資源簡介

《4.1數列的概念》教學設計
教學內容
本節課主要學習數列的概念與表示
教材分析
1. 教材來源 本節課選自《2019人教A版高中數學選擇性必修二》第四章《數列》
2. 地位與作用 “數列的概念與簡單表示法”，主要涉及數列的概念、表示方法、分類、通項公式、數列和函數之間的關系等。數列是刻畫離散現象的數學模型，是一種離散型函數，在日常生活中有著重要的應用。學習數列對深化函數的學習有著積極地意義，數列是以后學習極限的基礎，因此，數列在高中數學中占有重要位置。
教學目標
1. 知識目標：
①理解數列的有關概念與數列的表示方法.
②掌握數列的分類.
③掌握數列通項公式的概念及其應用,能夠根據數列的前幾項寫出數列的一個通項公式.
能力目標：引導學生有目的的觀察、歸納、類比、猜想等.
素養目標：讓學生在共同探索活動中，激發求知欲望，體驗成功.
教學重難點：
1. 重點：數列的有關概念與數列的表示方法
難點：數列的函數特征
教學過程
教學環節：新課引入
教學內容 師生活動 設計意圖
1. 王芳從一歲到17歲，每年生日那天測量身高，將這些身高數據（單位：厘米）依次排成一列數： 75,87,96,103,110,116,120,128,138， 145,153,158,160,162,163,165,168 ① 記王芳第的身高為 ，那么=75 , =87, =168.我們發現中的反映了身高按歲數從1到17的順序排列時的確定位置，即=75 是排在第1位的數，=87是排在第2位的數 =168是排在第17位的數，它們之間不能交換位置，所以①具有確定順序的一列數。 2. 在兩河流域發掘的一塊泥板（編號K90，約生產于公元 前7世紀）上，有一列依次表示一個月中從第1天到第15天， 每天月亮可見部分的數： 5,10,20,40,80,96,112,128, 144,160,176,192,208,224,240. ② 記第月亮可見部分的數為 , 那么=5 , =10, =240.這里，中的反映了月亮可見部分的數按日期從1~15順序排列時的確定位置，即=5是排在第1位的數，=10是排在第2位的數 =240是排在第15位的數，它們之間不能交換位置，所以，②也是具有確定順序的一列數。 3. -次冪按1次冪， 2次冪, 3次冪, 4次冪……依次排成一列數： - ， ，- ， … ③ 一、數列 定義:一般地,我們把按照確定的順序排列的一列數稱為數列.數列中的每一個數叫做這個數列的項.數列的第一個位置上的數叫做這個數列的第1項,常用符號表示;第二個位置上的數叫做這個數列的第2項,用表示……第n個位置上的數叫做這個數列的第n項,用表示.其中第1項也叫做首項. 數列的一般形式是,,…,,…,簡記{}. 數列的分類 類別含義按項的 個數有窮數列項數有限的數列無窮數列項數無限的數列按項的變化趨勢遞增數列從第2項起,每一項都大于它的前一項的數列遞減數列從第2項起,每一項都小于它的前一項的數列常數列各項相等的數列擺動數列從第2項起,有些項大于它的前一項,有些項 小于它的前一項的數列
三、數列與函數 數列{an}是從正整數集N*(或它的有限子集{1,2，…，n})到實數集R的函數， 其自變量是序號n，對應的函數值是數列的第n項an，記為an＝f(n)．另一方面，對于函數y＝f(x)，如果f(n)(n∈N*)有意義， 那么f(1)，f(2)，…，f(n)，… 構成了一個數列{f(n)}． 四、數列的通項公式 如果數列{}的第n項與它的序號n之間的對應關系可以用一個式子來表示,那么這個式子叫做這個數列的通項公式. 若數列{}的通項公式是=n2-1,則該數列的第10項=　　　　　,224是該數列的第　　　　　項. 思考：你能仿照上面①②的敘述，說明③也是具有確定順序的一列數嗎？ ①②③的共同特征是什么？ (1)數列是按一定的“順序”排列的一列數,有序性是數列的基本屬性.數相同而順序不同的兩個數列是不相同的數列, 例如1,2,3,…與3,2,1…就是不同的數列. (2)符號{an}和an是不同的概念,{an}表示一個數列,而an表示數列中的第n項. 通過具體問題的思考和分析，幫助學生觀察、分析、歸納總結出數列的概念。發展學生數學抽象和數學建模的核心素養。 加深學生對數列概念的理解和運用，發展學生邏輯推理，直觀想象、數學抽象和數學運算的核心素
教學環節：例題解析
教學內容 師生活動 設計意圖
例1. 根據下列數列{an}的通項公式，寫出數列的前5項,并畫出它們的圖像.
（1） （2） 例2. 根據數列的前4項,寫出下列數列的一個通項公式: （1）1， （2）2,0,2,0，…. 解:（1）當通項公式中的n=1，2，3，4，5 時，數列{}的前5項依次為1,3,6,10,15
如圖所示(1) （2）當通項公式中的n=1，2，3，4，5 時，數列 {}的前5項依次為1,0,-1,0,1 如圖所示(2) 解：（1）這個數列的前4項的絕對值都是序號的倒數，并且奇數項為正，偶數項為負，所以它的一個通項公式為= (2)這個數列前4項的奇數項是2，偶數項是0,所以它的一個通項公式為 +1 強化數列通項公式，奇偶項的符號調節用-1的次方
教學環節：小結思考 布置作業
小結 數列的概念與表示4.1數列的概念
一、內容與內容解析
1．內容：學習數列的概念與表示，數列的遞推公式及數列的前n項和與通項的關系
2．內容解析：
數列是刻畫“離散”過程的重要數學模型，而許多連續性的結果可以用離散性的結果來近刻畫，所以數列由廣泛的應用。在實際生活中，農作物的產量、收入的增長等都是按一定時間順序來統計的，這就得到了有先后順序的一列數——數列。如果用正整數表示事物發展過程的先后順序，并且把這樣的正整數看作自變量的取值，把事物的對應數值看作相應的函數值，那么數列就是定義在正整數集（或正整數集的有限子集）上的一類離散函數。數列的通項公式就是數列作為函數的函數解析式。
數列的概念、通項公式及數列的前n項和與通項的關系在學習過程中起著承上啟下的作用。一方面，在數列的概念的歸納提煉及具體問題的解決過程中常會用到函數思想，通過學習數列能進一步加深對函數的認識，深化對函數思想方法的運用；另一方面，它們是學習本章的后繼內容——等差數列、等比數列的基礎；同時，通過這部分內容的學習，可以使學生強化運算能力，提升分析歸納能力。
3．教學重點：
數列的有關概念與數列的表示方法，數列遞推公式及數列的前n項和與通項的關系
二、目標和目標解析
1．目標
（1）經歷數列概念的抽象過程，了解數列的定義、了解數列是一種特殊的函數，了解表示方法，提升數學抽象素養。
（2）理解數列的通項公式。
（3）理解數列遞推公式的含義,會用遞推公式解決有關問題。
（4）會利用數列的前n項和與通項的關系求通項公式。
2．目標解析
達成上述目標的標志是：
（1）能從具體實例中歸納、概括數列的共同特征，得到數列的定義和一般形式；能結合函數的定義，認識到數列是一種特殊的函數；能類比函數的表示方法，了解數列的表格、圖象和通項公式三種表示方法。
（2）能說明數列的通項公式中各元素的意義；能根據數列的通項公式，寫出數列的任意項；能根據數列的前幾項，寫出數列的一個通項公式。
（3）能通過遞推公式與前n項和公式推導通項公式。
三、教學問題診斷解析
1．問題診斷
在學習本章之前，學生對于數列并非一無所知，尤其是在函數的學習中，他們已經接觸過一些實際上是數列的函數。但學生缺乏對數列內容的總體了解，也不清楚學習數列的一般思路和方法，這是本節教學的第一個難點．教學時可通過章引言的教學，結合函數學習的思路和方法，讓學生對數列的內容及方法有一個大致了解，引起學生對數列內容的關注與興趣。
對數列概念的理解，是本節課第二個教學難點。學生可能忽視數列概念的形成過程及對概念內涵的理解。本節課通過具體抽象實例定義，并用數學語言進行表達，是一個讓學生體驗用數學的眼光看世界的很好的案例。經歷這樣一個數學化的過程，對于學生數學概念的形成有著重要的意義。
此外，在把實際問題轉化為數列問題，尤其是涉及年份等時間順序時，學生在用數列進行表達時容易犯錯誤。在對用數列解決實際問題的教學中，要注意引導學生正確地構建數列，刻畫實際問題中的等差關系、等比關系、遞推關系等。
在新課程改革中，新普通高中課程標準對“數列一章”的教學要求是：通過對數列概念以及與關系的探索，掌握數列基本概念，理解數列是一種特殊的函數，并能解決一些簡單的求值問題。
2．教學難點
數列的函數特征，用數列的前n項和與通項的關系求通項公式
四、教學過程設計
1．情景導入
觀察下列這組數的規律，你能完成填空嗎？
1，1，2，3，5，8，____，_____，……
[設計意圖] 通過斐波那契數列的情景，引導學生運用數學眼光，分析問題，進行數學分析。
2．概念形成
問題1：如何給“數列”下定義？
師生活動：教師引導學生思考給數列下定義的方法，即：類比給出函數概念的思路，歸納幾個具體的例子所滿足的共同特征，通過“事實—概念（定義、表示）”的數學抽象過程，給出數列的定義。
追問（1）：王芳從1歲到17歲每年的身高依次排成一列數：75，87，96，103，110，116，120，128，138，145，153，158，160，162，163，165，168。 它們之間能否交換位置？具有確定的順序嗎？
師生活動：教師引導學生記王芳第i歲時的身高為hi，i=1的時候，就表示1歲時的身高h1，也就是75。同理，h2＝87，h3=96，h17＝168。hi中的i反映了身高按歲數從1到17的順序排列時的確定位置，也就是說h1＝75是排在第１位的數，h2＝87是排在第２位的數……h17＝168是排在第17位的數。學生不難理解，如果它們之間交換位置，那么表示的意義就不一樣了。所以，這是具有確定順序的一列數。
追問（2）：在兩河流域發掘的一塊泥版上就有一列依次表示一個月中從第1天到第15天每天月亮可見部分的數：5，10，20，40，80，96，112，128，144，160，176，192，208，224，240。 它們之間能否交換位置？具有確定的順序嗎？
師生活動：教師引導學生類比描述第一個例子的方法來分析這列數。記第i天月亮可見部分的數為si，那么s1＝5，s2＝10，…，s15＝240。這里，si中的i反映了月亮可見部分的數按日期從1到15的順序排列時的確定位置。 s1＝5是排在第1位的數，s2＝10是排在第2位的數……s15＝240是排在第15位的數，它們之間不能交換位置．所以，這也是具有確定順序的一列數。
追問（3）：的n次冪按1次冪、2次冪、3次冪、4次冪……依次排成一列數：，，，，…。 你能仿照上面的敘述，說明這也是具有確定順序的一列數嗎？
師生活動：學生仿照前兩個例子的敘述，分析這列數。
追問（4）：上述例子的共同特征是什么？
師生活動：教師引導學生從特殊到一般，歸納三個例子的共同特征，抓住“一列數”和“順序”這兩個關鍵點。
[設計意圖]通過具體問題的思考和分析，幫助學生觀察、分析、歸納總結出數列的概念。發展學生數學抽象和數學建模的核心素養。
問題2：數列的定義是什么？
師生活動：教師引導學生根據上述三個例子的共同特征，給出數列的定義：一般地，我們把按照確定的順序排列的一列數稱為數列，數列中的每一個數叫做這個數列的項。
追問（1）：1，3，5，7是一個數列，7，5，3，1也是一個數列，這兩個數列是不是同一個數列？
師生活動：教師提醒學生，根據數列的概念，數列中的數是有先后順序的，兩個數列即使所含的數完全相同，只要排列的順序不同，就是兩個不同的數列。
追問（2）：1，1，1，1，1…是不是一個數列？
師生活動：教師讓學生認識到數列中的數只要求按一定順序排列，并沒有規定數列中的數必須不同，同一個數可以在數列中重復出現。掌握數列的概念，要抓住兩個關鍵詞：一列數和順序。
問題3：如何用一般的符號來表示數列？
師生活動：教師引導學生通過數列的定義獲得從數學上刻畫數列的方法——用正整數表示數列確定的順序，即用，，···，，…分別表示數列的第1項（或稱為首項）、第2項、…，第n項，…。數列的一般形式可以寫成，，···，，···，簡記為。
追問：在數列中，符號與所表示的意義是否相同？
師生活動：教師引導學生認識到僅表示數列中的第n項這一個數值。而表示一個數列，通常要在其前面寫上“數列”這兩個字，即“數列”。
問題4：對于不同的數列，它們的項數有何特點呢？
師生活動：教師引導學生回顧第一個例子，一共有17項，第二個例子有15項，這都是含有有限項的數列。而第三個數列就不同了，它有無窮多個項。可以根據數列中項數的有限和無限，將數列分成以下兩類：有窮數列（項數有限的數列）；無窮數列（項數無限的數列）。
3．概念辨析
問題5：數列中的各項與各項序號k （k＝1，2，3，···，n，···）之間的對應關系是什么關系？
師生活動：教師呈現數列各項與序號一一對應的關系：
學生根據教師呈現的數列各項與其序號的對應關系，認識到對于每一個正整數n，都有唯一的數與之對應，所以數列中的各項與各項序號k （k＝1，2，3，···，n，···）之間的對應關系是函數關系。由此可見，數列實際上是由序號和項構成的函數。
追問：，，，，···，，…和，，，是同一個數列嗎？能否從函數的角度解釋一下？
師生活動：學生從函數的角度解釋它們不是同一個數列的原因：第一個數列n可取一切正整數，所以定義域就是正整數集，它是個無窮數列。而第二個數列是個有窮數列，它的定義域實際上是正整數集的一個有限子集。因為定義域不同，所以不是同一個數列。教師借機讓學生認識到繼續研究數列的函數特性的必要性，并進一步引導學生得出：數列的定義域是正整數集或它的有限子集，值域是實數集的子集。所以數列是從正整數集（或它的有限子集）到實數集的函數。
問題6：數列有哪些表示方法？
師生活動：教師引導學生回顧當初研究函數的時候，學習了函數的概念和構成三要素之后，又學習了函數的表示方法，有列表法、圖象法、解析法。數列作為一種特殊的函數，也應當有這三種表示方法。
追問（1）：數列的圖象有什么特點？
師生活動：學生畫出某一數列的圖象，發現它是離散的，由一些孤立的點構成，不能連在一起，這跟之前見到的大部分函數圖象不太一樣。教師引導學生思考導致這個現象的原因。學生不難發現根源在定義域：以前我們學過的函數的自變量通常是連續變化的，而數列的自變量只能取一個一個的整數，是離散的數，所以畫出的圖象自然也就是離散的。
追問（2）：數列通項公式的作用是什么？
師生活動：教師給出數列通項公式的定義：如果數列的第n項與它的序號n之間的對應關系可以用一個式子來表示，那么這個式子就是數列的函數解析式，叫做這個數列的通項公式。教師幫助學生認識到：有了通項公式，就可以寫出數列的各項。
問題7：數列的單調性是怎樣定義的？
師生活動：教師引導學生用列表法和圖像法表示數列：75，87，96，103，110，116，120，128，138，145，153，158，160，162，163，165，168。
教師讓學生從表和圖中觀察該數列中的項隨序號的變化呈現出的特點。學生不難發現從第2項起，每一項都大于它的前一項。教師趁機給出遞增數列的定義：從第2項起，每一項都大于它的前一項的數列叫做遞增數列。類比遞增數列的定義，給出遞減數列的定義：從第2項起，每一項都小于它的前一項的數列叫做遞減數列。特別地，各項都相等的數列叫做常數列，如前面提到過的1，1，1，1，1…。
[設計意圖]加深學生對數列概念的理解和運用，發展學生邏輯推理，直觀想象、數學抽象和數學運算的核心素
4．鞏固新知
例1 根據下列數列的通項公式，寫出數列的前5項，并畫出它們的圖象。
（1）； （2）
師生活動：教師引導學生根據通項公式，令n=1，就得到了首項，令n=2，就得到，以此類推，就可分別求出這兩個數列的前5項：1，3，6，10，15和1，0，-1，0，1。根據前5項的數據進行描點。
教師提醒學生注意描點后不能連線了，因為數列圖象就是由一些孤立的點構成的。
追問：你能判斷（1）中數列的單調性嗎？
師生活動：學生根據數列單調性的定義，結合圖象，不難得出：（1）中的數列是遞增數列。
[設計意圖]強化數列通項公式，奇偶項的符號調節用-1的次方。
例2：根據下列數列的前4項，寫出數列的一個通項公式：
（1）1，，，，…；
（2）2，0，2，0，…．
師生活動：學生在教師的引導下發現第一個數列的特點是有正有負，正負相間。教師說明：我們常常用或 來表示正負相間的變化規律。學生不難發現，除了正負方面的特征之外，（1）中數列的前4項的絕對值都是序號的倒數，并且奇數項為正，偶數項為負，所以它的一個通項公式為。有了第一個的基礎，學生在探究（2）中的數列時，不難發現這個數列前４項的奇數項是2，偶數項是0，所以它的一個通項公式為。
5.復習舊知
問題8 如果數列的通項公式為，那么120是不是這個數列的項？如果是，是第幾項？
師生活動：教師引導學生理解題意：要判斷120是不是該數列中的項，就是要判斷是否存在正整數n，使得。我們令，接下來就是要判斷這個關于n的方程是否有正整數解．學生解這個關于n的方程，得或。教師提醒學生：
因為n是正整數，所以-12要舍掉。因此，120是這個數列的項，并且是第10項。在這道題講解后，教師總結：通項公式反映的是項與序號之間的關系，我們不僅要會通過序號求項，還要會像這道題一樣根據項求序號。
6.學習新知
問題9 圖中的一系列三角形圖案稱為謝爾賓斯基三角形。在圖中４個大三角形中，著色的三角形的個數依次構成一個數列的前４項，寫出這個數列的一個通項公式。
師生活動：教師引導學生先數各圖中著色三角形的個數，從而得到數列的前四項：1，3，9，27。教師啟發學生：求這個數列的通項公式，就要找項與序號之間的關系。學生發現第1項是，第2項是，第3項，第4項是。這些數都是3的指數冪，指數為序號-1。因此，學生得出這個數列的一個通項公式就是。
追問：你能用數學語言歸納出后一項與前一項的關系嗎？
師生活動：教師給學生以提示：當不能明顯看出數列的項的取值規律時，我們可以嘗試通過運算來尋找規律。如依次取出數列的某一項，減去或除以它的前一項，再對差或商加以觀察。教師強調這是一種通過運算發現規律的思想，在數列的研究中有重要作用。學生按照教師的提示，發現這個數列的后一項等于前一項的3倍。教師接著幫助學生通過圖形解釋這個問題：每個圖形中的著色三角形都在下一個圖形中分裂為３個著色小三角形和１個無色小三角形。于是從第２個圖形開始，每個圖形中著色三角形的個數都是前一個圖形中著色三角形個數的３倍。學生接著把發現的規律用數學語言歸納出來，得出。教師提醒學生注意：這個式子是在n≥2的前提下才成立的，n=1的情況我們只能單獨討論。于是寫成。教師總結：同樣一個數列，從兩個不同的角度去觀察，就發現了不同的規律。通項公式反映的是項與序號之間的關系。而（n≥2）這個式子反映的是后一項與前一項之間的關系。根據這個式子，我們已知第1項就能推出第2項，已知第2項就能推出第3項，以此類推。
問題10 什么是一個數列的遞推公式？
師生活動：教師呈現數列遞推公式的定義：“如果一個數列的相鄰兩項或多項之間的關系可以用一個式子來表示，那么這個式子叫做這個數列的遞推公式。”學生根據前面對遞推公式的認識，對教師呈現的數列遞推公式的定義進行理解。教師提醒學生：知道了首項和遞推公式，就能求出該數列的每一項了。
追問（1）：相鄰多項之間的關系能用遞推公式表示嗎？
師生活動：教師提到大名鼎鼎的斐波那契數列1，1，2，3，5，8，13，21，34，…引導學生通過觀察，發現這個數列第n項等于它的前一項（第n-1項）加上再往前一項（第n-2項）。學生認識到這其實就是相鄰三項之間的關系：。教師提醒學生注意：因為下標最小是1，所以這里n≥3。這個數列的遞推公式反映的是相鄰三項之間的關系。教師向學生介紹：這個數列由意大利數學家斐波那契于1202年提出，它有很多有趣的性質。
追問（2）：一個數列的通項公式和遞推公式有何聯系與區別？
師生活動：學生將通項公式和遞推公式相比較，發現和剛剛學習的通項公式一樣，遞推公式也是數列的一種表示方法。只不過通項公式反映的是項與序號之間的對應關系，而遞推公式反映的則是相鄰兩項或多項之間的關系。學生在教師的引導下認識到通項公式和遞推公式各有利弊，在數列的研究中都發揮著巨大的作用。
[設計意圖]通過具體問題的思考和分析，幫助學生認識數列中的遞推公式。發展學生數學抽象和數學建模的核心素養。
例3 已知數列的首項為，遞推公式為（n≥2），寫出這個數列的前5項。
師生活動：教師引導學生根據遞推公式，令n=2，就得到。同理，令n分別等于3，4，5，就可依次求出，，。教師總結：知道了首項和遞推公式，就能求出數列的每一項了。
[設計意圖]強化遞推公式推數列的項，培養學生運算的素養。
問題11 什么是數列的前n項和公式？
師生活動：教師引導學生顧名思義：一個數列從第1項起到第n項止的各項之和就是該數列的前n項和，記作。如果數列的前n項和與它的序號n之間的對應關系可以用一個式子來表示，那么這個式子就叫做這個數列的前n項和公式。
追問：數列的前n項和公式與通項公式有何聯系？
師生活動：教師引導學生觀察，發現其中有。如果把留出來，前面的就是前n-1項的和，也就是。如果已知前n項和公式，那么把公式中的n給換成n-1，就能得到，然后用就可以得到。教師提醒學生注意是前n-1項的和，這里n一定是大于或等于2的，所以當n≥2時，。學生接著思考n=1的情況，發現就是第1項，所以就等于。于是我們有 。
[設計意圖]通過數列的通項與前n項和的認識，幫助學生理解。
問題12 已知數列的前n項和公式為，你能求出的通項公式嗎？
師生活動：教師引導學生根據一個數列前n項和公式與通項公式的關系，即，進行求解。教師提醒學生關注n=1的情況是否滿足n≥2時求出的通項公式，如果不滿足，要分開寫。
[設計意圖]通過具體問題引出通項公式與遞推公式之間的關系，強化已知前n項和求通項，幫助學生課堂掌握。
7.課堂總結
問題13 我們研究數列的基本路徑是什么？
回顧本節課所學的知識，思考：
什么是數列？數列的本質是什么？
什么是遞推公式？
什么是前n項和公式？由前n項和公式得到通項公式的一般方法。
師生活動：學生根據教師提出的三個問題，回顧本節課的核心知識和研究路徑。 遞推公式和前n項和公式。關于遞推公式，教師強調：遞推公式是數列的重要表示方式，反映的是相鄰兩項或多項之間的關系，知道了一個數列的首項和遞推公式，就能求出該數列的每一項了。關于前n項和公式，教師強調：我們可以通過一個數列的前n項和公式求出該數列的通項公式。教師告訴學生：按照研究路徑，下節課將學習兩種特殊的數列——等差數列和等比數列，讓學生做好準備。
8．課后作業
檢測1根據數列的通項公式填表：
檢測2 根據下列數列的前5項，寫出數列的一個通項公式：
（1），，，，，；
（2），，，，，.
檢測3 已知數列滿足，（n≥2），寫出它的前5項，并猜想它的通項公式。
檢測4 已知數列的前n項和公式為，求的通項公式。
拓展反思
（1）為什么例2中只要求寫出數列的“一個”通項公式？
（2）你能寫出前四項為0，2，0，2的數列的其它通項公式嗎？
（3）你認為每個數列都有通項公式嗎？

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