資源簡介

第三節 乘法公式（第1課時）
教學設計
一、教學內容和內容解析
（一）教學內容
教材第18～19頁，乘法公式（1）
（二）教學內容解析
平方差公式是初中數學代數部分的重要內容，它是在學生已經學習了整式乘法的基礎上進行的。作為一種特殊的多項式乘法運算公式，平方差公式不僅是對整式乘法知識的進一步深化和拓展，而且為后續學習因式分解、分式運算等知識奠定了基礎，在整個初中數學知識體系中起著承上啟下的作用。
教材通過一個面積計算的實際問題情境，引導學生運用多項式乘法法則進行計算，從而發現特殊的運算規律，進而引出平方差公式。這樣的編排方式，讓學生感受到數學知識來源于生活實際，能夠激發學生的學習興趣和探究欲望。教材在給出平方差公式后，詳細展示了公式的推導過程，從具體的數值計算到一般的字母表示，讓學生逐步理解公式的形成過程，體會從特殊到一般的數學歸納方法，有助于培養學生的邏輯思維能力。另外，教材配備了大量不同層次、不同類型的例題和練習題，從簡單的直接應用公式計算，到對公式進行變形后的應用，逐步加深學生對公式的理解和掌握程度，同時也培養了學生分析問題和解決問題的能力。
二、課程標準內容要求
理解公式：學生要理解平方差公式(a + b)(a - b)=a2-b2的含義，清楚兩數和與這兩數差的積與它們平方差之間的關系。
掌握特征：掌握平方差公式的結構特征，明白公式左邊是兩個二項式相乘，且有一項完全相同，另一項互為相反數；右邊是相同項的平方減去相反項的平方。
學會運算：能夠運用平方差公式進行簡單的乘法運算，準確地對符合平方差公式形式的式子進行計算。
三、教學目標和目標解析
（一）教學目標
1. 數學抽象
學生能從具體的數字運算和幾何圖形面積計算等實例中，如計算(5 + 3)(5 - 3)與52-32的結果并觀察關系，以及邊長為a的大正方形中挖去邊長為b的小正方形求剩余面積等，抽象出平方差公式(a + b)(a - b)=a2-b2的符號表達形式，理解公式中a、b可以代表任意數或整式，把握公式的本質特征。
2. 邏輯推理
在探索平方差公式的過程中，通過對多個具體例子的計算、觀察、比較、分析，如計算(2 + 1)(2 - 1)、(3 + 2)(3 - 2)等，歸納猜想出平方差公式的形式，培養從特殊到一般的合情推理能力。
演繹推理：利用多項式乘法法則(a + b)(c + d)=ac + ad + bc + bd，對(a + b)(a - b)進行展開推導，得出a2-b2，這一過程培養學生從已知的乘法法則出發，進行嚴謹的演繹推理，證明公式的正確性的能力。
3. 數學運算
學生能夠準確運用平方差公式進行簡單的數值計算和整式化簡，如計算(100 + 1)(100 - 1)，(2x + y)(2x - y)等，提高運算的速度和準確性。
靈活運算：學會對式子進行適當變形后運用平方差公式，如計算(-3x - 5y)(5y - 3x)時，能將其變形為(-3x - 5y)(-3x + 5y)再進行計算，培養運算的靈活性和技巧性。
4.直觀想象
通過構造幾何圖形，如邊長為a和b的兩個正方形的組合圖形來解釋平方差公式的幾何意義，讓學生直觀地理解a2-b2與(a + b)(a - b)之間的關系，增強學生利用幾何圖形解決代數問題的意識和能力。在解決一些與平方差公式相關的立體幾何問題或動態幾何問題時，能在腦海中構建出相應的空間圖形和變化過程，如一個長方體的棱長變化與表面積變化可以用平方差公式來分析等，提升空間想象能力。
5. 數學建模
能從生活和數學中的實際問題，如計算土地面積的增減、物體運動的距離差等，抽象出平方差公式的數學模型，建立問題與公式之間的聯系，運用公式解決實際問題，體會數學的應用價值。在掌握平方差公式基本模型的基礎上，能將其拓展應用到更復雜的數學問題和實際情境中，如解決一些具有一定變化規律的數列問題、經濟增長模型中的差值計算等，培養學生的數學建模和創新意識。
（二）目標解析
《義務教育數學課程標準（2022年版）》中明確指出：
目標1的要求是：在平方差公式的教學中，引導學生從具體的多項式乘法運算實例出發，如計算(x + 1)(x - 1)、(n + 2)(n - 2) 、(x - 2y)(x + 2y)等，觀察這些式子的結構特點以及運算結果的特征。學生通過對多個這樣具體例子的計算和分析，舍去式子中具體數字和字母的非本質屬性，抽象概括出平方差公式的一般形式a2-b2 = (a + b)(a - b) 。這個過程讓學生學會從具體的數學現象中提煉出抽象的數學概念和公式，提升數學抽象能力，使其能夠透過現象看本質，把握數學知識的內在結構和規律。
目標2的要求是：在探索平方差公式的推導過程中，培養學生的邏輯推理能力。例如通過幾何圖形的面積計算來驗證平方差公式，在邊長為a的正方形中，減去一個邊長為b的小正方形，剩余圖形的面積可以表示為a2-b2 ；同時，將剩余圖形通過割補法轉化為長為a + b，寬為a - b的長方形，其面積為(a + b)(a - b) 。通過這樣的幾何直觀演示，讓學生從圖形的轉化和面積的不變性出發，進行合理的邏輯推導，得出a2-b2 = (a + b)(a - b) 。在代數推導中，運用多項式乘法法則(a + b)(a - b)=a2-ab+ab-b2，通過合并同類項得出平方差公式，這一過程體現了從已知的多項式乘法法則出發，按照一定的邏輯規則進行推導，得出新的數學結論的過程，有助于學生邏輯推理素養的形成。
目標3的要求是：平方差公式的學習為學生進行數學運算提供了更簡便的方法，能有效提升學生的數學運算能力。在應用環節，學生需要準確識別題目中哪些式子符合平方差公式的結構特征，然后運用公式進行計算。例如計算(3x - 5)(3x + 5） ，學生要能判斷出這里a = 3x，b = 5，然后根據公式快速得出(3x)2 - 52 = 9x2 - 25 。在解決一些復雜的整式乘法運算時，學生通過運用平方差公式進行變形和計算，不僅提高了運算的準確性，還加快了運算速度，在反復練習和應用中，不斷優化運算方法，強化數學運算素養。
目標4的要求是：在教學時，教師可借助正方形、矩形等幾何圖形來展示平方差公式。比如，在一個邊長為a的正方形中，挖去一個邊長為b的小正方形，剩余部分的面積就可以用a2-b2來表示。同時，將剩余部分進行拼接轉化為長為a + b、寬為a - b的矩形，其面積又可表示為(a + b)(a - b)。通過這樣的圖形演示，學生能夠直觀地看到a2-b2與(a + b)(a - b)之間的聯系，從而理解平方差公式的幾何意義。這不僅有助于學生對公式的記憶，更能讓學生從直觀的角度體會到數學知識之間的內在聯系，發展他們的直觀想象能力。
目標5的要求是：通過解決實際問題，培養學生運用平方差公式建立數學模型的能力。例如在計算幾何圖形面積問題中，如果已知一個大正方形的邊長比小正方形的邊長多某個數值，求兩個正方形面積之差，就可以引導學生將其轉化為平方差公式的數學模型來求解 。又如在實際生活中，遇到價格波動、數量變化等問題，若能抽象成兩個量的和與差的乘積形式，也可以運用平方差公式進行分析和計算。學生在將實際問題轉化為數學問題，并運用平方差公式建立模型求解的過程中，逐步形成數學建模素養，學會用數學的眼光觀察世界，用數學的思維分析世界，用數學的語言表達世界。
四、學生學情分析
學生基礎情況
1.知識掌握：
整式運算基礎：學生已經學習了整式的概念、單項式與多項式的乘法等知識，能夠進行簡單的整式乘法運算，如a(b + c)=ab + ac，這為推導平方差公式提供了運算基礎。
有理數運算基礎：學生在之前的學習中熟練掌握了有理數的加、減、乘、除、乘方等運算，能夠準確進行數值計算，這有助于理解平方差公式中各項的數值運算。
代數式求值基礎：學生已經學會了用具體的數值代入代數式進行求值，對于用字母表示數的思想有了一定的理解，能在具體情境中用代數式表示數量關系，這使他們在學習平方差公式時，更容易理解公式中字母的含義和作用。
2.技能水平：
觀察能力：經過一段時間的數學學習，學生具備了一定的觀察能力，能夠觀察到一些數學式子的特征和規律。在學習平方差公式時，他們可以通過觀察式子的形式，如(a + b)(a - b)，發現其與已學的整式乘法的不同之處和特點。
運算技能：學生通過大量的整式乘法運算練習，已經具備了一定的運算技能和運算速度，能夠較為熟練地運用乘法分配律等進行計算，這為推導和運用平方差公式進行計算提供了技能保障。
初步的邏輯推理能力：在之前的數學學習中，學生經歷了一些簡單的推理過程，如說明幾何圖形的一些性質等，具備了初步的邏輯推理能力。在推導平方差公式時，他們能夠根據已有的知識和運算規則，進行一定的邏輯推導和論證。
學生學習難點
1.公式的理解
結構特征把握困難：平方差公式(a + b)(a - b)=a2-b2具有獨特的結構特征，學生可能難以準確理解和把握。對于公式中相同項\(a\)與互為相反數的項b和-b的識別會存在困難，在具體題目中，當式子的形式較為復雜或不是以標準形式呈現時，如(2x + 3y)(-3y + 2x)，學生可能無法快速準確地判斷出可以運用平方差公式，也難以確定哪個是a，哪個是b。
公式本質理解不深：學生可能只是機械地記憶公式的形式，而不理解公式所蘊含的數學原理和本質。平方差公式實際上是多項式乘法的一種特殊情況，是通過幾何圖形面積的計算或多項式乘法法則推導出來的，但學生可能對推導過程理解不透徹，導致在運用公式時只是生搬硬套，不能靈活運用。
公式的運用
系數和指數的處理：當公式中的a和b是含有系數和指數的代數式時，學生容易出現錯誤。例如計算(3x2+2y)(3x2-2y)，在運用公式時需要對系數和指數進行正確的運算，學生可能會忘記對系數進行平方，或者在指數運算上出現錯誤，誤寫成(3x2)2}-2y2或3(x2)2-(2y)2等。
多次運用公式的混淆：在一些較為復雜的題目中，可能需要多次運用平方差公式才能得出結果，這對學生來說難度較大。例如(a + b)(a - b)(a2+b2)(a4+b4)，學生需要先利用平方差公式計算(a + b)(a - b)=a2-b2，然后再將(a2-b2)與(a2+b2)繼續利用平方差公式計算，依次類推。在這個過程中，學生很容易在多次運用公式時出現混淆，忘記已經計算到哪一步，或者在符號和運算上出現錯誤。
與其他公式的混淆：在學習了多個乘法公式后，學生容易將平方差公式與完全平方公式等其他公式混淆。例如把(a - b)(a + b)錯誤地寫成a2-2ab + b2，或者在應該使用完全平方公式的題目中錯誤地使用平方差公式。
實際問題中的應用
問題轉化困難：將實際問題轉化為數學模型并運用平方差公式求解，對學生來說具有一定的挑戰性。學生需要能夠從實際問題中抽象出數學關系，判斷是否可以使用平方差公式，然后建立相應的數學表達式進行計算。例如，在計算一個長方形的長和寬分別增加和減少相同的長度后面積的變化問題時，學生需要將長和寬的變化用代數式表示出來，再利用平方差公式計算面積的變化量，但很多學生在這一轉化過程中會遇到困難。
結果的實際意義理解：即使學生能夠正確地運用平方差公式得出計算結果，也可能在理解結果的實際意義上存在困難。他們可能只是關注于數學計算，而忽略了結果在實際問題中的含義，無法對結果進行合理的解釋和應用。
學生學習需求
1.知識基礎需求
理解公式本質：學生需要理解平方差公式(a + b)(a - b)=a2-b2的結構特征和本質含義，明白它是對多項式乘法的一種特殊情況的歸納和總結，能夠識別公式中的a和b可以是具體的數字、字母，也可以是單項式或多項式。
掌握公式推導：學生應掌握平方差公式的推導過程，通過多項式乘法法則(a + b)(c + d)=ac + ad + bc + bd，將(a + b)(a - b)展開得到a2-ab + ab - b2=a2-b2，這種從一般到特殊的推導方式有助于學生理解公式的來源，增強對公式的記憶和運用能力。
學會公式運用：學生要能夠熟練運用平方差公式進行簡單的整式乘法運算，能夠準確地將給定的式子轉化為平方差公式的形式，然后進行計算，并且能夠利用平方差公式簡化一些復雜的計算問題。
2.素養需求
數學抽象素養：學生要能夠從具體的數學問題和情境中，抽象出平方差公式的數學模型，將實際問題轉化為數學問題，并用平方差公式進行解決，提高數學抽象能力。
數學運算素養：通過運用平方差公式進行運算，學生需要提升數學運算素養，不僅要保證運算結果的準確性，還要注重運算的合理性和簡潔性，能夠根據式子的特點靈活運用公式進行簡便運算。
五、教學策略分析
情境導入策略：創設生活情境，如計算一個邊長為 (a + b) 米的正方形場地，在一邊減少 b 米，另一邊增加 b 米后，新場地的面積與原場地面積的差值。通過實際問題引出平方差公式的探究，讓學生感受到數學與生活的緊密聯系，激發學生的學習興趣。
探究式教學策略：引導學生通過多項式乘法法則計算 (a + b)(a - b)，讓學生自主觀察計算結果，發現規律，嘗試歸納出平方差公式。在這個過程中，教師給予適當的引導和提示，鼓勵學生大膽質疑、積極思考，培養學生的自主探究能力。
小組合作學習策略：組織學生進行小組合作，共同完成一些與平方差公式相關的拓展練習，如利用平方差公式進行簡便運算，討論公式中字母 a、b 可以表示的不同形式等。通過小組合作，促進學生之間的交流與思維碰撞，培養學生的合作意識和團隊精神。
多媒體輔助教學策略：運用多媒體展示平方差公式的幾何意義，通過圖形的動態變化，讓學生更加直觀地理解公式的本質。同時，利用多媒體展示一些典型例題和練習題，提高課堂教學效率。
六、教學重難點
（一）重點：探索平方差公式的過程。
（二）難點：會用平方差公式進行計算。
七、教學過程
教學流程
活動一：創設情境，導入新課
【情境引入】
1．回顧整式乘法中多項式與多項式相乘：多項式與多項式相乘，先用一個多項式的每一項乘另一個多項式的每一項，再把所得的積相加．用字母表示為(m＋b)(n＋a)＝mn＋ma＋bn＋ba.
2．老王把一塊邊長為x m的正方形土地租給老張種植，有一天，老王對老張說：“我把這塊地的東邊減少5 m，再在北邊增加5 m，繼續租給你，你也沒有吃虧，你看如何？”老張一聽覺得沒有吃虧，就答應了，回到家中，他把這件事對兒子講了，兒子一聽，說：“你吃虧了．”老張非常吃驚，同學們，你能說出這是為什么嗎？
解：因為(x－5)(x＋5)＝x2－25，x2－25比原土地面積x2小，所以吃虧了．
這節課我們來學習類似(x－5)(x＋5)這樣的多項式的乘法公式．
設計意圖：利用生活情境得出平方差公式模型，自然課題。
活動二：交流合作，探究新知
探究點1 探究平方差公式
計算下列各題：
(1)(x＋2)(x－2); (2)(1＋3a)(1－3a)；
(3)(x＋5y)(x－5y); (4)(2y＋z)(2y－z).
解：(1)原式＝x2－22＝x2－4; (2)原式＝1－(3a)2＝1－9a2；
(3)原式＝x2－(5y)2＝x2－25y2; (4)原式＝(2y)2－z2＝4y2－z2.
探究點2 歸納平方差公式的特征
(1)(x＋2)(x－2)＝x2－4；
(2)(1＋3a)(1－3a)＝1－9a2；
(3)(x＋5y)(x－5y)＝x2－25y2；
(4)(2y＋z)(2y－z)＝4y2－z2.
問題：觀察、分析這組題目，左邊的算式具有什么共同特征？右邊的結果有什么共同特征？
左邊的算式是兩個二項式相乘，并且有一項完全相同，另一項互為相反數．右邊的結果是乘式中兩項的平方差，即(相同項)2－(互為相反數的項)2．
師生共同歸納：平方差公式：兩數和與這兩數差的積，等于它們的平方差．字母表示為(a＋b)(a－b)＝a2－b2.
設計意圖：讓學生經歷=平方差公式的推導過程，通過觀察、對比、分析得到公式的結構特征，歸納出平方差公式。
活動三：變式訓練，鞏固提升
例1 利用平方差公式計算：
(1)(5＋6x)(5－6x)；　(2)(x－2y)(x＋2y)；　(3)(－m＋n)(－m－n).
【方法指導】直接用平方差公式計算．
解：(1)原式＝52－(6x)2＝25－36x2；
(2)原式＝x2－(2y)2＝x2－4y2；
(3)原式＝(－m)2－n2＝m2－n2.
例2 利用平方差公式計算：
(1)； (2)(ab＋8)(ab－8).
【方法指導】進一步理解平方差公式，ab在(2)中可以表示一個整式．
解：(1)原式＝－y2＝x2－y2；
(2)原式＝(ab)2－82＝a2b2－64.
例3 計算(a－1)(a＋1)(a2＋1)(a4＋1)(a8＋1)＋1的結果是()
A．2a8 B．a16 C．a8 D．a16－1
【方法指導】先觀察算式符合平方差公式特點，(a－1)(a＋1)＝a2－1，再用(a2－1)(a2＋1)＝a4－1，(a4－1)(a4＋1)＝a8－1，(a8－1)(a8＋1)＝a16－1，a16－1＋1＝a16，得到結果是a16.
答案：B
設計意圖:鞏固對平方差公式的理解和加強公式的運用。
活動四：隨堂訓練，課堂總結
【隨堂訓練】
1．判斷正誤，如果錯誤，應怎樣改正？
(1)(－a－b)(a－b)＝－a2＋b2；(√)
(2)(－a＋b)(－a－b)＝－a2－b2；(×)
改正：(－a＋b)(－a－b)＝a2－b2；
(3)(2x＋3)(2x－3)＝2x2－9；(×)
改正：(2x＋3)(2x－3)＝4x2－9；
(4)(3x－1)(－3x－1)＝9x2－1.(×)
改正：(3x－1)(－3x－1)＝1－9x2.
2．計算：(1)(a－b)(a＋b)(a2＋b2)；
(2)(－3m－0.5xy).
解：(1)原式＝a4－b4；(2)原式＝9m2－x2y2.
3．課本P19隨堂練習第1題。.
【課堂總結】師生一起回顧本節課所學主要內容，并請學生回答以下問題：
1.本節課你學到了哪些數學知識？平方差公式的結構特征是什么？
2．我們為什么要學習平方差公式，學了它我們能做什么呢？
【知識結構】
【作業布置】
1.教材P24習題1.3第1題。
2.相應課時訓練。
八、板書設計
1. 平方差公式的認識
1.平方差公式的特征：左邊是兩個二項式相乘，并且這兩個二項式有一項完全相同，另一項互為相反數；右邊是左邊的相同項的平方減去互為相反數的項的平方。
2.公式(a＋b)(a－b)＝a2－b2中的字母a，b可以是單項式，也可以是多項式。
九、教學反思
（一）課前反思
從學情來看，七年級學生正處于從算術思維向代數思維過渡的關鍵階段。他們已經掌握了有理數運算、整式的加減等基礎知識，對簡單的代數式運算有了一定經驗，但對于抽象的數學公式推導和理解可能存在困難。在之前的學習中，學生多是直觀地認識數學概念，而平方差公式較為抽象，如何引導他們從具體運算過渡到公式的抽象概括，是教學面臨的挑戰。
教學目標設定上，知識與技能目標是讓學生理解平方差公式的結構特征，能正確運用公式進行簡單計算；過程與方法目標是通過經歷探索平方差公式的過程，培養學生觀察、歸納、概括等能力；情感態度與價值觀目標是在探索活動中，培養學生合作交流的意識和勇于探索的精神。然而，在實際教學中，要確保各層次學生都能在達成目標上有所收獲，還需在教學方法和練習設計上多下功夫。
教學方法方面，計劃采用情境導入法，通過創設生活中的實際問題情境，引出平方差公式的探究，激發學生興趣。在探究過程中，運用小組合作探究法，讓學生通過計算、觀察、比較等活動，自主發現平方差公式。但在小組合作中，可能會出現部分學生參與度不高的情況，需要提前考慮如何有效引導和監督。
（二）課后反思
教學目標達成情況：教學目標設定為讓學生理解平方差公式的結構特征，能夠熟練運用公式進行簡單計算，并經歷公式的推導過程，培養學生的觀察、歸納和推理能力。從課堂練習和學生的反應來看，大部分學生能夠識別平方差公式的形式，運用公式進行基本的計算。然而，在復雜一點的題目中，如對公式中 a、b 的識別出現混淆時，部分學生就難以準確解題，這表明學生對公式的理解還不夠深入，在后續教學中需要加強對公式本質的剖析練習。
教學方法運用：采用了情境引入、小組合作探究以及多媒體輔助教學的方法。通過創設生活中的實際問題情境，激發了學生的學習興趣，讓學生感受到數學與生活的緊密聯系。在小組合作探究環節，學生積極討論，相互交流想法，在合作中共同推導平方差公式，培養了合作能力和自主探究能力。多媒體的使用，將抽象的公式以直觀的形式展示，幫助學生更好地理解。但在小組合作過程中，個別小組討論效率不高，存在部分學生參與度低的情況，以后要加強小組合作的組織和引導。
學生參與度：課堂上大部分學生能夠積極參與到提問、討論等環節，但仍有少數學生較為被動。在今后的教學中，要關注這部分學生，采用多樣化的提問方式，鼓勵他們積極發言，提高他們的課堂參與度。
改進措施:
1.增加典型例題和針對性練習，尤其是對公式中 a、b 不同形式的強化練習，加深學生對公式結構的理解。
2.優化小組合作學習的組織形式，明確小組分工，提高小組討論的效率。
3.設計更多有趣的教學活動，激發學生的學習興趣，讓全體學生都能積極主動地參與到數學學習中。

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