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　二次根式
中考考點 考查頻率 新課標要求
二次根式的相關概念 ★★ 了解二次根式、最簡二次根式的概念
二次根式的性質 ★★ 掌握二次根式的性質
二次根式的運算 ★★ 了解二次根式(根號下僅限于數)加，減、乘、除運算法則,會用其進行簡單的四則運算
中考中，二次根式的考查主要集中在對其取值范圍、化簡計算等方面，其中取值范圍類考查多以選擇題、填空題的形式出現，而化簡計算則多以解答題形式出現.此外，二次根式還常和銳角三角函數、實數、其他幾何圖形等結合出題，難度不大，但是也多屬于中考必考題.
1.二次根式
二次根式 二次根式的概念 一般地，我們把形如（a≥0）的式子叫作二次根式．
二次根式有意義的條件 a≥0
最簡二次根式 ①被開方數的因數是整數，因式是整式（分母中不含根號）；②被開方數中不含能開得盡方的因數或因式
雙重非負性 ①被開方數是非負數，即a≥0；②二次根式的值是非負數，即≥0．
兩個重要性質 ①（）2＝a（a≥0）；②＝|a|＝；
2.二次根式的運算
二次根式運算 二次根式的加減法 合并同類二次根式：在二次根式的加減運算中，把幾個二次根式化為最簡二次根式后，若有同類二次根式，可把同類二次根式合并成一個二次根式．
二次根式的乘除法 （1）二次根式的乘法：·=（a≥0，b≥0）；（2）二次根式的除法：=（a≥0，b＞0）．
二次根式的混合運算 運算順序與實數的運算順序相同，先算乘方，再算乘除，最后算加減，有括號的先算括號里面的（或先去括號）．
【注意】
1.化簡二次根式的步驟（易錯點）
（1）把被開方數分解因式（或因數）；
（2）把各因式（或因數）積的算術平方根化為每個因式（或因數）的算術平方根的積；
（3）如果因式中有平方式（或平方數），應用關系式（）2＝a（a≥0）把這個因式（或因數）開出來，將二次根式化簡．
2.二次根式運算中的注意事項
（1）一般將最后結果化為最簡二次根式，并且分母中不含二次根式．
（2）二次根式的加減：先將二次根式化為最簡二次根式，再把被開方數相同的二次根式（即同類二次根式）進行合并．不能合并的直接抄下來即可．
二次根式有意義的條件
（2024·云南·中考真題）若在實數范圍內有意義，則實數的取值范圍為( )
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】解：在實數范圍內有意義，
，
故選：．
根據二次根式有意義的條件——被開方數為非負數即可求得答案．
本題考查二次根式有意義的條件，此為基礎且重要知識點，必須熟練掌握．
1.代數式有意義的的取值范圍是　　
A．且 B． C． D．且
【答案】A
【解析】解：根據題意，得
，
解得：且．
故選：．
2.要使二次根式有意義，的值可以是　　
A． B． C． D．
【答案】
【解析】解：由題意得：，
解得：，
四個選項中的數據，只有符合題意，
故選：．
3.使有意義的的取值范圍在數軸上表示為　　
A．
B．
C．
D．
【答案】
【解析】解：有意義，
，
解得，
使有意義的的取值范圍在數軸上表示為．
故選：．
4.式子有意義，則的值可能是　　
A．4 B．8 C．12 D．16
【答案】
【解析】解：有意義，
，
且，
，且，，，
式子有意義，則的值可能是8．
故選：．
二次根式的定義
下列各式中，不是二次根式的是　　
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】解：、是二次根式，故正確；
、被開方數小于零，故錯誤；
、是二次根式，故正確；
、是二次根式，故正確；
故選：．
1.下列各式①；②；③；④；⑤；⑥其中一定是二次根式的有　　
A．4個 B．3個 C．2個 D．1個
【答案】B
【解析】解：①時，被開方數是負數，不符合二次根式的定義；
②時，被開方數是負數，不符合二次根式的定義；
③被開方數一定是正數，符合二次根式的定義；
④時，被開方數是負數，不符合二次根式的定義；
⑤，被開方數一定是非負數，符合二次根式的定義；
⑥被開方數是正數，符合二次根式的定義．
故一定是二次根式的有3個．
故選：．
2.下列式子一定是二次根式的是　　
A． B． C． D．
【答案】
【解析】解：選項，，
，故該選項符合題意；
選項，當時，，故該選項不符合題意；
選項，當時，，故該選項不符合題意；
選項，的根指數是3，故該選項不符合題意；
故選：．
3.在下列各式中，一定是二次根式的是　　
A． B． C． D．
【答案】
【解析】解：、是三次根式；故本選項符合題意；
、被開方數，不是二次根式；故本選項不符合題意；
、被開方數，符合二次根式的定義；故本選項符合題意；
、被開方數時，不是二次根式；故本選項不符合題意；
故選：．
4.下列各式一定是二次根式的是　　
A． B． C． D．
【答案】
【解析】解：、二次根式無意義，故錯誤；
、是三次根式，故錯誤；
、被開方數是正數，故正確；
、當或、異號時，根式無意義，故錯誤．
故選：．
二次根式的性質與化簡
（2024·四川省德陽·中考真題）化簡： ______．
【答案】
【解析】解：，
故答案為：．
根據二次根式的性質進行化簡即可．
本題考查二次根式的性質與化簡，掌握二次根式的性質和化簡方法是解答的關鍵．
1.下列運算正確的是　　
A． B．
C． D．
【答案】
【解析】解：，
選項的運算不正確，不符合題意；
，
選項的運算不正確，不符合題意；
，
選項的運算正確，符合題意；
，
選項的運算不正確，不符合題意．
故選：．
2. 已知，則實數的值為　　
A．9 B．3 C． D．
【答案】
【解析】解：，
，
．
故選：．
下列計算正確的是　　
B． C． D．
【答案】
【解析】解：．正確；符合題意．
；不符合題意．
；不符合題意．
；不符合題意．
故選：．
在下列各式中，計算正確的是　　
B． C． D．
【答案】
【解析】解：．，故此選項不合題意；
．，故此選項不合題意；
．，故此選項不合題意；
．，故此選項符合題意．
故選：．
最簡二次根式
下列各式中，是最簡二次根式的是　　
A． B． C． D．
【答案】
【解析】解：、，不是最簡二次根式，故本選項不符合題意；
、，不是最簡二次根式，故本選項不符合題意；
、，不是最簡二次根式，故本選項不符合題意；
、是最簡二次根式，故本選項符合題意；
故選：．
1.下列二次根式是最簡二次根式的是　　
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】解：、，被開方數含分母，不是最簡二次根式；
、，被開方數含分母，不是最簡二次根式；
、，被開方數中含能開得盡方的因數，不是最簡二次根式；
、是最簡二次根式；
故選：．
2.下列二次根式中，是最簡二次根式的是　　
A． B． C． D．
【答案】
【解析】解：、，不是最簡二次根式，故本選項不符合題意；
、是最簡二次根式，故本選項符合題意；
、，不是最簡二次根式，故本選項不符合題意；
、，不是最簡二次根式，故本選項不符合題意；
故選：．
3.下列式子中，最簡二次根式的是　　
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】解：、，故不是最簡二次根式，不合題意；
、，是最簡二次根式，符合題意；
、，故不是最簡二次根式，不合題意；
、，故不是最簡二次根式，不合題意．
故選：．
二次根式的乘除法
（2024·江蘇省南通·中考真題）計算的結果是( )
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】解：．
故選：．
根據二次根式的乘法法則對所給算式進行計算即可．
本題主要考查了二次根式的乘除法及二次根式的性質與化簡，熟知二次根式的乘法法則是解題的關鍵
1.下列計算正確的是　　
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】解：、，故此選項錯誤；
、，故此選項錯誤；
、，正確；
、，故此選項錯誤；
故選：．
2.下列計算正確的是　　
A． B． C． D．
【答案】
【解析】解：．，無法合并，故此選項不合題意；
．，故此選項不合題意；
．，故此選項不合題意；
．，故此選項符合題意．
故選：．
3.下列運算正確的是　　
A． B． C． D．
【答案】
【解析】解：．，故此選項不合題意；
．，故此選項不合題意；
．，此選項不合題意；
．，故此選項符合題意．
故選：．
4.下列運算正確的是　　
A． B． C． D．
【答案】
【解析】解：．，故此選項符合題意；
．與無法合并，故此選項不合題意；
．，故此選項不合題意；
．，故此選項不合題意．
故選：．
5.下列運算正確的是　　
A． B． C． D．
【答案】
【解析】解：．，故此選項不合題意；
．，故此選項不合題意；
．，故此選項符合題意；
．，故此選項不合題意．
故選：．
分母有理化
（2024·四川省涼山彝族自治州·中考真題）
計算：．
【答案】解：原式
．
【解析】本題考查分母有理化，特殊銳角三角函數值，零指數冪，絕對值，熟練掌握相關運算法則是解題的關鍵．
1.計算：　　
【答案】．
【解析】解：．
故答案為：．
2.計算的結果是_____
【答案】．
【解析】解：原式．
3.化簡　　
【答案】
【解答】解：，
故答案為：．
4.計算：
【答案】．
【解答】解：
．
5.計算
【答案】3．
【解析】解：
．
同類二次根式
下列根式中，與為同類二次根式的是　　
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】解：，
所以，與為同類二次根式的是．
故選：．
1.下列二次根式與是同類二次根式的是　　
A． B． C． D．
【答案】
【解析】解：、與的根指數相同，被開方數不同，它們不是同類二次根式，故此選項不符合題意；
、，它們不是同類二次根式，故此選項不符合題意；
、，與的根指數相同，被開方數相同，它們是同類二次根式，故此選項符合題意；
、，與的根指數相同，被開方數不相同，它們不是同類二次根式，故此選項不符合題意；
故選：．
2.下列各式中，化簡后能與合并的是　　
A． B． C． D．
【答案】
【解析】解：、，化簡后不能與合并，不符合題意；
、，化簡后不能與合并，不符合題意；
、，化簡后能與合并，符合題意；
、，化簡后不能與合并，不符合題意；
故選：．
3.下列二次根式中，不能與合并的是　　
A． B． C． D．
【答案】
【解析】解：、，故符合題意；
、，故不符合題意；
、，故不符合題意；
、，故不符合題意．
故選：．
4.若最簡二次根式和能合并，則的值為　　
A．0.5 B．1 C．2 D．2.5
【答案】
【解析】解：最簡二次根式和能合并，
．
解得．
故選：．
二次根式的加減法
（2024·湖南省長沙·中考真題）下列計算正確的是( )
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
此題主要考查了二次根式加減運算以及同底數冪的除法運算和冪的乘方運算、完全平方公式等知識，正確掌握相關運算法則是解題關鍵．
【解答】
解：、，故此選項正確；
B、，不是同類二次根式，不能合并，故此選項錯誤；
C、，故此選項錯誤；
D、，故此選項錯誤；
故選：
1.下列運算正確的是　　
A． B． C． D．
【答案】
【解析】解：、與不屬于同類二次根式，不能運算，故不符合題意；
、，故不符合題意；
、，故符合題意；
、，故不符合題意；
故選：．
2.下列運算正確的是　　
A． B．
C． D．
【答案】
【解析】解：．，
則不符合題意；
．與不是同類項，無法合并，
則不符合題意；
．
，
則符合題意；
．，
則不符合題意；
故選：．
3.下列運算正確的是　　
A． B．
C． D．
【答案】
【解析】解：、，故運算錯誤；
、，故運算錯誤；
、不是同類二次根式，不能合并，故運算錯誤；
、，故運算正確；
故選：．
4.下列運算正確的是　　
A． B．
C． D．
【答案】
【解析】解：．，故此選項不合題意；
．，故此選項不合題意；
．無法合并，故此選項不合題意；
．，故此選項符合題意．
故選：．
二次根式的混合運算
（2024·重慶·中考真題）估計的值應在( )
A. 和之間 B. 和之間 C. 和之間 D. 和之間
【答案】C
【解析】解：
，
，
，
，
，
故選：．
先將式子化簡，在根據，得出式子的值的范圍．
本題考查了無理數的大小估算，二次根式的混合運算，利用平方法估算無理數是解題的關鍵．
1.計算的結果是　　
A．1 B．0 C． D．
【答案】
【解析】解：原式
．
故選：．
2.下列運算正確的是　　
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】解：、原式，所以選項錯誤；
、原式，所以選項錯誤；
、原式，所以選項錯誤；
、原式．
故選：．
3.下列計算正確的是　　
A． B． C． D．
【答案】
【解析】解：．，所以選項不符合題意；
．，所以選項不符合題意；
．，所以選項不符合題意；
．，所以選項符合題意．
故選：．
4.計算的結果是　　
A．10 B．20 C．14 D．16
【答案】
【解析】解：
，
故選：．
二次根式的應用
（2024·山東省濰坊·中考真題）如圖，圓柱的底面半徑為，高為，下列關于該圓柱的結論正確的有( )
A. 體積為 B. 母線長為
C. 側面積為 D. 側面展開圖的周長為
【答案】BC
【解析】解：圓柱的底面半徑為，高為，
圓柱的體積為，故選項A不符合題意；
B.圓柱的高為，
圓柱的母線長為，故選項B正確，符合題意；
C.圓柱的底面半徑為，高為，
圓柱的底面周長為，
側面積為，故選項C正確，符合題意；
D.圓柱的底面周長為，高為，
圓柱的側面展開圖的周長為，故選項D錯誤，不符合題意，
綜上，正確的結論為，，
故選：．
運用圓柱的體積，母線長，側面積以及側面展開圖的周長相關知識求解各選項再判斷即可．
本題主要考查二次根式的應用，幾何體的表面積，幾何體的展開圖，關鍵是相關公式的熟練應用．
1.從高空中自由下落的物體，其落到地面所需的時間與物體的質量無關，只與該物體受到的重力加速度有關，若物體從離地面為（單位：的高處自由下落，落到地面所用的時間（單位：與的關系式為為常數）表示，并且當時，，則從高度為的空中自由下落的物體，其落到地面所需的時間為　　
A． B． C． D．
【答案】
【解析】解：由題意得，
解得，
當時，
，
從高度為的空中自由下落的物體，其落到地面所需的時間為，
故選：．
2.在一個正方形的內部按照如圖方式放置大小不同的兩個小正方形，其中較大的正方形面積為12，重疊部分的面積為3，空白部分的面積為，則較小的正方形面積為　　
A．11 B．10 C．9 D．8
【答案】
【解析】解：觀察可知，兩個空白部分的長相等，寬也相等，
重疊部分也為正方形，
空白部分的面積為，
一個空白長方形面積，
大正方形面積為12，重疊部分面積為3，
大正方形邊長，重疊部分邊長，
空白部分的長，
設空白部分寬為，可得：，
解得：，
小正方形的邊長空白部分的寬陰影部分邊長，
小正方形面積，故選：．
3.如圖，一塊正方形地磚的圖案是由4個全等的五邊形和1個小正方形組成的，已知小正方形的面積和五邊形的面積相等，并且圖中線段的長度為，則這塊地磚的面積為　　
A．50 B．40 C．30 D．20
【答案】
【解析】解：如圖，
根據題意易知，點為正方形，的中心，
，即，
，
，
，
，
，
設正方形的邊長為，則，
，
解得：，
，
或，
，
，
．故選：．
4.已知矩形的長和寬分別為，，則它的周長是 　　．
【答案】．
【解析】解：矩形的長和寬分別為，，
矩形的周長為，
故答案為：．
5.古希臘幾何學家海倫通過證明發現：如果一個三角形的三邊長分別為，，．記，那么三角形的面積為，俗稱海倫公式，若在中，，，，則用海倫公式求得的面積為 　　．
【答案】
【解析】解：由題意可得：，，，
，
，
故答案為：．　二次根式
中考考點 考查頻率 新課標要求
二次根式的相關概念 ★★ 了解二次根式、最簡二次根式的概念
二次根式的性質 ★★ 掌握二次根式的性質
二次根式的運算 ★★ 了解二次根式(根號下僅限于數)加，減、乘、除運算法則,會用其進行簡單的四則運算
中考中，二次根式的考查主要集中在對其取值范圍、化簡計算等方面，其中取值范圍類考查多以選擇題、填空題的形式出現，而化簡計算則多以解答題形式出現.此外，二次根式還常和銳角三角函數、實數、其他幾何圖形等結合出題，難度不大，但是也多屬于中考必考題.
1.二次根式
二次根式 概念 二次根式的概念 一般地，我們把形如（a≥0）的式子叫作二次根式．
二次根式有意義的條件 a≥0
最簡二次根式 ①被開方數的因數是整數，因式是整式（分母中不含根號）；②被開方數中不含能開得盡方的因數或因式
性質 雙重非負性 ①被開方數是非負數，即a≥0；②二次根式的值是非負數，即≥0．
兩個重要性質 ①（）2＝a（a≥0）；②＝|a|＝；
2.二次根式的運算
二次根式運算 二次根式的加減法 合并同類二次根式：在二次根式的加減運算中，把幾個二次根式化為最簡二次根式后，若有同類二次根式，可把同類二次根式合并成一個二次根式．
二次根式的乘除法 （1）二次根式的乘法：·=（a≥0，b≥0）；（2）二次根式的除法：=（a≥0，b＞0）．
二次根式的混合運算 運算順序與實數的運算順序相同，先算乘方，再算乘除，最后算加減，有括號的先算括號里面的（或先去括號）．
【注意】
1.化簡二次根式的步驟（易錯點）
（1）把被開方數分解因式（或因數）；
（2）把各因式（或因數）積的算術平方根化為每個因式（或因數）的算術平方根的積；
（3）如果因式中有平方式（或平方數），應用關系式（）2＝a（a≥0）把這個因式（或因數）開出來，將二次根式化簡．
2.二次根式運算中的注意事項
（1）一般將最后結果化為最簡二次根式，并且分母中不含二次根式．
（2）二次根式的加減：先將二次根式化為最簡二次根式，再把被開方數相同的二次根式（即同類二次根式）進行合并．不能合并的直接抄下來即可．
二次根式有意義的條件
（2024·云南·中考真題）若在實數范圍內有意義，則實數的取值范圍為( )
A. B. C. D.
1.代數式有意義的的取值范圍是　　
A．且 B． C． D．且
2.要使二次根式有意義，的值可以是　　
A． B． C． D．
3.使有意義的的取值范圍在數軸上表示為　　
A．
B．
C．
D．
4.式子有意義，則的值可能是　　
A．4 B．8 C．12 D．16
二次根式的定義
下列各式中，不是二次根式的是　　
A． B． C． D．
1.下列各式①；②；③；④；⑤；⑥其中一定是二次根式的有　　
A．4個 B．3個 C．2個 D．1個
2.下列式子一定是二次根式的是　　
A． B． C． D．
3.在下列各式中，一定是二次根式的是　　
A． B． C． D．
4.下列各式一定是二次根式的是　　
A． B． C． D．
二次根式的性質與化簡
（2024·四川省德陽·中考真題）化簡： ______．
1.下列運算正確的是　　
A． B．
C． D．
2. 已知，則實數的值為　　
A．9 B．3 C． D．
下列計算正確的是　　
B． C． D．
在下列各式中，計算正確的是　　
B． C． D．
最簡二次根式
下列各式中，是最簡二次根式的是　　
A． B． C． D．
1.下列二次根式是最簡二次根式的是　　
A． B． C． D．
2.下列二次根式中，是最簡二次根式的是　　
A． B． C． D．
3.下列式子中，最簡二次根式的是　　
A． B． C． D．
二次根式的乘除法
（2024·江蘇省南通·中考真題）計算的結果是( )
A. B. C. D.
1.下列計算正確的是　　
A． B． C． D．
2.下列計算正確的是　　
A． B． C． D．
3.下列運算正確的是　　
A． B． C． D．
4.下列運算正確的是　　
A． B． C． D．
5.下列運算正確的是　　
A． B． C． D．
分母有理化
（2024·四川省涼山彝族自治州·中考真題）
計算：．
1.計算：　　
2.計算的結果是_____
3.化簡　　
4.計算：
5.計算
同類二次根式
下列根式中，與為同類二次根式的是　　
A． B． C． D．
1.下列二次根式與是同類二次根式的是　　
A． B． C． D．
2.下列各式中，化簡后能與合并的是　　
A． B． C． D．
3.下列二次根式中，不能與合并的是　　
A． B． C． D．
4.若最簡二次根式和能合并，則的值為　　
A．0.5 B．1 C．2 D．2.5
5.下列根式中，與為同類二次根式的是　　
A． B． C． D．
二次根式的加減法
（2024·湖南省長沙·中考真題）下列計算正確的是( )
A. B.
C. D.
1.下列運算正確的是　　
A． B． C． D．
2.下列運算正確的是　　
A． B．
C． D．
3.下列運算正確的是　　
A． B．
C． D．
4.下列運算正確的是　　
A． B．
C． D．
二次根式的混合運算
（2024·重慶·中考真題）估計的值應在( )
A. 和之間 B. 和之間 C. 和之間 D. 和之間
1.計算的結果是　　
A．1 B．0 C． D．
2.下列運算正確的是　　
A． B．
C． D．
3.下列計算正確的是　　
A． B． C． D．
4.計算的結果是　　
A．10 B．20 C．14 D．16
二次根式的應用
（2024·山東省濰坊·中考真題）如圖，圓柱的底面半徑為，高為，下列關于該圓柱的結論正確的有( )
A. 體積為 B. 母線長為
C. 側面積為 D. 側面展開圖的周長為
1.從高空中自由下落的物體，其落到地面所需的時間與物體的質量無關，只與該物體受到的重力加速度有關，若物體從離地面為（單位：的高處自由下落，落到地面所用的時間（單位：與的關系式為為常數）表示，并且當時，，則從高度為的空中自由下落的物體，其落到地面所需的時間為　　
B． C． D．
2.在一個正方形的內部按照如圖方式放置大小不同的兩個小正方形，其中較大的正方形面積為12，重疊部分的面積為3，空白部分的面積為，則較小的正方形面積為　　
A．11 B．10 C．9 D．8
3.如圖，一塊正方形地磚的圖案是由4個全等的五邊形和1個小正方形組成的，已知小正方形的面積和五邊形的面積相等，并且圖中線段的長度為，則這塊地磚的面積為　　
A．50 B．40 C．30 D．20
4.已知矩形的長和寬分別為，，則它的周長是 　　．
5.古希臘幾何學家海倫通過證明發現：如果一個三角形的三邊長分別為，，．記，那么三角形的面積為，俗稱海倫公式，若在中，，，，則用海倫公式求得的面積為 　　．

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