資源簡介

中小學教育資源及組卷應用平臺
2.3.2 實數的運算
——新授課
一、教材分析
本節課是湘教版初中數學七年級下冊第二章第三節《實數》中的內容，本節內容主要圍繞實數的運算展開，包括實數的大小比較和加減乘除等基本運算。同時，強調有理數的運算律和性質在實數范圍內仍然適用。本節內容位于“實數”章節的后續部分，是銜接有理數運算與實數運算的關鍵環節，為后續學習根式方程、二次函數等奠定基礎。
二、學情分析
學生已掌握有理數的運算律（如交換律、結合律）及絕對值、相反數的概念，但對實數（尤其是無理數）的運算規則不熟悉，且可能混淆實數與有理數的運算差異，例如誤認為無理數無法參與常規運算。
三、教學目標
1.知道有理數的運算法則、運算律等，對于實數仍然成立，能熟練運用實數的運算律（如交換律、分配律）進行加減乘除運算。
2.知道所學的有關數、式、方程（組）的性質、法則和解法，對于實數仍然成立.
3.能進行簡單的實數大小比較。
4.通過類比有理數運算，歸納實數運算的通用規則，培養遷移能力。
5.感受數系擴充的理性美，理解數學知識的一致性與擴展性。
四、重點難點
重點：在實數范圍內進行運算。
難點：用有理數估算一個無理數的大致范圍。
五、教學方法
講授法、練習法、問答法
六、教學過程
一、復習回顧
問題1：引入負數后，數的范圍從正整數、0、正分數擴充到了什么？
問題2：引入無理數后，數的范圍從有理數擴充到了什么？
問題3：在學習有理數時，我們發現0和正數的運算法則和運算律在進行有理數的運算時仍然成立，那么，我們系數擴展到了實數范圍內，這些法則和運算會仍然成立嗎？
【回顧】
二、探究新知
【講授】把數從有理數擴充到實數以后，實數也可以進行加、減、乘、除、乘方運算，而且非負數可以進行開平方運算，任意實數都可以進行開立方運算.
運算順序：1.先算乘方、開方，再算乘除，最后算加減。
2.同級運算按照從左到右的順序進行計算。
3.有括號的先算括號里面的（小中大）
【牛刀小試】
1.計算：
解：原式=43+3+
=43+3+2
=6
【講授】在進行實數的運算時，有理數的運算法則、運算律等，對于實數仍然成立 . 前面所學的有關數、式、方程（組）的性質、法則和解法，對于實數仍然成立.
【做一做】
填空（a，b，c是任意實數）：
（1）a + b = ____________（加法交換律）；
（2）(a + b) + c = ____________（加法結合律）；
（3）ab = ____________（乘法交換律）；
（4）(ab)c = ____________（加法交換律）；
（5）a(b + c) = __________（乘法對加法的分配律）；
(b + c)a = __________（乘法對加法的分配律）；
（6）實數的減法運算規定為 a－b = a + _______；
（7）實數的除法運算規定為 a÷b = a · ______（b≠0）；
（8）如果 a ≠ 0，b ≠ 0，那么 ab ______0；
（9）若 ab = 0，則 a =_____或 b = _____.
【牛刀小試】
2.計算:(1); (2);
(3); (4) ;
(5) π ; (6).
解：(1)= =;
(2)== ;
(3)= + 1=;
(4) = ;
(5) π+=；
(6)=2=2.
【議一議】對于實數a，它有幾個平方根，幾個立方根呢？
分類討論：
1.當a>0時，實數a有且只有兩個平方根，即,有且只有一個立方根，即；
2.當a=0時,實數a的平方根和立方根都是0；
3.當a<0時,實數a沒有平方根,有且只有一個立方根，即.
【實數大小的比較】
3.填空（填>、<、=）：
（1）若43________0,則4________3;
（2）若________0,則________ ;
（2）若________0,則________.
作差法：
對于實數a，b：
如果a－b>0，則稱a大于b（或者b小于a），記作a>b（或b如果a－b<0，則稱a小于b（或者b大于a），記作aa）；
如果a－b=0，則稱a等于b，記作a=b.
注意：對于任何實數a，b ，在a>b,a=b,a法則：
正實數大于一切負實數；
兩個負實數，絕對值大的數反而小.
4.比較大小：(1) ________ (2) _______
借助數軸比較：
5.比較a,b,c,d的大小：
數軸上右邊的點表示的實數比左邊的點表示的實數大.
乘方法：
一般地，對于兩個正實數a，b：
若a>b,則;
若a>b,則.
注意：反過來也成立
6.比較大小：(1) ____ (2) _______
推廣：
一般地，對于兩個正實數a，b：
若,則;
若,則.
三、例題探究
例2 比較下列各組數的大小.
（1）2.5與； （2）3與； （3）-3與-.
解：（1）因為2.52=6.25，（）2=7，又6.25<7，所以2.5<.
（2）因為33=9，（）3=25，又27>25，所以3>.
（3）因為=3，=，由（2）知3>，所以-3<.
【思考】不用計算器，分別估計與在哪兩個相鄰整數之間.
解：由于102=100<115，（）2=115，112=121>115，
所以應介于10和11之間，即10<<11.
由于43=64<121，（）3=121，53=125>121，
所以應介于4和5之間，即4<<5.
例3 用計算器計算：2×（結果精確到0.01）.
解：依次按鍵：
顯示結果：4.472 135 955.
所以2×≈4.47.
【講授】在實數運算中，當遇到無理數并且要求出結果的近似值時，可以按照精確度用相應的近似有限小數（一般比計算結果要求的精確度多保留一位）去代替無理數進行計算，最后再四舍五入.
例4 利用=1.414 213 562…和=2.645 751 311 …計算+的值（結果精確到0.001）.
解：由于需精確到0.001，
于是只需取≈1.414 2，≈2.645 7,
故+≈1.414 2+2.645 7=4.059 9≈4.060.
四、課堂小結
進行實數的運算時需注意有什么？怎么進行實數大小的比較
五、作業布置
課堂作業：P44 T1—3
家庭作業：《學法》P31-32 A組（基礎一般）、B組（基礎較好）、C組（選做）
21世紀教育網 www.21cnjy.com 精品試卷·第 2 頁 （共 2 頁）
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