資源簡介

第三節 乘法公式（第2課時）
教學設計
一、教學內容和內容解析
（一）教學內容
教材第19～20頁，乘法公式（2）
（二）教學內容解析
在新北師大版七年級數學下冊第一章第三節第二課時中，平方差公式的應用是整式乘除知識體系的關鍵部分。它不僅是對之前整式乘法運算的深化，更是后續學習因式分解、分式運算以及方程求解等內容的重要基礎，在初中數學代數學習進程里起著承上啟下的作用。
與前面知識聯系：學生在學習平方差公式應用之前，已經掌握了整式的乘法運算，平方差公式實際上是整式乘法中特殊形式的總結歸納。回顧多項式乘以多項式的法則，如(a + b)(c + d) = ac + ad + bc + bd，當c = a，d = -b時，就得到了平方差公式，這樣能幫助學生從已有知識出發，更好地理解平方差公式的來源和本質。
對后續知識影響：后續學習因式分解時，平方差公式是重要的分解方法之一。例如將x2 - 4進行因式分解，就是直接運用平方差公式得到(x + 2)(x - 2)。在分式運算中，若分子分母出現符合平方差公式形式的多項式，可利用公式進行化簡，為分式的約分、通分等運算奠定基礎。同時，在解方程、不等式等內容中，平方差公式也會經常被運用到。
二、課程標準內容要求
公式理解與掌握：學生要進一步深入理解平方差公式(a + b)(a - b)=a2-b2的意義，明確公式中a、b可以是具體的數，也可以是單項式、多項式等代數式，能夠準確識別平方差公式的結構特征。
計算能力培養：熟練運用平方差公式進行整式乘法的計算，包括直接應用公式計算簡單的式子，以及通過適當變形后應用公式進行計算，提高運算的準確性和速度。能夠利用平方差公式進行簡便運算，如計算接近整十、整百數的兩數乘積等，體會公式在簡化計算中的作用。
幾何意義認知：了解平方差公式的幾何背景，通過圖形的拼接、面積的計算等方式，直觀地理解平方差公式的合理性，體會數形結合的思想。比如能通過邊長為a的大正方形中去掉一個邊長為b的小正方形，剩余部分面積與拼成的長方形面積的關系來驗證平方差公式。
三、教學目標和目標解析
（一）教學目標
1. 數學抽象
學生能夠從實際問題或具體的數學運算中，觀察、分析出具有平方差公式結構特征的式子，將具體的數字、字母和運算關系抽象為平方差公式(a + b)(a - b)=a2-b2的形式，理解公式中a、b可以代表各種數或代數式，培養從具體到抽象的思維能力。熟練運用數學符號來表達平方差公式及其應用過程，能夠準確地用符號進行推理和運算，通過對公式的符號化表達，理解數學符號的簡潔性和一般性，提高對數學符號的理解和運用能力。
2. 邏輯推理
理解平方差公式的推導過程，能夠運用多項式乘法法則等已有知識，邏輯嚴謹地推導出平方差公式，體會從特殊到一般的推理過程，明白公式成立的依據和條件，發展邏輯推理能力。在運用平方差公式解決問題時，能夠依據公式的結構特征，進行合理的邏輯分析和推理。例如，在判斷一個式子是否可以運用平方差公式進行計算時，能夠通過對式子中各項的觀察和分析，進行有條理的思考和判斷，并能清晰地闡述推理過程。
3. 數學運算
學生要熟練掌握平方差公式的運算規則，能夠準確、快速地運用公式進行整式的乘法運算，提高運算的準確性和速度，如計算(3x + 2y)(3x - 2y)等簡單的整式乘法時，能直接運用公式得出9x2-4y2。學會運用平方差公式進行簡便運算，通過對式子的變形和轉化，將復雜的運算轉化為平方差公式的形式，從而簡化計算過程，培養運算技巧和靈活性，比如計算102×98時，能轉化為(100 + 2)(100 - 2)再進行計算。
4.直觀想象
借助幾何圖形來直觀理解平方差公式的幾何意義，如通過邊長為a和b的正方形面積的拼接與分割，直觀地展示平方差公式(a + b)(a - b)=a2-b2，幫助學生建立數與形之間的聯系，增強對公式的理解和記憶。
· 圖形輔助問題解決：在解決與平方差公式相關的問題時，能夠通過繪制幾何圖形來輔助思考，將抽象的數學問題轉化為直觀的圖形問題，利用圖形的直觀性來分析問題、尋找解題思路，培養學生的直觀想象能力和數形結合的思想。
5. 數學建模
能從實際生活中的問題情境中，抽象出數學模型，運用平方差公式來解決問題，如在計算圖形面積問題中，如果一個大正方形中挖去一個小正方形，大正方形邊長為a，小正方形邊長為b，則剩余部分面積可以用平方差公式a2-b2來表示，培養學生運用數學知識解決實際問題的能力。
模型的構建與應用：通過建立平方差公式的數學模型，解決一些具有類似結構的數學問題和實際問題，體會數學模型的通用性和有效性，提高學生的數學應用意識和建模能力。
（二）目標解析
《義務教育數學課程標準（2022年版）》中明確指出：
目標1的要求是：學生需要從具體的數字運算和代數式示例中，抽象出平方差公式a - b = (a + b)(a - b) 的一般形式。例如，通過計算(3 + 2)(3 - 2)與3 - 2 ，以及(5 + 1)(5 - 1)與5 - 1 等具體數值的運算結果對比，引導學生忽略具體數字，關注運算結構，從而抽象出平方差公式的結構特征，即兩個數的和與這兩個數的差的乘積等于這兩個數的平方差。
目標2的要求是：在學習平方差公式的應用前，學生需理解公式的推導過程，即通過多項式乘法(a + b)(a - b) = a·a - ab + ba - b·b = a - b ，這一推導過程蘊含著嚴密的邏輯推理。學生要明白每一步的依據，從乘法分配律到合并同類項，逐步推導出平方差公式，這有助于培養他們的邏輯思維能力。
目標3的要求是：學生要熟練掌握平方差公式，能夠準確無誤地運用公式進行各類代數式的運算。無論是簡單的(2a + b)(2a - b) ，還是復雜一些的(3x + 2y )(3x - 2y ），都能快速準確地得出結果，提高運算的準確性和速度。
目標4的要求是：借助幾何圖形幫助學生理解平方差公式的幾何意義。例如，通過邊長為\(a\)的大正方形中去掉一個邊長為b的小正方形，剩余部分的面積可以通過兩種方式表示，一種是大正方形面積a 減去小正方形面積b ，即a - b ；另一種是將剩余部分拼成一個長為(a + b) ，寬為(a - b)的長方形，其面積為(a + b)(a - b) ，通過這種直觀的圖形展示，讓學生更深刻地理解平方差公式的本質。
目標5的要求是：引導學生觀察生活中的實際問題，發現其中可以用平方差公式解決的數學模型。例如，在計算購買商品時的價格優惠問題，如果商品原價為a元，先提價b元后又降價b元，那么現在的價格就可以用平方差公式(a + b)(a - b)=a - b 來計算，幫助學生理解數學知識與實際生活的緊密聯系。
四、學生學情分析
學生基礎情況
1.知識掌握：
整式乘法運算基礎：學生需要熟練掌握整式的乘法運算規則，包括單項式乘以單項式、單項式乘以多項式、多項式乘以多項式等。這是學習平方差公式應用的前提，因為平方差公式本質上是多項式乘法的一種特殊形式。
平方差公式基本概念：學生已經學方差公式的基本概念和表達形式，即(a + b)(a - b)=a - b ，了解公式的結構特征，能夠識別公式中的a和b。
相關公式理解：學生對平方根的概念有了一定的理解，并且可能已經接觸過完全平方公式等其他相關公式，這有助于他們對比和區分不同公式的特點與應用場景。
2.技能水平：
邏輯推理能力：學生具備一定的邏輯推理能力，能夠在教師的引導下，通過觀察、分析具體的數學問題，嘗試進行歸納、總結和推理，從而理解平方差公式在不同情境下的應用規律。
數學運算能力：學生在之前的學習中已經積累了一定的數學運算經驗，具備了基本的計算能力。但對于平方差公式的應用，需要進一步提高運算的熟練度和準確性，特別是在處理較為復雜的式子或實際問題中的運算時。
自主學習與合作能力：學生應具有一定的自主學習能力，能夠在預習、課后復習等環節中，主動探索平方差公式的應用方法，嘗試解決問題。同時，也具備一定的小組合作能力，能夠在小組討論、合作探究等活動中，與同伴交流想法、共同解決問題。
學生學習難點
1.公式理解層面
對公式結構特征把握不準確：平方差公式(a + b)(a - b)=a - b ，學生可能難以準確識別公式中的a和b。比如在(3x + 2y)(3x - 5y)中，會錯誤地認為可以直接用平方差公式，忽略了2y與5y不相同這一關鍵，沒有理解公式中a與a相同、b與-b互為相反數的結構特征。
對公式中字母含義的理解局限：學生容易將公式中的a和b僅僅理解為單個的數字或字母，而對于a、b可以是單項式、多項式等復雜形式理解不到位。例如對于[(m + n)+p][(m + n)-p]，不能迅速將(m + n)看作公式中的a，p看作b來應用公式。
計算應用層面
在復雜運算中應用公式困難：當式子中存在多個運算或多項式相乘時，學生可能不知道該如何選擇和運用平方差公式。如計算(x + 2)(x - 2)(x^{2}+4)，學生可能不明白先利用平方差公式計算(x + 2)(x - 2)得x2-4后，再與(x2+4)繼續利用平方差公式計算。
公式逆用不熟練：平方差公式的逆用a - b =(a + b)(a - b)也是一個難點。比如對于9x -25y ，學生可能不能快速想到將其轉化為(3x + 5y)(3x - 5y)，在一些化簡求值或因式分解問題中，如果不能熟練逆用公式，就無法正確解題。
符號處理易出錯：在運用平方差公式時，符號的處理較為關鍵。例如計算(-2x - 3y)(2x - 3y)，學生可能會在確定a和b的值以及符號變化上出現錯誤，導致結果錯誤。
實際應用層面
解決實際問題時建立數學模型困難：當把平方差公式應用到實際問題中，如幾何圖形面積計算、數字規律探究等，學生難以將實際問題轉化為數學模型，找出其中可以應用平方差公式的數量關系。比如在一個大正方形中挖去一個小正方形，已知大正方形邊長比小正方形邊長多3，求剩余部分面積，學生可能無法想到用平方差公式來求解。
對實際問題中公式應用條件的判斷不準確：在實際問題中，需要學生判斷是否滿足平方差公式的應用條件。有些問題可能存在干擾信息，或者條件隱藏較深，學生難以準確判斷能否使用平方差公式以及如何使用。
學生學習需求
公式理解深化：學生要進一步理解平方差公式(a + b)(a - b)=a - b 的結構特征和意義，明確公式中a、b可以是具體數字、單項式，也可以是多項式等1。
運算能力提升：能夠熟練運用平方差公式進行整式乘法運算，包括直接應用公式計算簡單的多項式乘法，以及在較為復雜的多項式乘法中準確識別并運用平方差公式簡化計算過程，提高運算速度和準確性。
簡便計算應用：學會運用平方差公式進行簡便運算，如計算接近整十、整百等數的乘法，能將其轉化為平方差公式的形式來快速得出結果，像99×101=(100 - 1)(100 + 1)=1002-12=9999。
實際問題建模：能夠將實際問題中的數量關系抽象為數學模型，利用平方差公式解決實際問題，如計算幾何圖形的面積、解決生活中的經濟問題等。
五、教學策略分析
講授法：通過清晰的講解，向學生闡述平方差公式應用的基本原理和步驟，如在講解例題時，逐步分析解題思路。
練習法：安排針對性的練習題，讓學生在練習中鞏固平方差公式的應用，如簡單的多項式乘法計算、數值簡便運算等。
討論法：提出一些具有啟發性的問題，組織學生討論，如讓學生討論在什么情況下使用平方差公式能簡化計算，促進學生思維碰撞。
情境教學法：創設實際生活情境，如計算購買不同規格物品價格問題，將平方差公式應用融入其中，幫助學生理解公式的實用性。
六、教學重難點
（一）重點：會用自己的語言說明公式的特點及平方差公式的應用。
（二）難點：準確理解和掌握公式的結構特征及應用。
七、教學過程
教學流程
活動一：創設情境，導入新課
【情境引入】
如圖，邊長為a的大正方形中有一個邊長為b的小正方形．
　　　　　
提出問題：
(1)請表示圖①中陰影部分的面積；
解：S＝a2－b2；
(2)小穎將陰影部分拼成了一個長方形(如圖②)，這個長方形的長和寬分別是多少？你能表示出它的面積嗎？
解：長為a＋b，寬為a－b；S＝(a＋b)(a－b)；
(3)比較(1)(2)的結果，你能驗證平方差公式嗎？
(4)①敘述平方差公式的數學表達式及文字表達式；
②試比較公式的兩種表達式在應用上的差異．
(a＋b)(a－b)＝a2－b2.這節課，我們繼續用平方差公式來解決數學問題。
設計意圖：創設實際問題情境，感受平方差公式的幾何意義。
活動二：交流合作，探究新知
探究點
(1)計算下列各組算式，并觀察它們的共同特點：
發現：①都是乘法算式；②下面數字是上面兩個數字之間的中間數，這三個數字是相鄰數字；③上面算式結果比下面算式結果小1.
(2)從以上的過程中，你發現了什么規律？
比一個數多1和少1的兩個數的積，等于這個數的平方減1；
(3)請你用字母表示這一規律，并得出結論．
師生共同歸納：(a－1)(a＋1)＝a2－1.
設計意圖：讓學生經歷平方差公式的逆應用過程，通過觀察、對比、分析進一步公式的結構特征，理解公式中的a與b所對應的數或者式，進一步理解公式并正確應用公式進行計算。
活動三：變式訓練，鞏固提升
例1 用平方差公式進行計算：
(1)103×97；(2)118×122.
【方法指導】(1)103比100多3，97比100少3，可以寫成(100＋3)(100－3)，再用平方差公式計算；(2)118比120少2，122比120多2，可以寫成(120－2)(120＋2)，再用平方差公式計算．
解：(1)原式＝(100＋3)(100－3)
＝1002－32
＝9 991；
(2)原式＝(120－2)(120＋2)
＝1202－22
＝14 396.
例2 用平方差公式進行計算：
(1)20×19；(2)13.2×12.8.
【方法指導】(1)可改寫成×，利用平方差公式計算；(2)可改寫成(13＋0.2)×(13－0.2)，利用平方差公式計算．
解：(1)原式＝×
＝202－
＝399；
(2)原式＝(13＋0.2)×(13－0.2)
＝132－0.22
＝168.96.
例3 計算：
(1)a2(a＋b)(a－b)＋a2b2；
(2)(2x－5)(2x＋5)－2x(2x－3).
【方法指導】綜合應用單項式(多項式)乘多項式計算，注意平方差公式的結構特征，用平方差公式計算簡便．
解：(1)原式＝a2(a2－b2)＋a2b2
＝a4－a2b2＋a2b2
＝a4；
(2)原式＝4x2－25－4x2＋6x
＝6x－25.
例4 如圖①，在邊長為a的正方形中剪去一個邊長為b的小正方形(a＞b)，把剩下部分拼成一個梯形(如圖②)，利用這兩幅圖形的面積，可以驗證的乘法公式是____________．
　　　　
【方法指導】因為圖①中陰影部分的面積是a2－b2，圖②中梯形的面積是(2a＋2b)(a－b)＝(a＋b)(a－b)，所以a2－b2＝(a＋b)(a－b)，即可驗證的乘法公式為(a＋b)(a－b)＝a2－b2.
答案：(a＋b)(a－b)＝a2－b2.
設計意圖:鞏固對平方差公式的理解并加強公式的運用。
活動四：隨堂訓練，課堂總結
【隨堂訓練】
1．下列各式中，不能運用平方差公式計算的是(C)
A．(m－n)(－m－n) B．(－1＋mn)(1＋mn)
C．(－m＋n)(m－n) D．(3m－2)(3m＋2)
2．若m2－n2＝6，且m－n＝3，則m＋n的值為(B)
A．1 B．2 C．2或－2 D．4
3．某中學為了響應“發展體育運動，增強人民體質”的號召，決定建一個長方體游泳池．已知游泳池長為(4a2＋9b2)m，寬為(2a＋3b)m，高為(2a－3b)m，請你計算一下這個游泳池的容積是多少．
解：(4a2＋9b2)(2a＋3b)(2a－3b)
＝(4a2＋9b2)[(2a)2－(3b)2]
＝(4a2＋9b2)(4a2－9b2)
＝(4a2)2－(9b2)2
＝16a4－81b4(m3).
答：這個游泳池的容積是(16a4－81b4)m3.
4．課本P20隨堂練習第1題。
【課堂總結】師生一起回顧本節課所學主要內容，并請學生回答以下問題：
1.這節課你的主要收獲是什么？
2．在學習平方差公式的計算中，我們要會利用平方差公式進行簡便計算，靈活利用平方差公式特征來解決問題。
【知識結構】
【作業布置】
1.教材P24——25習題1.3第2，6題。
2.相應課時訓練。
八、板書設計
2. 平方差公式的應用
1.平方差公式的逆用：(a＋b)(a－b)＝a2－b2，語言描述：兩個數的和與兩個數差的積，等于它們的平方差。
2.利用圖形驗證平方差公式：原理——面積相等。
九、教學反思
（一）課前反思
學生在理解平方差公式的結構特征時，常常出現對公式中 a、b 的取值范圍理解不清晰的問題。部分學生容易將公式簡單記憶為兩項相乘的形式，而忽略了公式中兩項的符號特征以及它們之間的數量關系。這導致在實際應用時，學生無法準確判斷是否可以使用平方差公式，或者在套用公式時出現錯誤。例如，在計算 (2x + 3y)(2x - 3y) 時，部分學生可能會錯誤地寫成 (2x) + (3y) ，而沒有正確運用平方差公式得到 (2x) - (3y) 。
考慮到七年級學生的認知特點，他們正處于從具體形象思維向抽象邏輯思維過渡的階段。對于平方差公式這樣較為抽象的數學概念，僅僅依靠傳統的講授法難以讓學生深刻理解和掌握。因此，在本節課的教學中，我計劃采用多樣化的教學方法。首先，通過設計具體的生活情境問題，如計算一個邊長為 (a + b) 的正方形土地，在一邊增加 b，另一邊減少 b 后，新圖形的面積變化，讓學生在實際問題中感受平方差公式的應用價值，從而激發學生的學習興趣。然后，組織學生進行小組合作探究活動，讓他們通過自主探索、相互交流，深入分析平方差公式的結構特點，總結出公式應用的關鍵要點。在這個過程中，我將加強巡視指導，及時發現學生的問題并給予針對性的幫助。
從教學目標來看，本節課的教學目標是讓學生理解平方差公式的幾何意義，熟練掌握平方差公式的應用，并能運用平方差公式解決一些簡單的實際問題。為了實現這些目標，在教學過程中，我將注重引導學生從數與形兩個角度來理解平方差公式。通過展示圖形的拼接、割補等操作，讓學生直觀地看到平方差公式的幾何原理，進而加深對公式的理解。同時，設計一系列有針對性的練習題，從簡單的直接套用公式到復雜的變形應用，逐步提升學生運用平方差公式解決問題的能力。
在教學資源方面，我將充分利用多媒體教學手段，制作生動形象的教學課件。通過動畫演示、圖形展示等方式，將抽象的數學知識直觀地呈現給學生，幫助他們更好地理解和掌握。此外，還準備了一些實際生活中的案例資料，如建筑工程中的面積計算、商品價格的波動計算等，讓學生在解決實際問題的過程中，體會數學與生活的緊密聯系，提高學生運用數學知識解決實際問題的意識和能力。
（二）課后反思
在本次平方差公式應用的教學中，課程目標設定為讓學生熟練掌握平方差公式，并能靈活運用其進行計算和解決實際問題。從課堂表現來看，大部分學生能夠理解平方差公式(a + b)(a - b)=a - b 的結構特征，在簡單的數值計算題目中，如(3 + 2)(3 - 2)，多數學生能快速運用公式得出結果。
課堂練習環節，學生對于直接套用公式的題目完成度較高，但遇到一些變形題目，如(-x + y)(x + y)，部分學生就出現了混淆和錯誤。這反映出學生對公式中a和b的理解還不夠深入，未能準確把握公式中各項的對應關系。
在教學方法上，采用了講練結合的方式，通過例題講解引導學生理解公式應用，再讓學生通過練習鞏固。但在練習過程中，對學生個體差異關注不足，未能及時根據學生的掌握情況調整練習難度和進度。
為改進教學，后續可以增加更多具有針對性的變形練習，強化學生對公式結構的理解；同時，在課堂上加強對學生的巡視和指導，及時發現并解決學生的問題，根據學生實際情況調整教學節奏，滿足不同層次學生的學習需求。

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