資源簡介

《函數的最大（小）值》教學設計
內容與內容解析
1、內容 函數的最大（小）值的概念，通過導數求解函數的最值，解決實際生活中的最值問題
2、內容解析: 高中數學人教A版選擇性必修第二冊， 第五章， 一元函數的導數及其應用 5.3.2 函數的極值與最大（小）值(第二課時)
第一課時學習了函數的極值，極值反映的是函數在某一點附近的局部性質，而不是整個定義域上的性質。但是，在解決實際問題或研究函數的性質時，我們往往關心函數在定義域內或指定的區間上，哪個值最大，哪個值最小，所以本節課的學習具有更進一步的意義。
目標和目標解析:
1、目標
（1）了解函數的最大（小）值的概念，能夠區分極值與最值。
（2）能利用導數求某些函數給定閉區間上不超過三次的多項式的最大(小)值。
（3）掌握導數在解決實際問題中的應用。
2、目標解析
（1）對于給定的函數，能利用導數求出函數的最大（小）值。
（2）對于生活中的實際問題，能合理建模，建立函數關系，利用導數解決實際問題中的最值。
（3）通過求導與最值的探求，培養學生的數學核心素養——直觀想象、數學抽象、邏輯推理、數學建模、數學運算等。
三、教學問題診斷分析:
應用導數求函數的最值以及解決應用題中的最值問題是本課時應重點關注的問題，而函數圖象簡圖的描繪過程中的細節處理（如極限思想的應用），應用題中的數學建模思想的應用以及對現實最值問題體現的實際意義的理解，都值得我們花大力氣去突破。
教學支持條件分析:
學生必需具備畫出函數大致圖象的能力，所以教師應該引導學生如何抓住特殊點和增長趨勢畫出簡圖。過程分析和畫圖完畢后最好借助信息技術（例如幾何畫板）給予學生更為規范的圖象展示，并且有意識地培養學生應用信息技術驗證自己圖象正確與否的能力。
教學過程設計:
（一）情境導入
1.提出生活中遇到的最值問題
某制造商制造并出售球形瓶裝的某種飲料，瓶子的制造成本是分，其中r（單位：cm）是瓶子的半徑，已知每出售1mL的飲料，制造商可獲利0.2分，且制造商能制作的瓶子的最大半徑為6 cm.
（1）瓶子半徑多大時，能使每瓶飲料的利潤最大？
（2）瓶子半徑多大時，每瓶飲料的利潤最小？
【設計意圖】用實際問題來激發學生的學習興趣，突出數學的實用價值
回顧"函數的極值"
若函數y＝f(x) 的函數值f(a)比它在點x＝a附近其他點的函數值都小，f′(a)＝0；
而且在點x＝a附近的左側圖象單調遞減，右側圖象單調遞增. 則f(a)叫做y＝f(x)的極小值．
若函數y＝f(x) 的函數值f(b)比它在點x＝b附近其他點的函數值都大，f′(b)＝0；
而且在點x＝b附近的左側圖象單調遞增，右側圖象單調遞減. 則f(b)叫做y＝f(x)的極大值．
【設計意圖】溫故而知新，為即將學習函數的最值奠定知識層面上的基礎。
3.導入”函數的最值”
在社會生活實踐中，為了發揮最大的經濟效益，常常遇到如何能使用料最省、產量最高、效益最大等問題，這些問題的解決常常涉及到求一個函數的最大值和最小值問題.
極值是一個局部概念，只是某個點的函數值與它附近點的函數值比較是最大或最小,并不意味著它在函數的整個的定義域內最大或最小.
【設計意圖】自然過渡到本節課函數的最大值和最小值問題的學習，闡述進一步學習的實際意義。
（二）定義新知
如果是某個區間上函數的最大（小）值點，那么不小（大）于函數在此區間上的所有函數值.
如圖，根據函數，的圖象，可知，，是函數的極小值，是函數的極大值.函數在區間上的最小值是，最大值是.
提問:函數極值與最值的關系
1.在定義域內, 最值唯一,極值不唯一。
2.最大值一定比最小值大,極大值不一定比極小值大.
3.最值可能是極值，也可能不是極值。
(學生活動:分組討論總結)
【設計意圖】幫助學生厘清極值與最值的區別與聯系
（三）例題講解
例1 求函數在區間上的最大值與最小值.
(教師活動:板書過程)
【設計意圖】為規范答題做好示范。
解：因為，所以.
令，解得或.
當x變化時，，的變化情況如表所示.
x 2
＋ 0 － 0 ＋
單調遞增 單調遞減 單調遞增
因此，當時，有極大值，并且極大值為；
當時，有極小值，并且極小值為.
故在區間上，當時，函數有極小值，為.
又由于，，
所以函數在區間上的最大值是4，最小值是.
提問:總結求函數在區間上的最大值與最小值的步驟
(學生活動:分組討論總結)
【設計意圖】讓學生自己總結，理解更深，為解決例2提供方法指導。
一般的，求函數在區間上的最大值與最小值的步驟如下：
（1）求函數在區間上的極值；
（2）將函數的各極值與端點處的函數值，比較，其中最大的一個是最大值，最小的一個是最小值.
例2 給定函數.
（1）判斷函數的單調性，并求出的極值；
（2）畫出函數的大致圖象；
（3）求出方程的解的個數.
(教師活動:分析，提示，巡堂查看，及時糾錯)
(學生活動:學生獨立完成，分組討論，投影最佳解答)
【設計意圖】讓學生親自實踐求極值和最值的過程，摸索畫圖的方法，與同伴交流找出錯誤，實現知識完善和思維嚴謹上的飛躍。
解：（1）函數的定義域為.
.令，解得.
，的變化情況如表所示.
x
－ 0 ＋
單調遞減 單調遞增
所以在區間上單調遞減，在區間上單調遞增.
當時，有極小值.
（2）令，解得.
當時，；當時，.
所以的圖象經過特殊點，，.
當時，與一次函數相比，指數函數呈爆炸性增長，從而；
當時，，.
根據以上信息，畫出的大致圖象如圖所示.
（3）方程的解的個數為函數的圖象與直線的交點個數.
由（1）及上圖可得，當時，有最小值.
所以關于方程的解的個數有如下結論：
當時，解為0個；當或時，解為1個；當時，解為2個.
思考:畫出函數f(x)的大致圖象的步驟 (學生活動:分組討論總結)
畫出函數f(x)的大致圖象的步驟如下:
（1）求出函數的定義域；
（2）求導數及函數的零點；
（3）用的零點將的定義域劃分為若干個區間，列表給出
在各區間上的正負，并得出的單調性與極值；
（4）確定的圖象所經過的一些特殊點，以及圖象的變化趨勢；
（5）畫出的大致圖象.
（四）鞏固訓練
已知對任意恒成立，則實數a的最大值為( )
A.0 B.1 C. D.
(學生活動:思考，板演)
(教師活動:巡堂查看，及時糾錯)
解析：由題意，知對任意恒成立，令，則，令，得，當時，，當時，，所以函數在
上單調遞增，在上單調遞減，所以最小值為，
所以，故選C。
（五）導數的實際應用
例3 某制造商制造并出售球形瓶裝的某種飲料，瓶子的制造成本是分，其中r（單位：cm）是瓶子的半徑，已知每出售1mL的飲料，制造商可獲利0.2分，且制造商能制作的瓶子的最大半徑為6 cm.
（1）瓶子半徑多大時，能使每瓶飲料的利潤最大？
（2）瓶子半徑多大時，每瓶飲料的利潤最小？
解：由題意知，每瓶飲料的利潤是，.
所以，令，解得.
當時，；當時，.
因此，當半徑時，，單調遞增，即半徑越大，利潤越高；
當半徑時，，單調遞減，即半徑越大，利潤越低.
（1）半經為6 cm時，利潤最大.
（2）半經為2 cm時，利潤最小，這時，表示此種瓶內飲料的利潤
還不夠瓶子的成本，此時利潤是負值.
(學生活動:思考函數表達式的建立，定義域的確定，簡圖的獲得，最值的實際意義)
(教師活動:分析，提示，PPT展示過程)
【設計意圖】引導學生理性地分析和理解最值的實際意義，為未來生活或生產決策奠定數學建模的意識與基礎。
（六）課堂小結
函數最值問題：一般地，如果在區間上函數的圖象是一條連續不斷的曲線，那么它必有最大值和最小值.只要把函數的所有極值連同端點的函數值進行比較，就可以求出函數的最大值與最小值；
導數的實際應用：通過數學建模的思想找到相關變量的函數，應用導數可以求出函數的最大值或最小值，更好地為生產或生活服務。
（七）作業布置 教科書習題5.3第6，8，10題
板書設計:
目標檢測設計:5.3.2函數的極值與最大（小）值
第一課時 函數的極值
一、內容與內容解析
1. 內容：極值的概念，了解函數的極值與導數的關系，運用導數方法求函數極值。
2. 內容解析：
（1）極值的概念：函數的極值本質反映的是函數在某一點附近的局部性質，而不是函數在整個定義域內的性質。教學時可以用高臺跳水實例引入函數極值的討論，先讓學生結合實際經驗，通過觀察圖形直觀形象的得到“局部最值"的初步想法，通過對比函數的最值，引發學生的認知沖突,使學生認識到“局部最值”不同于函數最值，是一個全新的概念，從而生成函數極值的概念。需要注意的是，“在附近”的含義實際上指的是一個非常小的區間，這個區間的左端點比小，右端點比大。這個區間要多小就可以有多小，這里我們用的是自然語言來進行表述。在高等數學里我們還會用符號語言精確刻畫“在附近”的含義。
（2）函數的極值與導數的關系：學生對函數的極值有了初步的了解后，學生就會面臨難題，如何利用導數求函數的極值呢？這一部分主要是探究求極值的算法，雖然沒有新知識和新概念的生成，但教師在教學中依然要符合學生的認知規律，要讓學生認識到利用導數來求極值是通過探究自然而然形成的。先讓學生觀察函數極值附近兩側的圖像變化，認識到函數極值點左右兩側圖像變化趨勢是相反的。學生知道圖象的上升與下降是用單調性來刻畫的，而函數單調性又可以用導數來刻畫的。因此，學生自然而然地就明白函數的極值可以借助導數來求解。
（3）運用導數方法求函數極值：學生通過觀察圖象可以自己總結求函數極值的一般步驟，但是還是會忽略定義域，因此要強調學生注意這一點，通過例題的變式可以達到這一目標。為了能夠更加簡捷地求極值，教師要示范利用表格完整的書寫求極值的過程。需要強調的是，在高中研究的函數都是處處可導的函數。再啟發學生得出函數在一點的導數值為0是函數在這點處取得極值的必要條件，而非充分條件。并舉出反例加以說明。
3. 教學重點：極大值、極小值概念和判別方法，以及求可導函數的極值的步驟。
目標與目標解析
1. 目標：
結合函數圖像，了解可導函數在某點取得極值的必要條件和充分條件；理解函數極值的概念，
會用導數求函數的極大值與極小值。
通過觀察具體的函數圖像，學生直觀感知極值這一概念的生成過程，并積極主動地參與探索函
數的極值與導數值變化之間的關系的活動，親身經歷用導數研究極值方法的過程。
通過學習，學生體會導數在研究函數性質中的工具性和優越性，掌握極值是函數的局部性質，
增強數形結合的意識；通過體會成功，形成學習數學知識、了解數學文化的積極態度；通過規范地表達求函數極值的過程，養成縝密的思維習慣。
2. 目標解析：
達成上述目標的標志分別是：
（1）能夠通過函數圖象判斷函數的極值點和極值。
（2）能夠通過導函數的圖象判斷函數的極值點。
（3）能夠利用導數求解一元三次函數的極值。
教學問題診斷解析
問題診斷
為何可以利用導數直接判斷極值是第一個教學問題，也是教學難點。導數理論從產生到完備經歷了幾個世紀，凝聚了數學家的心血。如今學生“再創造”學習時，在沒有教師的引導下，導數介入函數的極值中是很難理解。這樣的''突然一跳"作為學生的探究起點，難度很大，不免給學生造成此內容好像是“帽子里跳出的兔子”。因此，探究的起點應從學生熟悉的公式或概念開始。學生對函數的極值有了初步的了解后，那么困惑產生了：如何求函數的極值呢 這一部分主要是探究求極值的算法，雖然沒有新知識和新概念的生成，但依然要符合學生的認知規律。要讓學生認識到利用導數來求極值是通過探究自然而然形成的。先引導學生觀察函數極值附近兩側的圖像變化如何？學生就能聯系單調性進行想到函數的極值可以用導數來刻畫。再引導學生從圖象中觀察得出如何區分極大值和極小值，進而得到求極值的一般步驟。 值得注意的是，中學主要探討可導函數的極值，高等數學中極值點處導數可以不存在，如 是該函數的極小值點，但 不存在。
（2）函數在某點處的導數值為0是可導函數取得極值的必要條件，而非充分條件。這個第二個教學問題，也是教學難點。學生通過例1的講解以及求極值的基本步驟，可以更加清楚的認識到，函數在處取得極值的充分條件是：①；②在的左右兩側導數值是異號的。然后再安排教科書上的思考導數值為0的點一定是函數的極值點嗎？在學生認識到函數在某點取得極值的充分條件后，學生容易想到特例，進而得出結論：“導數值為0的點不一定是函數的極值點”。
教學難點
函數在某點取得極值的必要條件與充分條件，求可導函數的極值的步驟。
教學支持條件分析
為了理解極值的概念，只需要學生借助圖象直觀，進行數學抽象即可。當t=a時，運動員距水面的高
度h最大。為了讓學生從圖象上直觀地看到t=a附近函數導數值的正負性變化，教學時可以采用信息技術工具，放大函數在t=a附近的圖象。因此可以借助幾何畫板作為教學支持條件。先作出函數圖象在t=a的左側某點處的切線，當切點沿函數圖象從t=a的左側移動至右側時，切線斜率由正數變到為0，再由0變到負數。
教學過程設計
情境引入
問題1 觀察廬山連綿起伏的圖片，思考廬山的山勢有什么特點？
圖1
師生活動：學生間激烈地爭論著這個問題，教師再給出這節課要研究的角度，結合蘇軾在《題西林壁》中的詩句“橫看成嶺側成峰,遠近高低各不同”，描述的是廬山的連綿起伏。由此聯想廬山的連綿起伏形成好多的"峰點" 與''谷點"，這就象數學上要研究的函數的極值。
[設計意圖]將學生從"要我學"被動學習情緒激發到“我要學”的積極主動的學習欲望上來，學生能夠自覺地參與課堂教學的過程中來。
合作探究
問題2 觀察圖2和圖3，函數在點處的函數值與它附近的函數值之間有什么關系？
圖2 圖3
師生活動：學生觀察分析后發表自己的見解。教師在前面活動的基礎上進行點評，函數在
點的函數值比它在點附近其他點的函數值都大，它是一個局部的概念，不同于函數的最值，為了區分函數的最值，我們要加以新的定義。然后給出極大值的概念：
函數在點的函數值比它在點附近其他點的函數值都大，我們把叫做函數的極大值點，叫做函數的極大值。
類似地，學生給出極小值的概念：
函數在點的函數值比它在點附近其他點的函數值都小，我們把叫做函數的極小值點，叫做函數的極小值。
教師再強調：（1）極小值點、極大值點統稱為極值點, 極小值、極大值統稱為極值；（2）極值點是橫坐標, 極值是縱坐標。（3）“在附近”的含義實際上指的是一個非常小的區間，這個區間的左端點比小，右端點比大。這個區間要多小就可以有多小，這里我們用的是自然語言來進行表述。在高等數學里我們還會用符號語言精確刻畫“在附近”的含義。
[設計意圖]讓學生將觀察分析得到的結論用科學嚴謹的數學語言表達出來，有利于學生思維從感性層面提升到理性層面，培養歸納概括能力。
問題3 觀察圖4，找出圖中的極值點，并說明哪些為極大值點，哪些為極小值點？
圖 4
追問1 函數在其定義域內的極大值點和極小值點唯一嗎？
追問2 區間的端點能成為極值點嗎？
追問3 極大值一定大于極小值嗎？
師生活動：小組討論交流并展示后，教師再加以點評，極值刻畫的是函數的局部性質，而最值刻畫的是函數的整體性質，是兩個不同的概念。
[設計意圖]對問題進行遞進式分解，有利于學生思維的有序展開。追問的設置有利于學生對概念的辨析和理解。
問題4 回到圖象2、圖象3，函數在極值點附近的圖象變化如何？
圖 2 圖 3
追問1 函數圖象的上升與下降可以用什么來刻畫？
追問2 函數單調性可以用什么來刻畫呢？
師生活動：學生觀察認識到函數極值點左右兩側圖像變化趨勢是相反的。而圖象的上升與下降是用單調性來刻畫的，函數單調性又可以用導數來刻畫的。接著教師利用幾何畫板進行演示，先作出函數圖象在t=a的左側某點處的切線，當切點沿函數圖象從t=a的左側移動至右側時，切線斜率由正數變到為0，再由0變到負數。
追問3 如何區分極大值與極小值呢？
師生活動：放大附近函數的圖像，請學生觀察幾何畫板展示的動態過程，得到當時，函數單調遞增，；當時，函數單調遞減，。這樣，當在的附近從小到大經過時，先正后負，且連續變化，于是有。再由學生總結求函數極值的步驟：（1）先求的零點；（2）再利用口訣：先正后負是極大值；先負后正是極小值。
[設計意圖]讓學生經歷可以利用導數求極值這一知識的自主建構過程，借助圖象直觀，進行數學抽 象形成極值口訣，乘勢而上，讓學生自己總結求極值的基本步驟，培養學生的直觀想象、數學抽象和邏輯推理等核心素養。
學以致用
例題1 求函數的極值。
師生活動：教師啟發學生思考，并示范解答問題。在此基礎上，引導學生歸納用導數求函數y=f (x)極值的步驟：
第1步，求出函數的定義域；
第2步，求出導數f ′(x)的零點；
第3步，用f ′(x)的零點將函數f (x)的定義域劃分成若干個開區間，列表給出f ′(x)在各區間上的正負，由此得出函數y=f (x)在定義域內的單調性，進而求出函數的極值。
追問：導數值為0的點一定是函數的極值點嗎？
師生活動：學生在前面例題的基礎上，容易想到如果導數值在這個根左右兩側同號，那么這個根不是極值點。如f (x)＝x3，f ′(0)＝0， 但x＝0不是f (x)＝x3的極值點．所以，當f ′(x0)＝0時，要判斷x＝x0是否為f (x)的極值點，還要看f ′(x)在x0兩側的符號是否相反。
[設計意圖]此問題是教科書第93頁例6，教師通過例題解答向學生示范如何利用導數求函數的極值。讓學生養成規范表達的良好習慣，學會探索利用列表法簡潔明了的表達方式的方法。并讓學生體會到函數在一點的導數值為0是函數在這點取極值的必要條件，而非充分條件。
例題2 函數f (x)的導函數y= f ′(x)的圖象如圖所示，試找出函數f (x)的極值點，并指出哪些是極大值點，哪些是極小值點。
追問：函數y= f ′(x)的極大值點和極小值點分別是什么？
師生活動：教師引導學生利用求極值的三步曲來進行判斷。對于函數y= f ′(x)的極大值點和極小值點，教師要特別強調導函數也是一個函數，它也可以有極大值點和極小值點。
[設計意圖]通過該例題，讓學生能夠通過觀察導函數的圖象，利用求極值的三步曲，判斷出極值點的位置。也讓學生明白還可以根據極值點的定義來進行判斷。
當堂檢測 求下列函數的極值：
(1);
(2).
【設計意圖】通過習題的訓練，學生進一步體會用表格的形式解題的優勢。
課堂小結
請學生總結一下本節課的主要內容和思想方法。
師生活動：教師引導學生自行總結本節課的主要內容和思想方法，在此基礎上，結合學生總結的情況
及時進行補充完善。
[設計意圖]回顧本節課的學習內容，總結用導數求函數極值的步驟，使學生進一步體會導數在研究
函數極值中的作用，感受算法思想。
目標檢測設計
檢測1 函數的定義域為，導函數的圖象如圖所示，則函數f (x) (　　)
A．無極大值點，有四個極小值點
B．有三個極大值點，兩個極小值點
C．有兩個極大值點，兩個極小值點
D．有四個極大值點，無極小值點
[設計意圖]考查學生對利用導函數的圖象判斷函數極值的認識。
檢測2 (多選題)下列四個函數中，在x＝0處取得極值的函數是(　　)
A．y＝x3　　 B．y＝x2＋1 C．y＝|x| D．y＝2x
[設計意圖]考查學生對利用函數圖象判斷函數極值的掌握程度。
檢測3 求下列函數的極值:
(1) ;
(2) .
[設計意圖]考查學生對利用導數求函數極值的步驟的掌握程度。
檢測4 已知f(x)=x3+ax2+(a+6)x+1有極大值和極小值,求實數a的取值范圍.
[設計意圖]考查學生對用導數刻畫函數極值的認識。
1.C　[設y＝f ′(x)的圖象與x軸的交點從左到右橫坐標依次為x1，x2，x3，x4，則f (x)在x＝x1，x＝x3處取得極大值，在x＝x2，x＝x4處取得極小值．]
2.BC　[對于A，y′＝3x2≥0，∴y＝x3單調遞增，無極值；對于B，y′＝2x，x＞0時y′＞0，x＜0時y′＜0，∴x＝0為極值點；對于C，根據圖象，在(0，＋∞)上單調遞增，在(－∞，0)上單調遞減，∴C符合；對于D，y＝2x單調遞增，無極值．故選BC．]

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