資源簡介

第一節(jié) 冪的乘除（第2課時）
教學(xué)設(shè)計
一、教學(xué)內(nèi)容和內(nèi)容解析
（一）教學(xué)內(nèi)容
教材第4～5頁，冪的乘除（2）
（二）教學(xué)內(nèi)容解析
承接上一課時同底數(shù)冪的乘法，進一步深入探究冪的運算規(guī)律，為后續(xù)整式乘除的學(xué)習(xí)筑牢根基。這一課時主要內(nèi)容為冪的乘方與積的乘方。冪的乘方公式 （m，n 都是正整數(shù)），其推導(dǎo)過程是基于同底數(shù)冪的乘法原理，通過多個相同底數(shù)冪相乘的形式，逐步歸納得出。這不僅強化了學(xué)生對指數(shù)運算規(guī)則的理解，也培養(yǎng)了他們的邏輯推理能力。本課時的重點在于讓學(xué)生理解并熟練掌握冪的乘方，能夠準確運用公式進行計算。難點則是公式的推導(dǎo)過程以及在復(fù)雜運算中對公式的靈活運用，比如在底數(shù)含有負號等特殊情況下，學(xué)生容易出錯。
二、課程標準內(nèi)容要求
學(xué)生要理解冪的乘方是一種特殊的冪運算形式，即底數(shù)是冪的形式，指數(shù)又是一個數(shù)，例如，知道它表示n個相乘。
掌握冪的乘方法則：學(xué)生需要掌握冪的乘方法則，即（m、n都是正整數(shù)），能夠理解法則中 “底數(shù)不變，指數(shù)相乘” 的本質(zhì)，并能準確運用該法則進行冪的乘方運算。
進行簡單運算：能運用冪的乘方法則，對簡單的整式進行冪的乘方運算，如計算、等，并且能夠在混合運算中正確處理冪的乘方部分。
三、教學(xué)目標和目標解析
（一）教學(xué)目標
1. 數(shù)學(xué)抽象
通過對具體冪的乘方運算實例的觀察、分析，如 、 等，讓學(xué)生經(jīng)歷從特殊到一般的過程，抽象出冪的乘方的運算法則，即 （ m，n 都是正整數(shù)），培養(yǎng)學(xué)生從具體數(shù)學(xué)現(xiàn)象中抽象出數(shù)學(xué)本質(zhì)的能力。
2. 邏輯推理
在推導(dǎo)冪的乘方運算法則的過程中，引導(dǎo)學(xué)生依據(jù)乘方的意義和同底數(shù)冪的乘法法則進行逐步推導(dǎo),從而培養(yǎng)學(xué)生的邏輯推理能力，使其能有條理地進行數(shù)學(xué)思考和推導(dǎo)。
3. 數(shù)學(xué)運算
通過大量的冪的乘方運算練習(xí)，讓學(xué)生熟練掌握冪的乘方運算法則，提高學(xué)生的運算能力，同時引導(dǎo)學(xué)生在運算過程中注意符號的處理、指數(shù)的運算等細節(jié)，培養(yǎng)學(xué)生嚴謹?shù)倪\算習(xí)慣。
4. 數(shù)學(xué)建模
在解決實際問題中，引導(dǎo)學(xué)生將實際問題轉(zhuǎn)化為冪的乘方的數(shù)學(xué)模型。培養(yǎng)學(xué)生運用數(shù)學(xué)知識解決實際問題的能力和數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)。
5.數(shù)學(xué)思維
在探究冪的乘方的過程中，鼓勵學(xué)生大膽質(zhì)疑、提出問題，如思考當指數(shù)m 、n 為非正整數(shù)時，運算法則是否適用等，培養(yǎng)學(xué)生的批判性思維和創(chuàng)新思維。同時，通過對比同底數(shù)冪的乘法、冪的乘方的異同，培養(yǎng)學(xué)生的類比思維，加深對不同運算法則的理解。
（二）目標解析
《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標準（2022年版）》中明確指出：
目標1的要求是：冪的乘方概念的構(gòu)建是培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)的重要契機。在教學(xué)過程中，通過生活實例，如細胞分裂的數(shù)量增長問題，引導(dǎo)學(xué)生從具體的情境中抽象出冪的乘方模型。
目標2的要求是：在探究冪的乘方運算法則時，著重培養(yǎng)學(xué)生的邏輯推理素養(yǎng)。教師引導(dǎo)學(xué)生基于已有的乘方意義和同底數(shù)冪乘法法則，通過演繹推理來推導(dǎo)冪的乘方法則。法則推導(dǎo)過程讓學(xué)生體驗從已知到未知、從特殊到一般的邏輯推理路徑，鍛煉他們有條理地思考和表達，提高邏輯推理能力。在后續(xù)解決冪的乘方相關(guān)問題時，學(xué)生能夠運用這種邏輯推理方式，判斷和分析問題，準確選擇和運用法則進行計算和證明。
目標3的要求是：冪的乘方的學(xué)習(xí)為提升學(xué)生數(shù)學(xué)運算素養(yǎng)提供了實踐平臺。學(xué)生需要熟練掌握冪的乘方運算公式，準確進行計算，在實際運算中，學(xué)生不僅要能正確計算簡單的冪的乘方題目，還要學(xué)會處理較為復(fù)雜的混合運算，在計算過程中，學(xué)生需要遵循先乘方后乘法，再進行加減法的運算順序，通過不斷練習(xí)，提高運算的準確性和速度，培養(yǎng)嚴謹細致的運算習(xí)慣，提升數(shù)學(xué)運算素養(yǎng)。
目標4的要求是：培養(yǎng)學(xué)生運用冪的乘方知識解決實際問題，有助于提升他們的數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)。例如，在計算聲音在空氣中傳播的能量衰減問題時，如果聲音的能量在每經(jīng)過一段距離后衰減為原來的倍，經(jīng)過段這樣的距離后，能量又在另一種環(huán)境下以相同的衰減方式經(jīng)過段距離，就可以建立冪的乘方模型來計算最終的能量衰減情況。學(xué)生在解決這類實際問題時，需要將實際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題，構(gòu)建合適的冪的乘方模型，然后運用所學(xué)知識求解，最后再將結(jié)果還原到實際情境中進行解釋和檢驗，從而增強數(shù)學(xué)建模意識和能力，體會數(shù)學(xué)在實際生活中的廣泛應(yīng)用價值。
目標5的要求是：同底數(shù)冪的乘法是學(xué)生之前已掌握的知識，在學(xué)習(xí)冪的乘方時，引導(dǎo)學(xué)生對比兩者的運算種類、公式、法則中的運算、計算結(jié)果中底數(shù)與指數(shù)的變化情況。如在運算種類上，同底數(shù)冪的乘法是乘法運算，冪的乘方是乘方運算；公式分別為 與；法則中同底數(shù)冪乘法是底數(shù)不變，指數(shù)相加，冪的乘方是底數(shù)不變，指數(shù)相乘。通過這樣的類比，讓學(xué)生更清晰地理解冪的乘方的本質(zhì)特征，也能幫助學(xué)生構(gòu)建完整的知識體系，提升類比思維能力，學(xué)會舉一反三，為后續(xù)學(xué)習(xí)其他冪的運算奠定基礎(chǔ)。
四、學(xué)生學(xué)情分析
學(xué)生基礎(chǔ)情況
知識掌握：學(xué)生在之前的學(xué)習(xí)中已經(jīng)掌握了有理數(shù)的運算，包括加、減、乘、除、乘方等，這為理解冪的乘方中涉及的數(shù)值計算提供了基礎(chǔ)。已經(jīng)學(xué)習(xí)了同底數(shù)冪的乘法法則，對冪的概念和底數(shù)、指數(shù)的含義有了一定的認識，知道（m，n是正整數(shù)），這與冪的乘方（m，n是正整數(shù)）在形式和概念上有一定的關(guān)聯(lián)性，學(xué)生可以進行類比學(xué)習(xí)。
技能水平：具備了一定的邏輯思維能力和歸納總結(jié)能力，在學(xué)習(xí)同底數(shù)冪的乘法時，已經(jīng)經(jīng)歷了從特殊到一般的歸納過程，能夠嘗試通過觀察、分析一些具體的運算例子，總結(jié)出一般性的規(guī)律。有了初步的符號意識，能理解用字母表示數(shù)和數(shù)量關(guān)系，對于等形式的代數(shù)式有了一定的認知和運用能力。
學(xué)生學(xué)習(xí)難點
抽象性理解困難：冪的乘方是在同底數(shù)冪乘法基礎(chǔ)上的進一步抽象。如這種形式，對于七年級學(xué)生來說，理解底數(shù)a是一個任意的數(shù)或代數(shù)式，指數(shù)m和n是正整數(shù)，且整個式子表示n個相乘，具有一定的抽象性。學(xué)生可能難以將其與具體的數(shù)學(xué)運算聯(lián)系起來，導(dǎo)致對概念的本質(zhì)把握不準確。
與同底數(shù)冪乘法概念混淆：冪的乘方與同底數(shù)冪的乘法在形式上有相似之處，學(xué)生容易將兩者的運算法則混淆。同底數(shù)冪乘法是，而冪的乘方是，一個是指數(shù)相加，一個是指數(shù)相乘，學(xué)生可能會因為沒有清晰理解兩者的本質(zhì)區(qū)別，而在運用時出現(xiàn)錯誤。
與其他整式運算的綜合運用：在實際問題中，冪的乘方通常會與同底數(shù)冪乘法、積的乘方、整式的加減等其他整式運算結(jié)合在一起。學(xué)生需要在一個題目中綜合運用多種運算法則，這就要求他們不僅要熟練掌握冪的乘方運算，還要能夠準確判斷運算順序，合理運用各種法則進行計算。但學(xué)生往往在這種綜合題型中容易顧此失彼，出現(xiàn)各種錯誤。
解決實際問題的建模困難：將冪的乘方知識應(yīng)用到實際問題中，需要學(xué)生具備一定的數(shù)學(xué)建模能力。例如，在涉及細胞分裂、人口增長等實際問題中，需要學(xué)生能夠根據(jù)問題情境建立冪的乘方模型，然后運用相關(guān)知識進行求解。但學(xué)生在這方面的能力通常較為薄弱，難以將實際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)模型。
學(xué)生學(xué)習(xí)需求
1.知識理解需求
概念理解：學(xué)生需要清晰地理解冪的乘方的概念，即（≠0，m，n都是正整數(shù)）這種形式所代表的數(shù)學(xué)意義，明白它表示n個相乘。
法則推導(dǎo)：學(xué)生渴望理解冪的乘方法則是如何推導(dǎo)出來的，希望通過具體的例子和邏輯推理實例，逐步推導(dǎo)出一般形式的法則，從而掌握其內(nèi)在的數(shù)學(xué)原理。
與同底數(shù)冪乘法的區(qū)別：學(xué)生有需求區(qū)分冪的乘方與同底數(shù)冪的乘法這兩種運算。前者是底數(shù)不變，指數(shù)相乘；后者是底數(shù)不變，指數(shù)相加，學(xué)生需要明確它們的不同特征和適用場景，避免在運算時出現(xiàn)混淆。
2.技能掌握需求
基本運算技能：學(xué)生要熟練掌握冪的乘方的基本運算，能夠準確地運用法則進行計算，確保運算結(jié)果的準確性。
混合運算能力：在掌握基本運算的基礎(chǔ)上，學(xué)生需要學(xué)會在含有多種運算的式子中正確運用冪的乘方法則，如在混合運算中，能正確處理冪的乘方與其他運算的順序和關(guān)系，提高綜合運算能力。
逆向運用能力：學(xué)生還需要掌握冪的乘方法則的逆向運用，能夠根據(jù)具體題目條件，靈活地將一個冪轉(zhuǎn)化為冪的乘方形式。
3.學(xué)習(xí)方法需求
歸納總結(jié)方法：學(xué)生需要學(xué)會對冪的乘方相關(guān)知識和題型進行歸納總結(jié)，梳理出冪的乘方的概念、法則、運算技巧以及常見的錯誤類型等，形成系統(tǒng)的知識體系。
類比學(xué)習(xí)方法：學(xué)生希望通過類比冪的乘方與同底數(shù)冪乘法、積的乘方等其他整式乘除運算的學(xué)習(xí)方法和規(guī)律，加深對冪的乘方的理解和記憶，同時提高對整式乘除運算整體的認識和把握能力。
錯題整理方法：學(xué)生在學(xué)習(xí)過程中會出現(xiàn)各種錯誤，他們需要掌握整理錯題的方法，分析做錯的原因，總結(jié)正確的解題思路和方法，通過錯題鞏固對冪的乘方知識的理解和運用。
4.應(yīng)用拓展需求
實際問題應(yīng)用：學(xué)生希望了解冪的乘方在實際生活中的應(yīng)用，如在科學(xué)計數(shù)法、計算機存儲容量等方面的應(yīng)用實例，體會數(shù)學(xué)知識與實際生活的緊密聯(lián)系，提高運用數(shù)學(xué)知識解決實際問題的能力。
拓展延伸應(yīng)用：學(xué)生有探索精神，希望對冪的乘方進行拓展延伸，了解它在更高級數(shù)學(xué)知識中的應(yīng)用和地位，如在代數(shù)運算、方程求解等方面的進一步應(yīng)用，為后續(xù)學(xué)習(xí)奠定基礎(chǔ)，激發(fā)學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣和動力。
五、教學(xué)策略分析
情境導(dǎo)入法：通過創(chuàng)設(shè)實際生活中的問題情境，如細胞分裂問題，引出冪的乘方的概念，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣和求知欲。
合作探究法：組織學(xué)生進行小組合作探究，通過計算、觀察、討論等活動，讓學(xué)生自主推導(dǎo)冪的乘方運算法則，培養(yǎng)學(xué)生的合作能力和探究精神。
練習(xí)鞏固法：設(shè)計有針對性的練習(xí)題，讓學(xué)生在練習(xí)中鞏固冪的乘方運算法則，提高學(xué)生的計算能力和應(yīng)用能力。
六、教學(xué)重難點
（一）重點：會進行冪的乘方的運算。
（二）難點：冪的乘方性質(zhì)的逆用。
七、教學(xué)過程
教學(xué)流程
活動一：創(chuàng)設(shè)情境，導(dǎo)入新課
【情境引入】
1．一個正方體的棱長是102 mm，它的體積是__(102)3__mm3.如果將這個正方體的棱長擴大為原來的10倍，那么這個正方體的體積是__(103)3__mm3.
2．球的體積公式是V＝πr3，其中V是球的體積、r是球的半徑．地球、木星、太陽可以近似地看成球體．木星、太陽的半徑分別約是地球的10倍和102倍，它們的體積分別約是地球體積的__103__倍和__(102)3__倍．
問題：怎樣計算(102)3，即冪的乘方的運算．
設(shè)計意圖：用實際問題進行導(dǎo)入，自然引出新課。
活動二：交流合作，探究新知
探究點1 冪的乘方的運算
完成下面的運算：
(1)(62)4；(2)(a2)3；(3)(am)2；(4)(am)n.
解：(1)原式＝68；(2)原式＝a6；(3)原式＝a2m；(4)原式＝amn.
探究點2 公式的總結(jié)(課件)
(am)n＝amn(m，n都是正整數(shù))．
師生共同歸納：冪的乘方，底數(shù)__不變__，指數(shù)__相乘__．
設(shè)計意圖：經(jīng)歷冪的乘方的運算，探究底數(shù)與指數(shù)的變化規(guī)律，歸納冪的乘方的法則。
活動三：當堂訓(xùn)練，鞏固提升
例1 計算(多媒體展示)：
(1)(102)3；　(2)(b5)5；　(3)(an)3；
(4)－(x2)m；　(5)(y2)3·y；　(6)2(a2)6－(a3)4.
【方法指導(dǎo)】直接運用(am)n＝amn計算即可．
解：(1)原式＝102×3＝106；
(2)原式＝b5×5＝b25；
(3)原式＝an×3＝a3n；
(4)原式＝－x2×m＝－x2m；
(5)原式＝y(tǒng)6·y＝y(tǒng)7；
(6)原式＝2a12－a12＝a12.
例2 比較340與430的大小．
【方法指導(dǎo)】逆用冪的乘方比較大小：340＝(34)10，430＝(43)10，比較34與43的大小就可以得出340與430的大小．
解：因為340＝(34)10，430＝(43)10，
且34＝81，43＝64，81＞64，
所以(34)10＞(43)10，
即340＞430.
例3 已知221＝8y+1，9y＝3x-9，則代數(shù)式x＋y的值為________．
【方法指導(dǎo)】根據(jù)冪的乘方的逆運算轉(zhuǎn)化得到x和y的方程，求出x，y，再計算出代數(shù)式的值．
答案：10
設(shè)計意圖:通過練習(xí)使學(xué)生鞏固對冪的乘方的認識，拓展學(xué)生思維和強化學(xué)生運算能力。
活動四：隨堂訓(xùn)練，課堂總結(jié)
【隨堂訓(xùn)練】
1．判斷題，錯誤的予以改正．
(1)a4＋a4＝2a8；(×)
改正：a4＋a4＝2a4；
(2)(x3)3＝x6；(×)
改正：(x3)3＝x9；
(3)(－4)2·(－4)4＝(－4)6＝－46；(×)
改正：原式＝46；
(4)[(m－n)4]3－[(m－n)6]2＝0.(√)
2．若(x2)m＝x10，則m＝__5__．
3．若am＝2，an＝5，求a3m+2n的值．
解：a3m+2n＝a3m·a2n＝(am)3·(an)2＝23×52＝200.
4．課本P5隨堂練習(xí)第1,2題。
【課堂總結(jié)】師生一起回顧本節(jié)課所學(xué)主要內(nèi)容，并請學(xué)生回答以下問題：
1.這節(jié)課的主要收獲是什么？
2．計算冪和乘方時應(yīng)注意什么？
【知識結(jié)構(gòu)】
【作業(yè)布置】
1.課本P9習(xí)題1.1中的第3,4題.。
2.相應(yīng)課時訓(xùn)練。
八、板書設(shè)計
2.冪的乘方
1.法則： 冪的乘方，底數(shù)不變，指數(shù)相乘， 即(am)n＝amn(m，n都是正整數(shù))。
2.計算時要注意底數(shù)的整體性，例如：(－4)2·(－4)4＝(－4)6。
九、教學(xué)反思
（一）課前反思
從知識層面來看，冪的乘方運算法則是本節(jié)課核心，其推導(dǎo)過程對學(xué)生理解法則本質(zhì)至關(guān)重要。學(xué)生已掌握同底數(shù)冪乘法，這是學(xué)習(xí)冪的乘方的基礎(chǔ)，但兩者易混淆，需在教學(xué)中強化對比。
在學(xué)生學(xué)情方面，七年級學(xué)生正從形象思維向抽象思維過渡，冪的乘方較為抽象，理解運算法則對他們有一定難度。部分學(xué)生可能在法則推導(dǎo)時出現(xiàn)理解障礙，在實際運用時也可能出錯。
在教學(xué)方法上，我計劃采用引導(dǎo)探究法，通過具體實例讓學(xué)生自主探究冪的乘方規(guī)律，經(jīng)歷從特殊到一般的過程，培養(yǎng)其歸納能力。同時結(jié)合多媒體演示，直觀展示冪的乘方變化，幫助學(xué)生理解。在練習(xí)環(huán)節(jié)，設(shè)計不同層次題目，滿足不同學(xué)生需求。
（二）課后反思
在教學(xué)目標達成方面，大部分學(xué)生能夠理解冪的乘方運算法則，并能運用法則進行基本的計算，這表明教學(xué)目標基本達成。通過實例引入，如以正方形面積和正方體體積的計算為引導(dǎo)，幫助學(xué)生從具體情境中抽象出冪的乘方問題，使學(xué)生更易理解冪的乘方的概念。在推導(dǎo)運算法則時，引導(dǎo)學(xué)生通過觀察、分析和歸納，自主得出 的結(jié)論，培養(yǎng)了學(xué)生的邏輯思維能力。
教學(xué)方法上，采用了講授法與練習(xí)法相結(jié)合的方式。在講解過程中，注重知識的連貫性，從同底數(shù)冪的乘法過渡到冪的乘方，讓學(xué)生對比兩者的區(qū)別與聯(lián)系。課堂練習(xí)環(huán)節(jié)，設(shè)置了不同層次的題目，從簡單的直接運用法則計算，到稍復(fù)雜的逆用法則計算，滿足了不同層次學(xué)生的需求。但在練習(xí)過程中，發(fā)現(xiàn)部分學(xué)生對法則的理解還不夠深入，在解決一些變形題目時存在困難。這提示我在今后的教學(xué)中，應(yīng)增加更多具有針對性的練習(xí)，加強對學(xué)生解題思路的引導(dǎo)。
學(xué)生表現(xiàn)方面，課堂上大部分學(xué)生能夠積極參與討論和回答問題，但仍有少數(shù)學(xué)生較為被動。在小組討論環(huán)節(jié)，部分小組討論不夠充分，個別學(xué)生參與度不高。后續(xù)需要進一步優(yōu)化小組合作的組織形式，鼓勵每個學(xué)生都能積極發(fā)表自己的見解。

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