資源簡介

第一節 冪的乘除（第3課時）
教學設計
一、教學內容和內容解析
（一）教學內容
教材第5～6頁，冪的乘除（3）
（二）教學內容解析
1.教學重點
積的乘方運算法則的理解和應用。這是本節課的核心內容，學生只有掌握了積的乘方運算法則，才能正確地進行整式的乘除運算，為后續學習多項式乘法等內容奠定基礎。
法則的推導過程。理解法則的推導過程有助于學生深入理解積的乘方的本質，而不僅僅是機械地記憶法則，提高學生的數學思維能力。
2.教學難點
積的乘方運算法則的靈活運用。在實際運算中，學生可能會遇到各種形式的積的乘方問題，如底數是多個因式的積、指數為負數或分數等情況，如何準確、靈活地運用法則進行計算是學生學習的難點。
區別積的乘方與同底數冪的乘法、冪的乘方等運算法則。這幾種運算法則在形式上有一定的相似性，學生容易混淆，需要通過對比分析和大量的練習來幫助學生區分。
3.與前面知識的聯系
積的乘方是在學生學習了同底數冪的乘法、冪的乘方之后進行的。同底數冪的乘法法則和冪的乘方法則為積的乘方運算法則的推導提供了基礎。同時，前面所學的有理數的乘方運算也為積的乘方的引入提供了直觀的例子，幫助學生從具體的數字運算過渡到抽象的字母運算。
4.對后續知識的影響
積的乘方運算法則是整式乘除運算的重要組成部分，它是后續學習單項式乘以單項式、多項式乘以單項式、多項式乘以多項式等內容的基礎。也為學習乘法公式奠定基礎，因為在公式的推導和運用中會涉及到整式的乘方運算。
二、課程標準內容要求
理解法則：學生要理解積的乘方的運算法則，即(ab)n=anbn（m,n為正整數），知道積的乘方等于把積中的每一個因式分別乘方，再把所得的冪相乘，并且能將其推廣到三個或三個以上因式的積的乘方。
掌握運算：能夠熟練運用積的乘方運算法則進行計算，包括底數是具體數字與字母的積、底數是冪與其他因式的積等各種形式的運算。
逆用公式：學會逆用積的乘方公式(ab)n=anbn進行簡便運算或化簡。
三、教學目標和目標解析
（一）教學目標
1. 數學抽象
通過具體的數字運算實例，如(23)2與(2) 3 ，引導學生觀察、分析，歸納出積的乘方的運算法則表達式(ab)n = anb n(m，n為正整數），培養學生從具體到抽象的思維能力，提升數學抽象素養。
2. 邏輯推理
在推導積的乘方運算法則過程中，利用乘方的意義，通過乘法交換律與結合律，得到(ab)n = anb n(m，n為正整數），讓學生經歷從已知條件出發，逐步推導結論的過程，鍛煉邏輯推理能力。
3. 數學運算
學生能夠熟練運用積的乘方運算法則進行整式的乘除運算，提高學生的運算準確性與速度，培養數學運算素養。
4. 直觀想象
通過構建邊長為ab的正方形或棱長為ab的正方體等幾何圖形，從圖形的面積或體積計算出發，直觀感受(ab)n所代表的實際意義，將抽象的積的乘方概念與具體的幾何形象建立聯系，幫助學生理解積的乘方是對積中每個因式分別乘方再相乘這一運算規則。例如，邊長為ab的正方形面積為(ab)2，從圖形上可以分割為a×a與b×b的組合，從而直觀地理解(ab)2=a2b2 。
5. 數學建模
引導學生運用積的乘方知識解決實際生活中的數學問題，如在計算長方體體積V=abc（假設邊長為a、b、c，體積n倍放大等情況）時，建立數學模型，將實際問題轉化為數學運算，增強學生數學建模與應用意識。
（二）目標解析
《義務教育數學課程標準（2022年版）》中明確指出：
目標1的要求是：引導學生從具體的數字運算實例中，如 (2×3) = 2 ×3 ，抽象出積的乘方的一般形式 (ab) = a b 。讓學生經歷從特殊到一般的歸納過程，理解積的乘方的本質，即把積中每個因式分別乘方，再把所得的冪相乘。
目標2的要求是：在推導積的乘方運算法則時，運用乘方的意義和乘法交換律、結合律進行邏輯推導。例如，對于 (ab) ，根據乘方的意義可寫成 n 個 ab 相乘，即 (ab)×(ab)×…×(ab) ，再利用乘法交換律和結合律，將其轉化為 (a×a×…×a)×(b×b×…×b) ，也就是 a b ，從而得出積的乘方運算法則。
目標3的要求是：學生能夠熟練運用積的乘方運算法則進行簡單的冪的運算，如計算 (3x ) ，能正確地將 3 和 x 分別進行立方運算，得到 27x 。同時，能夠解決一些較為復雜的混合運算，如 (-2a b ) ×(3a b) ，先分別運用積的乘方運算法則進行計算，再進行乘法運算。
目標4的要求是：借助圖形來理解積的乘方的概念，如用邊長為 ab 的正方形面積來表示 (ab) ，將其分割為邊長分別為 a 和 b 的小正方形，通過計算小正方形面積之和 a + b ，直觀地理解 (ab) = a b ，從而加深對積的乘方概念的理解。
目標5的要求是：能將實際生活中的問題，如計算正方體體積的變化，建立數學模型，運用積的乘方知識解決問題。假設正方體的棱長變為原來的 n 倍，通過積的乘方運算得出體積變為原來的 n 倍。
四、學生學情分析
學生基礎情況
知識掌握：
有理數運算基礎：學生在小學階段已經熟練掌握了整數、分數的四則運算，在七年級又進一步學習了有理數的加、減、乘、除、乘方運算，這為理解積的乘方運算中涉及的數字計算提供了基礎。
冪的相關知識：在學習積的乘方之前，學生已經學習了同底數冪的乘法、冪的乘方等知識，對冪的概念、底數、指數等有了一定的認識，知道了如何進行同底數冪的乘法運算以及冪的乘方運算，如am ·an=am + n，(am)n=amn，這為積的乘方的學習提供了知識和方法上的鋪墊。
乘法運算律：學生在小學就學習了乘法交換律、結合律等運算律，這些運算律在積的乘方推導過程中會起到重要作用，學生可以利用這些運算律來理解和推導積的乘方公式。
技能水平：
運算能力：通過之前有理數運算和整式加減運算的學習，學生具備了一定的運算能力，但對于積的乘方這種新的運算形式，還需要進一步理解和掌握其運算規則，提高運算的準確性和靈活性。
邏輯思維能力：在學習數學的過程中，學生的邏輯思維能力在不斷發展。在積的乘方的學習中，他們能夠嘗試通過觀察、分析、歸納等方法來探索規律，推導積的乘方公式，但對于較為復雜的邏輯推理和證明，可能還存在一定的困難，需要進一步培養和提高。
符號意識：學生已經初步具備了一定的符號意識，能夠用字母表示數和簡單的數量關系，但在理解和運用符號進行復雜的運算和推理時，可能還會遇到一些困難，需要在積的乘方的學習中進一步強化。
學生學習難點
1.概念理解
積的乘方本質理解困難：積的乘方是指先把積中的每一個乘數分別乘方，再把所得的冪相乘。學生可能難以理解為什么要這樣做以及這種運算規則與之前所學的冪的運算的區別和聯系。
底數的識別問題：當積的形式較為復雜時，學生可能難以準確識別底數。
2.運算規則應用
與其他冪運算規則混淆：學生在學習了同底數冪的乘法、冪的乘方等運算后，容易將積的乘方運算規則與它們混淆。
多重乘方運算的順序：當出現多重乘方運算時，學生可能會不清楚應該先計算哪一層的乘方，容易在運算順序上出現錯誤，導致結果錯誤。
系數的處理：當積中含有系數時，學生可能會忘記對系數進行乘方運算。
3.逆運算運用
逆用規則的意識缺乏：積的乘方的逆運算)在一些化簡和計算中非常有用，但學生往往缺乏逆用規則的意識，習慣于按照從左到右的順序進行運算，不善于觀察式子的特點，靈活地運用逆運算來簡化計算。
逆用條件的判斷：在逆用積的乘方運算時，需要判斷式子是否符合an bn的形式，對于一些變形后的式子，學生可能難以準確判斷是否可以逆用積的乘方規則。
4.實際應用
解決實際問題時建模困難：在實際問題中，需要學生能夠將問題情境轉化為數學模型，運用積的乘方等知識進行求解。但學生可能在理解問題情境、找出數量關系并建立相應的數學模型方面存在困難。例如，在計算一個正方體的邊長擴大n倍后，其體積是原來的多少倍的問題中，學生可能不知道如何運用積的乘方來表示邊長變化后的體積與原來體積的關系。
學生學習需求
1.知識理解需求
理解概念：學生需要理解積的乘方的意義，明白為什么(ab)n = anb n(m，n為正整數），能夠清晰地認識到積的乘方是將積中的每一個因式分別乘方，再把所得的冪相乘。
掌握法則：熟練掌握積的乘方運算法則，能夠準確、快速地運用法則進行計算，包括底數是簡單的數字與字母的積，以及較為復雜的多項式的積的情況。
2.技能掌握需求
學生要具備將積的乘方與同底數冪的乘法、冪的乘方等運算綜合運用的能力，能正確判斷運算順序和運用相應法則，準確進行混合運算，提高運算的速度和準確性。
3.應用與拓展需求
實際應用：學生需要能夠將積的乘方知識應用到實際問題中，解決如科學計數法、物理中的公式推導、幾何圖形的面積體積計算等方面的問題，體會數學與生活的緊密聯系。
拓展延伸：對于學有余力的學生，他們希望能夠進一步拓展知識，了解積的乘方在更高級數學知識中的應用，如在代數運算、方程求解中的作用，以及與其他數學概念的聯系，為后續學習奠定基礎。
六、教學重難點
（一）重點：積的乘方的運算法則及其應用。
（二）難點：正確區分冪的乘方與積的乘方的異同。
七、教學過程
教學流程
活動一：創設情境，新課導入
【情境導入】
1．復習回顧
(1)同底數冪的乘法運算法則是什么？
同底數冪相乘，底數不變，指數相加．即am·an＝am＋n(m，n為正整數)．
(2)冪的乘方的運算法則是什么？
冪的乘方，底數不變，指數相乘．即(am)n＝amn(m，n為正整數)．
2．活動內容(課件)：
(1)地球可以近似地看成球體，地球的半徑約為6×103 km，它的體積大約是多少立方千米？
(2)(6×103)3該如何計算呢？是我們前面所學習過的兩種運算嗎？這種運算有什么特征？
設計意圖：引入積的乘方問題，為探究與積的乘方有關的計算問題做鋪墊。
活動二：交流合作，探究新知
探究點1 積的乘方的運算法則
用冪的意義計算(ab)4.
問題1：請同學們通過計算，觀察積的乘方的結果，你能得出什么結論？
問題2：如果設n為正整數，將上式的指數改成n，即(ab)n，其結果是什么？
師生共同歸納：積的乘方等于每一個因數乘方的積．
(ab)n＝
＝＝anbn.
探究點2 積的乘方的運算法則的探究
(1)計算(3×4)2與32×42，你發現了什么？
(2)猜想：(ab)3與a3b3是什么關系？
(3)思考：積的乘方(ab)n的結果是什么？為什么？
(4)你能用簡潔的語言表達你的發現嗎？
(5)三個或三個以上因數的積的乘方，是否也具有上面的性質？怎樣用公式表示？
師生共同歸納：積的乘方的運算法則也適用于多個因數積的乘方．
探究點3 積的乘方的運算性質的拓展
1．探究(abc)n＝anbncn.
(1)探究(5xy)3的計算方法；
(2)探究計算：(－2xy)4；
(3)(abc)n等于anbncn嗎？
解：(1)(5xy)3＝53·x3·y3＝125x3y3；
(2)(－2xy)4＝(－2)4·x4·y4＝16x4y4；
(3)等于．
師生共同歸納：(abc)n＝anbncn.
2．逆用公式
問題：不使用計算器，你能很快求出下列各式的結果嗎？
(1)23×53；(2)×4100；(3)812×.
解：(1)原式＝(2×5)3＝1 000；
(2)原式＝＝1；
(3)原式＝×＝.
【歸納】可以逆用積的乘方公式進行簡便計算．用字母表示為anbn＝(ab)n.
設計意圖：通過積的乘方的運算法則的推到體驗、總結歸納和實際應用，進一步體驗運算法則在計算中的規律，發展推理能力和運算能力。
活動三：變式訓練，鞏固提升
【例1】計算：
(1)(3x)2；(2)(－2b)5；(3)(3a2)n.
【方法指導】直接運用積的乘方法則進行計算．
解：(1)原式＝32x2＝9x2；
(2)原式＝(－2)5b5＝－32b5；
(3)原式＝3n(a2)n＝3na2n.
【例2】計算：
(1)(－2a2)3·a3＋(－4a)2·a7－(5a3)3；
(2)(－a3b6)2＋(－a2b4)3.
【方法指導】先計算積的乘方，再算乘法，最后算加減．
解：(1)原式＝－8a6·a3＋16a2·a7－125a9
＝－8a9＋16a9－125a9
＝－117a9；
(2)原式＝a6b12－a6b12＝0.
【例3】計算：(1)410×；(2)(0.125)70×872.
【方法指導】an·bn＝(ab)n的靈活運用．
解：(1)410×＝＝1；
(2)(0.125)70×872＝×82＝64.
設計意圖:使學生經歷應用積的乘方的運算法則的過程，鞏固本節課所學。
活動四：隨堂訓練，課堂總結
【隨堂訓練】
1．計算(－2x3)2的結果是(D)
A．－2x5 B．－4x6 C．－2x6 D．4x6
2．下列計算正確的是(C)
A．a3·a2＝a6 B．a2＋a4＝2a2 C．(a3)2＝a6 D．(3a)2＝a6
3．計算：
(1)(－4ab)3; (2)(－xmy3m)4；
(3)(－2×104)2; (4)(－2x2)3＋(－4x3)2.
解：(1)原式＝－64a3b3；(2)原式＝x4my12m；(3)原式＝4×108；(4)原式＝8x6.
4．課本P6隨堂練習第1,2題.
【課堂總結】師生一起回顧本節課所學主要內容，并請學生回答以下問題：
1.這節課的主要收獲是什么？
2．積的乘方的運算法則是(ab)n＝anbn(n是正整數)，靈活運用冪的乘方、積的乘方解決問題。
【知識結構】
【作業布置】
1.教材P9習題1.1第5，6題。
2.相應課時訓練。
八、板書設計
3.積的乘方
1.法則：積的乘方等于每一個因數乘方的積，即(ab)n＝anbn.
2.積的乘方的運算法則也適用于多個因數積的乘方，即(abc)n＝anbncn.
九、教學反思
（一）課前反思
從學生的知識基礎來看，學生已經學習了同底數冪的乘法、冪的乘方等相關知識，對冪的運算有了初步的認識和理解。但這些知識較為抽象，部分學生在理解和運用上可能還存在一定困難。積的乘方作為冪運算的重要組成部分，如何引導學生在已有知識的基礎上，順利理解和掌握這一新概念，是教學的關鍵之一。
在教學方法的選擇上，要注重趣味性和啟發性?？紤]到七年級學生的特點，單純的理論講解可能會使學生感到枯燥，降低學習積極性。因此，計劃通過創設實際問題情境，如利用生活中的體積計算問題引入積的乘方概念，讓學生在解決實際問題的過程中，發現和總結規律，從而自然地引出本節課的內容。這樣既能激發學生的學習興趣，又有助于培養學生的觀察、分析和歸納能力。
然而，在備課過程中也意識到一些潛在的問題。例如，如何確保每個學生都能積極參與到課堂活動中，尤其是對于基礎較薄弱的學生，如何給予他們足夠的關注和指導，使他們也能跟上教學進度，理解和掌握積的乘方的運算法則。另外，在練習題的設計上，如何做到層次分明，滿足不同層次學生的需求，讓每個學生都能在練習中有所收獲，也是需要進一步思考和完善的地方。
針對這些問題，在教學過程中，要加強對學生的巡視和指導，及時發現學生在學習中遇到的問題并給予幫助。對于基礎薄弱的學生，可以采取個別輔導、小組互助等方式，確保他們能夠理解和掌握基礎知識。在練習題的布置上，設置基礎題、提高題和拓展題，讓不同層次的學生都能在自己的能力范圍內得到鍛煉和提高。
（二）課后反思
從教學目標達成來看，大部分學生能夠理解積的乘方運算法則，并運用其進行簡單計算，基本達成教學目標。但在復雜運算中，部分學生對法則的靈活運用還存在問題，比如底數是多個因式相乘且指數為負數時，出錯率較高。
在教學方法上，采用了實例引入和小組討論相結合的方式。通過實際問題引出積的乘方概念，能激發學生興趣，但在小組討論環節，部分小組討論效率不高，存在個別學生主導討論，部分學生參與度低的現象。
學生課堂表現方面，多數學生積極回答問題，但在自主練習時，反映出對知識的理解深度和應用能力參差不齊。后續需要加強對學生個體差異的關注，對學習困難的學生進行針對性輔導。同時，在教學方法上要進一步優化小組討論環節，提高學生參與度，讓每個學生都能在課堂中有所收獲。

展開更多......

收起↑