資源簡介

《簡單復合函數的導數》教學設計
內容與內容解析
內容：復合函數的概念，簡單復合函數的求導法則
內容解析：
引入簡單復合函數求導法則的必要性：之前所學的簡單基本函數求導法則無法滿足學習需要，無法通過之前所學解決復合函數求導問題，因此，探尋解決方法，同時，在之前的認知基礎上進行進一步深入
復合函數的概念：一般地，對于兩個函數 和 ，如果通過中間變量可以表示成的函數，那么稱這個函數為函數和 的重合函數(composite function)， 記作 ，它可以由幾個基本初等函數復合而成，與基本初等函數緊密聯系起來。
教學重點：簡單復合函數的求導法則；
目標與目標解析
目標：
理解復合函數的概念；
掌握簡單復合函數的求導法則；
會用簡單復合函數的求導法則求復合函數導數
目標解析：
達成上述目標的標志分別是：
能夠判斷出構成復合函數的幾個基本初等函數；
能夠運用簡單復合函數的求導法則解決問題；
會用簡單復合函數的求導法則求復合函數導數
教學問題診斷解析
問題診斷
讓學生體會簡單復合函數的求導法則的必要性，之前所學的基本初等函數的求導已經不能夠滿足學習需要，因此找到探究復合函數導數的方法
教學難點：
（1）復合函數的分解，求復合函數導數
（2）利用簡單復合函數求導法則解決實際問題
教學過程設計
（一）復習引入
我們之前已經學習了基本初等函數的導數和導數的四則運算法則，我們先來回顧一下：
1.基本初等函數的導數：
若
若;
若
特別地，若;
若;
特別地，若.
2.導數的四則運算法則；
1.
2.
3.
【設計意圖】引導學生回顧基本初等函數的導數，為本節課作鋪墊
（二）生成概念
有了以上基礎后，我們來思考這樣一個問題：
思考：如何求函數的導數？
我們可以發現：這個函數它與我們之前所學過的函數不同，它不能用定義求出極限，也不能夠由基本初等函數通過加減乘除，因此我們就要來找尋解決該問題的方法，思考一下是否能夠把它轉化成我們熟悉的問題來求解。我們先來分析一下這個函數，在這個函數中，我們可以找到“熟悉的身影”，比如括號內的“”，它是一個基本初等函數，我們現在將其看作一個整體，記作，即，此時，我們就可以將整個函數看作是,我們把可以這樣用中間變量表示的函數稱為函數和的復合函數，記作。那么，函數就可以看作是由基本初等函數，和基本初等函數復合而成的復合函數。
【設計意圖】引導學生發現復合函數與基本初等函數的聯系，讓學生主題發現問題，找到解決方法
那么如何去求復合函數的導數就是我們所要探究的問題：現在我們給定一個復合函數：，根據定義，，因為，，由此推得，，所以，，根據導數定義（展示導數定義），我們可以發現如果給這個分式配一個分母，有，那么，=，又因為時，，所以=f’(u)g’(x)
這樣，我們就得到了簡單復合函數的求導法則：
【師生活動：教師引導學生推導復合函數求導法則】
【設計意圖】讓學生體會簡單復合函數的求導法則的推導過程，經歷主動探索的過程
（三）課堂鞏固
例1：求函數的導數
這樣，我們可以得到求函數導數的方法，因為函數可以看作是由基本初等函數，和基本初等函數復合而成的復合函數，所以， ，這個式子可否作為結果？只是我們所設的中間量，函數對進行求導，因此，我們應當將代回，
練習1：1、（2021·全國·高二課時練習）將下列復合函數分解成基本初等函數并求其導數：
①
②
③；
④
⑤
⑥．
【分析】直接利用導數的運算法則、基本初等函數的導數公式以及簡單復合函數的導數計算法則求解．
（1）解：，；
（2）解：因為，所以
（3）解：因為，所以
（4）解：因為，所以
（5）解：因為，所以
（6）解：因為，所以
【學生活動】：總結求復合函數的一般步驟：
觀察復合函數，判斷構成復合函數的幾個基本初等函數；
利用中間變量對復合函數進行求導；
將中間變量代回，得到關于自變量的導數。
2、（2021·廣東·東莞市光明中學高二階段練習）下列函數在定義域上為增函數的有（ ）
A． B． C． D．
【分析】
通過求導可知選項A、B的導函數分別為、，利用導數的性質可以分析其在整個定義域上不單調.然后根據選項C、D的導函數分別判斷得出、，其在整個定義域上是單調的，故可選出答案.
【詳解】
A．函數定義域為，，當時，，當時，，所以在定義域為不是增函數，故A錯誤.
B．函數定義域為，，當時，，當時，，所以在定義域為不是增函數，故B錯誤.
C．函數定義域為，，所以在定義域為是增函數，故C正確.
D．函數定義域為，，當且僅當，即時，等號成立，所以在定義域為是增函數，故D正確.
故選：CD
3、（2021·全國·高二單元測試）已知函數，則（ ）
A． B．3 C． D．2
【設計意圖】引導學生掌握復合函數求導方法，總結復合函數求導的一般規律、過程
【分析】
先求函數的導函數，然后求出，再求值即可.
【詳解】
解：由，求導可得，
則，
則函數的解析式為，
所以，，
則，
故選：B.
例題2：（2021·北京育才學校高三階段練習）曲線在點處的切線方程為（ ）
A． B． C． D．
【分析】
求出導數，求得切線的斜率，即可求得答案.
【詳解】
∵，
∴，
∴，
又，
∴曲線在點處的切線方程為.
故選：D.
練習2：
1、（2021·全國·高二課時練習）函數在處的導數是______．
【分析】
將函數解析式展開，再求導，之后代入即可得到結果.
【詳解】
將函數解析式展開得到：，求導得，
所以．
故答案為：6.
【設計意圖】讓學生學會運用簡單復合函數的求導法則
2、（2019·湖南·高二期末（理））已知函數，則過原點且與曲線相切的直線方程為____________.
【分析】
設切點坐標為，利用導數求出曲線在切點的切線方程，將原點代入切線方程，求出的值，于此可得出所求的切線方程．
【詳解】
設切點坐標為，，，，
則曲線在點處的切線方程為，
由于該直線過原點，則，得，
因此，則過原點且與曲線相切的直線方程為，故答案為．
【學生活動】總結：過點作函數圖象的切線方程求解思路：
（1）先設切點坐標，并利用導數求出切線方程；
（2）將所過點的坐標代入切線方程，求出參數的值，可得出切點的坐標；
（3）將參數的值代入切線方程，可得出切線的方程．
（四）總結提升
回顧本堂課，我們是怎么推導簡單復合函數的求導法則的？
求復合函數的一般步驟是什么？
利用簡單復合函數的求導法則可以解決怎樣的問題？
【學生活動】學生回顧本節課內容，思考以上問題
【設計意圖】引導學生梳理本節課的研究問題和研究思路

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