資源簡介

第四節 整式的除法
教學設計
一、教學內容和內容解析
（一）教學內容
教材第26～27頁，整式的除法
一、教學內容解析
整式的除法是極為重要的一部分，它與之前所學的冪的乘除、整式的乘法以及乘法公式緊密相連，共同構成了整式運算的完整體系。
整式的除法主要包含單項式除以單項式和多項式除以單項式。單項式除以單項式時，關鍵在于把系數、同底數冪分別相除，將其結果作為商的因式；而對于僅在被除式里存在的字母，要連同它的指數一并作為商的一個因式。這一過程其實是將單項式除以單項式的運算最終轉化為同底數冪相除 ，其結果依然是單項式。通過計算，學生能更好地理解單項式除以單項式的運算法則。
多項式除以單項式，其核心是先把這個多項式的每一項分別除以單項式，然后再把所得的商相加。它的實質是利用乘法分配律，將多項式除以單項式的問題轉化為單項式除以單項式問題來解決。需要注意的是，商的項數與多項式的項數相同，并且在計算過程中，每一項除以單項式時，都要包含該項的符號。
整式的除法在后續學習方程求解、函數解析等內容時發揮著關鍵作用。例如在解方程時，常常需要對整式進行化簡，這就離不開整式的除法運算；在函數解析中，對函數表達式進行變形和化簡同樣需要運用整式的除法知識。通過這部分內容的學習，學生能夠進一步深化對整式性質和運算規則的理解，提升代數運算能力和邏輯思維能力。
二、課程標準內容要求
理解算理：學生要理解整式除法運算的算理，清楚整式除法是如何進行的，以及每一步運算的依據，為正確進行整式除法運算奠定基礎。
掌握法則：單項式除以單項式：要求學生掌握單項式相除，把系數、同底數冪分別相除后，作為商的因式；對于只在被除式里含有的字母，則連同它的指數一起作為商的一個因式這一法則，并能熟練運用該法則進行計算。
多項式除以單項式：學生需要理解并掌握多項式除以單項式，先把這個多項式的每一項分別除以單項式，再把所得的商相加的運算法則，能夠運用此法則準確地進行多項式除以單項式的運算。
三、教學目標和目標解析
（一）教學目標
1. 數學抽象
學生能夠從具體的數字除法運算情境中，抽象出整式除法的概念和運算法則，理解單項式除以單項式、多項式除以單項式的本質特征，如將6x3y ÷2xy能夠從具體的數字除法運算情境中，抽象出整式除法的概念和運算法則，理解單項式除以單項式、多項式除以單項式的本質特征，如將6x3y ÷2xy類比數字除法6 ÷2，x3 ÷x，y ÷y，從而抽象出單項式除以單項式的計算方法。
2. 邏輯推理
通過對同底數冪除法性質am ÷a n=am-n)，(a≠0，m,n是正整數，m＞n)的推導過程，培養學生的邏輯推理能力，使其能夠有條理地思考和表達，從已有的數學知識和運算律出發，逐步推導出整式除法的相關法則。
3. 數學運算
學生能熟練掌握整式除法的運算法則，準確進行單項式除以單項式、多項式除以單項式的運算，提高運算能力和運算速度，能夠正確處理運算過程中的符號、指數等問題，如計算-8a2b3÷4ab2時，正確計算系數、同底數冪的除法。
4. 直觀想象
在解決整式除法問題時，引導學生從不同角度觀察和分析圖形，如從平面圖形到立體圖形的轉化。例如，在一些拓展問題中，將整式的除法與正方體的體積、表面積等知識結合，讓學生通過想象正方體的棱長變化與整式除法的關系，提升空間觀念。
5. 數學建模
引導學生運用整式除法的知識解決實際生活中的數學問題，建立數學模型，如在計算圖形面積的分割問題中，如果一個長方形面積為6x2 + 3x，寬為3x，求長是多少，學生可以通過建立多項式除以單項式的模型（6x2 + 3x）÷3x 來求解。
（二）目標解析
《義務教育數學課程標準（2022年版）》中明確指出：
目標1的要求是：在整式的除法學習中，學生需要從具體的數字除法運算，抽象到整式的除法運算。比如從簡單的整數除法12÷3 = 4，類比到單項式除以單項式，像6x2÷3x ，學生要理解這里的x代表一類數，把具體的數字運算規則抽象應用到含有字母的整式運算中，從而構建起整式除法的基本概念，將實際問題中的數量關系用整式除法的數學模型來表示 。
目標2的要求是：當進行多項式除以單項式運算時，如(4x2 + 2x)÷2x，學生要依據已有的乘法分配律知識進行邏輯推導。因為乘法分配律a(b + c)=ab + ac，那么在除法中可以逆向思考，把(4x2 + 2x)看作a(b + c)的形式，2x看作a，從而(4x2 + 2x)÷2x = 4x2÷2x + 2x÷2x，通過這樣一步步的邏輯推理，得出整式除法的運算步驟和結果，培養學生嚴密的邏輯思維，使其學會運用符號表示數學關系并進行推理。
目標3的要求是：學生要熟練掌握整式除法的運算技能，包括單項式除以單項式、多項式除以單項式的運算。在計算過程中，準確運用同底數冪的除法法則（同底數冪相除，底數不變，指數相減），如x5÷x3=x5 - 3=x2，以及系數的除法運算。通過大量的練習，提高學生的運算準確性和速度，培養學生嚴謹認真的運算習慣，提升學生的數學運算核心素養。
目標4的要求是：在探究整式除法法則的過程中，借助幾何圖形來理解運算法則是一種重要方式。通過用面積模型來解釋單項式除以單項式，把抽象的代數運算轉化為具體的圖形操作，學生能夠更直觀地看到整式除法的過程和結果 。如將一個長方形的面積用代數式表示為ab，若它的長為a，那么寬就是ab÷a = b，通過這樣的圖形展示，學生能清晰地理解除法運算的意義，這就是直觀想象在其中的運用，讓學生建立起數與形之間的聯系。
目標5的要求是：在實際生活中，很多問題可以用整式的除法來解決。例如，在分配物品問題中，如果有m個物品要平均分給n個小組，每個小組得到的物品數可以表示為m÷n ，當m和n是整式時，就涉及到整式的除法。學生要學會從這些實際問題中抽象出數學模型，運用整式除法的知識進行求解，從而提高學生運用數學知識解決實際問題的能力，增強學生的數學應用意識和數學建模能力。
四、學生學情分析
學生基礎情況
知識掌握：學生在之前已經學習了有理數的運算，包括加、減、乘、除、乘方等，這為學習整式的除法提供了運算規則和算理方面的基礎。例如，學生知道除法是乘法的逆運算，能進行有理數的除法運算，如12÷3 = 4，能理解其含義是已知兩個因數的積是 12 與其中一個因數 3，求另一個因數的運算。
學生已經掌握了整式的概念，包括單項式和多項式，能準確識別單項式的系數、次數，多項式的項數、次數等。例如，能判斷3x2y是單項式，系數是 3，次數是 3；x2 + 2x - 1是多項式，有三項，次數是 2。
學生學習了同底數冪的乘法、冪的乘方、積的乘方等運算法則，這是整式除法中同底數冪除法的重要基礎。如知道am·an=am + n，(am)n=amn， (ab)n=a n bn等運算法則，并能熟練運用進行計算。
技能水平：學生在之前的數學學習中，已經具備了一定的觀察、分析和歸納能力。例如，在學習有理數運算規律和整式概念時，能夠通過觀察一些具體的例子，分析其中的規律，歸納出一般性的結論。
學生具有初步的邏輯推理能力，能根據已有的數學知識和運算法則，進行簡單的邏輯推理和計算。如在證明同底數冪乘法法則的過程中，學生已經經歷了從特殊到一般的推理過程，具備了一定的推理基礎。
學生學習難點
1. 單項式除以單項式
系數相除的符號問題：學生在計算系數相除時，容易忽略符號規則。
同底數冪的除法法則運用不熟練：對于同底數冪相除，底數不變，指數相減的法則，學生可能會出現指數計算錯誤的情況。
只含在被除式里的字母處理不當：當單項式除以單項式時，被除式中單獨含有的字母及其指數要作為商的一個因式寫下來。學生可能會遺漏這部分。
2.多項式除以單項式
分配律的正確使用：多項式除以單項式，需要將多項式的每一項分別除以單項式，再把所得的商相加。學生可能會在分配過程中出現錯誤。
符號問題在多項式中的復雜性：多項式中各項有正有負，在除以單項式時，符號的處理會更加復雜。學生可能會出現符號混亂的情況，在計算過程中可能會忘記將各項的符號進行正確的變化，導致結果錯誤。
理解除法運算與乘法分配律的關系：學生需要理解多項式除以單項式的本質是乘法分配律的逆運用，這對于一些學生來說可能較難理解。他們可能只是機械地記憶步驟，而不明白其中的原理，從而在遇到稍微復雜的題目時就無法正確解答。
3.綜合應用
法則的混淆：在整式乘除混合運算中，學生容易將整式的乘法法則和除法法則混淆，導致計算錯誤。
運算順序問題：當整式的除法與其他運算混合在一起時，學生可能會不按照正確的運算順序進行計算。例如在有括號、乘方、乘除等多種運算的式子中，不能正確地先算乘方，再算乘除，最后算加減，有括號的先算括號里面的。
化簡求值中的整體代入思想：在一些化簡求值的題目中，需要將給定的式子進行化簡，然后將某個值代入求值。學生可能難以理解整體代入的思想，不知道如何將已知條件進行變形，以便代入化簡后的式子中。
學生學習需求
1.知識理解需求
運算法則的理解：學生需要理解單項式除以單項式、多項式除以單項式的運算法則。例如，對于單項式除以單項式，要明白是把系數、同底數冪分別相除作為商的因式，對于只在被除式里含有的字母，則連同它的指數一起作為商的一個因式。
算理的掌握：學生不僅要記住法則，更要理解其背后的算理。比如，通過將整式除法與整式乘法的互逆關系來理解運算法則的推導過程，明白為什么要這樣進行運算。
與其他運算的聯系：學生需要了解整式的除法與之前學過的整式乘法、有理數運算等知識的聯系與區別，從而構建完整的知識體系。
2.技能提升需求
運算技能：能夠熟練、準確地進行整式除法的運算，包括簡單的單項式除以單項式、較復雜的多項式除以單項式等各種類型的題目，提高計算的速度和準確性。
化簡技能：學會運用整式除法對整式進行化簡，為后續學習分式化簡、解方程等內容打下基礎。
錯誤分析與糾正技能：在練習過程中，學生需要學會分析自己出現的錯誤，如符號錯誤、指數運算錯誤等，并且能夠找到正確的解題方法，提高自我糾錯能力。
3.應用能力需求
解決實際問題：能夠將整式除法運用于實際問題情境中，如在幾何圖形問題中，通過已知的面積、體積等關系，利用整式除法求出相關的邊長、高同等題。
數學建模能力：培養學生從實際問題中抽象出數學模型，運用整式除法等數學知識進行求解，再將結果回歸到實際問題中進行檢驗和解釋的能力。
4.思維發展需求
邏輯思維：在學習整式除法的過程中，學生需要通過對運算法則的推導、運算過程的分析等，培養邏輯思維能力，能夠有條理地進行思考和推理。
逆向思維：利用整式除法與整式乘法的互逆關系，培養學生的逆向思維能力，學會從不同的角度思考問題。
創新思維：在解決一些綜合性較強的整式除法問題時，鼓勵學生嘗試不同的解法，培養創新思維能力。
五、教學策略分析
歸納總結方法：需要掌握歸納總結的方法，將整式除法的各種題型、解法進行歸納，形成知識網絡，便于記憶和運用。
類比學習策略：學會運用類比的方法，將整式除法與有理數除法、整式乘法等進行類比，找出它們之間的相似點和不同點，從而更好地理解和掌握整式除法。
練習與鞏固策略：學生需要知道如何選擇合適的練習題進行鞏固提高，并且掌握有效的練習方法，如定期復習錯題、進行專項訓練等。
六、教學重難點
（一）重點：整式除法的運算法則。
（二）難點：理解整式除法的運算法則及其探索過程。
七、教學過程
教學流程
活動一：回顧導入，引出新課
【情境導入】
如圖，三個大小相同的球恰好放在一個圓柱形瓶子里，你知道三個球的體積之和占整個瓶子容積的幾分之幾嗎？該如何計算呢？(球的體積)
設計意圖：通過實際問題為引入整式的除法做鋪墊。
活動二：交流合作，探究新知
探究點1 單項式除以單項式
思考 如何計算(3×108)÷300？
方法1：我們可以用類比分數約分的方法來做這個除法運算，
方法2：我們知道，除法是乘法的逆運算，從互逆的角度我們想象300× 1000000 =3×108，即3×102× 1×106 =3×108，所以(3×108)÷300= 1×106 。
問題1 觀察下列各式屬于什么運算？如果類比上面的方法解答需要用到哪些學過的運算法則？
屬于單項式除以單項式的運算。要用到：①同底數冪的除法運算公式：am÷an=am-n（a≠0，m，n都是整數，并且m>n)；②單項式與單項式相乘的法則：單項式與單項式相乘，把它們的系數、相同字母的冪分別相乘，其余字母連同它的指數不變，作為積的因式。
問題2 請用你的方法計算上述各式。
問題3 分析上述計算過程，找出規律，并填寫下表：
問題4 請你歸納一下如何進行單項式除以單項式的運算。
師生共同歸納：
單項式除以單項式的運算法則： 單項式相除，把系數、同底數冪分別相除后，作為商的因式；對于只在被除式里含有的字母，則連同它的指數一起作為商的一個因式。
例1 ［教材P27例(1)(2)(3)(4)］計算：
【對應訓練】
教材P27隨堂練習第1題。
設計意圖：通過設問引導學生概括出單項式除以單項式的運算法則，并布置練習題及時鞏固所學，加強學生對于新知的掌握程度。
探究點2 多項式除以單項式
問題2 如果把你在上個問題中用到的運算法則里的乘號改成除號，并直接用它算一算上述各題，你發現了什么？
（1）(ad+bd)÷d=ad÷d+bd÷d=a+b。
（2）(a2b+3ab)÷a=a2b÷a+3ab÷a=ab+3b。
（3）(xy3-2xy)÷xy=xy3÷xy-2xy÷xy=y2-2。
問題3 請你歸納一下如何進行多項式除以單項式的運算法則。
師生共同歸納：
多項式除以單項式的運算法則：
多項式除以單項式，先把這個多項式的每一項分別除以單項式，再把所得的商相加。
例2 ［教材P27例（5）（6）］計算：
【對應訓練】
教材P27隨堂練習第2題。
設計意圖:通過設問引導學生概括出多項式除以單項式的運算法則，并布置練習題及時鞏固所學，加強學生對于新知的掌握程度。
活動三：綜合演練，鞏固提升
【對應訓練】
已知多項式2x3-4x2+7x-1除以一個多項式M，得到商式2x，余式x-1，求多項式M（提示：類比數的除法的運算法則，即被除數=除數×商+余數）。
解：由題意，得M =［2x3-4x2+7x-1-(x-1)］÷2x
=(2x3-4x2+6x)÷2x
=x2-2x+3。
設計意圖: 將多項式除以單項式與其他整式運算進行綜合，強化學生對于新知的掌握程度和運算能力的提升。
活動四：隨堂訓練，課堂總結
【隨堂訓練】相應練習。
【課堂總結】師生一起回顧本節課所學主要內容，并請學生回答以下問題：
1.單項式除以單項式的運算法則是什么？你能據此解決相應的運算題嗎？
2.多項式除以單項式的運算法則是什么？你能據此解決相應的運算題嗎？
3.你能解決整式的混合運算題嗎？
【知識結構】
【作業布置】
1.教材P28習題1.4第1，2，3題。
2.相應課時訓練。
八、板書設計
4整式的除法
1.單項式除以單項式：
2.多項式除以單項式：
九、教學反思
（一）課前反思
從教學目標來看，需要明確讓學生理解并掌握單項式除以單項式、多項式除以單項式的運算法則，這是核心目標。同時，要培養學生運用法則進行整式除法運算的能力，提升其邏輯思維。但考慮到學生剛剛學習了整式的乘法，對乘法法則的熟悉程度可能會影響到除法的學習，存在思維慣性的問題。
在學情分析上，七年級學生正處于從具體形象思維向抽象邏輯思維過渡的階段。整式的除法相對抽象，部分學生理解起來可能有困難，尤其是多項式除以單項式中各項符號的處理。不過，學生在之前的學習中積累了一定的數學基礎，對新知識也有較強的好奇心，這是可以利用的積極因素。
在教學方法上，我計劃采用情境引入法，通過實際問題引出整式除法的需求，激發學生興趣。然后運用類比的方法，將整式除法與整數除法進行對比，幫助學生理解。但在教學過程中，可能會出現學生對類比理解不深入，導致對運算法則掌握不牢的情況。
（二）課后反思
在教學內容的把握上，對教材進行了較為細致的梳理，將整式的除法運算規則清晰地呈現給學生。通過實例逐步引導學生理解單項式除以單項式、多項式除以單項式的計算方法，讓學生明白每一步運算的依據。然而，在教學中也發現部分學生對同底數冪的除法法則在實際運用時仍容易混淆，這反映出我在復習舊知環節的鋪墊不夠充分，沒有讓學生充分鞏固同底數冪的相關知識，導致在新知識的學習中出現銜接問題。
從學生的課堂表現來看，大部分學生能夠積極參與課堂互動，跟隨教學節奏思考問題。但仍有部分基礎薄弱的學生在理解多項式除以單項式時較為吃力，跟不上教學進度。在小組討論環節，部分小組討論氛圍不夠熱烈，存在個別學生主導討論，而部分學生參與度不高的現象。這表明我在小組分組和引導討論方面還需要進一步優化，確保每個學生都能在小組活動中有所收獲。
教學方法上，采用了講授法與練習法相結合的方式。講授過程中，通過多媒體展示例題和動畫演示，幫助學生直觀地理解運算原理。練習環節，安排了有梯度的練習題，從基礎鞏固到拓展提升，滿足不同層次學生的需求。但在練習過程中，對學生的個體關注還不夠，沒有及時發現每個學生在解題過程中出現的問題并給予針對性指導。

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