資源簡介

第一節 冪的乘除（第1課時）
教學設計
一、教學內容和內容解析
（一）教學內容
教材第2～3頁，冪的乘法（1）
教學內容解析
整式的乘除第一節第一課時通常聚焦于同底數冪的乘法。同底數冪的乘法是冪的運算中基礎且重要的部分，它是后續學習冪的乘方、積的乘方以及同底數冪的除法等知識的基石。例如，在后續學習整式的乘法運算時，經常會用到同底數冪的乘法法則進行化簡和計算。
課程標準內容要求
學生要借助現實情境了解代數式，進一步理解用字母表示數的意義，為理解同底數冪的乘法法則中的字母表示做好鋪墊。經歷探索同底數冪乘法運算性質的過程，理解同底數冪乘法的算理，能推導得出（m，n都是正整數）這一運算法則。能夠熟練運用同底數冪的乘法法則進行簡單的整式乘法運算。
三、教學目標和目標解析
（一）教學目標
1. 數學抽象
通過對具體數字運算的觀察、分析和歸納，引導學生從特殊的數字運算中抽象出整式乘除的一般運算法則。抽象出單項式與單項式相乘的法則，讓學生理解如何用字母表示數以及代數式的運算，培養學生從具體到抽象的思維能力。
邏輯推理
在推導整式乘除運算法則的過程中，引導學生運用已有的數學知識，如乘法分配律、同底數冪的運算性質等，進行合理的邏輯推導。比如，在推導多項式與單項式相乘的法則時，利用乘法分配律將多項式與單項式相乘轉化為單項式與單項式相乘，讓學生理解每一步運算的依據，培養學生的邏輯推理能力。
3. 數學建模
創設實際生活情境，如計算長方形面積、體積等問題，引導學生將實際問題轉化為數學模型，運用整式乘除的知識進行求解。例如，已知長方形的長為 ，寬為 ，求其面積，學生可以列出式子 ，然后運用多項式與單項式相乘的法則進行計算，培養學生運用數學知識解決實際問題的能力和數學建模的意識。
4.直觀想象
通過圖形直觀理解同底數冪乘法法則。如借助邊長為 和 的正方形，讓學生觀察面積計算，從邊長直觀感受同底數冪相乘底數不變指數相加的原理，構建直觀模型，將抽象的冪運算具象化。
5. 數學運算
通過大量的練習題，讓學生熟練掌握整式乘除的運算方法，包括單項式與單項式相乘、相除，多項式與單項式相乘、相除等。在運算過程中，注重培養學生運算的準確性和規范性，提高學生的運算能力，同時讓學生體會數學運算的嚴謹性。
（二）目標解析
《義務教育數學課程標準（2022年版）》中明確指出：
目標1的要求是：在這一課時，學生需要從具體的數字運算實例中，抽象出整式乘法的基本概念和運算法則。例如，通過簡單的數字乘法，如 3×5、2×7 等，引導學生思考當數字換成字母，如 a×b、m×n 時，運算的本質是否發生變化。讓學生從熟悉的具體數字過渡到抽象的字母符號，理解整式乘法中字母可以代表任意數，從而初步建立起整式乘法的抽象概念。這一過程有助于學生擺脫對具體數字的依賴，學會用數學符號語言表達數量關系，提升數學抽象思維能力。
目標2的要求是：推導整式乘法的運算法則，是培養學生邏輯推理素養的重要環節。以單項式乘單項式為例，從乘法的基本運算律出發，如交換律、結合律和分配律，逐步推導得出單項式乘單項式的法則。先讓學生計算 (2×3)×(4×5)=(2×4)×(3×5)，理解乘法交換律和結合律在數字運算中的應用，再類比到 (2a)×(3b)=(2×3)×(a×b)=6ab，通過這樣的推理過程，讓學生明白整式乘法法則是基于已有的運算律推導而來，并非憑空產生。在這個過程中，學生學會有條理地思考，依據已知的數學原理和規則，推導出新的結論，邏輯推理能力得到有效鍛煉。
目標3的要求是：創設實際生活情境，讓學生運用整式乘法知識解決實際問題，是培養數學建模素養的關鍵。比如，給出一個長方形的花壇，長為 (3a + 2) 米，寬為 (2a - 1) 米，要求學生計算花壇的面積。學生需要將實際問題轉化為數學模型，即列出整式乘法算式 (3a + 2)(2a - 1)，然后運用多項式乘多項式的法則進行計算求解。通過這樣的實際問題解決過程，學生學會從實際情境中抽象出數學問題，建立數學模型，運用數學知識解決問題，感受數學與生活的緊密聯系，提高數學建模能力和應用意識。
目標4的要求是：在引入同底數冪乘法法則時，可通過細胞分裂的實例，直觀地感受到同底數冪相乘時底數不變、指數相加的規律。
目標5的要求是：能夠熟練準確地進行整式乘法的運算，是本節課的重要技能目標，也是數學運算素養的直接體現。學生需要掌握單項式乘單項式、單項式乘多項式的運算方法，通過大量有針對性的練習，提高運算的準確性和速度。例如，計算 3x 2xy，學生要能根據單項式乘單項式的法則，將系數相乘，相同字母的冪相加，得出正確結果 6x y。同時，在練習過程中，注重引導學生總結運算中的易錯點，如符號的處理、指數的運算等，培養學生嚴謹細致的運算習慣，提升數學運算素養。
四、學生學情分析
學生基礎情況
1.知識儲備：
有理數的乘法運算：學生要熟練掌握有理數的乘法法則，能準確計算兩個或多個有理數的乘積。這是后續學習同底數冪乘法運算中系數運算的基礎。
有理數的乘方運算：理解乘方的意義，即表示幾個數或式相乘。能準確計算有理數的乘方結果，為同底數冪的運算提供基礎。
單項式：知道單項式是數與字母的乘積，單獨的一個數或一個字母也是單項式，要能識別單項式的系數和次數。
多項式：理解多項式是幾個單項式的和，能準確判斷多項式的項數和次數。
整式：明確整式是單項式和多項式的統稱，能判斷一個代數式是否為整式。
底數和指數：清楚冪的表示形式中，什么是底數，什么是指數。
冪的意義：理解冪所表示的含義。
2.認知特點：：七年級學生正處于從形象思維為主逐步向抽象思維為主過渡的階段。在學習同底數冪的乘法時，對于像這樣可以通過簡單的乘方意義，即幾個相同因數相乘來理解的內容，他們能夠借助具體的數字和直觀的運算過程進行思考。但對于更一般化、抽象化的（都是正整數）這種形式，學生在理解上會有一定難度，需要借助具體例子逐步引導他們從具體數字運算中歸納出一般規律，實現從形象思維到抽象思維的跨越。
學生學習難點
1.對同底數冪乘法法則的理解
底數的理解局限：學生可能會片面地認為底數只能是單獨的一個數或字母，對于底數是多項式等較為復雜的形式難以理解和接受。
指數含義的混淆：指數表示的是相同因數的個數，但學生可能會將指數與冪的結果相混淆，或者在多個同底數冪相乘時，對指數的加法運算原理理解不透徹。
2.數學思維的轉變
從具體到抽象的困難：在之前的數學學習中，學生更多接觸的是具體數字的運算，而 “同底數冪的乘法” 開始涉及到用字母表示數來進行運算，這種從具體到抽象的思維轉變對學生來說有一定難度。學生可能難以理解用字母表示的同底數冪的運算規律，不能像對具體數字運算那樣直觀地進行思考和計算。
歸納總結能力的不足：讓學生通過具體的例子歸納總結出同底數冪的乘法法則，需要學生具備一定的觀察、分析和歸納能力。部分學生可能在這方面能力有所欠缺，難以從具體的計算中抽象出一般的規律和法則。
學生學習需求
1.知識理解需求
概念清晰化：學生需要清晰理解同底數冪的概念，明確底數、指數的含義，避免在后續運算中出現概念混淆。
法則推導理解：學生渴望明白同底數冪的乘法法則是如何推導出來的。可以通過具體數字的例子，再到一般形式的推導，能幫助他們從本質上掌握法則。
2.技能掌握需求
基本運算能力：學生要熟練掌握運用同底數冪的乘法法則進行簡單的冪運算。
法則靈活運用：面對底數為負數、底數為多項式等較為復雜的情況，學生需要學會靈活運用法則。
3.思維提升需求
類比思維培養：學生可以通過與已學的乘法運算進行類比，加深對同底數冪乘法的理解。比如將同底數冪的乘法與整數乘法的結合律、交換律等進行對比思考。
邏輯推理思維：在法則推導和應用過程中，鍛煉邏輯推理能力，從特殊到一般，再從一般到特殊，提升數學思維水平。
4.學習方法需求
總結歸納方法：學生需要學會總結同底數冪乘法的運算規律和易錯點，形成自己的知識體系。
錯題整理方法：掌握整理錯題的方法，分析錯誤原因，以便在后續學習中避免再犯同樣的錯誤。
六、教學重難點
（一）重點：同底數冪的乘法法則及其探索。
（二）難點：運用同底數冪的乘法法則進行運算。
七、教學過程
教學流程
活動一：創設情境，新課引入
【情境引入】
1．復習an的意義．
2．光在真空中的傳播速度約為3×108 m/s.太陽系以外距離地球最近的恒星是比鄰星，它發出的光到達地球大約需要4.22年．一年以3×107 s計算，比鄰星與地球之間的距離大約是多少米？
列出算式：3×108×3×107×4.22，提出問題：108×107等于多少呢？導入課題：同底數冪的乘法．
設計意圖：從冪的意義入手，鋪墊新課。
活動二：交流合作，探究新知
探究點1 猜想計算結果
(1)102×103；(2)a2·a3；(3)10m×10n(m，n都是正整數).
同學們猜想一下，它們的運算結果各是什么？
猜想1：(1)的結果是105，(2)的結果是a5，(3)的結果是10m＋n.
猜想2：(1)的結果是106，(2)的結果是a6，(3)的結果是10mn.
探究點2 探究同底數冪乘法法則
要求學生依據各自的猜想，進行嘗試推導，論證自己認為正確的結論．
102×103＝(10×10)×(10×10×10)＝10×10×10×10×10＝105.
a2·a3＝(a·a)·(a·a·a)＝a·a·a·a·a＝a5.
10m×10n＝(10×10×…×10),\s\do4(m個10))Ｂ×(10×10×…×10),\s\do4(n個10))Ｂ＝10m＋n.
問題：根據你的發現試計算：
(1)2m×2n＝__2m＋n__；
(2)(－3)m×(－3)n＝__(－3)m＋m__(m，n都是正整數)．
師生共同歸納：同底數冪相乘，底數不變，指數相加．
探究點3 拓展應用
問題：三個或三個以上同底數冪相乘怎樣運算？
師生共同歸納：am·an·ap＝am＋n＋p(m，n，p都是正整數)．
【對應訓練】
教材P3隨堂練習第1題。
設計意圖：引導學生在分層練習中猜想、探究、發現和應用，提高學生的學習興趣并積累數學活動經驗，再讓學生進行拓展應用，體會同底數冪乘法法則的意義。
活動三：當堂練習，鞏固提升
例1計算：
(1)(－3)7×(－3)6; (2)×；
(3)－x3·x5; (4)b2m·b2m+1.
【方法指導】運用同底數冪的乘法運算法則計算．
解：(1)原式＝(－3)7+6＝(－3)13；
(2)原式＝＝；
(3)原式＝－x3+5＝－x8；
(4)原式＝b2m+2m+1＝b4m+1.
例2計算：
(1)(2a＋b)2n+1·(2a＋b)2·(2a＋b)n-3；
(2)(x－y)2·(y－x)7.
【方法指導】把底數看作一個整體進行計算．
解：(1)原式＝(2a＋b)2n+1+2+n-3＝(2a＋b)3n；
(2)原式＝(y－x)2+7＝(y－x)9.
例3光在真空中的傳播速度約為3×108 m/s，太陽光照射到地球上大約需要5×102 s．地球距離太陽大約有多少米？
【方法指導】熟練掌握同底數冪的乘法法則．
解：3×108×5×102＝15×1010＝1.5×1011(m).
例4如果an+1a2n-1＝a6，那么n的值為________．
【方法指導】根據同底數冪的乘法法則，底數不變，指數相加，可得n的值．
答案：2
例5若3a＝9，3b＝27，求3a＋b的值．
【方法指導】把3a＋b轉化成3a·3b，代入求值即可．
解：3a＋b＝3a·3b＝9×27＝243.
設計意圖：通過練習使學生學會利用法則進行計算，培養運算能力。
活動四：隨堂訓練，課堂總結
【隨堂訓練】1．填空：
(1)a__14__·a4＝a18；
(2)若102×10m＝102 025，則m的值為__2_023__．
2．若am＝2，an＝5，求am＋n的值．
解：am＋n＝am·an＝2×5＝10.
3．課本P3隨堂練習第2題。
【課堂總結】師生一起回顧本節課所學主要內容，并請學生回答以下問題：
1.這節課的主要收獲是什么？
2．怎樣計算同底數冪的乘法？
【知識結構】
【作業布置】
1.教材P9習題1.1第1，2題。
2.相應課時訓練。
八、板書設計
1.同底數冪的乘法
1.同底數冪的乘法法則：同底數冪相乘，底數不變，指數相加．
2.知識拓展：am·an·ap＝am＋n＋p(m，n，p都是正整數)。
九、教學反思
（一）課前反思
從教學目標來看，這節課旨在讓學生理解并掌握同底數冪的乘法法則，體會從特殊到一般的歸納過程。在備課過程中，需要進一步思考如何將抽象的數學概念與學生的實際生活相聯系，使教學目標更具可操作性和可檢測性。
關于教學方法，計劃采用問題引導和小組合作探究相結合的方式。但要提前預想學生在小組討論中可能遇到的問題，如討論偏離主題、個別學生參與度不高。為此，需要在課堂上加強巡視和引導，確保每個學生都能積極參與到學習中來。
在教學資源準備上，除了教材，還準備了多媒體課件輔助教學，通過動畫演示同底數冪乘法的運算過程，幫助學生理解。但要確保課件內容簡潔明了，重點突出，避免信息過多分散學生注意力。
課后反思
從教學目標達成來看，大部分學生能夠理解本節課的基礎概念，如冪的基本運算規則。通過課堂上的簡單例題演練，多數學生能初步運用所學知識進行計算，這表明在知識傳授層面取得了一定成效。在教學方法上，利用多媒體展示冪運算的實際應用場景，有效吸引了學生的注意力，激發了他們的學習興趣，幫助學生更好地理解抽象的數學概念與生活的聯系。
然而，教學過程中也暴露出一些問題。部分學生在復雜冪運算的理解上存在困難，反映出課堂練習的梯度設置不夠合理，對基礎薄弱學生的關注不足。在教學節奏把控上，由于部分內容講解過于細致，導致課堂總結環節有些倉促，未能充分引導學生自主歸納知識體系。
針對這些問題，在后續教學中，會優化練習設計，增加分層練習，滿足不同層次學生的需求。同時，更加合理地安排教學時間，確保每個教學環節都能扎實推進，引導學生積極參與課堂總結，加深對知識的理解與掌握，提升教學質量。

展開更多......

收起↑