資源簡(jiǎn)介

3　一元一次方程的應(yīng)用
第1課時(shí)　一元一次方程的應(yīng)用——倍分問題
課標(biāo)摘錄 1.能根據(jù)具體問題中的數(shù)量關(guān)系列出方程. 2.能根據(jù)具體問題的實(shí)際意義,檢驗(yàn)方程的解是否合理. 3.建立模型觀念.
教學(xué)目標(biāo) 1.掌握一元一次方程解簡(jiǎn)單應(yīng)用題的方法和步驟;并能解答一元一次方程和差倍分問題的簡(jiǎn)單應(yīng)用題. 2.通過列方程解應(yīng)用題,提高分析問題、解決問題的能力. 3.理解和體會(huì)數(shù)學(xué)建模思想在實(shí)際問題中的作用,形成用數(shù)學(xué)知識(shí)解決問題的意識(shí).
教學(xué)重難點(diǎn) 重點(diǎn):探索年齡問題中的條件和要求的結(jié)論,并找出等量關(guān)系,列出方程,解決實(shí)際問題. 難點(diǎn):尋找等量關(guān)系.
教學(xué)策略 采用問題驅(qū)動(dòng)法,通過引導(dǎo)學(xué)生解決實(shí)際問題,培養(yǎng)建模能力.同時(shí),運(yùn)用講解法、演示法、練習(xí)法等,使學(xué)生能夠熟練掌握一元一次方程在解決倍分問題中的應(yīng)用.
情境導(dǎo)入 今年小亮11歲,小亮的爸爸39歲,多少年后爸爸的年齡是小亮年齡的3倍 (1)這個(gè)問題涉及哪些量 (2)設(shè)x年后爸爸的年齡是小亮年齡的3倍,你能用代數(shù)式表示x年后小亮的年齡和爸爸的年齡嗎 試填寫下表: 有關(guān)量小亮的年齡爸爸的年齡今年x年后
(3)在這個(gè)問題中有怎樣的等量關(guān)系 你能利用問題中的等量關(guān)系列出方程嗎 與同學(xué)們進(jìn)行交流.
新知初探 任務(wù)一　探究年齡類應(yīng)用 師生活動(dòng):教師展示提問,學(xué)生小組討論交流. 下面是小穎和小明的做法: 小穎的做法:
有關(guān)量小亮的年齡爸爸的年齡今年1139x年后11+x39+x
列方程,得39+x=3(11+x).　　小明的做法:
有關(guān)量小亮的年齡爸爸的年齡今年1139x年后11+x3(11+x)
列方程,得3(11+x)-39=x. 思考交流:小穎和小明所列的方程正確嗎 他們分別根據(jù)什么等量關(guān)系列的方程
嘗試思考: 1.在上面的問題中,多少年前,小亮的年齡是爸爸年齡的五分之一 先找出問題的等量關(guān)系,列表: 小亮的年齡爸爸的年齡今年1139y年前
列方程: 2.在上面的問題中,經(jīng)過若干年后,小亮的年齡能等于爸爸年齡的嗎 這個(gè)問題給你的啟發(fā)是什么 列表: 小亮的年齡爸爸的年齡今年1139z年后
列方程: 啟發(fā): 學(xué)生總結(jié)發(fā)言,老師適時(shí)指導(dǎo)、更正、點(diǎn)撥. 注意:x年前每個(gè)人的年齡都在減少,x年后每個(gè)人的年齡都在增加. 任務(wù)一　意圖說明 通過表格,讓學(xué)生直觀感受其中的等量關(guān)系.學(xué)會(huì)正確列出方程. 任務(wù)二　例題解析 例　某造紙廠為節(jié)約木材,大力擴(kuò)大再生紙的生產(chǎn).這家工廠去年、前年共生產(chǎn)再生紙3 000 t,已知去年的產(chǎn)量比前年的2倍還多150 t.這家工廠前年生產(chǎn)再生紙多少噸 解:設(shè)這家工廠前年生產(chǎn)再生紙x t. 根據(jù)題意,得x+2x+150=3 000, 解這個(gè)方程,得x=950. 因此,這家工廠前年生產(chǎn)再生紙950 t. 通過上面例題的講解,你能總結(jié)一下用一元一次方程解應(yīng)用題的基本步驟嗎 審題、設(shè)元、列方程、解方程、檢驗(yàn)并作答. 任務(wù)二　意圖說明 通過對(duì)問題的解答,感受解決倍分問題的關(guān)鍵是找準(zhǔn)各個(gè)量之間的關(guān)系,并歸納出用一元一次方程解應(yīng)用題的步驟,培養(yǎng)分析問題,解決問題的能力.
當(dāng)堂達(dá)標(biāo) 見導(dǎo)學(xué)案(或課件)
課堂小結(jié) 1.解決倍分問題的關(guān)鍵. 2.用一元一次方程解應(yīng)用題的基本步驟.
板書設(shè)計(jì) 一元一次方程的應(yīng)用——倍分問題 運(yùn)用一元一次方程解決實(shí)際問題的一般步驟: 審題、設(shè)元、列方程、解方程、檢驗(yàn)并作答. 例
教學(xué)反思 本節(jié)課的內(nèi)容適合以學(xué)生為主體進(jìn)行,要充分相信并調(diào)動(dòng)學(xué)生的主觀能動(dòng)性,要盡可能的讓學(xué)生克服對(duì)應(yīng)用題的恐懼心理.在學(xué)習(xí)的過程中,可能會(huì)存在以下問題:不能準(zhǔn)確分析數(shù)量關(guān)系,不能根據(jù)題意列出方程等.這時(shí)要充分發(fā)揮老師的指揮作用,引導(dǎo)學(xué)生多分析題意,增加學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣和信心.
第2課時(shí)　一元一次方程的應(yīng)用——形積變化問題
課標(biāo)摘錄 1.能根據(jù)具體問題中的數(shù)量關(guān)系列出方程. 2.能根據(jù)具體問題的實(shí)際意義,檢驗(yàn)方程的解是否合理. 3.建立模型觀念.
教學(xué)目標(biāo) 1.能分析題中已知數(shù)與未知數(shù)之間的數(shù)量關(guān)系,列出一元一次方程解簡(jiǎn)單的應(yīng)用題. 2.通過對(duì)實(shí)際問題的解決,體會(huì)方程模型的作用,發(fā)展分析問題、解決問題、敢于提出問題的能力. 3.鼓勵(lì)學(xué)生通過觀察、分析,提高學(xué)生合作交流的意識(shí),并在與同伴交流的過程中,激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的熱情.
教學(xué)重難點(diǎn) 重點(diǎn):分析等量關(guān)系,建立方程. 難點(diǎn):讓學(xué)生抓住問題中的不變量,確定等量關(guān)系,列出方程.
教學(xué)策略 互動(dòng)教學(xué)法,注重師生之間的互動(dòng)和學(xué)生之間的合作,能夠激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣,提高參與度.在一元一次方程的教學(xué)中,可以采用小組合作、問題討論、角色扮演等方式,讓學(xué)生在合作中學(xué)習(xí),共同解決問題.通過互動(dòng)教學(xué),學(xué)生能夠在實(shí)際操作中鞏固基礎(chǔ)知識(shí),提高解題能力,并培養(yǎng)團(tuán)隊(duì)合作意識(shí).
情境導(dǎo)入 請(qǐng)同學(xué)們拿出準(zhǔn)備好的橡皮泥,先用這塊橡皮泥捏一個(gè)“瘦長(zhǎng)”的圓柱體,然后再把這個(gè)“瘦長(zhǎng)”的圓柱“變胖”,變成一個(gè)又矮又胖的圓柱,如圖,思考下面的問題. (1)在你操作的過程中,圓柱由“瘦”變“胖”,圓柱的直徑變了嗎 圓柱的高呢 (2)在這個(gè)變化的過程中,是否有不變的量 是什么沒變
新知初探 任務(wù)一　探究形變,體積不變 某飲料公司有一種底面直徑和高分別為6.6 cm,12 cm的圓柱形易拉罐飲料.經(jīng)市場(chǎng)調(diào)研,公司決定對(duì)該產(chǎn)品外包裝進(jìn)行改造,計(jì)劃將它的底面直徑減少為6 cm.那么在容積不變的前提下,易拉罐的高度將變?yōu)槎嗌倮迕? (1)這個(gè)問題中包含哪些量 它們之間有怎樣的等量關(guān)系 (2)設(shè)新包裝的高度為x cm,你能借助下面的表格梳理問題中的信息嗎 有關(guān)量舊包裝新包裝底面半徑/cm3.33高/cm1214.52體積/cm3π×(3.3)2×12π×32×14.52
(3)根據(jù)等量關(guān)系,你能列出怎樣的方程 設(shè)新包裝的高度為x cm.根據(jù)等量關(guān)系,列出方程:　π××12=π×·x　. 解這個(gè)方程,得x=　14.52　. 因此,易拉罐的高度變?yōu)椤?4.52　cm.
追問1　你能否測(cè)出一個(gè)蘋果的體積 追問2　如果給大家一個(gè)帶有容積刻度且能放下一個(gè)蘋果的水杯,你能想到辦法嗎 任務(wù)一　意圖說明 用實(shí)物引入,形象直觀,能激發(fā)學(xué)生探究新知識(shí)的興趣,讓學(xué)生盡快參與到教學(xué)中,為本節(jié)課做好鋪墊.讓學(xué)生在變化的過程中挖掘不變量,從而找到等量關(guān)系,列出方程. 建議:對(duì)于圓柱的體積要重點(diǎn)分析,使學(xué)生理解并熟練掌握,特別是關(guān)于π不能隨意取近似值,而應(yīng)根據(jù)要求決定是否取近似值這方面的問題,要注意與小學(xué)的區(qū)別. 任務(wù)二　例題解析(形變,周長(zhǎng)不變) 例　用一根長(zhǎng)為10 m的鐵絲圍成一個(gè)長(zhǎng)方形. (1)如果該長(zhǎng)方形的長(zhǎng)比寬多1.4 m,那么此時(shí)長(zhǎng)方形的長(zhǎng)、寬各為多少米 (2)如果該長(zhǎng)方形的長(zhǎng)比寬多0.8 m,那么此時(shí)長(zhǎng)方形的長(zhǎng)、寬各為多少米 此時(shí)的長(zhǎng)方形與(1)中所圍長(zhǎng)方形相比,面積有什么變化 (3)如果該長(zhǎng)方形的長(zhǎng)與寬相等,即圍成一個(gè)正方形,那么此時(shí)正方形的邊長(zhǎng)是多少米 正方形的面積與(2)中長(zhǎng)方形的面積相比又有什么變化 解:(1)設(shè)此時(shí)長(zhǎng)方形的寬為x m,則它的長(zhǎng)為(x+1.4) m.根據(jù)題意, 得2(x+1.4) +2x=10. 解這個(gè)方程,得 x=1.8,1.8+1.4=3.2(m). 此時(shí)長(zhǎng)方形的長(zhǎng)為3.2 m,寬為1.8 m. (2)設(shè)此時(shí)長(zhǎng)方形的寬為x m,則它的長(zhǎng)為(x+0.8)m. 根據(jù)題意,得2(x+0.8)+2x=10. 解這個(gè)方程,得x=2.1,2.1+0.8=2.9(m). 此時(shí)長(zhǎng)方形的長(zhǎng)為2.9 m,寬為2.1 m,面積為2.9×2.1=6.09(m2), (1)中長(zhǎng)方形的面積為3.2×1.8=5.76(m2). 此時(shí)長(zhǎng)方形的面積比(1)中長(zhǎng)方形的面積增大了6.09-5.76=0.33(m2). (3)設(shè)正方形的邊長(zhǎng)為x m.根據(jù)題意,得4x=10.解這個(gè)方程,得x=2.5. 正方形的邊長(zhǎng)為2.5 m,面積為 2.5×2.5=6.25(m2), 比(2)中長(zhǎng)方形的面積增大了6.25-6.09=0.16(m2). 討論:解決這道題的關(guān)鍵是什么 在解這道題的過程中你有何收獲和體驗(yàn) 小結(jié):解答這道題的關(guān)鍵是要認(rèn)識(shí)到在改變長(zhǎng)方形的長(zhǎng)和寬的同時(shí),長(zhǎng)方形的周長(zhǎng)不變,始終是鐵絲的長(zhǎng)度(10 m)(即形變,周長(zhǎng)不變),由此便可建立等量關(guān)系;同時(shí)我們也發(fā)現(xiàn),雖然長(zhǎng)方形的周長(zhǎng)不變,但改變長(zhǎng)方形的長(zhǎng)和寬時(shí),長(zhǎng)方形的面積卻在發(fā)生變化,而且長(zhǎng)和寬越接近時(shí)面積就越大. 任務(wù)二　意圖說明 有了分析問題,探究新知作鋪墊,找出問題中的等量關(guān)系比較容易,教師要注意組織學(xué)生對(duì)解題感悟的反思和提升,對(duì)于學(xué)生在解題過程中出現(xiàn)的列式計(jì)算問題,教師應(yīng)及時(shí)指出并加以糾正.
當(dāng)堂達(dá)標(biāo) 見導(dǎo)學(xué)案(或課件)
課堂小結(jié) 形積變化問題常見的幾種情況: (1)形狀發(fā)生了變化,而體積沒變.此時(shí),相等關(guān)系為變化前后體積相等. (2)形狀、面積發(fā)生了變化,而周長(zhǎng)沒變.此時(shí),相等關(guān)系為變化前后周長(zhǎng)相等. (3)形狀、體積雖然不同,但根據(jù)題意能找出體積之間的關(guān)系,把這個(gè)關(guān)系作為相等關(guān)系.
板書設(shè)計(jì) 一元一次方程的應(yīng)用——形積變化問題 1.形變,體積不變　　2.形變,周長(zhǎng)不變　　3.解應(yīng)用題的關(guān)鍵:找等量關(guān)系 例
教學(xué)反思 教學(xué)中應(yīng)注意以下問題:加強(qiáng)課堂教學(xué)的駕馭能力,合理安排時(shí)間,有緊有松.多鼓勵(lì)學(xué)生回答問題,盡可能的給學(xué)生創(chuàng)造機(jī)會(huì),及時(shí)表?yè)P(yáng)和鼓勵(lì).創(chuàng)設(shè)情境,使學(xué)生置身于熟悉的問題當(dāng)中,充分調(diào)動(dòng)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣.
第3課時(shí)　一元一次方程的應(yīng)用——銷售問題
課標(biāo)摘錄 1.能根據(jù)具體問題中的數(shù)量關(guān)系列出方程. 2.能根據(jù)具體問題的實(shí)際意義,檢驗(yàn)方程的解是否合理. 3.建立模型觀念.
教學(xué)目標(biāo) 1.用列表格的方式分析實(shí)際問題中的等量關(guān)系,建立方程解決實(shí)際問題,發(fā)展分析問題、解決問題的能力,進(jìn)一步體會(huì)方程模型的作用. 2.用不同的設(shè)未知數(shù)的方法列方程,體會(huì)不同的設(shè)未知數(shù)的方法,通過比較,選擇最優(yōu).
教學(xué)重難點(diǎn) 重點(diǎn):1.借助表格分析復(fù)雜問題的數(shù)量關(guān)系. 2.選擇恰當(dāng)?shù)脑O(shè)未知數(shù)的方法. 難點(diǎn):面對(duì)多個(gè)等量關(guān)系,恰當(dāng)?shù)卦O(shè)出未知數(shù)并列出方程.
教學(xué)策略 選擇多媒體課件輔助教學(xué)的方式,一方面節(jié)省板書時(shí)間,提高課堂效率;另一方面為學(xué)生自主探究創(chuàng)造條件, 使信息技術(shù)與教學(xué)內(nèi)容有機(jī)整合,更好地為教學(xué)服務(wù).
情境導(dǎo)入 在班級(jí)秋游活動(dòng)中,全體學(xué)生和老師共購(gòu)買了45張門票,成人票每張15元,學(xué)生票每張10元,總票款為475元.你知道成人票與學(xué)生票各售出多少?gòu)垎?
新知初探 任務(wù)一　探究師生購(gòu)買門票問題 1.議一議,教師引導(dǎo)學(xué)生思考,提問: (1)你可以得到哪些信息 (2)在這個(gè)問題中包含了哪些等量關(guān)系 學(xué)生匯報(bào): (1)已知量:成人票價(jià)是15元/張、學(xué)生票價(jià)是10元/張、成人和學(xué)生總票數(shù)是45張、成人和學(xué)生總票款是475元. 未知量:成人票數(shù)、學(xué)生票數(shù)、成人總票款、學(xué)生總票款. (2)等量關(guān)系:成人票數(shù)+學(xué)生票數(shù)=45張　① 成人總票款+學(xué)生總票款=475元　　　　 ② 教學(xué)說明:讓學(xué)生將實(shí)際問題抽象成數(shù)學(xué)問題,找出其中的已知量、未知量和等量關(guān)系. 2.為了明確各個(gè)量之間的相互關(guān)系,我們可以列出下表: 成人學(xué)生票價(jià)(元/張)1510票數(shù)(張)　45-x　 　x　 總票款(元)　15(45-x)　 　10x　
教學(xué)說明:引導(dǎo)學(xué)生把數(shù)學(xué)問題用圖表語(yǔ)言表達(dá)出來,借助表格整體把握和分析各個(gè)量之間的相互關(guān)系. (1)設(shè)售出的學(xué)生票數(shù)為x張,填寫上表. 由此,可列出方程:(　15(45-x)+10x=475　). 解這個(gè)方程,得x=(　40　). 因此,可得售出成人票(　5　)張,學(xué)生票(　40　)張. (2)你還有其他設(shè)未知數(shù)的方法嗎 提示:還可以設(shè)學(xué)生總票款為y元.根據(jù)等量關(guān)系①列方程. 任務(wù)一　設(shè)計(jì)意圖 讓學(xué)生感受到數(shù)學(xué)就在我們身邊,有利于調(diào)動(dòng)學(xué)生的積極性和參與意識(shí). 任務(wù)二　例題解析 例　某學(xué)校為了豐富“陽(yáng)光體育”活動(dòng),現(xiàn)購(gòu)進(jìn)籃球和足球共16個(gè),共花了2 820元,已知籃球和足球的單價(jià)分別為185元、150元,那么籃球和足球各購(gòu)進(jìn)多少個(gè) 分析:本題涉及哪些量 它們之間有怎樣的等量關(guān)系 如果設(shè)籃球購(gòu)進(jìn)x個(gè).你能用含有x的代數(shù)式表示它們的數(shù)量關(guān)系嗎 解:設(shè)籃球購(gòu)進(jìn)x個(gè),則足球購(gòu)進(jìn)(16-x)個(gè). 根據(jù)題意,得185x+150(16-x)=2 820. 解這個(gè)方程,得x=12, 16-12=4(個(gè)). 因此,籃球購(gòu)進(jìn)12個(gè),足球購(gòu)進(jìn)4個(gè). 任務(wù)二　意圖說明 從學(xué)生已有的生活經(jīng)驗(yàn)出發(fā),進(jìn)一步體驗(yàn)方程是刻畫現(xiàn)實(shí)世界的有效數(shù)學(xué)模型;讓學(xué)生親身經(jīng)歷實(shí)際問題的解決過程,使學(xué)生在對(duì)數(shù)學(xué)理解的同時(shí),發(fā)展思維能力.
當(dāng)堂達(dá)標(biāo) 見導(dǎo)學(xué)案(或課件)
課堂小結(jié) 1.用兩個(gè)未知量和兩個(gè)等量關(guān)系列方程. 2.清楚什么樣的題目適合用表格分析數(shù)量間的關(guān)系.
板書設(shè)計(jì) 一元一次方程的應(yīng)用——銷售問題 1.找出等量關(guān)系,列方程. 2.例題解析. 例
教學(xué)反思 本節(jié)課主要是要會(huì)借助表格分析復(fù)雜問題的數(shù)量關(guān)系.選擇比較恰當(dāng)?shù)脑O(shè)未知數(shù)的方法.引導(dǎo)與自主探索相結(jié)合的方法比較適合本節(jié)的內(nèi)容.
第4課時(shí)　一元一次方程的應(yīng)用——“盈不足”問題
課標(biāo)摘錄 1.能根據(jù)具體問題中的數(shù)量關(guān)系列出方程. 2.能根據(jù)具體問題的實(shí)際意義,檢驗(yàn)方程的解是否合理. 3.建立模型觀念.
教學(xué)目標(biāo) 1.培養(yǎng)學(xué)生自主理解題意的能力,準(zhǔn)確尋找題中的等量關(guān)系,正確列出一元一次方程解決簡(jiǎn)單的中國(guó)古代數(shù)學(xué)名題. 2.在練習(xí)中,進(jìn)一步理解用一元一次方程這個(gè)工具解決實(shí)際問題的方法.
教學(xué)重難點(diǎn) 重點(diǎn):列一元一次方程解決盈不足問題. 難點(diǎn):在解決古代數(shù)學(xué)問題中尋找等量關(guān)系并列出方程.
教學(xué)策略 本節(jié)課主要是讓學(xué)生掌握列一元一次方程解決一些古代典型問題的方法.用一元一次方程解此類應(yīng)用題比較抽象,所以在引入本節(jié)課的題目時(shí),可以講述一下我國(guó)古代數(shù)學(xué)發(fā)展的歷史,以此來調(diào)動(dòng)學(xué)生的民族自豪感,激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣.在課堂中,運(yùn)用表格的方法輔助分析數(shù)量關(guān)系,讓學(xué)生感悟各個(gè)量之間的關(guān)聯(lián);通過小組合作、交流展示,積累活動(dòng)經(jīng)驗(yàn).
情境導(dǎo)入 我們偉大的祖國(guó)具有五千年的文明史,在歷史的長(zhǎng)河中,為科學(xué)知識(shí)的創(chuàng)新和發(fā)展作出了巨大貢獻(xiàn),尤其在數(shù)學(xué)領(lǐng)域有《周髀算經(jīng)》《九章算術(shù)》《孫子算經(jīng)》《海島算經(jīng)》等古代名著流傳于世,如一千五百年前的數(shù)學(xué)名著《孫子算經(jīng)》中的“雞兔同籠”問題,漂洋過海傳到其他國(guó)家,對(duì)中國(guó)古文明史的傳播起到了很大的作用.
新知初探 任務(wù)一　探究“盈不足”問題 《九章算術(shù)》第七章“盈不足”第一題:今有共買物,人出八,盈三;人出七,不足四.問人數(shù)、物價(jià)各幾何. 題目大意:幾個(gè)人合伙買東西,若每人出8個(gè)錢,則會(huì)多出3個(gè)錢;若每人出7個(gè)錢,則還少4個(gè)錢.問合伙人數(shù)、物品的價(jià)格分別是多少. (1)問題中有哪些量 哪些是已知量 哪些是未知量 它們之間有怎樣的等量關(guān)系 (2)設(shè)人數(shù)為x,其他未知量能用含x的代數(shù)式表示嗎 請(qǐng)完成下表. 有關(guān)量每人出8個(gè)錢每人出7個(gè)錢人數(shù)xx出錢總數(shù)　8x　 　7x　 物價(jià)　8x-3　 　7x+4　
(3)根據(jù)等量關(guān)系,你能列出怎樣的方程 設(shè)人數(shù)為x. 根據(jù)等量關(guān)系,列出方程:　8x-3=7x+4　. 解這個(gè)方程,得x=　7　. 因此,人數(shù)為　7　,物價(jià)為　53　個(gè)錢.
追問　如果設(shè)物價(jià)為y,你能列出怎樣的方程 與同伴進(jìn)行交流. 任務(wù)一　意圖說明 通過古代典型的“盈不足”問題,讓學(xué)生經(jīng)歷將實(shí)際問題抽象成數(shù)學(xué)模型并進(jìn)行解釋與應(yīng)用的過程,用表格的方式梳理實(shí)際問題中復(fù)雜的數(shù)量關(guān)系,積累解決問題的經(jīng)驗(yàn)和方法. 任務(wù)二　例題解析 例　《九章算術(shù)》第七章“盈不足”第五題:今有共買金,人出四百,盈三千四百;人出三百,盈一百.問人數(shù)、金價(jià)各幾何. 題目大意:幾個(gè)人合伙買金,每人出400個(gè)錢,會(huì)多出3 400個(gè)錢;每人出300個(gè)錢,會(huì)多出100個(gè)錢.合伙人數(shù)、金價(jià)各是多少. 解:設(shè)合伙人數(shù)為x,則金價(jià)可表示為(400x-3 400)個(gè)錢,還可表示為(300x-100)個(gè)錢,根據(jù)等量關(guān)系,列出方程: 400x-3 400=300x-100.解這個(gè)方程,得x=33. 300×33-100=9 800(個(gè)). 因此,人數(shù)為33,金價(jià)為9 800個(gè)錢. 追問1　如果設(shè)金價(jià)為y,能列出怎樣的方程 追問2　《九章算術(shù)》中給出的“盈不足”問題可以解釋成: 人數(shù)=兩次剩余錢數(shù)之差÷兩次每人所出錢數(shù)之差; 物價(jià)=每人出的較多錢數(shù)×人數(shù)一剩余錢數(shù), 或物價(jià)=每人出的較少錢數(shù)×人數(shù)+不足的錢數(shù). 你能理解這種解法嗎 與方程的求解過程相比,有什么不同 與同伴進(jìn)行交流. 設(shè)計(jì)意圖:通過講解一元一次方程的基本概念和解法,幫助學(xué)生掌握解決“盈不足”問題所需要的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)和技能. 任務(wù)二　意圖說明 明確已知量、未知量、等量關(guān)系,設(shè)未知數(shù)表示各個(gè)量,將文字語(yǔ)言轉(zhuǎn)化為符號(hào)語(yǔ)言.規(guī)范答題的步驟,形成完整的解題過程,加深對(duì)列方程解應(yīng)用題的一般思路的理解和應(yīng)用,做到方法的提升,并能有意識(shí)檢驗(yàn)解的合理性.
當(dāng)堂達(dá)標(biāo) 見導(dǎo)學(xué)案(或課件)
課堂小結(jié) 1.“盈不足”問題的關(guān)鍵. 2.列方程解應(yīng)用題的步驟.
板書設(shè)計(jì) 一元一次方程的應(yīng)用——“盈不足”問題 1.關(guān)鍵:不變量　 2.步驟:審——找——設(shè)——列——解——檢——答 例
教學(xué)反思 本節(jié)課教學(xué)內(nèi)容比較復(fù)雜,但是通過教師講解和學(xué)生練習(xí),學(xué)生們都能夠掌握相關(guān)知識(shí)點(diǎn)并且完成解題.需要注意的是,在教學(xué)過程中需要注意引導(dǎo)學(xué)生理解問題,抓住問題的實(shí)質(zhì),并且通過實(shí)際應(yīng)用讓學(xué)生了解到數(shù)學(xué)在生活中的應(yīng)用.同時(shí),還需要在課后進(jìn)行教學(xué)評(píng)價(jià)和反思,發(fā)現(xiàn)課堂教學(xué)中存在的問題,并且及時(shí)加以改進(jìn)和完善,提高教學(xué)質(zhì)量.
第5課時(shí)　一元一次方程的應(yīng)用——行程問題
課標(biāo)摘錄 1.能根據(jù)具體問題中的數(shù)量關(guān)系列出方程. 2.能根據(jù)具體問題的實(shí)際意義,檢驗(yàn)方程的解是否合理. 3.建立模型觀念.
教學(xué)目標(biāo) 1.借助“線段圖”分析復(fù)雜問題中的數(shù)量關(guān)系,從而建立方程解決實(shí)際問題. 2.發(fā)展文字語(yǔ)言、圖形語(yǔ)言、符號(hào)語(yǔ)言之間的轉(zhuǎn)換能力.
教學(xué)重難點(diǎn) 重點(diǎn):進(jìn)一步熟練掌握列一元一次方程解應(yīng)用題的一般方法和步驟,學(xué)會(huì)用圖表分析數(shù)量較為復(fù)雜的應(yīng)用題. 難點(diǎn):用圖表分析數(shù)量關(guān)系較為復(fù)雜的應(yīng)用題,從多角度思考問題,尋找等量關(guān)系.
教學(xué)策略 本節(jié)課研究的是時(shí)間、速度、路程問題,學(xué)生比較熟悉,但是在涉及時(shí)間、速度問題,且要找出題目中的等量關(guān)系時(shí)教師不要急于求成,要結(jié)合圖形,甚至可以讓學(xué)生演示追及問題和相遇問題,讓學(xué)生慢慢理解,只有學(xué)生理解了,才能解決這一類問題,達(dá)到以點(diǎn)帶面的目的.
情境導(dǎo)入 速度、路程、時(shí)間之間的關(guān)系: 1.若老鼠的速度是6 m/s,則它5 s跑了　30　m. 2.若貓的速度是7 m/s,要抓到14 m遠(yuǎn)處正在吃食物而毫無防備的老鼠需要　2　s.
新知初探 任務(wù)一　探究直線型追及問題 學(xué)習(xí)準(zhǔn)備 1.行程問題中一般有兩類問題:　追及　問題與　相遇　問題. 2.路程、時(shí)間、速度的關(guān)系:路程=　速度　×　時(shí)間　. 活動(dòng)1　小明每天早上要在7:50之前趕到距家1 000 m的學(xué)校上學(xué).一天,小明以80 m/min的速度出發(fā),出發(fā)5 min后,小明的爸爸發(fā)現(xiàn)他忘了帶語(yǔ)文書.于是,爸爸立即以180 m/min的速度去追小明,并且在途中追上了他.爸爸追上小明用了多長(zhǎng)時(shí)間 追上小明時(shí),距離學(xué)校還有多遠(yuǎn) 思考:(1)問題中有哪些量 哪些是已知量 哪些是未知量 (2)想象一下追及的過程,你能用一個(gè)圖直觀表示出問題中各個(gè)量之間的關(guān)系嗎 (3)你是怎樣列出方程的 與同伴進(jìn)行交流. 分析:當(dāng)爸爸追上小明時(shí),兩人所行路程相等.在解決這個(gè)問題時(shí),要抓住這個(gè)等量關(guān)系. 設(shè)爸爸用x min追上了小明,此時(shí)爸爸走了　180x　m,小明在爸爸出發(fā)時(shí)已經(jīng)走了　(80×5)　m,小明在爸爸出發(fā)后到被追上走了　80x　m.找出等量關(guān)系,爸爸追上小明時(shí):　80×5　+　80x　 =　180x　. 畫線段圖:
寫出解題過程: 歸納:追及問題與相遇問題是行程問題中很重要的兩類問題,追及問題的特點(diǎn)是同向而行,其相等關(guān)系一般是:二者行程的差=原來的路程(開始時(shí)二者相距的路程),相遇問題的特點(diǎn)是相向而行,相等關(guān)系一般是:雙方所走路程之和=全部路程.它們都具有直觀性,因此通常可畫出示意圖(直線型)幫助分析問題. 任務(wù)一　意圖說明 讓學(xué)生學(xué)會(huì)用線段圖表示出路程,學(xué)會(huì)分析路程、時(shí)間、速度問題,更主要的是通過畫圖直觀地找出題目中的等量關(guān)系.在教師點(diǎn)撥引導(dǎo)、學(xué)生探究分析過程中,讓學(xué)生體會(huì)列方程解應(yīng)用題的關(guān)鍵是找等量關(guān)系. 任務(wù)二　探究環(huán)形跑道追及問題 活動(dòng)2　小彬和小明每天早晨堅(jiān)持跑步,小明每秒跑6 m,小彬每秒跑4 m. (1)在400 m環(huán)形跑道上,如果他們?cè)谄瘘c(diǎn)處背向同時(shí)起跑,則經(jīng)過多長(zhǎng)時(shí)間兩人相遇 (2)在400 m環(huán)形跑道上,如果他們?cè)谄瘘c(diǎn)處同向同時(shí)起跑,則經(jīng)過多長(zhǎng)時(shí)間兩人再次同步 解:(1)設(shè)x秒后兩人相遇,則小彬跑了4x m,小明跑了6x m,根據(jù)等量關(guān)系,可列出方程6x+4x=400, 解這個(gè)方程,得x=40. 答:40秒后兩人相遇. (2)設(shè)y秒后小明追上小彬,則小彬跑了4y m,小明跑了6y m,根據(jù)等量關(guān)系,可列出方程6y-4y=400, 解這個(gè)方程,得y=200. 答:200秒后兩人再次同步. 例　小明和小華兩人在400 m的環(huán)形跑道上練習(xí)長(zhǎng)跑,小明每分鐘跑260 m,小華每分鐘跑300 m,兩人起跑時(shí)站在跑道同一位置. (1)如果小明起跑后1 min小華才開始跑,那么小華用多長(zhǎng)時(shí)間能追上小明 (2)如果小明起跑后1 min小華開始反向跑,那么小華起跑后多長(zhǎng)時(shí)間兩人首次相遇 分析:本題涉及哪些量 你能畫圖說明小明和小華跑步的情形嗎 在問題(1)和(2)中,兩人所走的路程分別有什么關(guān)系 解:(1)設(shè)小華用x min追上小明,根據(jù)等量關(guān)系,可列出方程: 260+260x=300x.解這個(gè)方程,得x=6.5.因此,小華用6.5 min能追上小明. (2)設(shè)小華起跑后x min兩人首次相遇,根據(jù)等量關(guān)系,可列出方程: 260x+300x=400-260.解這個(gè)方程,得x=0.25.因此,小華起跑后0.25 min兩人首次相遇. 任務(wù)二　意圖說明 為突破本節(jié)課的重點(diǎn),將實(shí)際問題抽象成數(shù)學(xué)問題,找出其中的已知量、未知量和等量關(guān)系.引導(dǎo)學(xué)生把數(shù)學(xué)問題用線段圖來表達(dá),借助線段圖分析各個(gè)量之間的關(guān)系,并注意檢驗(yàn)方程解的合理性.
當(dāng)堂達(dá)標(biāo) 見導(dǎo)學(xué)案(或課件)
課堂小結(jié) 1.行程問題中主要包含的兩類問題. 2.追及問題的特點(diǎn). 3.相遇問題的特點(diǎn).
板書設(shè)計(jì) 一元一次方程的應(yīng)用——行程問題 行程問題:追及,相遇 例
教學(xué)反思 本節(jié)課發(fā)展了學(xué)生分析問題、解決問題的能力,進(jìn)一步體會(huì)方程的模型.感受數(shù)學(xué)來源于生活,與人類的生活密切聯(lián)系,激發(fā)學(xué)生學(xué)數(shù)學(xué),用數(shù)學(xué)的興趣.本節(jié)課的主要目標(biāo)是能讓學(xué)生準(zhǔn)確找到已知與未知量的相等關(guān)系.
★問題解決策略:直觀分析
課標(biāo)摘錄 1.能根據(jù)具體問題中的數(shù)量關(guān)系列出方程,理解方程的意義;認(rèn)識(shí)方程解的意義,經(jīng)歷估計(jì)方程解的過程. 2.能根據(jù)具體問題的實(shí)際意義,檢驗(yàn)方程的解是否合理.
教學(xué)目標(biāo) 1.培養(yǎng)借助圖表直觀分析問題中數(shù)量關(guān)系的能力,體會(huì)直觀分析的策略在解決問題中的價(jià)值. 2.通過探究的過程,讓學(xué)生明白直觀分析的手段和具體方法是靈活多樣的,在生活中的應(yīng)用是廣泛的,因此要依照具體問題靈活應(yīng)用. 2.進(jìn)一步提高利用一元一次方程解決實(shí)際問題的能力.
教學(xué)重難點(diǎn) 重點(diǎn):培養(yǎng)借助圖表直觀分析問題中數(shù)量關(guān)系的能力,提高利用一元一次方程解決實(shí)際問題的能力. 難點(diǎn):借助圖表分析較復(fù)雜問題中的數(shù)量關(guān)系.
教學(xué)策略 教學(xué)策略:通過講解、示范、小組討論和案例分析等方法,幫助學(xué)生掌握新知識(shí). 學(xué)生活動(dòng):設(shè)計(jì)小組活動(dòng),讓學(xué)生在合作中解決問題.
情境導(dǎo)入 在前面的課程中,你是否發(fā)現(xiàn),在利用一元一次方程解決問題時(shí),借助表格和示意圖可以直觀分析問題,使問題中的數(shù)量關(guān)系更加清晰 觀察下面的圖形與文字,說說你的想法. 道路標(biāo)志多數(shù)用的是圖形,這是因?yàn)槿藗儗?duì)圖表的理解和記憶能力超過單純的文字,這是由大腦的特點(diǎn)決定的. 實(shí)際上,借助圖表直觀分析數(shù)量關(guān)系,往往是解決問題的一種重要策略.這節(jié)課我們就來學(xué)習(xí)這種策略.
新知初探 任務(wù)一　探究直觀分析策略 問題:一家商店將某種服裝按進(jìn)貨價(jià)提高40%后標(biāo)價(jià),又以八折優(yōu)惠賣出,結(jié)果每件仍獲利15元,這種服裝每件的進(jìn)貨價(jià)是多少元 【理解問題】 (1)這個(gè)問題中涉及哪些量 哪些是已知量 哪些是未知量 每件服裝的成本價(jià)、標(biāo)價(jià)、售價(jià)、利潤(rùn);利潤(rùn)是已知量,成本價(jià)、標(biāo)價(jià)和售價(jià)是未知量. (2)你能用文字語(yǔ)言描述這個(gè)問題中所蘊(yùn)含的等量關(guān)系嗎 服裝的成本價(jià)提價(jià)后等于標(biāo)價(jià),標(biāo)價(jià)再打折后等于售價(jià),售價(jià)與成本價(jià)的差等于利潤(rùn). (3)采用什么方式可以更清楚地展示這個(gè)問題中各個(gè)量之間的關(guān)系 可以借助圖表來表示它們之間的關(guān)系. 師生活動(dòng):指定學(xué)生上臺(tái)畫圖和分析,鼓勵(lì)學(xué)生列出各種不同的方程進(jìn)行比較和分析.
【擬訂計(jì)劃】 (1)想象一下商店從進(jìn)貨、標(biāo)價(jià)到銷售獲利的過程,你能用示意圖直觀地表示這一過程嗎 (2)根據(jù)自己畫的示意圖,你能寫出哪些等量關(guān)系 成本價(jià)×(1+40%)=標(biāo)價(jià),標(biāo)價(jià)×80%=售價(jià),售價(jià)-成本價(jià)=利潤(rùn). (3)設(shè)這種服裝每件的成本為x元,你能用含x的代數(shù)式表示其他量嗎 根據(jù)自己寫出的等量關(guān)系,你能列出怎樣的方程 標(biāo)價(jià)為(1+40%)x,售價(jià)為(1+40%)x·80%,可列出方程:(1+40%)x·80%-x=15. 【實(shí)施計(jì)劃】 寫出你的解決方案,并與同伴進(jìn)行交流.(讓學(xué)生自主回答) 小明用如圖的框圖直觀地表示了商店從進(jìn)貨、標(biāo)價(jià)到銷售獲利的過程,并將問題中的數(shù)量信息標(biāo)注在了框圖中. 據(jù)此,他列出了方程(1+40%)x·80%-x=15.解這個(gè)方程,得x=125. 因此,這種服裝每件的進(jìn)貨價(jià)是125元. 任務(wù)一　意圖說明 通過對(duì)問題的逐步分析與交流,培養(yǎng)學(xué)生借助圖表直觀分析數(shù)量關(guān)系的能力,再用對(duì)應(yīng)的練習(xí)讓學(xué)生鞏固. 任務(wù)二　例題解析 例　某單位的四幢宿舍樓在一條直線上,現(xiàn)要在這四幢宿舍樓之間建一個(gè)超市,使得四幢宿舍樓到超市的距離之和最短.超市應(yīng)建在什么位置 解:畫圖分析如下:假設(shè)四幢宿舍樓分別為點(diǎn)A,B,C,D,超市為點(diǎn)E,四幢宿舍樓到超市的距離之和即為AE+BE+CE+DE.分三種情況討論: ①如圖,當(dāng)點(diǎn)E1位于AB上時(shí),AE1+BE1+CE1+DE1=AD+BC+2BE1,容易發(fā)現(xiàn)此時(shí)當(dāng)BE1最小時(shí),距離之和最短,即當(dāng)點(diǎn)E1位于點(diǎn)B時(shí),距離之和最短,為AD+BC. ②如圖,當(dāng)點(diǎn)E2位于BC上時(shí),AE2+BE2+CE2+DE2=AD+BC. ③如圖,當(dāng)點(diǎn)E3位于CD上時(shí),AE3+BE3+CE3+DE3=AD+BC+2CE3,容易發(fā)現(xiàn)此時(shí)當(dāng)CE3最小時(shí),距離之和最短,即當(dāng)點(diǎn)E3位于點(diǎn)C時(shí),距離之和最短,為AD+BC. 綜上,超市應(yīng)建在線段BC上,即中間兩幢宿舍樓連線所構(gòu)成的線段上. 任務(wù)二　意圖說明 借助例題讓學(xué)生了解更多形式的直觀分析方法,加強(qiáng)數(shù)形結(jié)合思想,拓寬思維.
當(dāng)堂達(dá)標(biāo) 見導(dǎo)學(xué)案(或課件)
課堂小結(jié) 1.在利用一元一次方程解決問題時(shí),借助圖表分析對(duì)解決這類問題的作用. 2.借助適當(dāng)?shù)膱D表,可以直觀、形象地呈現(xiàn)數(shù)量關(guān)系,使復(fù)雜的數(shù)量關(guān)系變得清晰明了,從而幫助我們更好地理解問題、分析問題、解決問題.
板書設(shè)計(jì) ★問題解決策略:直觀分析 借助圖表直觀分析用一元一次方程解決問題 1.理解問題　　　2.借助圖表分析問題　　　3.列方程解決問題 例
教學(xué)反思 本節(jié)課首先借助簡(jiǎn)單的生活情境引出主題,讓學(xué)生認(rèn)識(shí)到用圖表分析問題的便利.接著通過對(duì)一個(gè)實(shí)際問題的逐步分析、理解、解決,在師生的交流和討論中培養(yǎng)借助圖表直觀分析問題中數(shù)量關(guān)系的能力,進(jìn)一步提高利用一元一次方程解決實(shí)際問題的能力,增強(qiáng)應(yīng)用意識(shí).后續(xù)通過分析各種形式的實(shí)際問題,加強(qiáng)數(shù)形結(jié)合思想,開拓思維.

展開更多......

收起↑