資源簡(jiǎn)介

3　乘法公式
第1課時(shí)　平方差公式的認(rèn)識(shí)
課標(biāo)摘錄 理解乘法公式(a+b)(a-b)=a2-b2 ,了解公式的幾何背景,能利用公式進(jìn)行簡(jiǎn)單的計(jì)算和推理.
教學(xué)目標(biāo) 1. 經(jīng)歷探索平方差公式的過程,會(huì)推導(dǎo)平方差公式,并能運(yùn)用公式進(jìn)行簡(jiǎn)單的計(jì)算,進(jìn)一步發(fā)展符號(hào)感和推理能力. 2. 通過創(chuàng)設(shè)問題情境,讓學(xué)生在數(shù)學(xué)活動(dòng)中建立平方差公式模型,感受數(shù)學(xué)公式的意義和作用.在平方差公式的推導(dǎo)過程中,培養(yǎng)學(xué)生觀察、發(fā)現(xiàn)、歸納、概括、猜想能力和有條理的表達(dá)能力. 3. 在探究學(xué)習(xí)中體會(huì)數(shù)學(xué)的現(xiàn)實(shí)意義,培養(yǎng)學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的信心.
教學(xué)重難點(diǎn) 重點(diǎn):平方差公式的推導(dǎo)和應(yīng)用. 難點(diǎn):用平方差公式的結(jié)構(gòu)特征判斷題目能否使用公式.
教學(xué)策略 通過問題導(dǎo)入的方式引入平方差公式的概念,激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣.接下來,通過多種方法,培養(yǎng)學(xué)生的邏輯思維和問題分析能力.然后通過實(shí)際問題的應(yīng)用,讓學(xué)生將公式從抽象的數(shù)學(xué)概念轉(zhuǎn)化為解決實(shí)際問題的工具.
情境導(dǎo)入 復(fù)習(xí)舊知: 1.多項(xiàng)式與多項(xiàng)式相乘,先用一個(gè)多項(xiàng)式的每一項(xiàng)乘另一個(gè)多項(xiàng)式的每一項(xiàng),再把所得的積相加.符號(hào)表示:(m+b)(n+a)=mn+ma+bn+ba. 2.兩項(xiàng)式乘兩項(xiàng)式,結(jié)果可能是兩項(xiàng)嗎 請(qǐng)舉例說明.
新知初探 任務(wù)　探究平方差公式 1. 計(jì)算下列各題: (1)(x+2)(x-2).(2)(1+3a)(1-3a).(3)(x+5y)(x-5y).(4)(2y+z)(2y-z). 觀察以上算式及其運(yùn)算結(jié)果,你有什么發(fā)現(xiàn) 結(jié)論1　平方差公式:(a+b)(a-b)=a2-b2. 兩數(shù)和與這兩數(shù)差的積,等于它們的平方差. 2. 根據(jù)以上結(jié)論,自己再舉一些類似的多項(xiàng)式相乘的情形并計(jì)算,驗(yàn)證自己的猜想. 結(jié)論2　理解平方差公式的關(guān)鍵: 左邊:(1)兩個(gè)二項(xiàng)式的積.(2)兩個(gè)二項(xiàng)式中一項(xiàng)相同,另一項(xiàng)互為相反數(shù). 右邊:(1)二項(xiàng)式.(2)平方的兩項(xiàng)符號(hào)相反.
例1　利用平方差公式計(jì)算: (1)(5+6x)(5-6x).　　　(2)(x-2y)(x+2y).　　　(3)(-m+n)(-m-n). 解:(1)原式=52-(6x)2=25-36x2; (2)原式=x2-(2y)2=x2-4y2; (3)原式=(-m)2-n2=m2-n2. 例2　利用平方差公式計(jì)算: (1);　　(2)(ab+8)(ab-8). 解:(1)=-y2=x2-y2; (2)(ab+8)(ab-8)=(ab)2-82=a2b2-64. 設(shè)計(jì)意圖:通過例題,鞏固并應(yīng)用平方差公式. 【即時(shí)測(cè)評(píng)】 判斷下面計(jì)算是否正確. (1)=x2-1.(　　) (2)(3x-y)(-3x+y)=9x2-y2.(　　) (3)(m+n)(-m-n)=m2-n2.(　　) 答案:×　×　× 設(shè)計(jì)意圖:鞏固并應(yīng)用平方差公式. 任務(wù)　意圖說明 通過習(xí)題,鞏固并應(yīng)用平方差公式,培養(yǎng)計(jì)算能力.
當(dāng)堂達(dá)標(biāo) 見導(dǎo)學(xué)案(或課件)
課堂小結(jié) 1.平方差公式:(a+b)(a-b)=a2-b2.即兩數(shù)和與這兩數(shù)差的積等于它們的平方差. 2. 應(yīng)用平方差公式的注意事項(xiàng): (1)注意平方差公式的適用范圍; (2)字母a,b可以是數(shù),也可以是整式; (3)注意計(jì)算過程中的符號(hào)和括號(hào).
板書設(shè)計(jì) 平方差公式的認(rèn)識(shí) 平方差公式 例1 例2
教學(xué)反思 本節(jié)課從復(fù)習(xí)舊知識(shí)入手,在教學(xué)設(shè)計(jì)時(shí)提供充分探索與交流的空間,使學(xué)生進(jìn)一步經(jīng)歷觀察、實(shí)驗(yàn)、猜測(cè)、推理、交流、反思等活動(dòng),培養(yǎng)學(xué)生類比的思想方法,讓學(xué)生學(xué)會(huì)一些探究的基本方法與思路,并體會(huì)到數(shù)學(xué)教材在內(nèi)容安排上螺旋上升的特點(diǎn).采用合作學(xué)習(xí)、組內(nèi)交流的學(xué)習(xí)方式,讓學(xué)生自己當(dāng)老師,一方面讓學(xué)生容易接受,另一方面可增強(qiáng)學(xué)生的自信心和學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣,讓學(xué)生在探究中,經(jīng)歷知識(shí)產(chǎn)生、發(fā)展的過程,體會(huì)“做數(shù)學(xué)”的樂趣.
第2課時(shí)　平方差公式的應(yīng)用
課標(biāo)摘錄 理解乘法公式(a+b)(a-b)=a2-b2 ,了解公式的幾何背景,能利用公式進(jìn)行簡(jiǎn)單的計(jì)算和推理.
教學(xué)目標(biāo) 1. 經(jīng)歷探索平方差公式的過程,會(huì)推導(dǎo)平方差公式,并能運(yùn)用公式進(jìn)行簡(jiǎn)單的計(jì)算,進(jìn)一步發(fā)展符號(hào)感和推理能力. 2. 通過創(chuàng)設(shè)問題情境,讓學(xué)生在數(shù)學(xué)活動(dòng)中建立平方差公式模型,感受數(shù)學(xué)公式的意義和作用.在平方差公式的推導(dǎo)過程中,培養(yǎng)學(xué)生觀察、發(fā)現(xiàn)、歸納、概括、猜想能力和有條理的表達(dá)能力. 3. 在探究學(xué)習(xí)中體會(huì)數(shù)學(xué)的現(xiàn)實(shí)意義,培養(yǎng)學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的信心.
教學(xué)重難點(diǎn) 重點(diǎn):平方差公式的推導(dǎo)和應(yīng)用. 難點(diǎn):用平方差公式的結(jié)構(gòu)特征判斷題目能否使用平方差公式.
教學(xué)策略 通過總結(jié)和拓展練習(xí),鞏固和加深學(xué)生對(duì)平方差公式的理解和運(yùn)用.這個(gè)教學(xué)過程既符合學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律,又能夠培養(yǎng)學(xué)生的思維能力和解決問題的能力.
情境導(dǎo)入 如圖①,邊長(zhǎng)為a的大正方形中有一個(gè)邊長(zhǎng)為b的小正方形. ① ② (1)請(qǐng)表示圖①中陰影部分的面積. (2)小穎將圖①中的陰影部分拼成了一個(gè)長(zhǎng)方形(如圖②),這個(gè)長(zhǎng)方形的長(zhǎng)和寬分別是多少 你能表示出它的面積嗎
新知初探 任務(wù)　探究平方差公式的運(yùn)用 活動(dòng)1　比較情境導(dǎo)入(1)(2)的結(jié)果,你能驗(yàn)證平方差公式嗎 通過觀察,歸納發(fā)現(xiàn): 結(jié)論:a2-b2=(a+b)(a-b). 活動(dòng)2　(1)計(jì)算下列各組算式,并觀察它們的共同特點(diǎn). 　　　　 (2)從以上過程中,你發(fā)現(xiàn)了什么規(guī)律 (3)請(qǐng)用字母表示這一規(guī)律,你能說明它的正確性嗎 通過分析數(shù)據(jù),歸納出: 規(guī)律:(a+1)(a-1)=a2-1.
例1　用平方差公式進(jìn)行計(jì)算: (1)103×97.　　　　　　　　　　　　　(2)118×122. 解:103×97 =(100+3)×(100-3) =1002-32 =10 000-9 =9 991; (2)118×122 =(120-2)×(120+2) =1202-22 =14 400-4 =14 396. 設(shè)計(jì)意圖:體會(huì)利用平方差公式進(jìn)行簡(jiǎn)便運(yùn)算. 例2　計(jì)算: (1)a2(a+b)(a-b)+a2b2. (2)(2x-5)(2x+5)-2x(2x-3). 解:(1)a2(a+b)(a-b)+a2b2 =a2(a2-b2)+a2b2 =a4-a2b2+a2b2 =a4; (2)(2x-5)(2x+5)-2x(2x-3) =(4x2-25)-(4x2-6x) =4x2-25-4x2+6x =6x-25. 設(shè)計(jì)意圖:培養(yǎng)計(jì)算能力.
當(dāng)堂達(dá)標(biāo) 見導(dǎo)學(xué)案(或課件)
課堂小結(jié) 1.知識(shí):利用平方差公式進(jìn)行數(shù)的簡(jiǎn)便運(yùn)算、利用圖形面積驗(yàn)證平方差公式. 2.方法:割補(bǔ)法,觀察—猜想—?dú)w納—驗(yàn)證—應(yīng)用. 3.思想:數(shù)形結(jié)合思想.
板書設(shè)計(jì) 平方差公式的應(yīng)用 例1 例2
教學(xué)反思 本節(jié)課雖然算不上課本中的難點(diǎn),但卻是這一章中的重點(diǎn),它是多項(xiàng)式乘法特殊形式下的一種簡(jiǎn)便運(yùn)算.學(xué)生需要熟練掌握公式的適用范圍和使用方法,以提高運(yùn)算速度.授課過程中,應(yīng)注重讓學(xué)生總結(jié)公式的特點(diǎn),說明運(yùn)用公式過程中容易出現(xiàn)的問題和特別注意的細(xì)節(jié),然后通過逐層深入的練習(xí),鞏固平方差公式的應(yīng)用.
第3課時(shí)　完全平方公式
課標(biāo)摘錄 理解乘法公式(a±b)2=a2±2ab+b2,了解公式的幾何背景,能利用公式進(jìn)行簡(jiǎn)單的計(jì)算和推理.
教學(xué)目標(biāo) 1. 理解公式的本質(zhì),從不同的層次上理解完全平方公式,并會(huì)運(yùn)用公式進(jìn)行簡(jiǎn)單的計(jì)算,了解完全平方公式的幾何背景. 2. 經(jīng)歷探索完全平方公式的過程,并從推導(dǎo)過程中,培養(yǎng)學(xué)生觀察、發(fā)現(xiàn)、歸納、概括、猜想等探究創(chuàng)新能力,發(fā)展邏輯推理能力和有條理的表達(dá)能力,培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)形結(jié)合意識(shí). 3. 在學(xué)習(xí)中,使學(xué)生體會(huì)學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的樂趣,培養(yǎng)學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的信心,感受數(shù)學(xué)的內(nèi)在美.
教學(xué)重難點(diǎn) 重點(diǎn):完全平方公式的推導(dǎo)過程、結(jié)構(gòu)特點(diǎn)、語(yǔ)言表述、幾何解釋. 難點(diǎn):完全平方公式的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)及其應(yīng)用.
教學(xué)策略 1.多媒體輔助教學(xué),提高課堂的效率與容量. 2.教學(xué)中逐步設(shè)置疑問,引導(dǎo)學(xué)生動(dòng)手、動(dòng)腦、動(dòng)口,積極參與探究知識(shí)的全過程. 3.由易到難安排例題、練習(xí),符合學(xué)生的認(rèn)知結(jié)構(gòu)特點(diǎn). 4.課堂中,對(duì)學(xué)生以激勵(lì)為主,表?yè)P(yáng)為輔,樹立其學(xué)習(xí)的自信心.
情境導(dǎo)入 (　　　　+　　　　)2=　　　　. 請(qǐng)一位同學(xué)在等號(hào)左邊的橫線上任意寫兩個(gè)單項(xiàng)式,老師能迅速說出結(jié)果,你知道老師是如何做的嗎
新知初探 任務(wù)一　探究(a+b)2=a2+2ab+b2 活動(dòng)1　觀察下列算式及其運(yùn)算結(jié)果,你有什么發(fā)現(xiàn) (m+3)2
=(m+3)(m+3)
=m2+3m+3m+9
=m2+2×3m+9
=m2+6m+9.　　　(2+3x)2
=(2+3x)(2+3x)
=4+2×3x+2×3x+9x2
=4+2×2×3x+9x2
=4+12x+9x2. 學(xué)生通過觀察、歸納,發(fā)現(xiàn): 結(jié)論1　(a+b)2=a2+2ab+b2. 想一想:你能用圖解釋這一公式嗎 任務(wù)一　意圖說明 鞏固并應(yīng)用完全平方公式.
任務(wù)二　探究(a-b)2=a2-2ab+b2 活動(dòng)2　(a-b)2= 你是怎樣做的 結(jié)論2　(a-b)2=a2-2ab+b2. 你能自己設(shè)計(jì)一個(gè)圖形解釋這一公式嗎 議一議:分析完全平方公式的結(jié)構(gòu)特點(diǎn),并用語(yǔ)言來描述完全平方公式. 結(jié)論3　完全平方公式的結(jié)構(gòu)特點(diǎn): 左邊是二項(xiàng)式[兩數(shù)和(或差)]的平方;右邊是兩數(shù)的平方和加上(或減去)這兩數(shù)積的2倍. 語(yǔ)言描述:兩數(shù)和(或差)的平方,等于這兩數(shù)的平方和加上(或減去)這兩數(shù)積的2倍. 設(shè)計(jì)意圖:鞏固完全平方公式. 例　利用完全平方公式計(jì)算: (1)(2x-3)2;　(2)(4x+5y)2;　(3). 解:(1)(2x-3)2=(2x)2-2·2x·3+32=4x2-12x+9; (2)(4x+5y)2=(4x)2+2·4x·5y+(5y)2=16x2+40xy+25y2; (3)=-2·m·a+a2=m2-ma+a2. 設(shè)計(jì)意圖:進(jìn)一步鞏固完全平方公式. 任務(wù)二　意圖說明 培養(yǎng)計(jì)算能力.
當(dāng)堂達(dá)標(biāo) 見導(dǎo)學(xué)案(或課件)
課堂小結(jié) 1.知識(shí):完全平方公式:(a±b)2=a2±2ab+b2. 即兩數(shù)和(或差)的平方,等于這兩數(shù)的平方和加上(或減去)這兩數(shù)積的2倍. 2.方法:觀察—?dú)w納—驗(yàn)證—應(yīng)用. 3.思想:數(shù)形結(jié)合思想、整體思想、類比思想.
板書設(shè)計(jì) 完全平方公式 完全平方公式 例
教學(xué)反思 本節(jié)課通過多項(xiàng)式乘法推導(dǎo)出完全平方公式,讓學(xué)生自己總結(jié)出完全平方公式的特征,注意不要出現(xiàn)如下錯(cuò)誤:(a+b)2=a2+b2,(a-b)2=a2-b2.為幫助學(xué)生記憶完全平方公式,可采用如下口訣:首平方,尾平方,乘積兩倍在中央.教學(xué)中,教師可通過判斷正誤等習(xí)題強(qiáng)化學(xué)生對(duì)完全平方公式的理解、記憶.
第4課時(shí)　完全平方公式的應(yīng)用
課標(biāo)摘錄 理解乘法公式(a±b)2=a2±2ab+b2,了解公式的幾何背景,能利用公式進(jìn)行簡(jiǎn)單的計(jì)算和推理.
教學(xué)目標(biāo) 1.熟記完全平方公式,并能說出公式的結(jié)構(gòu)特征,能夠運(yùn)用完全平方公式進(jìn)行一些數(shù)的簡(jiǎn)便運(yùn)算,會(huì)在多項(xiàng)式、單項(xiàng)式的混合運(yùn)算中,正確運(yùn)用完全平方公式進(jìn)行計(jì)算. 2. 能夠運(yùn)用完全平方公式解決簡(jiǎn)單的實(shí)際問題,并在活動(dòng)當(dāng)中培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)建模的意識(shí)及應(yīng)用數(shù)學(xué)解決實(shí)際問題的能力,感悟換元思想,提高靈活應(yīng)用乘法公式的能力,體會(huì)符號(hào)運(yùn)算對(duì)于解決問題的作用,進(jìn)一步發(fā)展學(xué)生的符號(hào)感. 3. 在學(xué)習(xí)中使學(xué)生體會(huì)學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的樂趣,培養(yǎng)學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的信心,感受數(shù)學(xué)的內(nèi)在美.
教學(xué)重難點(diǎn) 重點(diǎn):鞏固完全平方公式,區(qū)分(a+b)2與a2+b2. 難點(diǎn):熟練掌握乘法公式的運(yùn)用,體會(huì)公式中字母a,b的廣泛含義.
教學(xué)策略 1.充分考慮學(xué)生的認(rèn)知水平,采用生動(dòng)、直觀的教學(xué)方法,幫助學(xué)生理解乘法公式的推導(dǎo)過程. 2.注重培養(yǎng)學(xué)生的運(yùn)算習(xí)慣,引導(dǎo)學(xué)生通過練習(xí)逐步提高運(yùn)算速度和準(zhǔn)確度. 3.鼓勵(lì)學(xué)生積極參與課堂討論,培養(yǎng)學(xué)生的主動(dòng)思考能力和解決問題的能力. 4.關(guān)注個(gè)體差異,針對(duì)學(xué)生的不同學(xué)習(xí)需求,提供有針對(duì)性的指導(dǎo)和幫助,使每名學(xué)生都能在原有基礎(chǔ)上得到提高.通過以上措施,有助于提高學(xué)生對(duì)乘法公式的掌握程度,為學(xué)生今后的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)打下堅(jiān)實(shí)基礎(chǔ).
情境導(dǎo)入 在某市中學(xué)生運(yùn)動(dòng)會(huì)開幕式上,有兩個(gè)學(xué)校進(jìn)行方陣變換表演,其中育才中學(xué)有兩個(gè)方陣,分別為a行a列的男生方陣和b行b列的女生方陣,實(shí)驗(yàn)中學(xué)只有(a+b)行(a+b)列的學(xué)生方陣. 1.育才中學(xué)男生方陣有多少人 女生方陣有多少人 一共有多少人 2.實(shí)驗(yàn)中學(xué)的學(xué)生方陣有多少人 3.兩個(gè)學(xué)校哪個(gè)學(xué)校參加開幕式的學(xué)生多 多多少 為什么
新知初探 任務(wù)一　探究乘法公式的運(yùn)用 例1　利用完全平方公式計(jì)算: (1)1022.　　　　(2)1972. 分析:(1)把 1022 改寫成(a+b)2還是(a-b)2 a,b怎樣確定 (2)把 1972改寫成(a+b)2還是(a-b)2 a,b怎樣確定 歸納發(fā)現(xiàn): 1022
=(100+2)2
=1002+2×100×2+22
=10 000+400+4
=10 404.　　　　1972
=(200-3)2
=2002-2×200×3+32
=40 000-1 200+9
=38 809.
設(shè)計(jì)意圖:鞏固完全平方公式. 任務(wù)一　意圖說明 熟練掌握乘法公式的運(yùn)用,體會(huì)公式中字母a,b的廣泛含義. 任務(wù)二　探究乘法公式的綜合運(yùn)算 例2　計(jì)算:(1)(x+3)2-x2;　　　(2)(a+b+3)(a+b-3); (3)(x+5)2-(x-2)(x-3); (4)[(a+b)(a-b)]2. 解:(1)方法一:(x+3)2-x2=x2+6x+9-x2=6x+9. 歸納1:完全平方公式→合并同類項(xiàng). 方法二:(x+3)2-x2=(x+3+x)(x+3-x)=(2x+3)·3=6x+9. 歸納2:平方差公式→單項(xiàng)式乘多項(xiàng)式. 設(shè)計(jì)意圖:掌握綜合運(yùn)算. (2)(a+b+3)(a+b-3) =[(a+b)+3][(a+b)-3] =(a+b)2-32 =a2+2ab+b2-9. 歸納3:將(a+b)看作一個(gè)整體,解題中滲透了整體的思想. 設(shè)計(jì)意圖:滲透整體思想. (3)(x+5)2-(x-2)(x-3) =x2+10x+25-(x2-5x+6) =x2+10x+25-x2+5x-6 =15x+19. (4)[(a+b)(a-b)]2 =(a2-b2)2 =a4-2a2b2+b4. 任務(wù)二　意圖說明 掌握常見的數(shù)學(xué)思想.
當(dāng)堂達(dá)標(biāo) 見導(dǎo)學(xué)案(或課件)
課堂小結(jié) 1.知識(shí):(1)利用完全平方公式簡(jiǎn)化數(shù)字運(yùn)算. (2)綜合運(yùn)用平方差公式、完全平方公式簡(jiǎn)化整式乘法運(yùn)算. 2.方法:數(shù)字的拆分、湊整、優(yōu)選法. 3.思想:整體思想、轉(zhuǎn)化思想.
板書設(shè)計(jì) 完全平方公式的應(yīng)用 例1　　　　　　　　　例2
教學(xué)反思 在整個(gè)新課的教學(xué)中,采用“動(dòng)腦想,動(dòng)手寫,會(huì)觀察,齊討論,得結(jié)論”的學(xué)習(xí)方法.這樣做,增加了學(xué)生的參與機(jī)會(huì),增強(qiáng)了參與意識(shí),教給了學(xué)生獲取知識(shí)的途徑、思考問題的方法,使學(xué)生真正成為教學(xué)的主體;使學(xué)生“學(xué)”有所“思”,“思”有所“得”,體現(xiàn)了素質(zhì)教育下塑造“創(chuàng)新”型人才的優(yōu)勢(shì).最后,結(jié)合本節(jié)課教學(xué)內(nèi)容,選擇具有典型性,由淺入深的例題,讓學(xué)生認(rèn)知內(nèi)化,形成能力.通過發(fā)展、提高,培養(yǎng)學(xué)生的遷移、創(chuàng)新精神,有助于智力的發(fā)展.

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