資源簡介

第三節 乘法公式（第3課時）
教學設計
一、教學內容和內容解析
（一）教學內容
教材第20～21頁，乘法公式（3）
（二）教學內容解析
完全平方公式是初中數學代數部分的重要內容。它是在學生學習了整式的乘法、平方差公式之后進行的，是對多項式乘法中特殊形式的進一步探究。通過對完全平方公式的學習，不僅能簡化多項式乘法的運算，還為后續學習因式分解、一元二次方程等知識奠定基礎，在初中數學知識體系中起著承上啟下的作用。
在例題和習題的設置上，教材遵循由淺入深、循序漸進的原則。先安排直接運用公式進行計算的簡單題目，幫助學生熟悉公式的基本形式和運算方法；然后逐步增加難度，出現一些需要對式子進行適當變形后再運用公式的題目，培養學生的靈活運用能力和綜合解題能力。同時，還設置了一些實際應用問題，讓學生體會數學知識與生活實際的緊密聯系，提高學生運用數學知識解決實際問題的能力。
二、課程標準內容要求
推導公式：學生要經歷探索完全平方公式的過程，能夠通過多項式乘法法則等方法，如，，自主推導出完全平方公式，進一步發展符號感。
掌握特征：理解完全平方公式的結構特征，即完全平方公式展開后的結果是二次三項式，積中的兩項為兩數的平方，另一項是兩數積的 2 倍，且與原式中間的符號相同，簡記為 “首平方，尾平方，積的 2 倍放中間”。
簡單計算：能夠運用完全平方公式進行簡單的計算，如計算，在計算過程中準確確定公式中的a和b，做到不丟項、不弄錯符號、2ab時不少乘2。
理解意義：了解完全平方公式的幾何意義，能通過圖形的面積關系，如邊長為a+b的正方形面積與邊長為a、b的正方形和兩個長為a寬為b的長方形面積關系，來解釋完全平方公式。
三、教學目標和目標解析
（一）教學目標
1. 數學抽象
通過對具體的圖形面積計算以及整式乘法運算實例的觀察、分析，引導學生從特殊到一般，抽象概括出完全平方公式的結構特征，使學生經歷從具體到抽象的思維過程，提升學生的數學抽象素養。
2. 邏輯推理
在完全平方公式的推導過程中，無論是利用多項式乘法法則逐步推導，還是借助圖形面積的直觀驗證，都需要學生有條理地思考和表達，培養學生的邏輯推理能力，讓學生理解公式的來龍去脈，體會數學知識的嚴謹性。
3. 數學運算
學生能夠熟練運用完全平方公式進行簡單的整式乘法運算，包括直接套用公式計算以及對一些變形后的式子進行運算，提高學生的運算準確性和速度，培養學生良好的運算習慣和運算能力。
4.直觀想象
能夠通過對邊長為a+b 和a-b 的正方形圖形的分割與拼接，直觀理解完全平方公式 和 的幾何意義，將抽象的代數公式與具體的幾何圖形建立聯系。基于圖形的變化，如在邊長為a 的正方形基礎上，增加或減少小長方形，來動態地感受完全平方公式中各項的來源和相互關系，培養學生的空間想象能力和動態思維。借助直觀圖形，能夠自主推導完全平方公式，在推導過程中強化對圖形與公式對應關系的理解，提升從直觀到抽象的轉換能力。能運用完全平方公式的直觀模型，去解決一些簡單的實際幾何問題，例如計算圖形面積變化等，增強運用直觀想象解決問題的意識和能力。
5. 數學建模
引導學生在實際問題情境中，發現可以運用完全平方公式解決的問題，如利用完全平方公式計算物體的表面積、體積等相關問題，將實際問題轉化為數學模型，運用數學知識解決問題，增強學生的數學應用意識和數學建模素養。
（二）目標解析
《義務教育數學課程標準（2022年版）》中明確指出：
目標1的要求是：引導學生從具體的計算和實例中抽象出完全平方公式。例如，在解決一系列類似的面積計算、數值運算問題后，讓學生思考這些問題的共性，總結出完全平方公式的一般形式。這一過程培養學生從特殊到一般的歸納抽象能力，使學生能夠從具體情境中提煉出數學概念和規律，提升數學素養。
目標2的要求是：在學習完全平方公式時，引導學生通過觀察、歸納、推理等數學活動來推導公式。例如，從簡單的乘法運算 (a+b)(a+b) 入手，利用乘法分配律展開，即 a (a+b)+b (a+b)=a +ab+ba+b ，進而得出 (a+b) =a +2ab+b 。這個過程中，學生需要逐步分析每一步的運算依據，歸納出一般性的規律，從而自主發現并證明完全平方公式的正確性，極大地鍛煉了邏輯推理能力。
目標3的要求是：要求學生熟練掌握完全平方公式的運用，提高數學運算速度和準確性。學生不僅要能正向運用公式進行計算，如計算 (3x+2y) ，還要能逆向運用，如將 9x +12xy+4y 轉化為 (3x+2y) 的形式。通過大量針對性的練習，讓學生在不同類型的題目中鞏固公式的運用，提升運算技能，為后續更復雜的數學學習奠定基礎。
目標4的要求是：借助圖形來幫助學生理解完全平方公式，能有效培養直觀想象素養。比如，用邊長為 a 和 b 的小正方形以及長為 a 寬為 b 的長方形來拼大正方形。邊長為 (a+b) 的大正方形面積為 (a+b) ，它又可以看作是由一個邊長為 a 的正方形、一個邊長為 b 的正方形和兩個長為 a 寬為 b 的長方形組成，即 a +2ab+b 。通過這樣直觀的圖形展示，學生能夠更形象地理解公式，提高空間想象能力和解題效率。
目標5的要求是：數學建模強調將實際問題轉化為數學問題并求解。在完全平方公式的學習中，教師可以引入一些實際生活場景，如計算正方形場地擴建后的面積。假設原正方形邊長為 a，擴建后邊長增加 b，那么擴建后的面積就是 (a+b) ，通過完全平方公式可快速得出結果 a +2ab+b 。通過這樣的實際問題，培養學生運用完全平方公式建立數學模型，解決實際問題的能力，提升學生的數學應用意識和實踐能力。
四、學生學情分析
學生基礎情況
1.知識掌握：
整式運算基礎：學生已經學習了整式的概念、單項式與多項式的相關知識，并且掌握了整式的加減運算，能熟練進行合并同類項等操作，這為學習完全平方公式中涉及的多項式乘法運算奠定了基礎。
乘法運算基礎：學生在小學階段就已經熟練掌握了數的乘法運算，在七年級又學習了有理數的乘法法則，這使得他們在理解完全平方公式中各項乘積的計算時，不會存在太大的困難。
多項式乘法基礎：在學習完全平方公式之前，學生已經學習了多項式乘多項式的法則，通過運用該法則進行計算，學生已經積累了一定的多項式乘法運算經驗，這是學習完全平方公式的直接基礎。他們能夠理解通過乘法分配律將兩個多項式相乘展開的過程，為理解完全平方公式的推導過程做好了準備。
2.技能水平：
運算能力：經過之前整式加減運算以及有理數運算的訓練，學生具備了一定的運算能力，能夠進行基本的數值計算和簡單的整式化簡。但完全平方公式的運算相對更復雜，需要學生進一步提升運算的準確性和熟練度。
觀察能力：在前面的數學學習中，學生已經有了觀察數字、式子規律的經驗，對于一些簡單的數學規律能夠進行初步的觀察和總結。在學習完全平方公式時，他們能夠通過觀察公式的形式和特點，嘗試找出其中的規律。
邏輯思維能力：學生在學習幾何圖形等內容時，已經開始逐步培養邏輯思維能力，能夠進行一些簡單的推理和論證。在完全平方公式的學習中，他們可以嘗試通過邏輯推理來理解公式的推導過程和應用原理，但這種能力還比較薄弱，需要在公式的學習中進一步加強和鞏固。
學生學習難點
1.公式的理解
公式結構特征：完全平方公式具有特定的結構特征，學生可能難以準確把握。對于與，學生容易混淆，錯誤地認為=，忽略了中間項2ab。這是因為他們對公式的整體結構缺乏深入理解，沒有認識到完全平方是一個二項式自乘的結果，展開后應該包含三項。
字母的廣泛含義：公式中的a和b可以代表任意的數、單項式或多項式，這種字母含義的廣泛性對于七年級學生來說較難理解。
2.公式的推導
幾何推導理解：通過幾何圖形的面積來推導完全平方公式，要求學生具備一定的空間觀念和數形結合的能力。學生可能難以理解如何將一個邊長為a+b的正方形分割成幾個部分，并且通過這些部分的面積之和來得出。對于圖形的拼接、分割以及面積的計算和對應關系，部分學生可能會感到困惑。
代數推導過程：用多項式乘法法則推導完全平方公式，這個過程涉及到多項的乘法運算和合并同類項，步驟較多，學生在運算過程中容易出現符號錯誤或漏項的情況。而且他們可能對每一步的運算依據和邏輯關系理解不透徹，只是機械地記憶步驟，無法真正掌握推導的本質。
3.公式的應用
符號處理：在完全平方公式中，符號的處理至關重要。當遇到或時，學生容易出現符號錯誤，例如將展開為，忽略了負號的影響。這是因為他們沒有理解符號在公式中的變化規律，對于兩個數都是負數或者一正一負的情況，不能正確地根據公式進行展開。
靈活運用：完全平方公式在一些復雜的計算、化簡或求值問題中需要靈活運用，學生可能難以根據題目特點選擇合適的方法。例如，在中，要使它成為一個完全平方式，求k的值，這需要學生逆用完全平方公式，根據6x=2××3，得出k=。這種逆向思維和靈活運用公式的能力對于學生來說具有一定的挑戰性。
學生學習需求
1.知識基礎需求
學生需要理解完全平方公式的代數意義和幾何意義，明白公式是如何從多項式乘法推導而來的，以及它在代數運算中的作用。
2.解題技巧需求
能夠清晰識別完全平方公式的結構特征，即兩數和（或差）的平方，等于這兩數的平方和加上（或減去）這兩數乘積的 2 倍，學會區分公式中的a和b可以是具體的數、單項式或多項式。
3.實際應用需求
學生希望能夠通過實際問題的解決，感受完全平方公式在實際生活中的應用價值，學會將實際問題轉化為數學問題，建立數學模型，并用完全平方公式等數學知識進行求解，從而提高自己解決實際問題的能力。
4.學習方式需求
學生期望在課堂中通過自主探究、合作交流等方式，經歷完全平方公式的推導過程，培養自己的邏輯推理能力和代數推導能力，體會從特殊到一般的數學思想方法。
五、教學策略分析
1.教學目標設定策略
在新課程標準下，對于完全平方公式的認識，教學目標應設定為：讓學生理解完全平方公式的推導過程，掌握公式的結構特征，能夠運用公式進行簡單的計算。同時，培養學生的觀察、歸納、推理能力，體會從特殊到一般的數學思想。為達成這些目標，教師可以從具體的計算實例出發，引導學生觀察、分析，逐步歸納出完全平方公式。例如，通過計算 (a + 2) 、(3 - b) 等具體式子，讓學生感受計算過程中的規律。
2.教學方法選擇策略
情境教學法：創設生活情境，如計算正方形場地擴建后的面積問題。假設有一個邊長為 a 米的正方形場地，現在要將其邊長各增加 b 米，求擴建后的面積。通過這樣的實際問題，引出完全平方公式的探究，使學生感受到數學與生活的緊密聯系，提高學習興趣。
小組合作探究法：將學生分成小組，讓他們共同探究完全平方公式的特點和規律。在小組內，學生可以相互交流、討論，分享自己的想法和發現。例如，讓小組討論 (a + b) 展開后各項的系數和次數的規律，促進學生思維的碰撞和合作能力的提升。
多媒體輔助教學法：利用多媒體展示完全平方公式的動態推導過程，如通過動畫演示 (a + b) = a + 2ab + b 的幾何意義，即邊長為 a + b 的正方形可以分割成一個邊長為 a 的正方形、兩個長為 a 寬為 b 的長方形和一個邊長為 b 的正方形，直觀形象地幫助學生理解公式。
六、教學重難點
（一）重點：運用完全平方公式進行簡單的計算。
（二）難點：完全平方公式的推導過程，通過圖形拼接驗證完全平方公式。
七、教學過程
教學流程
活動一：舊知回顧，問題導入
【問題引入】
問題1 多項式與多項式相乘的運算法則是什么？
多項式與多項式相乘，先用一個多項式的每一項乘另一個多項式的每一項，再把所得的積相加。
問題2 由下面的兩個圖形你能得到哪個公式？
平方差公式：(a+b)(a-b)=a2-b2。
問題3 平方差公式的結構特點是什么？
左邊是兩個二項式的乘積，即兩數和與這兩數差的積；右邊是兩數的平方差。
設計意圖：利用舊知鋪墊，類比平方差公式的學習為進入新課做好理論準備。
活動二：交流合作，探究新知
探究點1 完全平方公式
問題1 說說你將如何計算下列各式，然后計算它們的結果：
(1)(m+3)2；(2)(2+3x)2。
用多項式與多項式相乘的運算法則進行計算：
（1）原式=(m+3)(m+3)=m2+3m+3m+9
=m2+2·3m+9=m2+6m+9；
（2）原式=(2+3x)(2+3x)=22+2·3x+2·3x+9x2
=4+2·2·3x+9x2=4+12x+9x2。
問題2 觀察以上算式及其運算結果，你有什么發現？用自己的語言敘述一下。
兩個數的和的平方，等于它們的平方和，加上它們的積的2倍。
問題3 你能用字母表示你發現的規律嗎？并驗證。
(a+b)2=a2+2ab+b2。
驗證：(a+b)2=（a+b）(a+b)=a2+ab+ab+b2=a2+2ab+b2。
問題4你能用右圖解釋你之前發現的規律嗎？
大正方形的面積為（a+b）2，
兩個小正方形的面積分別為a2，b2，
兩個小長方形的面積相等，均為ab，
根據大正方形的面積=兩個小正方形的面積和+兩個小長方形的面積和，
可得（a+b）2=a2+2ab+b2。
問題5 如何計算（a-b）2？并用你自己的語言敘述一下得到的式子。
(a-b)2=（a-b）(a-b)=a2-ab-ab+b2=a2-2ab+b2。
兩個數的差的平方，等于它們的平方和，減去它們的積的2倍。
問題6 請你仿照問題4，設計一個圖形解釋你在問題5得到的式子。
如圖，大正方形的面積為a2，
左上角小正方形的面積為（a-b）2，
右上角小長方形的面積為b（a-b），
下方大長方形的面積為ab，
根據左上角小正方形的面積=大正方形的面積-右上方小長方形的面積-下方大長方形的面積，
可得（a-b）2=a2-b（a-b）-ab=a2-2ab+b2。
例1 （教材P21例5）利用完全平方公式計算：
(1)(2x-3)2；
（2）(4x+5y)2；
(3)(mn-a)2。
解：(mn-a)2=(mn)2-2·mn·a+a2=m2n2-2amn+a2。
問題7 回顧借助幾何圖形解釋或分析問題的過程，對于形與數的聯系，你有哪些感悟？
借助幾何圖形解釋驗證平方差公式和完全平方公式，是數形結合思想的直觀體現，說明代數運算可以具備幾何背景，另一方面研究圖形也隱含了代數運算，兩者相輔相成，能夠相互轉化。數形結合可以更加了解本質特征，在今后的學習中應更多從這兩個方面著手，類比學習。
【對應訓練】
教材P21隨堂練習第1，2題。
設計意圖：讓學生經歷完全平方公式的推導過程，通過觀察、對比、分析得到公式的結構特征，歸納出完全平方公式，再借助幾何圖形對公式進行驗證，最后通過例題訓練學生正確應用公式進行計算。
活動三：變式訓練，鞏固提升
例 已知x+y=8，xy=12，求x2+y2的值。
解：因為x+y=8，xy=12，
所以x2+y2=(x+y)2-2xy=82-2×12=64-24=40。
【對應訓練】
已知ab=3，a-b=4，求2a2+7ab+2b2的值。
解：a2+b2=(a-b)2+2ab=42+2×3=22，
2a2+7ab+2b2=2(a2+b2)+7ab=2×22+7×3=44+21=65。
設計意圖:鞏固對完全平方公式的理解和加強公式的運用。
活動四：隨堂訓練，課堂總結
【隨堂訓練】相應練習。
【課堂總結】師生一起回顧本節課所學主要內容，并請學生回答以下問題：
1.你能用字母表達完全平方公式嗎？能用它進行簡單的計算嗎？
2.通過這節課你了解完全平方公式的幾何背景了嗎？能用圖形拼接的方法驗證完全平方公式嗎？
【知識結構】
【作業布置】
1.教材P25習題1.3第3，4，9，11，13題。
2.相應課時訓練。
八、板書設計
第3課時 完全平方公式的認識
1.完全平方公式：(a±b)2=a2±2ab+b2，語言描述：兩個數的和（或差）的平方，等于它們的平方
和，加（或減）它們的積的2倍。
2.利用圖形驗證完全平方公式：原理——面積相等。
九、教學反思
（一）課前反思
從教學目標來看，本堂課旨在讓學生理解完全平方公式的推導過程，掌握公式的結構特征，并能運用公式進行簡單的計算。回顧以往教學，部分學生對公式的理解僅停留在表面，難以靈活運用。因此，這次教學要更加注重引導學生自主推導公式，通過實例分析強化對公式結構的認識。
考慮到七年級學生正處于從算術思維向代數思維過渡的階段，他們對直觀、具體的事物接受度較高。所以在教學中，要多借助圖形、實例等幫助學生理解抽象的公式，降低學習難度。
在教學方法上，以往講授式教學可能導致學生被動接受知識。此次應增加小組合作探究環節，讓學生在交流討論中深入理解公式，培養他們的合作能力與自主探究能力。同時，引入多媒體教學手段，如動畫演示公式推導過程，使教學更加生動形象。
（二）課后反思
從教學目標達成來看，大部分學生能夠理解完全平方公式的形式，即 ，并能運用公式進行簡單的計算，這表明基本教學目標已初步實現。但仍有部分學生在公式的結構特征理解上存在困難，在計算時容易混淆符號，導致結果出錯，這反映出在公式推導過程中，對基礎薄弱學生的關注還不夠，教學深度和節奏把控有待優化。
教學方法上，我采用了從具體實例引入，讓學生通過計算、觀察、歸納的方式來探究完全平方公式。這種方式激發了學生的積極性，課堂上學生參與度較高，小組討論熱烈 。然而，在講解公式的幾何意義時，由于圖形展示不夠直觀，部分學生未能很好地理解代數與幾何之間的聯系，今后需要借助多媒體等更豐富的教學手段，將抽象知識直觀化。
在學生表現方面，課堂互動時，多數學生能跟上節奏，積極回答問題，但仍有少數學生較為被動。在今后的教學中，應更加關注這部分學生，設計分層教學環節，滿足不同層次學生的需求，鼓勵他們積極參與課堂。

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