：
目標1的要求是：在同底數(shù)冪的除法運算性質探索過程中，學生需要從具體的數(shù)字運算，如1012÷109 ，逐步抽象出一般的數(shù)學表達式am ÷an=am - n(a≠0)，(m，n都是正整數(shù)，且m＞n）) 。這要求學生觀察、分析不同底數(shù)和指數(shù)的冪相除的實例，忽略具體數(shù)字的特殊性，提取出共同的運算規(guī)律，從而培養(yǎng)學生從特殊到一般的數(shù)學抽象能力。同時，在理解零指數(shù)冪的意義時，學生要從同底數(shù)冪除法法則出發(fā)，當m = n時，am÷an = a0（a≠0），進而抽象出任何不等于零的數(shù)的零次冪都等于 1,a0=1(a≠0）這一概念，鍛煉了概括數(shù)學概念的能力。
目標2的要求是：在推導同底數(shù)冪除法法則以及理解零指數(shù)冪的規(guī)定時，蘊含著嚴密的邏輯推理過程。學生需要依據(jù)冪的定義、乘法運算與除法運算的關系等已有知識，通過一步步的推理得出同底數(shù)冪除法的運算性質。推導過程培養(yǎng)了學生的演繹推理能力。而在探討零指數(shù)冪的意義時，通過對同底數(shù)冪除法法則的拓展和延伸，思考當指數(shù)相等時的情況，培養(yǎng)了學生的類比推理和邏輯拓展能力。
目標3的要求是：同底數(shù)冪的除法和零指數(shù)冪為學生提供了新的運算規(guī)則和對象，學生需要熟練掌握同底數(shù)冪除法的運算方法，準確運用法則進行計算，提升運算的準確性和速度。同時，對于零指數(shù)冪的運算，以及進行相關的混合運算，進一步鞏固了學生對特殊指數(shù)冪運算的理解和運用能力，強化了整體的數(shù)學運算素養(yǎng)。
目標4的要求是：可以通過構建幾何圖形來直觀展示同底數(shù)冪的除法。例如，以邊長為am和an（m>n））的正方形面積來表示a2m和a2n，通過比較兩個正方形的大小關系以及它們之間的倍數(shù)關系，讓學生直觀地看到同底數(shù)冪相除時，底數(shù)不變，指數(shù)相減這一法則的合理性。這樣的圖形展示能夠幫助學生將抽象的數(shù)學符號與具體的幾何圖形建立聯(lián)系，從而更好地理解同底數(shù)冪的除法運算。通過具體的實例，如23÷23，從同底數(shù)冪的除法法則可知結果為23 - 3=20，同時從實際計算23÷23 = 1，由此得出20 = 1。利用這樣的具體計算過程，讓學生直觀地理解零指數(shù)冪的定義，從特殊情況推廣到一般情況，降低學生對零指數(shù)冪這一抽象概念的理解難度。
目標5的要求是：通過實際問題引入同底數(shù)冪的除法，讓學生學會將實際生活中的問題轉化為數(shù)學模型，運用同底數(shù)冪的除法知識解決問題，培養(yǎng)學生的數(shù)學建模能力。在解決這類問題的過程中，學生體會到數(shù)學在實際生活中的應用價值，增強了用數(shù)學的眼光觀察世界、用數(shù)學的思維分析世界、用數(shù)學的語言表達世界的意識。
四、學生學情分析
學生基礎情況
1.知識掌握：
學生在前面已經學習了有理數(shù)的運算，包括加、減、乘、除、乘方運算等，對數(shù)字的運算規(guī)則和運算律有了一定的掌握，這為學習同底數(shù)冪的除法和零指數(shù)冪的運算奠定了運算基礎。
學生已經學習了同底數(shù)冪的乘法法則，冪的乘方法則以及積的乘方法則，對冪的概念和整式乘法運算有了一定的認識，這有助于他們理解同底數(shù)冪的除法法則的推導過程。
2.技能水平：
經過前期數(shù)學學習，學生已經具備了一定的觀察、分析和歸納能力，能夠通過對一些具體的同底數(shù)冪除法運算的例子進行觀察和計算，嘗試歸納出同底數(shù)冪的除法法則。
學生在學習整式乘法的過程中，已經初步掌握了從特殊到一般的數(shù)學思維方法，在探究同底數(shù)冪的除法法則時，可以利用這種思維方法進行自主探究和學習。
學生學習難點
1.理解運算法則的本質
學生可能只是機械地記憶同底數(shù)冪的除法法則，而不理解其本質是基于乘法和除法的互逆關系以及同底數(shù)冪乘法法則推導而來的，從而難以真正掌握法則的內涵。
理解零指數(shù)冪的規(guī)定
零指數(shù)冪的規(guī)定比較抽象，學生難以理解為什么非零數(shù)的零次冪等于1。從同底數(shù)冪的除法法則角度來看，當m = n時，am÷an = a0（a≠0），但學生可能不理解這種從一般到特殊的推導過程，只是死記硬背結論，導致在應用時容易出錯或不理解其適用條件。
零指數(shù)冪的底數(shù)限制
學生容易忽略零指數(shù)冪中底數(shù)a≠0這個條件。在實際運算中，可能會出現(xiàn)像00這樣的錯誤，或者在化簡含有字母的零指數(shù)冪時，沒有考慮字母取值不能使底數(shù)為0的情況。例如，對于(x - 1)0，學生可能沒有意識到當x = 1時，這個式子是無意義的。
學生學習需求
1.理解概念
學生需要理解同底數(shù)冪的除法法則的推導過程，明白為什么同底數(shù)冪相除，底數(shù)不變，指數(shù)相減。
要理解零指數(shù)冪的意義，知道為什么規(guī)定a0=1(a≠0），明白這是為了使同底數(shù)冪的除法法則在m = n時也能適用。
2.掌握運算
學生要能夠熟練運用同底數(shù)冪的除法法則進行簡單的整式除法運算，包括底數(shù)是具體數(shù)字和字母的情況。
能夠正確計算涉及零指數(shù)冪的式子，并且能在混合運算中準確處理零指數(shù)冪。
3.法則拓展
學生應掌握同底數(shù)冪除法法則的逆用，能利用這一逆運算進行一些化簡和求值問題。對于底數(shù)為負數(shù)或分數(shù)等較為復雜的情況，也能準確運用法則進行計算。
五、教學策略分析
講授法：在講解同底數(shù)冪除法法則的基本概念、公式推導時，運用講授法，清晰準確地向學生傳授知識，確保學生掌握關鍵知識點。
探究法：組織學生分組探究同底數(shù)冪除法法則的推導過程，以及零指數(shù)冪的定義由來，讓學生在自主探索中理解知識的本質。
練習法：安排大量針對性練習題，讓學生在練習中鞏固同底數(shù)冪除法運算和零指數(shù)冪的計算，及時發(fā)現(xiàn)并解決問題。
六、教學重難點
（一）重點：同底數(shù)冪的除法運算性質及其應用。
（二）難點：零指數(shù)冪和負整數(shù)指數(shù)冪意義的理解。
七、教學過程
教學流程
活動一：舊知回顧，問題導入
【問題引入】
一種液體每升含有1012個有害細菌．為了試驗某種滅菌劑的效果，科學家進行了實驗，發(fā)現(xiàn)1滴滅菌劑可以殺死109個有害細菌．要將1 L液體中的有害細菌全部殺死，需要這種滅菌劑多少滴？你是怎樣計算的？
展示算法：①1012÷109＝＝＝10×10×10＝1 000(滴)；
②1012÷109＝(109×103)÷109＝＝103＝1 000(滴).
1012÷109這個算式中，1012與109是同底數(shù)冪，這節(jié)課我們來學習同底數(shù)冪的除法運算．
揭示課題：同底數(shù)冪的除法運算．
設計意圖：利用真實情境，引出同底數(shù)冪的除法運算，自然引出新課。
活動二：交流合作，探究新知
探究點1 同底數(shù)冪的除法
用你熟悉的方法計算，并說明理由．
(1)25÷23；(2)107÷103；(3)a7÷a3.
解：(1)25÷23＝＝22；
(2)107÷103＝＝10 000＝104；
(3)a7÷a3＝＝a4.
總結：我們利用冪的意義，得到：
(1)25÷23＝22＝25-3；
(2)107÷103＝104＝107-3；
(3)a7÷a3＝a4＝a7-3.
am÷an＝＝＝am－n.
師生共同歸納：同底數(shù)冪的除法法則：
同底數(shù)冪相除，底數(shù)不變，指數(shù)相減．
即am÷an＝am－n(a≠0，m，n都是正整數(shù)，且m＞n)．
探究點2 零指數(shù)冪的運算
＝__1__，32÷32＝32-2＝30；
＝__1__，53÷53＝53-3＝50；
＝__1__，104÷104＝104-4＝100.
思考：、32÷32這兩個式子的意義是否一樣，結果應有什么關系？＝32÷32＝30，同樣，＝104÷104＝100.
師生共同歸納：當m＝n時，我們可以類似地得到
a0＝am÷an＝＝1(a≠0，m，n都是正整數(shù))．
探究點3 負整數(shù)指數(shù)冪的意義
＝32-3＝3-1＝；
＝53-5＝5-2＝；
＝104-7＝10-3＝.
當m＜n時，先設p＝n－m，那么m－n＝－p，也可以類似地得到
a－p＝am－n＝am÷an＝＝＝＝(a≠0，p為正整數(shù))．
師生共同歸納：字母表示為a－p＝(a≠0，p是正整數(shù))．
設計意圖：讓學生經歷同底數(shù)冪的除法法則及零指數(shù)冪負指數(shù)冪計算法則的推導過程，理解算力，培養(yǎng)推理能力和運算能力。
活動三：變式訓練，鞏固提升
例1 計算：
(1)a7÷a4; (2)(－x)6÷(－x)3；
(3)(xy)4÷(xy); (4)b2m+2÷b2；
(5)(x－y)9÷(x－y)3.
【方法指導】直接運用同底數(shù)冪的除法計算．
解：(1)原式＝a7-4＝a3；
(2)原式＝(－x)6-3＝－x3；
(3)原式＝(xy)4-1＝(xy)3＝x3y3；
(4)原式＝b2m+2-2＝b2m；
(5)原式＝(x－y)9-3＝(x－y)6.
例2 用小數(shù)或分數(shù)分別表示下列各數(shù)：
(1)10-3；(2)70×8-2；(3)1.6×10-4.
【方法指導】運用零指數(shù)冪和負整數(shù)指數(shù)冪的意義計算．
解：(1)原式＝＝0.001；
(2)原式＝1×＝；
(3)原式＝1.6×＝1.6×0.000 1＝0.000 16.
例3 聲音的強弱用分貝表示，通常人們講話時的聲音是50分貝，它表示聲音的強度是105，汽車的聲音是100分貝，表示聲音的強度是1010，噴氣式飛機的聲音是150分貝，求：
(1)汽車聲音的強度是人聲音的強度的多少倍？
(2)噴氣式飛機聲音的強度是汽車聲音的強度的多少倍？
【方法指導】(1)用汽車聲音的強度除以人聲音的強度，再利用“同底數(shù)冪相除，底數(shù)不變，指數(shù)相減”計算；(2)將噴氣式飛機聲音的分貝數(shù)轉化為聲音的強度，再除以汽車聲音的強度即可得到答案．
解：(1)因為1010÷105＝1010-5＝105，所以汽車聲音的強度是人聲音的強度的105倍；
(2)因為人的聲音是50分貝，其聲音的強度是105，汽車的聲音是100分貝，其聲音的強度為1010，所以噴氣式飛機的聲音是150分貝，其聲音的強度為1015，所以1015÷1010＝1015-10＝105，所以噴氣式飛機聲音的強度是汽車聲音的強度的105倍．
設計意圖:鞏固對同底數(shù)冪的除法法則及零指數(shù)冪負指數(shù)冪的理解，并加強公式的運用。
活動四：隨堂訓練，課堂總結
【隨堂訓練】
1．填空：(1)a4÷a＝__a3__；
(2)(－x7)÷(－x)2＝__－x5__；
(3)y16÷__y5__＝y(tǒng)11；
(4)(x－y)6÷(x－y)2＝__(x－y)4__．
2．用小數(shù)、分數(shù)或整數(shù)表示下列各數(shù)：
(1)； (2)(－4)-2；
(3)3.5×10-4; (4)6-3.
解：(1)1；(2)；(3)0.000 35；(4).
3．若32×92a+1÷27a+1＝81，則a的值為__3__．
4．若3x＝a，3y＝b，求32x－y的值．
解：32x－y＝＝＝.
5．課本P8隨堂練習第1題。
【課堂總結】師生一起回顧本節(jié)課所學主要內容，并請學生回答以下問題：
1.這節(jié)課你學到了哪些知識？
2．現(xiàn)在你一共學習了哪幾種冪的運算？它們有什么聯(lián)系與區(qū)別？談談你的理解。
【知識結構】
【作業(yè)布置】
1.教材P9-10習題1.1第7，8，12題。
2.相應課時訓練。
八、板書設計
第4課時 同底數(shù)冪的除法與負整數(shù)指數(shù)冪
1. 同底數(shù)冪的除法法則：
同底數(shù)冪相除，底數(shù)不變，指數(shù)相減．
即am÷an＝am－n(a≠0，m，n都是正整數(shù)，且m＞n)．
2.零指數(shù)冪： a0＝am÷an＝＝1(a≠0，m，n都是正整數(shù))
3. 負整數(shù)指數(shù)冪：字母表示為a－p＝(a≠0，p是正整數(shù))。
九、教學反思
（一）課前反思
從課程內容來看，冪的乘除、同底數(shù)冪的除法和零指數(shù)冪是整式乘除運算的重要基礎，它們相互關聯(lián)又各有特點。冪的乘除法則的理解與運用是后續(xù)學習的關鍵，同底數(shù)冪的除法法則的推導過程需要引導學生深入探究，而零指數(shù)冪的概念相對抽象，學生理解起來可能存在一定難度。這部分內容邏輯性強，對學生的數(shù)學思維能力要求較高。
考慮到七年級學生的認知水平，他們已經對整式有了初步的認識，具備一定的運算基礎，但對于抽象的數(shù)學概念和復雜的運算法則，理解和掌握起來仍有挑戰(zhàn)。在之前的學習中，學生對具體數(shù)字的運算較為熟悉，而從數(shù)字運算過渡到字母形式的整式運算，需要一個適應過程。同時，學生的自主探究能力和邏輯思維能力正在逐步發(fā)展，在教學中應注重引導學生通過自主思考、小組合作等方式探索知識。
在教學方法上，以往在講解類似抽象概念時，單純的理論講授效果不佳。此次教學計劃采用情境引入法，通過實際生活中的例子引出冪的運算問題，激發(fā)學生的學習興趣。在推導運算法則時，多運用直觀的圖形或實例幫助學生理解，將抽象知識具體化。對于零指數(shù)冪，通過設置疑問，引導學生思考討論，在探究中理解其意義。在課堂練習環(huán)節(jié)，設計有層次的題目，滿足不同層次學生的需求，及時反饋學生的學習情況，以便調整教學進度和方法。
（二）課后反思
從教學目標達成來看，大部分學生能夠理解冪的乘除運算法則，如(am)n = amn ，并能運用該法則進行簡單的計算。在同底數(shù)冪的除法教學中，am÷an = am - n (a≠0) 這一法則，多數(shù)學生也能掌握并應用。然而，對于零指數(shù)冪a0 = 1 (a≠0)的理解，部分學生存在困難，在實際解題中，常忽略底數(shù)不為零的條件。
在教學方法上，我采用了實例引入、小組討論和多媒體演示相結合的方式。通過具體數(shù)字的冪運算實例，幫助學生從特殊到一般歸納出運算法則，小組討論讓學生積極參與，分享思路，多媒體演示則直觀展示冪的變化過程，增強學生的理解。但在小組討論環(huán)節(jié)，部分小組討論效率不高，存在個別學生主導討論，而部分學生參與度低的情況。
學生的課堂表現(xiàn)整體較為積極，但在作業(yè)和小測驗中，暴露出一些問題。比如在混合運算時，運算法則容易混淆，運算順序也會出錯。這表明學生對知識的綜合運用能力還有待提高。

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