資源簡介

第二節 整式的乘法（第1課時）
教學設計
一、教學內容和內容解析
（一）教學內容
教材第12～13頁，整式的乘法（1）
（二）教學內容解析
1.教材地位
整式的乘法是整式運算的重要內容，而單項式乘以單項式是整式乘法的起始內容，是后續學習單項式乘以多項式、多項式乘以多項式以及乘法公式的基礎。它在整式運算體系中起著承上啟下的作用，連接著有理數的運算和更復雜的整式運算。
2.內容編排特點
教材從實際問題引入，如用含字母的式子表示圖形的面積等，讓學生感受到數學與生活的緊密聯系，激發學生的學習興趣。通過實際問題列出單項式乘法的式子，自然地引出本節課的學習內容。
教材注重知識的形成過程，先通過具體的數字系數和簡單字母指數的單項式相乘的例子，如3x2y·2xy2 ，讓學生進行計算，觀察計算過程中系數和字母指數的變化規律，再歸納出一般的單項式乘以單項式的法則。這種從特殊到一般的編排方式符合學生的認知規律。
3.與前后知識的聯系
與前面所學的有理數乘法、同底數冪的乘法等知識密切相關。單項式乘以單項式的系數計算運用有理數乘法法則，字母部分的運算運用同底數冪的乘法法則。同時，本節課的知識也為后面學習整式的除法以及因式分解等內容奠定基礎。
二、課程標準內容要求
理解法則：學生要理解單項式乘以單項式的運算法則，明確單項式乘法是基于乘法交換律、結合律以及同底數冪的乘法法則等基礎上推導而來的。·
掌握運算：能夠熟練運用單項式乘以單項式的法則進行計算，準確計算出單項式相乘的結果，包括系數的相乘以及相同字母的冪的運算，對于只在一個單項式里含有的字母，要能連同它的指數作為積的一個因式。
三、教學目標和目標解析
（一）教學目標
1. 數學抽象
能從具體的實際問題情境中抽象出單項式乘以單項式的數學模型，比如通過計算長方形面積（長和寬分別為單項式形式）等實際問題，理解用單項式表示數量關系，進而抽象出單項式乘法運算，提升學生從具體到抽象的思維能力。引導學生透過單項式乘以單項式的運算表象，抽象概括出其運算的本質特征和運算法則，使學生能夠準確把握單項式乘法運算的內涵。
2. 邏輯推理
在推導單項式乘以單項式運算法則的過程中，依據有理數乘法、同底數冪乘法等已有知識，通過合理的邏輯推導得出新的運算法則 ，培養學生有條理的思考和嚴謹的邏輯推理能力。運用單項式乘以單項式的運算法則進行計算和解決問題時，能夠清晰地闡述每一步計算的依據，培養學生言必有據的邏輯思維習慣。
3. 數學運算
學生能夠熟練、準確地運用單項式乘以單項式的運算法則進行運算，包括系數的乘法、同底數冪的乘法以及單獨字母的處理，提高學生的運算能力和運算速度。通過多樣化的練習，讓學生學會在運算過程中靈活運用運算律，簡化運算過程，培養學生的運算技巧和策略選擇能力。
4.直觀想象
借助圖形（如用長方形面積模型來解釋單項式乘以單項式的運算原理），幫助學生直觀地理解單項式乘以單項式的意義和運算過程，將抽象的數學運算與直觀的圖形相結合，發展學生的幾何直觀和空間想象能力。
5. 數學建模
引導學生運用單項式乘以單項式的知識解決實際生活中的問題，如計算工程用料面積、體積等，建立數學模型，提高學生運用數學知識解決實際問題的能力，增強學生的數學應用意識。讓學生經歷從實際問題到建立數學模型，再到求解和驗證模型的過程，培養學生的數學建模素養和創新實踐能力。
（二）目標解析
《義務教育數學課程標準（2022年版）》中明確指出：
目標1的要求是：能夠從具體的數字乘法運算實例中，抽象出單項式乘以單項式的運算模型，理解單項式乘法的本質是系數、同底數冪分別相乘。如通過 3a 2a 這樣的式子，引導學生把系數 3 和 2，同底數冪 a 和 a 分別看作整體進行運算，從而抽象出單項式乘法法則。
目標2的要求是：依據乘法交換律、結合律以及同底數冪的乘法法則，推導單項式乘以單項式的運算法則。例如在計算 4x y 3xy 時，根據乘法交換律和結合律變形為 (4×3) (x x) (y y ) ，再依據同底數冪乘法法則得出結果，這個過程就是邏輯推理的體現。
目標3的要求是：學生能熟練準確地進行單項式乘以單項式的運算，掌握運算的步驟和方法，提高運算能力。
比如計算 -5m n 4mn ，能正確計算系數 -5×4=-20，同底數冪 m m=m ，n n =n ，最后得出結果為 -20m n 。
目標4的要求是：借助圖形直觀理解單項式乘以單項式的算理，如通過長方形面積的分割與組合，直觀呈現單項式乘法的運算過程。
可以畫出長為 a+b，寬為 c 的長方形，將其分割為長為 a 寬為 c 和長為 b 寬為 c 的兩個小長方形，從面積角度理解 (a + b) c = ac + bc ，類似的方式也可用于理解單項式乘法。
目標5的要求是：能運用單項式乘以單項式的知識解決實際生活中的問題，建立數學模型。
如在計算長方形面積時，若長為 3a ，寬為 2b ，則可通過單項式乘法建立面積模型 S = 3a 2b = 6ab 。
四、學生學情分析
學生基礎情況
1.知識掌握：
學生在小學階段已經學習了整數的乘法運算，對乘法的基本概念和運算法則有了一定的了解，例如乘法交換律、結合律等，這為學習單項式乘以單項式提供了運算基礎。
在七年級上冊，學生已經學習了整式的相關概念，如單項式、多項式、系數、次數等，能夠準確識別單項式的系數和次數，這是學習單項式乘法的重要前提。
2.技能水平：
學生已經具備了一定的觀察、分析和歸納能力，能夠通過觀察簡單的數學現象，發現一些初步的規律，并嘗試進行歸納總結。在學習單項式乘以單項式時，他們可以通過觀察算式的特點，嘗試找出運算的規律。
具有一定的邏輯思維能力，能夠進行簡單的邏輯推理和運算。在整式的加減運算學習中，學生已經經歷了一定的邏輯推理過程，這有助于他們理解單項式乘法的算理。
學生學習難點
1.對運算法則的理解
乘法交換律和結合律的運用：在單項式乘以單項式的運算中，需要運用乘法交換律和結合律將系數與系數相乘、同底數冪與同底數冪相乘。對于剛接觸這些知識的七年級學生來說，可能難以理解為什么要這樣做以及如何正確地運用這些運算律。例如計算3a2b· 2ab3，學生可能不明白為什么要先將3與2相乘，a2與a相乘，b與b3相乘，而不是按照式子原來的順序直接計算。
法則的推導過程：單項式乘以單項式的法則是通過乘法的交換律、結合律以及同底數冪的乘法法則推導出來的。學生在理解這個推導過程時可能會有困難，因為這涉及到多個數學概念和法則的綜合運用。如果學生對前面的知識掌握不牢固，就很難理解單項式乘以單項式法則的合理性和正確性，從而影響對法則的記憶和運用。
2.運算中的符號處理
正負號的確定：當單項式的系數為負數時，學生在計算過程中容易出現符號錯誤。例如計算(-2x2y)·3xy2，學生可能會忘記將系數-2和3相乘得到-6，或者在計算同底數冪相乘時忽略符號的影響。
多個負號的運算：如果式子中出現多個帶有負號的單項式相乘，符號的處理會更加復雜，學生更容易出錯。比如(-3a2b)·(-2ab2)·(-4a3b3))，學生需要根據 “負負得正” 的原則，正確判斷最終結果的符號，這對學生的符號感和運算能力是一個較大的挑戰。
不同底數冪的處理
化為同底數冪：當遇到底數不同但可以通過變形化為同底數冪的情況時，學生可能不知道如何進行轉化。例如計算\(2^{3}\times 4^{2}\times 8\)，需要將\(4\)化為\(2^{2}\)，\(8\)化為\(2^{3}\)，然后再根據同底數冪的乘法法則進行計算。學生如果對冪的意義和同底數冪的概念理解不深刻，就很難想到這種轉化方法。
無法化為同底數冪：當兩個單項式的底數不能化為同底數時，學生可能會感到困惑，不知道該如何進行計算。例如32×53，這種情況下不能直接運用單項式乘以單項式的法則進行簡便計算，學生可能會試圖強行將其轉化為同底數冪，或者不知道該如何處理，導致計算錯誤或無法進行下去。
綜合運算中的錯誤
與其他運算的混淆：當單項式乘以單項式與其他運算（如加法、減法、冪的乘方等）混合在一起時，學生可能會忘記運算順序，或者對不同運算的法則產生混淆。例如計算2a2·3a3-（a2）3+4a5，學生需要先進行單項式乘法和冪的乘方運算，再進行加減法運算。如果學生對這些運算的順序和法則不熟悉，就很容易出現錯誤。
忽略指數為 1 的情況：在單項式中，當字母的指數為1時，通常省略不寫。學生在計算時可能會忽略這一點，導致計算錯誤。例如計算3a· 2a2，學生可能會只將a的指數2與a相乘，而忘記3a中的a的指數為1，應該將指數相加得到a3。
學生學習需求
1.知識理解需求
概念清晰化：學生需要清晰理解單項式的概念，包括什么是單項式的系數、次數等，這是學習單項式乘以單項式的基礎。例如，要明確像3x2中，3是系數，2是次數。
運算法則推導：學生渴望理解單項式乘以單項式的運算法則是如何推導出來的。通過乘法交換律、結合律以及同底數冪的乘法法則等，推導出單項式相乘時，系數與系數相乘，同底數冪分別相乘，對于只在一個單項式里含有的字母，則連同它的指數作為積的一個因式。比如計算2x2y·3xy2，學生需要明白為什么可以將系數2和3相乘，x的冪和x的冪相乘，y的冪和y的冪相乘。
知識關聯：學生希望將單項式乘以單項式與之前學過的整式的概念、有理數的乘法、同底數冪的乘法等知識建立聯系，形成完整的知識體系，明白數學知識之間是相互關聯、逐步遞進的。
2.技能掌握需求
運算技能：學生需要熟練掌握單項式乘以單項式的運算技能，能夠準確、快速地進行計算，包括正確處理系數的乘法、同底數冪的運算以及字母的書寫等，提高計算的準確性和速度。例如，能正確計算(-5a2b3)·(4b2c)。
化簡技能：在一些復雜的式子中，學生要學會運用單項式乘以單項式的法則進行化簡，為后續學習多項式的乘法、因式分解等內容做好鋪墊。比如化簡3x(x2 - 2x + 1) - 2x2(x - 3)時，就需要先運用單項式乘以多項式法則將式子展開，其中就涉及單項式乘以單項式的運算。
3.思維發展需求
邏輯思維：通過學習單項式乘以單項式，學生需要培養邏輯思維能力，學會有條理地分析問題、推導結論，按照運算法則逐步進行計算和推理。
創新思維：在解決一些具有一定難度或開放性的問題時，學生希望有機會發揮創新思維，嘗試不同的方法和思路，培養解決問題的能力。例如，在探究am·an·ap（m、n、p為正整數）與單項式乘法的關系時，鼓勵學生從不同角度思考，嘗試用多種方法進行推導和驗證。
4.學習方法需求
自主學習方法：學生需要掌握自主學習的方法，學會預習、復習，能夠自己閱讀教材、理解概念、嘗試解決問題，在學習單項式乘以單項式之前，學生可以通過預習教材，初步了解運算法則，嘗試做一些簡單的練習題，找出自己不理解的地方，在課堂上有針對性地聽講。
合作學習方法：學生希望通過合作學習，與同學交流討論，共同解決問題，分享學習心得和方法。在學習單項式乘以單項式時，可通過小組合作的方式，讓學生共同探究法則的應用，互相檢查計算過程，糾正錯誤，這樣有助于培養學生的合作意識和溝通能力。
5.情感需求
學習興趣：學生希望學習內容能夠生動有趣，通過有趣的數學故事、實際生活中的應用案例等激發學習單項式乘以單項式的興趣，讓他們感受到數學的魅力和實用性。
成就感：學生在學習過程中，希望通過自己的努力和付出，能夠掌握知識和技能，在解決問題和完成練習中獲得成就感，增強學習數學的自信心。
五、教學策略分析
情境導入法：創設生活中常見的面積計算情境，如計算長方形場地的面積，場地的長和寬分別用單項式表示，從而引出單項式乘以單項式的問題，激發學生的學習興趣和探究欲望。
引導探究法：在教學過程中，教師通過提問、引導學生觀察、分析具體的單項式乘法例子，讓學生自主探究運算法則，培養學生的自主學習能力和探索精神。
練習鞏固法：設計有針對性的練習題，讓學生在練習中鞏固所學的單項式乘以單項式的運算法則，及時發現并解決學生在運算過程中出現的問題。
六、教學重難點
（一）重點：對單項式運算法則的理解和應用。
（二）難點：熟練運用單項式的運算法則計算并解決實際問題。
七、教學過程
教學流程
活動一：創設情境，導入新課
【情境引入】
京京用兩張同樣大小的紙，精心制作了兩幅畫．如圖所示，第一幅畫的畫面大小與紙的大小相同，第二幅畫的畫面在紙的上、下方各留有x m的空白．
　　　　　
(1)第一幅畫的畫面面積是多少平方米？第二幅呢？你是怎樣做的？
(2)若把圖中的1.2x改為nx，其他不變，則兩幅畫的面積又該怎樣表示呢？
設計意圖：通過生活問題情境的分析，得出單項式乘以單項式的計算，自然引入新課。
活動二：交流合作，探究新知
探究點1 單項式的運算
問題(1)中算式1.2x·x表示第一幅畫的面積，怎樣表示最簡潔的結果，1.2x·x是單項式與單項式相乘，也可以表示為1.2·x·x得到的結果是1.2x2.
問題(2)中第一幅畫的面積是nx·x＝nx2，單項式乘單項式，第二幅畫的面積是nx·，單項式乘多項式．
探究點2 單項式乘單項式計算法則
計算：
(1)2x3·5x2；(2)－4x2y·5xy；(3)－2x2·(－3xy3).
解：(1)原式＝(2×5)·(x3x2)＝10x5；
(2)原式＝(－4×5)·(x2x)·(yy)＝－20x3y2；
(3)原式＝(－2)×(－3)·(x2x)·y3＝6x3y3.
師生共同歸納：單項式與單項式乘法法則：單項式與單項式相乘，把它們的系數、相同字母的冪分別相乘，其余字母連同它的指數不變，作為積的因式．
剖析法則：
(1)法則實際分為三點：①系數相乘——有理數的乘法；②相同字母相乘——同底數冪的乘法；③只在一個單項式中含有的字母，連同它的指數作為積的一個因式，不能丟掉這個因式；
(2)不論幾個單項式相乘，都可以用這個法則；
(3)單項式相乘的結果仍是單項式。
設計意圖：讓學生經歷單項式乘以單項式法則的推導過程，歸納出運算法則，再通過例題訓練學生正確應用運算法則進行計算。
活動三：變式訓練，鞏固提升
例1 計算：(1)2xy2·；
(2)－2a2b3·(－3a)；
(3)7xy2z·(2xyz)2；
(4)(4×105)·(5×104)；
(5)(x2y2)·(－4xy2).
【方法指導】運用冪的運算法則和單項式乘單項式的法則計算即可．
解：(1)原式＝x2y3；(2)原式＝6a3b3；(3)原式＝28x3y4z3；(4)原式＝20×109＝2×1010；(5)原式＝－4x3y4.
例2 已知－2x3m+1y2n與7x5m-3y5n-4的積與x4y是同類項，求m2＋n的值．
【方法指導】根據－2x3m+1y2n與7x5m-3y5n-4的積與x4y是同類項可得出關于m，n的方程，進而求出m，n的值，即可得出答案．
解：因為－2x3m+1y2n與7x5m-3y5n-4的積與x4y是同類項，所以3m＋1＋5m－3＝4，2n＋5n－4＝1，解得m＝，n＝.所以m2＋n＝＋＝.
例3 有一塊長為x m，寬為y m的長方形空地，現在要在這塊地中規劃一塊長x m，寬y m的長方形空地用于綠化，求綠化的面積和剩下的面積．
【方法指導】先求出長方形的面積，再求出綠化的面積，兩者相減即可求出剩下的面積．
解：長方形的面積是xy m2，綠化的面積是x×y＝xy(m2)，則剩下的面積是xy－xy＝xy(m2).
設計意圖:鞏固對單項式乘以單項式運算法則的理解和運用。
活動四：隨堂訓練，課堂總結
【隨堂訓練】
1．計算2a3·3a4的結果是(C)
A．5a7 B．5a8 C．6a7 D．6a8
2．計算(8×104)×(5×103)的結果是(B)
A．4×107 B．4×108 C．13×107 D．1.3×108
3．若(am+1bn+2)·(a2n-1·b)＝a5b3，求m＋n的值．
解：根據題意，得m＋1＋2n－1＝5，n＋2＋1＝3，解得m＝5，n＝0.所以m＋n＝5.
4．課本P13隨堂練習第1題。
【課堂總結】師生一起回顧本節課所學主要內容，并請學生回答以下問題：
1.這節課你的主要收獲是什么？
2．探究單項式乘單項式法則時，我們運用了哪些方法？
【知識結構】
【作業布置】
1.教材P16習題1.2第1題。
2.相應課時訓練。
八、板書設計
1. 單項式乘以單項式
1. 單項式與單項式乘法法則：單項式與單項式相乘，把它們的系數、相同字母的冪分別相乘，其余字母連同它的指數不變，作為積的因式．
2. 注意：(1)法則實際分為三點：①系數相乘——有理數的乘法；②相同字母相乘——同底數冪的乘法；③只在一個單項式中含有的字母，連同它的指數作為積的一個因式，不能丟掉這個因式；
(2)不論幾個單項式相乘，都可以用這個法則；
(3)單項式相乘的結果仍是單項式。
九、教學反思
（一）課前反思
在教學目標的設定上，我旨在讓學生理解單項式乘以單項式的運算法則，熟練運用該法則進行運算。但回顧目標設定，我意識到應進一步細化目標，例如根據學生的不同層次，設定分層目標，使基礎薄弱的學生掌握基本運算，而學有余力的學生能解決更具挑戰性的問題。
學情分析方面，七年級學生正處于從算術思維向代數思維過渡的關鍵時期，雖然他們已掌握了有理數乘法、冪的運算等基礎知識，但對于抽象的單項式乘法運算可能理解起來仍有困難。在后續教學中，我需要更多地從學生熟悉的實例引入，幫助他們更好地理解概念。
在教學方法的選擇上，我計劃采用講授法與練習法相結合，引導學生逐步掌握運算法則。但單一的方法可能會使課堂枯燥，我考慮增加小組合作探究環節，讓學生在交流討論中深化對知識的理解。
教學過程設計中，導入部分我原計劃直接從復習舊知引入，這樣雖能銜接知識，但可能缺乏趣味性。我想可以換成生活中的實際問題，如計算房間面積涉及的單項式乘法，以此激發學生的學習興趣。另外，在例題講解環節，應預留更多時間讓學生自主思考和提問，及時解決他們的疑惑。
（二）課后反思
從教學目標達成來看，多數學生能夠理解單項式乘以單項式的運算法則，并能進行簡單計算，基本達成知識與技能目標。在教學過程中，通過實例引入，從簡單的數字乘法過渡到單項式乘法，讓學生逐步理解其原理，這一方法較為有效。比如以長方形面積計算為例，引出單項式相乘的實際需求，學生接受度較高。
但教學方法上仍有改進空間。在講解運算法則時，雖采用了多種方式，但小組討論環節組織不夠高效，部分學生參與度不高，討論流于形式。同時，在練習環節，對基礎薄弱學生的關注不足，未能及時給予針對性指導。
學生在課堂上的表現整體積極，但在法則應用時，部分學生對系數、同底數冪的運算容易混淆，反映出對概念理解不夠深入。

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