資源簡介

4.4數(shù)學(xué)歸納法
一、內(nèi)容與內(nèi)容解析
1. 內(nèi)容：數(shù)學(xué)歸納法的概念，會用數(shù)學(xué)歸納法解決證明問題，體會數(shù)學(xué)歸納法的思想.
2. 內(nèi)容解析：
（1）學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)歸納法的必要性：本節(jié)為選學(xué)內(nèi)容，不作為考試要求，但是是一種非常有用的數(shù)學(xué)證明方法.
（2）數(shù)學(xué)歸納法概念：一般地，證明一個與正整數(shù)n有關(guān)的命題，可按下列步驟進行。
①(歸納奠基)證明當n＝n0(n0∈N*)時命題成立；
②(歸納遞推)以“當n＝k(k∈N*，k≥n0)時命題成立”為條件，推出“當n＝k＋1時命題也成立”.只要完成這兩個步驟，就可以斷定命題對從n0開始的所有正整數(shù)n都成立，這種證明方法稱為數(shù)學(xué)歸納法.
（3）本節(jié)內(nèi)容編寫思路是：問題情境引發(fā)數(shù)學(xué)歸納法的學(xué)習(xí)欲望一一多米諾骨牌蘊含的原理分析一一用多米諾骨牌原理解決數(shù)學(xué)問題一從具體問題中概括出數(shù)學(xué)歸納法。在這個過程中，學(xué)生首先需要從生活實例中抽象出數(shù)學(xué)原理，然后需要利用該原理對數(shù)學(xué)問題進行嚴格證明。因此，本節(jié)內(nèi)容是培養(yǎng)學(xué)生嚴密的推理能力、訓(xùn)練學(xué)生的抽象思維能力的好素材。
3. 教學(xué)重點：
（1）通過游戲模型和生活實例，了解數(shù)學(xué)歸納法的基本思想；
（2）學(xué)握數(shù)學(xué)歸納法的證明步驟及每個步驟的作用
目標與目標分析
目標：
（1）知識目標：①了解數(shù)學(xué)歸納法的原理，②能用數(shù)學(xué)歸納法證明數(shù)列中的一些簡單命題。
（2）能力目標：通過歸納法概念形成的過程，使學(xué)生學(xué)會數(shù)學(xué)演繹證明的方法
（3）素養(yǎng)目標：通過利用數(shù)學(xué)歸納法證明與自然數(shù)n有關(guān)的數(shù)學(xué)命題，發(fā)展學(xué)生的邏輯推理和數(shù)學(xué)運算素養(yǎng)
目標解析：
（1） 通過具體情境，體會學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)歸納法的必要性；
（2） 借助生活實例和體驗操作，感知數(shù)學(xué)歸納法的原理，體會數(shù)學(xué)及生活的緊密結(jié)合性；
通過從解決具體數(shù)學(xué)問題的思維中概括出數(shù)學(xué)歸納法訓(xùn)練學(xué)生的抽象思維能力；
（3）在證明過程中，培養(yǎng)學(xué)生嚴密的推理能力。
學(xué)情與難點分析
學(xué)情分析：
高二學(xué)生具備一定的抽象思維能力和邏輯推理能力。但對于數(shù)學(xué)歸納法，學(xué)生理解和接受它是一件很困難的事情，因為學(xué)生缺少體驗和認知基礎(chǔ)。所以需為學(xué)生創(chuàng)設(shè)及數(shù)學(xué)歸納法有類似想法的實際體驗。
教學(xué)難點：
（1）如何類比多米諾骨牌原理解決數(shù)學(xué)問題，了解數(shù)學(xué)歸納法的基本步驟；
（2）如何理解數(shù)學(xué)歸納法中第二步的本質(zhì)一一建立遞推關(guān)系。
教學(xué)思路與方法分析
教學(xué)過程分為問題呈現(xiàn)階段、探索與發(fā)現(xiàn)階段、應(yīng)用知識階段
教學(xué)過程設(shè)計
情景引入
探究1 已知數(shù)列滿足，，計算，猜想其通項公式，并證明你的猜想.
分析：計算可得，再結(jié)合，由此猜想：，如何證明這個猜想呢？
我們先從多米諾骨牌游戲說起，碼放骨牌時，要保證任意相鄰的兩塊骨牌，若前一塊骨牌倒下，則一定導(dǎo)致后一塊骨牌倒下。這樣，只要推到第1塊骨牌，就可導(dǎo)致第2塊骨牌倒下；而第2塊骨牌倒下，就可導(dǎo)致第3塊骨牌倒下；……，總之，不論有多少塊骨牌，都能全部倒下。你覺得這種理解方式怎么樣？
問題1 多米諾骨牌都倒下的關(guān)鍵點是什么？
（1）第一塊骨牌倒下；
（2）任意相鄰的兩塊骨牌，前一塊倒下一定導(dǎo)致后一塊倒下.
問題2 你認為條件（2）的作用是什么？如何用數(shù)學(xué)語言來描述它？
遞推作用：當?shù)趉塊倒下，相鄰的第k+1塊也倒下.
【設(shè)計意圖】問題情境引發(fā)數(shù)學(xué)歸納法的學(xué)習(xí)欲望，挖掘多米諾骨牌全部倒下的原理，通過類比、遷移“骨牌原理”獲得證明數(shù)學(xué)命題的方法.
合作探究
探究1 已知數(shù)列滿足，，計算，猜想其通項公式，并證明你的猜想.
分析：計算可得，再結(jié)合，由此猜想：，如何證明這個猜想呢？
探究2 證明前面的猜想“數(shù)列的通項公式是”與上述多米諾骨牌游戲有相似性嗎？你能類比多米諾骨牌游戲解決這個問題嗎？
證明：（1）第一塊骨牌倒下；
若第K塊骨牌倒下時，則使相鄰的第K+1塊骨牌也倒下。
根據(jù)（1）和 （2），可知不論有多少塊骨牌，都能全部倒下。
【設(shè)計意圖】多米諾骨牌蘊含的原理分析，進而用多米諾骨牌原理解決數(shù)學(xué)問題.
探究1 已知數(shù)列滿足，，計算，猜想其通項公式，并證明你的猜想.
證明：（1）當時，，猜想成立；
（2）若時猜想成立，即，那么，當時，，所以，當時，猜想也成立.
根據(jù)（1）和（2），可知對任意的正整數(shù)n,猜想都成立.
生成概念
數(shù)學(xué)歸納法的定義：一般地,證明一個與正整數(shù)n有關(guān)的命題,可按下列步驟進行:
第一步：證明當n取第一個值n0(n0∈N*)時命題成立；
第二步：以當“n=k(k≥n0,k∈N*)時命題成立”為條件,
推出“當n=k+1時命題也成立”
只要完成這兩個步驟,就可以斷定命題對從n0開始的所有正整數(shù)n都成立.
這種證明方法叫做數(shù)學(xué)歸納法.
數(shù)學(xué)歸納法證明的形式改寫如下：
條件：(1)P(n0)為真；(2)若P(k)為真，則P(k＋1)也為真，結(jié)論：P(n)為真.
(1)第一步驗證(或證明)了當n＝n0時結(jié)論成立，即命題P(n0)為真；
(2)第二步是證明一種遞推關(guān)系，實際是要證明一個新命題：若P(k)為真，則P(k＋1)也為真.
只要將兩步交替使用，就有P(n0)為真，P(n0＋1)真，……P(k)真，P(k＋1)真…….從而完成證明.
數(shù)學(xué)應(yīng)用
例1 用數(shù)學(xué)歸納法證明：.②
證明：（1）當時，②式的左邊，
右邊，
所以②式成立.
（2）假設(shè)當時，②式成立，即，
兩邊同時加上，有
，
即當時，②式也成立.
由（1）（2）可知，②式對任何都成立.
【反思提高】用數(shù)學(xué)歸納法證明恒等式時,應(yīng)關(guān)注以下三點:
(1)弄清n取第一個值n0時等式兩端項的情況;
(2)弄清從n=k到n=k+1等式兩端增加了哪些項,減少了哪些項;
(3)證明n=k+1時結(jié)論也成立,要設(shè)法將待證式與歸納假設(shè)建立聯(lián)系,并朝n=k+1證明目標的表達式變形.
證明：(1)當n＝1時，左邊＝，右邊＝1－＝，等式成立．
(2)假設(shè)當n＝k(k∈N＋)時，等式成立，即＋＋＋…＋＋＝1－，
那么當n＝k＋1時，
＋＋＋…＋＋＋＝1－＋＝1－＝1－.
所以，當n＝k＋1時，等式也成立．
根據(jù)(1)和(2)，可知等式對任何n∈N＋都成立．
【設(shè)計意圖】呼應(yīng)引言中的問題，使學(xué)生熟悉用數(shù)學(xué)歸納法證明數(shù)學(xué)命題的基本過程和表述規(guī)范.
課堂小結(jié)
注意：
1.用數(shù)學(xué)歸納法進行證明時，要分兩個步驟，兩個步驟缺一不可.
2.(1)(歸納奠基)是遞推的基礎(chǔ).→找準n0
(2)(歸納遞推)是遞推的依據(jù)→n＝k時命題成立．作為必用的條件運用，而n＝k+1時情況則需要利用假設(shè)及已知的定義、公式、定理等加以證明.
課堂檢測設(shè)計
1.某個命題當n=k (k∈N )時成立，可證得當n=k+1時也成立?，F(xiàn)在已知當n=5時該命題不成立，那么可推得（ ）
A. n=6時該命題不成立 B. n=6時該命題成立
C. n=4時該命題不成立 D. n=4時該命題成立
2.用數(shù)學(xué)歸納法證明“2n>n2+1對于n大于等于n0的自然數(shù)n都成立”時，第一步證明中的起始值n0應(yīng)?。? ）
A. 2 B. 3 C. 5 D. 6
【設(shè)計意圖】通過練習(xí)鞏固檢測本節(jié)所學(xué)知識
總結(jié)提升
問題1 數(shù)學(xué)歸納法能夠解決哪一類問題？
一般被應(yīng)用于證明某些與正整數(shù)有關(guān)的數(shù)學(xué)命題
問題2 數(shù)學(xué)歸納法證明命題的步驟是什么？
兩個步驟和一個結(jié)論，缺一不可
問題3 數(shù)學(xué)歸納法證明命題的關(guān)鍵在哪里？
關(guān)鍵在第二步，即歸納假設(shè)要用到，解題目標要明確
問題4 數(shù)學(xué)歸納法體現(xiàn)的核心思想是什么？
遞推思想，運用“有限”的手段，來解決“無限”的問題。注意類比思想的運用
作業(yè)設(shè)計
必做題：課本51頁練習(xí)1、2、3、4題，
選做題：習(xí)題4.4：3、4《4.4* 數(shù)學(xué)歸納法》教學(xué)設(shè)計
一、【教學(xué)目標】
（1）知識與技能目標：
①了解數(shù)學(xué)歸納法的原理，掌握數(shù)學(xué)歸納法的基本步驟；
②能用數(shù)學(xué)歸納法證明數(shù)列中的一些簡單命題。
（2）過程與方法目標：
借助具體實例，通過對證明一個數(shù)學(xué)命題的過程和多米諾骨牌全部倒下條件過程的類比和遷移，從特殊到一般，抽象出證明數(shù)學(xué)命題的方法，進而推廣為數(shù)學(xué)歸納法的原理和步驟，讓學(xué)生經(jīng)歷知識的構(gòu)建過程，體會歸納遞推的數(shù)學(xué)思想。
（3）情感態(tài)度與價值觀目標：
借助具體實例，加強數(shù)學(xué)歸納法的提煉過程和認知過程，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)熱情，
深挖其育人價值，培養(yǎng)學(xué)生敢于猜想，善于思考，嚴謹求實的科學(xué)精神，培養(yǎng)學(xué)生發(fā)現(xiàn)問題、提出問題，解決問題的數(shù)學(xué)能力。
二、【教學(xué)重難點】
教學(xué)重點：了解數(shù)學(xué)歸納法的基本思想和原理，掌握數(shù)學(xué)歸納法的基本步驟，能應(yīng)用數(shù)學(xué)歸納法證明與正整數(shù)n有關(guān)的數(shù)學(xué)命題；
教學(xué)難點：數(shù)學(xué)歸納法的原理。
三、【教學(xué)過程】
（一）引入生活實例，啟發(fā)學(xué)生思維
（情境一）某人看到樹上有幾只烏鴉，深有感觸“天下烏鴉一般黑。”你認為這樣的說法可靠嗎？為什么？
答：不可靠，以偏概全。事實上，這是不完全歸納的體現(xiàn)，體現(xiàn)著數(shù)學(xué)中的歸納思想。
數(shù)學(xué)中，我們把通過驗證一系列特殊情況得出一般性結(jié)論的方法稱為歸納法。那么歸納法可以分為“不完全歸納法”和“完全歸納法”?！安煌耆珰w納法”是只考察部分對象，只驗證一部分個體成立，就得到一般性結(jié)論的方法，這樣的結(jié)論不一定可靠。
例如，我們在推導(dǎo)等差數(shù)列通項公式時，采用這樣的方法：
由此，我們猜想。這就是不完全歸納法。那么這樣的猜想真的正確嗎？結(jié)論還有待證明。
而“完全歸納法”考察全體對象，是對每一個個體進行逐一驗證后得到一個一般性結(jié)論，這樣的結(jié)論一定可靠。
（情境二）在數(shù)列中，已知,,經(jīng)計算發(fā)現(xiàn)，由此我們猜想對于任意一個正整數(shù)n,.
問題：如何驗證這個猜想呢？
我們發(fā)現(xiàn)，每一次驗證，都對這個猜想的正確性增添了一分把握，但是我們不能這樣無限的驗證下去，這是不現(xiàn)實的。那么我們就想找到一種方法，能夠通過有限個步驟的推理，證明n取所有正整數(shù)時命題都成立。
【設(shè)計意圖：】以上兩個情境都是在合情推理的基礎(chǔ)上提出猜想，但它們的正確性還有待證明。讓學(xué)生意識到需要建立一種無窮遞推機制，將一個無窮的歸納過程轉(zhuǎn)化為有限步驟的演繹，實現(xiàn)從有限到無限的飛躍，即呈現(xiàn)數(shù)學(xué)歸納法產(chǎn)生的必要性。
（二）立足生活情境，激發(fā)學(xué)生興趣
（情境三）那么你能相信僅憑一指之力就能推倒一座摩天大廈嗎
【實例】播放多米諾骨牌的游戲視頻
（三）創(chuàng)新問題情境，擦亮思維火花
【探究】看完這段精彩的視頻，請同學(xué)們思考，多米諾骨牌全部倒下的條件是什么？（10 S）
通過觀看視頻我們發(fā)現(xiàn)當骨牌間距合適時，只要推倒第一塊骨牌，那么后面的骨牌就隨著前面骨牌倒下而倒下。
【結(jié)論】由此我們可以得出：多米諾骨牌全部倒下的條件是：
①第一塊骨牌必須倒下；
②并且任意相鄰的兩塊骨牌，前一塊倒下一定導(dǎo)致后一塊倒下。
那么這兩個條件的作用是什么呢？我們來做一組實驗。
（實驗一：）首先，實驗一同時滿足（1）（2）兩個條件。在該實驗中骨牌間距合適。用手推倒第一塊骨牌，可以發(fā)現(xiàn)隨后第二塊骨牌、第三塊骨牌、、、全部骨牌依次倒下，試驗成功；
問題1：缺少條件①可不可以？我們來做第二組實驗。
（實驗二：）在該實驗中，骨牌的間距合適。用手推第一塊骨牌，但沒有推倒，第二塊骨牌，第三塊骨牌、、、自然也沒有倒下，游戲失敗；
小結(jié)：第一塊骨牌倒下是所有骨牌倒下的基礎(chǔ)和前提。
問題2：缺少條件②可不可以？我們來做第三組實驗。
（實驗三：）在該實驗中，我們讓骨牌間距出現(xiàn)分化，使第一塊骨牌和第二塊骨牌間距足夠大，其他骨牌間距不變。這時用手推倒第一塊骨牌，但第二塊沒倒下，第三塊、第四塊也沒有倒下，游戲失敗。
（四）合作探究，點燃思維的火花
思考1：你認為條件（2）的作用是什么？如何用數(shù)學(xué)語言描述？
事實上，條件（2）給出的是一種遞推關(guān)系：前一塊骨牌倒下就會帶動后一塊骨牌也倒下。也就是
第k塊骨牌倒下 第k+1塊骨牌倒下
在條件（2）的作用下，只要是第一塊骨牌倒下，無論是有多少塊骨牌，即使是有無限塊，最終有也一定全部倒下。
【設(shè)計意圖】挖掘“骨牌原理”，類比“骨牌原理”尋找和構(gòu)建遞推關(guān)系，呈現(xiàn)數(shù)學(xué)歸納法產(chǎn)生的合理性。
思考2:你認為證明前面的猜想“數(shù)列的通項公式是”與上述多米諾骨牌游戲有相似性嗎？
回顧探究中猜想數(shù)列的通項公式是的過程:
顯然，雖然可以這樣一直驗證下去，但由于正整數(shù)個數(shù)的無限性，我們沒有辦法把所有的正整數(shù)全都拿出來一一驗證。
類比我們在多米諾骨牌中得到的遞推關(guān)系：第k塊骨牌倒下 第k+1塊骨牌倒下，我們能不能也給數(shù)列一個類似的遞推關(guān)系呢？
如果
觀察這個遞推公式，只要保證了，那么，也就是第k項后面所有的項都為1.
問題：那么是否只要有了這個遞推關(guān)系，就能保證對所有的正整數(shù)n,？
答：不是，還需要保證.
教師：非常好。是我們進行歸納的基礎(chǔ)和前提。
所以，我們在證明數(shù)列的每一項都是1的過程中只需要保證兩個條件：
（2）
觀察上面兩個步驟，我們通過有限步的遞推關(guān)系取代之前無限步的驗證過程，真正地實現(xiàn)了從有限到無限的飛躍。
【設(shè)計意圖】通過思考，將多米諾骨牌游戲的兩個步驟類比，遷移到證明猜想“數(shù)列的通項公式是”，實現(xiàn)現(xiàn)實情境向數(shù)學(xué)知識的自然遷移，使數(shù)學(xué)歸納法的原理生成水到渠成。
思考3: 歸納多米諾骨牌全部倒下和證明數(shù)列過程的共性，你能得到推理的一般結(jié)構(gòu)嗎？
(1)①骨牌原理：第一塊骨牌必須要倒下
②當時，成立
③類比抽象：證明當n=1時，猜想正確。
(2)①證明“如果前一塊骨牌倒下，那么后一塊也跟著倒下”
②證明如果第k項等于1，那么第k+1項也等于1.
③類比抽象：證明“如果n=k時猜想正確，那么n=k+1時，猜想也正確”。
(3)根據(jù)①②，所有的骨牌都能倒下。
根據(jù)①②，
根據(jù)①②，猜想對于一切正整數(shù)n都成立。
【設(shè)計意圖】通過以上類比，遷移的過程，讓學(xué)生真正理解“自動遞推，無窮驗證”的實質(zhì)，從而實現(xiàn)從有限到無限的轉(zhuǎn)化，為抽象、概括出歸納法的原理奠定堅實的基礎(chǔ)。
下面我們將對情景二給出嚴格的證明。
猜想：①
（1）當時，，猜想成立。
（2）假設(shè)當時，①式成立，即
那么根據(jù)遞推公式，有
即當時，①式也成立。
由(1)(2)可知，①式對任何都成立。
【設(shè)計意圖】承上啟下，一方面證明了探究中的猜想，獲得了證明數(shù)學(xué)命題的方法，另一方面，也通過類比、遷移、從特殊到一般的抽象過程，推廣為數(shù)學(xué)歸納法的原理和步驟，使學(xué)生對數(shù)學(xué)歸納法形成更直觀的認識。
【小結(jié)】由此，我們發(fā)現(xiàn)了一個證明與正整數(shù)n有關(guān)的命題方法，它可按如下兩個步驟進行：
證明當n取第一個值時命題成立。
2）假設(shè)當時命題成立，那么當n=k+1時命題也成立。根據(jù)（1）和（2），可知命題對都成立。我們稱這樣的證明方法為數(shù)學(xué)歸納法。
（五）師生合作，形成概念
一般地，證明一個與正整數(shù)n有關(guān)的命題，可按如下步驟進行：
證明當n取第一個值時命題成立。
以n=k時命題成立”為條件，推出“當n=k+1時命題也成立”。
根據(jù)（1）和（2），可知命題對從開始的所有正整數(shù)都成立。這種證明方法叫做數(shù)學(xué)歸納法。
思考4: 數(shù)學(xué)歸納法中的兩個步驟之間有什么關(guān)系？
類比“骨牌原理”，第一塊骨牌倒下是所有骨牌倒下的基礎(chǔ)和前提，因此，第一步為命題成立提供了基礎(chǔ)，它是后面遞推的出發(fā)點，我們將這一步稱之為“歸納奠基”。
同樣地，在“骨牌原理”中，要保證只要第k塊骨牌倒下，那么第k+1塊骨牌一定也倒下，再加上k的任意性，才能保證骨牌一直倒下去的傳遞性。所以，第二步就是在確認一種遞推關(guān)系，從第一個正整數(shù)開始以后，一個接著一個地傳遞下去，從而完成證明。因此，第二步是在保證命題成立的遞推性，我們將這一步稱之為“歸納遞推”。
總之，“歸納奠基”和“歸納遞推”這兩個步驟之間相互依存，彼此關(guān)聯(lián)，它們是一個有機的整體，缺一不可。
（六）學(xué)以致用，實際演練
【例】用數(shù)學(xué)歸納法證明：如果是一個公差為d的等差數(shù)列，那么①
對任何都成立。
問：數(shù)列有什么特點？
答：是等差數(shù)列。
問：等差數(shù)列具有什么特征？
答：
分析：回顧我們探求等差數(shù)列通項公式的過程（課本14頁），我們是在合情推理的基礎(chǔ)上，利用不完全歸納法推測出，這樣得到的結(jié)論不一定可靠?，F(xiàn)在我們嘗試著用數(shù)學(xué)歸納法給出嚴格的證明。
問：第一步要做什么？
答：證明“當n=1時命題成立?！?br/>問：證明“當n=1時命題成立”到底是要證什么成立？
答：證明等式成立。
師：（1）當n=1時，左邊=，右邊，①式成立。
問：第二步要做什么？
生：假設(shè)當時命題成立，那么當n=k+1時命題也成立。
問：在這里條件是什么，要證明什么？
生：條件是等差數(shù)列當n=k時，①式成立。要證明當時，①式也成立。
師：(2)假設(shè)當時，①式成立，即
由，有
，
于是
即當n=k+1時，①式也成立。
由(1)(2)可知，①式對任何都成立。
【設(shè)計意圖】呼應(yīng)了課前引入中的問題，也使學(xué)生熟悉用數(shù)學(xué)歸納法證明數(shù)學(xué)命題的基本過程和規(guī)范表述。
【練習(xí)1】
試判斷與的大小。
解：當n=1時，
當n=2時，
當n=3時，
當n=4時，
歸納上述結(jié)果，猜想：
①
證明：（1）當n=2時，猜想成立.
(2)假設(shè)當時，猜想成立，即
那么
即當n=k+1時，猜想也成立。
由(1)(2)可知，猜想對任何都成立。
注：由此可以說明，數(shù)學(xué)歸納法一定會有一個起始值，以這個起始值為首項遞推出以后的每一項都成立。值得注意的是，這個起始值不一定是1，類似于這道例題的起始值是2。
【設(shè)計意圖】這是一道探究題，
【小結(jié)】下面我們來構(gòu)建用數(shù)學(xué)歸納法證明命題的結(jié)構(gòu)框圖。
【設(shè)計意圖】構(gòu)建數(shù)學(xué)歸納法的結(jié)構(gòu)框圖。借助結(jié)構(gòu)框圖使學(xué)生加深對數(shù)學(xué)歸納法的理解，結(jié)合框圖，逐層剖析，讓學(xué)生明白第一步是證明奠基性，第二步是證明遞推性，深化對使用數(shù)學(xué)歸納法的操作程序的認識，從而突出重點，攻克難點。
【練習(xí)2】用數(shù)學(xué)歸納法證明：
＋＋＋…＋＋＝1－(n∈N*)①
證明：
當時，左邊=，右邊=，①式成立。
(2)假設(shè)當時，猜想成立，即
,
那么
，
即當n=k+1時，猜想也成立。
由(1)(2)可知，①式對任何都成立。
（六）總結(jié)反思，納入體系
(1) 數(shù)學(xué)知識：數(shù)學(xué)歸納法——將無限遞推轉(zhuǎn)化為有限步驗證，實現(xiàn)由量變到質(zhì)變的飛躍；
(2) 數(shù)學(xué)方法：數(shù)學(xué)歸納法——兩個步驟一個結(jié)論；
(3) 數(shù)學(xué)思想：歸納思想、遞推思想、類比思想。
（七）作業(yè)布置，課后探究
數(shù)學(xué)歸納法在科學(xué)領(lǐng)域是一項重大的突破，但是應(yīng)用在生活中也會出現(xiàn)一些比較荒謬的結(jié)論。我們舉個例子，目前備受年輕人關(guān)注的脫發(fā)問題。
情境：一個女孩擁有濃密的秀發(fā)。
當拔掉第一根長發(fā)時，女孩不禿，即當n=1時命題成立。
假設(shè)當n=k時命題成立，即當拔掉第k根頭發(fā)時女孩不禿，那么再拔掉一根也一定不禿，即當n=k+1時命題也成立。
由（1）（2）可知，當拔掉任意n根頭發(fā)，這個女孩都不會變成禿發(fā)。
問題：你認為上面的說法對嗎？你能給出一個更合理的解釋嗎？
這就是著名的“禿子悖論”，由古希臘數(shù)學(xué)家歐布利德提出：他說一粒谷子不能構(gòu)成谷堆，再往里加一粒也不能構(gòu)成谷堆，所以谷堆是不存在的。同樣的道理，禿子也是不存在的。
顯然，這樣的說法很荒謬。針對這個問題，美國數(shù)學(xué)家扎德提出一個新的概念——模糊數(shù)學(xué)。什么是模糊數(shù)學(xué)呢？事實上，我們現(xiàn)在學(xué)習(xí)的都是精確數(shù)學(xué)，以集合中的元素為例，一個元素要么屬于這個集合，要么不屬于這個集合，這是確定的。而模糊數(shù)學(xué)中提出了隸屬度的概念：隸屬度范圍從0~1，而禿頭是一個迷糊的概念，所以人在脫發(fā)的過程中，禿頭的隸屬度就從0跑到了1，也就是我們哲學(xué)中講的量變引發(fā)質(zhì)變的過程。

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