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2025二輪復(fù)習(xí)專項訓(xùn)練25
圓錐曲線的方程與性質(zhì)
[考情分析]　圓錐曲線的方程與幾何性質(zhì)是高考的重點，多以選擇題、填空題或解答題第一問的形式命題，題目常為中檔難度．
【練前疑難講解】
一、圓錐曲線的定義與標(biāo)準(zhǔn)方程
1．圓錐曲線的定義
(1)橢圓：|MF1|＋|MF2|＝2a(2a>|F1F2|)．
(2)雙曲線：||MF1|－|MF2||＝2a(2a<|F1F2|)．
(3)拋物線：|MF|＝d(d為M點到準(zhǔn)線的距離)．
溫馨提醒：應(yīng)用圓錐曲線定義解題時，易忽視定義中隱含條件導(dǎo)致錯誤．
2．圓錐曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程
(1)橢圓：＋＝1(a>b>0)(焦點在x軸上)或＋＝1(a>b>0)(焦點在y軸上)．
(2)雙曲線：－＝1(a>0，b>0)(焦點在x軸上)或－＝1(a>0，b>0)(焦點在y軸上)．
(3)拋物線：y2＝2px，y2＝－2px，x2＝2py，x2＝－2py(p>0)．
二、橢圓、雙曲線的性質(zhì)
橢圓、雙曲線的性質(zhì)
(1)橢圓、雙曲線中a，b，c之間的關(guān)系
①在橢圓中：a2＝b2＋c2；離心率為e＝＝.
②在雙曲線中：c2＝a2＋b2；離心率為e＝＝.
(2)雙曲線的漸近線方程與焦點坐標(biāo)
①雙曲線－＝1(a>0，b>0)的漸近線方程為y＝±x；焦點坐標(biāo)F1(－c，0)，F(xiàn)2(c，0)．
②雙曲線－＝1(a>0，b>0)的漸近線方程為y＝±x，焦點坐標(biāo)F1(0，－c)，F(xiàn)2(0，c)．
三、拋物線的性質(zhì)
拋物線的焦點坐標(biāo)與準(zhǔn)線方程
(1)拋物線y2＝2px(p>0)的焦點F，準(zhǔn)線方程x＝－.
(2)拋物線x2＝2py(p>0)的焦點F，準(zhǔn)線方程y＝－.
一、單選題
1．（2023·全國·高考真題）設(shè)O為坐標(biāo)原點，為橢圓的兩個焦點，點 P在C上，，則（ ）
A． B． C． D．
2．（23-24高三上·四川成都·階段練習(xí)）已知，是雙曲線的左、右焦點，若雙曲線上存在點P滿足，則雙曲線離心率的最小值為（ ）
A． B． C．2 D．
二、多選題
3．（23-24高三上·甘肅武威·期末）已知橢圓的離心率分別為它的左、右焦點，分別為它的左、右頂點，是橢圓上的一個動點，且的最大值為，則下列選項正確的是（ ）
A．當(dāng)不與左、右端點重合時，的周長為定值
B．當(dāng)時，
C．有且僅有4個點，使得為直角三角形
D．當(dāng)直線的斜率為1時，直線的斜率為
4．（2024·山西晉中·模擬預(yù)測）已知拋物線的焦點為為拋物線上的任意三點（異于坐標(biāo)原點），，且，則下列說法正確的有（ ）
A．
B．若，則
C．設(shè)到直線的距離分別為，則
D．若直線的斜率分別為，則
三、填空題
5．（23-24高三下·河南·階段練習(xí)）已知雙曲線的左、右焦點分別為，過作一條漸近線的垂線交雙曲線的左支于點，已知，則雙曲線的漸近線方程為 ．
6．（2024·福建泉州·模擬預(yù)測）已知拋物線C的頂點為坐標(biāo)原點，對稱軸為坐標(biāo)軸，準(zhǔn)線為l．若C恰過，，三點中的兩點，則C的方程為 ；若過C的焦點的直線與C交于A，B兩點，且A到l的距離為4，則 ．
參考答案：
題號 1 2 3 4
答案 B D ABD BD
1．B
【分析】方法一：根據(jù)焦點三角形面積公式求出的面積，即可得到點的坐標(biāo)，從而得出的值；
方法二：利用橢圓的定義以及余弦定理求出，再結(jié)合中線的向量公式以及數(shù)量積即可求出；
方法三：利用橢圓的定義以及余弦定理求出，即可根據(jù)中線定理求出．
【詳解】方法一：設(shè)，所以，
由，解得：，
由橢圓方程可知，，
所以，，解得：，
即，因此．
故選：B．
方法二：因為①，，
即②，聯(lián)立①②，
解得：，
而，所以，
即．
故選：B．
方法三：因為①，，
即②，聯(lián)立①②，解得：，
由中線定理可知，，易知，解得：．
故選：B．
【點睛】本題根據(jù)求解的目標(biāo)可以選擇利用橢圓中的二級結(jié)論焦點三角形的面積公式快速解出，也可以常規(guī)利用定義結(jié)合余弦定理，以及向量的數(shù)量積解決中線問題的方式解決，還可以直接用中線定理解決，難度不是很大．
2．D
【分析】設(shè)P的坐標(biāo)，代入雙曲線的方程，利用數(shù)量積的坐標(biāo)表示，結(jié)合雙曲線離心率的計算公式求解即得.
【詳解】設(shè)，雙曲線的半焦距為c，則有，，，
于是，
因此，
當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，則，即，離心率，
所以雙曲線離心率的最小值為.
故選：D
3．ABD
【分析】A：先求解出橢圓方程，然后根據(jù)焦點三角形的周長等于求得結(jié)果；B：先求解出的縱坐標(biāo)，由此可求，根據(jù)橢圓定義可求；C：先計算焦點三角形頂角的最大值，然后再分析點的個數(shù)；D：先計算出為定值，然后可計算出.
【詳解】對于A：因為，當(dāng)且僅當(dāng)為右頂點時取等號，
又因為的最大值為，所以，
因為，所以，所以橢圓的方程為，
因為的周長為，故A正確；
對于B：當(dāng)時，，所以，
所以，所以，
因為，所以，故B正確；
對于C：設(shè)橢圓的上頂點為，因為，
所以，所以的最大值為，
所以存在個點，使得，
又因為存在個點使，存在個點使，
所以存在個點，使得為直角三角形，故C錯誤；
對于D：因為，設(shè)，
則，所以，
所以，
因為，所以，故D正確，
故選：ABD.
4．BD
【分析】根據(jù)三角形重心公式以及拋物線焦半徑公式可判斷A；根據(jù)重心相關(guān)性質(zhì)即可判斷B；根據(jù)拋物線的定義可判斷C；根據(jù)題意求得直線的斜率，代入等式計算可判斷D.
【詳解】對于A，因為為拋物線上任意三點，且，
所以F為的重心，，
所以
又，即，故A錯誤；
對于B，延長交于點，
因為為的重心，所以，且是的中點，
因為，在中，有，所以，故B正確；
對于C，拋物線方程為，所以拋物線的準(zhǔn)線為，
所以到直線的距離之和，
因為三點不一定共線，所以，
即，故C錯誤；
對于D，因為，，
兩式相減,得：,
所以,
同理可得,,
所以，故D正確.
故選：BD.
5．
【分析】根據(jù)給定條件，結(jié)合雙曲線的定義、余弦定理求出的關(guān)系即可作答.
【詳解】根據(jù)題意畫出圖象如下：

由得，又，所以，
雙曲線的漸近線方程為，
則點到漸近線的距離，所以在中，，
由余弦定理得，
即，化簡得，即，
解得或，因為，所以.
則雙曲線的漸近線方程為．
故答案為：.
6．
【分析】根據(jù)題意，得到拋物線經(jīng)過與兩點，設(shè)拋物線的方程為，聯(lián)立方程組，求得，得到，再拋物線的定義，求得，不妨設(shè)，得出的直線方程為，聯(lián)立方程組，結(jié)合焦點弦長，即可求解.
【詳解】因為拋物線的頂點為坐標(biāo)原點，對稱軸為坐標(biāo)軸，準(zhǔn)線為，
且恰過，，三點中的兩點，
因為點和不關(guān)于坐標(biāo)軸對稱，所以拋物線不可能過和兩點，
又因為在第一象限，在第三象限，
即拋物線不可能同時過和兩點，
所以拋物線經(jīng)過與兩點，
設(shè)拋物線的方程為，則，解得，即，
過拋物線的交點的直線與交于兩點，且到的距離為，
由拋物線的定義，可得，解得，
則，可得，
結(jié)合拋物線的對稱性，不妨設(shè)，
因為拋物線的焦點為，則的直線方程為，
聯(lián)立方程組，整理得，可得，
則.
故答案為：；.
【基礎(chǔ)保分訓(xùn)練】
一、單選題
1．（2024·浙江溫州·三模）已知是橢圓的左右焦點，上兩點滿足：，，則橢圓的離心率是（ ）
A． B． C． D．
2．（2024·全國·模擬預(yù)測）已知分別是橢圓的左、右焦點，點是橢圓上的任意一點，若的最大值是，則橢圓的方程為（ ）
A． B． C． D．
3．（2024·全國·模擬預(yù)測）雙曲線的左、右焦點分別為，且的一條漸近線與直線平行，則雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為（ ）
A． B． C． D．
4．（2024·安徽合肥·一模）雙曲線的焦距為4，則的漸近線方程為（ ）
A． B．
C． D．
5．（23-24高三上·湖北·期末）已知，分別為雙曲線：的左，右焦點，點P為雙曲線漸近線上一點，若，，則雙曲線的離心率為（ ）
A． B． C． D．2
6．（2024·陜西商洛·三模）已知點在拋物線上，拋物線的準(zhǔn)線與軸交于點，線段的中點也在拋物線上，拋物線的焦點為，則線段的長為（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
7．（2024·江蘇揚州·模擬預(yù)測）已知橢圓的離心率為，則拋物線的焦點坐標(biāo)為（ ）
A． B． C． D．
8．（23-24高三上·內(nèi)蒙古赤峰·開學(xué)考試）已知拋物線C：的頂點為O，經(jīng)過點，且F為拋物線C的焦點，若，則p＝（ ）
A． B．1 C． D．2
二、多選題
9．（23-24高二上·甘肅武威·階段練習(xí)）已知橢圓，則（ ）
A．的焦點都在軸上 B．的焦距不相等
C．有公共點 D．橢圓比橢圓扁平
10．（21-22高二上·遼寧沈陽·階段練習(xí)）十七世紀(jì)法國數(shù)學(xué)家費馬在《平面與立體軌跡引論》中證明，方程表示橢圓，費馬所依據(jù)的是橢圓的重要性質(zhì)：若從橢圓上任意一點P（異于A，B兩點）向長軸AB引垂線，垂足為Q，記.下列說法正確的是（ ）
A．M的值與Р點在橢圓上的位置有關(guān) B．M的值與Р點在橢圓上的位置無關(guān)
C．M的值越大，橢圓的離心率越大 D．M的值越大，橢圓的離心率越小
11．（23-24高二下·江西·階段練習(xí)）雙曲線與的離心率分別為和，則下列結(jié)論正確的是（ ）
A．的焦點在x軸上，的焦點在y軸上
B．的焦點到其漸近線的距離與的焦點到其漸近線的距離相等
C．的最小值為
D．
12．（2024·湖南株洲·一模）已知雙曲線，則下列說法中正確的是（ ）
A．雙曲線C的實軸長為2 B．雙曲線C的焦點坐標(biāo)為
C．雙曲線C的漸近線方程為 D．雙曲線C的離心率為
三、填空題
13．（2024·山東·二模）已知橢圓的焦點分別是，，點在橢圓上，如果，那么點到軸的距離是 .
14．（2023·廣東深圳·一模）若橢圓上的點到焦點距離的最大值是最小值的2倍，則該橢圓的離心率為 ．
15．（2024·湖南長沙·一模）已知為坐標(biāo)原點，，，，向量，動點滿足，寫出一個，使得有且只有一個點同時滿足，則 .
16．（2023·四川成都·一模）已知雙曲線的漸近線與圓相切，則雙曲線的離心率為 ．
四、解答題
17．（2021·陜西西安·三模）已知橢圓的長軸長是短軸長的倍，且右焦點為．
(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
(2)直線交橢圓于，兩點，若線段中點的橫坐標(biāo)為．求直線的方程．
18．（21-22高二上·河北保定·期中）已知點A(-2，0)，B(2，0)，動點M滿足直線AM與BM的斜率之積為，記M的軌跡為曲線C.
(1)求C的方程，并說明C是什么曲線；
(2)若直線和曲線C相交于E，F(xiàn)兩點，求.
19．（2021·四川·二模）已知點，直線，為軸右側(cè)或軸上動點，且點到的距離比線段的長度大1，記點的軌跡為.
（1）求曲線的方程；
（2）已知直線交曲線于，兩點（點在點的上方），，為曲線上兩個動點，且，求證：直線的斜率為定值.
參考答案：
題號 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 D D A B B C D C BCD BD
題號 11 12
答案 AC AD
1．D
【分析】根據(jù)焦點三角形的邊長關(guān)系，利用余弦定理即可求解.
【詳解】由可知，設(shè)，則，,,
則由余弦定理可得
化簡可得，故，（舍去），
又,
所以，化簡可得，故，
故選：D
2．D
【分析】由橢圓的定義得到，再結(jié)合，得到當(dāng)時，取得最大值，從而得到，即可求出，從而得解.
【詳解】由橢圓的定義得，
所以．
又，
所以當(dāng)時，取得最大值，，
即，解得，
所以橢圓的方程為.
故選：D．
3．A
【分析】利用已知條件求出a、b、c的值代入方程即可
【詳解】由題意知，解得，故雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為．
故選：A．
4．B
【分析】根據(jù)雙曲線方程以及焦距可得，可得漸近線方程.
【詳解】由焦距為4可得，即，又，
所以，可得，即；
則的漸近線方程為.
故選：B
5．B
【分析】由題可得，然后利用二倍角公式結(jié)合條件可得，然后根據(jù)離心率公式即得.
【詳解】因為，為的中點，
所以，，
所以，又， ，
所以，
所以.
故選：B.
6．C
【分析】結(jié)合圖象利用是的中位線得，是的中位線得，再由拋物線得定義得，共同推得，得到，求得即得.
【詳解】
如圖，不妨設(shè)點在第一象限，依題知是的中位線，可知，過向準(zhǔn)線做垂線，垂足分別為，
同理是的中位線，，由拋物線定義知，故得，
又，則點橫坐標(biāo)是，代入可得其縱坐標(biāo)為，故.
故選：C．
7．D
【分析】由橢圓離心率為列式求得參數(shù)，進(jìn)一步將拋物線方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程即可得焦點坐標(biāo).
【詳解】因為橢圓的離心率為，所以，解得，
則拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為，它的焦點坐標(biāo)為.
故選：D.
8．C
【分析】根據(jù)拋物線的定義結(jié)合可求得，然后將點的坐標(biāo)代入拋物線方程可求出的值.
【詳解】因為點在拋物線上，，
所以，所以，
所以，所以，解得.
故選：C

9．BCD
【分析】根據(jù)題意，結(jié)合橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程和橢圓的幾何性質(zhì)，逐項判定，即可求解.
【詳解】由橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，所以橢圓的焦點在軸上，所以A不正確；
又由橢圓的焦距為，橢圓的焦距為，所以B正確；
由橢圓和的方程，可得兩橢圓和都過，所以C正確；
因為橢圓的離心率為，的離心率為，
所以，所以D正確.
故選:BCD.
10．BD
【分析】不妨設(shè)橢圓方程為，設(shè)，，求出和橢圓的離心率后，可得答案.
【詳解】不妨設(shè)橢圓方程為，
設(shè)，，則，
所以，，，
所以，
因為為定值，所以M的值與Р點在橢圓上的位置無關(guān)，故A不正確，B正確；
橢圓的離心率，
所以M的值越大，橢圓的離心率越小，故C不正確，D正確.
故選：BD
11．AC
【分析】根據(jù)題意 ，利用雙曲線的幾何性質(zhì)，結(jié)合基本不等式，逐項判定，即可求解.
【詳解】對于A中，根據(jù)雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程的形式，可判定A正確；
對于B中，由雙曲線的幾何性質(zhì)，可得的焦點到其漸近線的距離為，的焦點到其漸近線的距離為，所以B錯誤；
對于C中，由，
當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立，所以C正確；
對于D中，由（不是定值），當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立，所以D錯誤．
故選：AC
12．AD
【分析】根據(jù)雙曲線方程先求解出，然后再逐項分析即可.
【詳解】因為雙曲線方程，所以，
對于A：實軸長為，故A正確；
對于B：因為，所以焦點坐標(biāo)，故B錯誤；
對于C：因為，所以漸近線方程，故C錯誤；
對于D：因為，所以離心率，故D正確；
故選：AD.
13．
【分析】設(shè)，從而根據(jù)可得，聯(lián)立橢圓的方程可解出的值，從而得出點到軸的距離．
【詳解】由橢圓方程得，，，設(shè)，
則：，；
由得： （1）；
又點在橢圓上，可得（2）；
（1）（2）聯(lián)立消去得，；即；
故點到軸的距離是．
故答案為：．
14．
【分析】根據(jù)橢圓的性質(zhì)可知，點到焦點距離的最大值為，最小值為，代入條件即可求解.
【詳解】依題意，由圖象的性質(zhì)可知，
點到焦點距離的最大值為，最小值為，
所以，化簡得，即離心率，
故答案為：.
15．
【分析】根據(jù)雙曲線的定義，點在以，為焦點的雙曲線上，有且只有一個點，即是指直線與雙曲線只有一個公共點即可.
【詳解】由，且，
知點在以，為焦點的雙曲線上，.
設(shè)，因，則
，由于， .
若直線與雙曲線的一條漸近線平行，此時直線與雙曲線只有一個交點.
所以，解得.
故答案為：.
16．
【分析】求出圓心和半徑，及雙曲線的漸近線方程，利用點到直線距離公式列出方程，求出，得到離心率.
【詳解】化為，圓心為，半徑為1，
的漸近線方程為，
則，解得：，即，
故離心率為2.
故答案為：2.
17．(1)
(2)
【分析】（1）根據(jù)焦點坐標(biāo)求得，根據(jù)長軸和短軸的對應(yīng)關(guān)系，以及列方程組，可求得的值，進(jìn)而求得橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.
（2）聯(lián)立直線的方程和橢圓的方程，消去并化簡，寫出韋達(dá)定理，根據(jù)中點的橫坐標(biāo)求得的值，進(jìn)而求解.
【詳解】（1）由橢圓的長軸長是短軸長的倍，可得．
所以．
又，所以，解得．
所以．
所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為．
（2）設(shè)，，
由，得．
則，．
因為線段中點的橫坐標(biāo)為，
所以．
解得，即，經(jīng)檢驗符合題意．
所以直線l的方程為．
18．(1)，曲線是一個雙曲線，除去左右頂點
(2)
【分析】（1）設(shè)，則的斜率分別為，，根據(jù)題意列出方程，化簡后即得C的方程，根據(jù)方程可以判定曲線類型，注意特殊點的去除；
（2）聯(lián)立方程，利用韋達(dá)定理和弦長公式計算可得.
【詳解】（1）解：設(shè)，則的斜率分別為，，
由已知得，
化簡得，
即曲線C的方程為，
曲線是一個雙曲線，除去左右頂點.
（2）解：聯(lián)立消去整理得，
設(shè)，，則，
.
19．（1）；（2）證明見解析.
【分析】(1)由題設(shè)條件分析討論，再用拋物線定義即可得解；
(2)求出點A坐標(biāo)，利用拋物線方程設(shè)出點C，D坐標(biāo)，由條件探求出這兩點縱坐標(biāo)關(guān)系即可得解.
【詳解】（1）依題意，線段的長度等于到的距離，由拋物線定義知，
點的軌跡是以為焦點，為準(zhǔn)線的拋物線，
所以的方程為；
（2）將代入得，則，，如圖：
設(shè)拋物線E上動點，顯然直線AC，AD斜率存在，
，同理，因為，則，
，
直線的斜率，
即直線的斜率為定值-1.
【能力提升訓(xùn)練】
一、單選題
1．（2024·山西·一模）已知是橢圓的左 右焦點，經(jīng)過的直線與橢圓相交于兩點，若，則橢圓的離心率為（ ）
A． B． C． D．
2．（2024·山東濰坊·三模）已知，分別為橢圓：的左、右焦點，點 在上，若大于，則的取值范圍是（ ）
A． B．
C． D．
3．（2023·四川雅安·一模）已知為雙曲線的左、右焦點，點在上，若，的面積為，則的方程為（ ）
A． B．
C． D．
4．（2024·河北石家莊·模擬預(yù)測）已知雙曲線的左、右焦點分別為、，過坐標(biāo)原點的直線與雙曲線C交于A、B兩點，若，則（ ）
A． B． C． D．4
5．（2024·湖南長沙·三模）已知點A為雙曲線的左頂點，點B和點C在雙曲線的左支上，若是等腰直角三角形，則的面積是（ ）
A．4 B． C． D．
6．（2023·湖北武漢·三模）已知點M，N是拋物線：和動圓C：的兩個公共點，點F是的焦點，當(dāng)MN是圓C的直徑時，直線MN的斜率為2，則當(dāng)變化時，的最小值為（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
7．（2023·天津濱海新·三模）已知雙曲線：，拋物線：的焦點為，準(zhǔn)線為，拋物線與雙曲線的一條漸近線的交點為，且在第一象限，過作的垂線，垂足為，若直線的傾斜角為，則雙曲線的離心率為（ ）
A． B． C． D．2
8．（2024·天津·一模）已知雙曲線與拋物線，拋物線的準(zhǔn)線過雙曲線的焦點，過點作雙曲線的一條漸近線的垂線，垂足為點，延長與拋物線相交于點，若，則雙曲線的離心率等于（ ）
A． B． C． D．
9．（2024·天津·一模）以雙曲線的右頂點為圓心，焦點到漸近線的距離為半徑的圓交拋物線于A，B兩點.已知，則拋物線的焦點到準(zhǔn)線的距離為（ ）
A．或4 B． C．或4 D．4
二、多選題
10．（2024·江蘇南通·二模）已知橢圓（）的左，右焦點分別為，，上，下兩個頂點分別為，，的延長線交于，且，則（ ）
A．橢圓的離心率為
B．直線的斜率為
C．為等腰三角形
D．
11．（2024·全國·模擬預(yù)測）關(guān)于方程表示的曲線，下列說法正確的是（ ）
A．可以表示兩條平行的直線，且這兩條直線的距離為2
B．若為雙曲線，則為鈍角
C．若為銳角，則為焦點在軸上的橢圓
D．若為橢圓，為橢圓上不與長軸頂點重合的點，則
12．（2024·全國·模擬預(yù)測）已知雙曲線的左、右焦點分別為，，以線段為直徑的圓交雙曲線的一條漸近線于點，過點作軸的垂線，垂足為．則下列說法正確的是（ ）
A．若，則雙曲線的漸近線方程為
B．若點為線段的三等分點，則雙曲線的離心率為3
C．若點為線段的三等分點，，則雙曲線的方程為
D．若的面積為1，則雙曲線的焦距長的最小值為4
13．（2024·廣西賀州·一模）“雙曲線電瓶新聞燈”是記者常用的一種電瓶新聞燈，具有體積小，光線柔和等特點．這種燈利用了雙曲線的光學(xué)性質(zhì)：從雙曲線的一個焦點發(fā)出的光線，經(jīng)雙曲線反射后，反射光線的反向延長線經(jīng)過雙曲線的另一個焦點．并且過雙曲線上任意一點的切線平分該點與兩焦點連線的夾角，如圖所示：
已知左、右焦點為的雙曲線C的離心率為，并且過點，坐標(biāo)原點O為雙曲線C的對稱中心，點M的坐標(biāo)為，則下列結(jié)論正確的是（ ）
A．雙曲線的方程為
B．若從射出一道光線，經(jīng)雙曲線反射，其反射光線所在直線的斜率的取值范圍為
C．
D．過點作垂直的延長線于H，則
三、填空題
14．（2024·陜西咸陽·三模）已知橢圓的左、右焦點分別為、，為橢圓上任意一點，為曲線上任意一點，則的最小值為 .
15．（24-25高三上·云南德宏·階段練習(xí)）已知橢圓（）的長軸長為4，離心率為.若，分別是橢圓的上、下頂點，，分別為橢圓的上、下焦點，為橢圓上任意一點，且，則的面積為 .
16．（2024·四川·模擬預(yù)測）已知雙曲線的左、右焦點分別為，過原點的直線與交于兩點．若，且的面積為2，則的焦距為 ．
17．（2024·江蘇·一模）設(shè)雙曲線C：(，)的一個焦點為F，過F作一條漸近線的垂線，垂足為E．若線段EF的中點在C上，則C的離心率為 ．
四、解答題
18．（2024·新疆烏魯木齊·一模）已知橢圓的離心率為，點在橢圓上，過點的兩條直線，分別與橢圓交于另一點A，B，且直線，，的斜率滿足．
(1)求橢圓的方程；
(2)證明直線過定點；
(3)橢圓C的焦點分別為，，求凸四邊形面積的取值范圍．
19．（2024·吉林白山·一模）已知分別為雙曲線的左、右頂點，為雙曲線上異于的任意一點，直線、斜率乘積為，焦距為．
(1)求雙曲線的方程；
(2)設(shè)過的直線與雙曲線交于，兩點（不與重合），記直線，的斜率為，，證明：為定值．
20．（2024·全國·模擬預(yù)測）已知橢圓：與拋物線：有相同的焦點，且橢圓過點．
(1)求橢圓與拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程；
(2)橢圓上一點在軸下方，過點作拋物線的切線，切點分別為，求的面積的最大值．
21．（2024·河北·二模）已知橢圓的離心率．
(1)若橢圓過點，求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程．
(2)若直線，均過點且互相垂直，直線交橢圓于兩點，直線交橢圓于兩點，分別為弦和的中點，直線與軸交于點，設(shè).
（ⅰ）求；
（ⅱ）記，求數(shù)列的前項和．
22．（2024·遼寧·一模）已知平面上一動點到定點的距離比到定直線的距離小，記動點的軌跡為曲線.
(1)求的方程；
(2)點為上的兩個動點，若恰好為平行四邊形的其中三個頂點，且該平行四邊形對角線的交點在第一 三象限的角平分線上，記平行四邊形的面積為，求證：.
參考答案：
題號 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 A D B A C B B C A ACD
題號 11 12 13
答案 AD BD ACD
1．A
【分析】根據(jù)橢圓定義求出，根據(jù)邊長確定，進(jìn)而求出，即可求解橢圓離心率.
【詳解】
由題意結(jié)合橢圓定義可知：的周長為，，
又因為，
所以，又由，知，
故，因此橢圓的離心率為.
故選：A
2．D
【分析】由已知可知，的坐標(biāo)和模，由向量數(shù)量積的定義及坐標(biāo)運算可得關(guān)于的不等關(guān)系，即可求解.
【詳解】
因為橢圓：，所以，，所以，
所以，，
因為點 在上，所以，所以，，
又，，所以，
又，，
所以，
因為大于，所以，
所以，解得，
所以的取值范圍是.
故選：.
3．B
【分析】先根據(jù)雙曲線的定義求出，在中，利用正弦定理求出，再根據(jù)三角形的面積公式求出，利用勾股定理可求得，進(jìn)而可求出答案.
【詳解】因為，所以，
又因為點在上，所以，
即，所以，
在中，由正弦定理得，
所以，
又，所以，故，
則，所以，
則，所以，
所以，
所以的方程為.
故選：B.

4．A
【分析】根據(jù)雙曲線的對稱性及定義，求出、長度，由直角三角形求解可得解.
【詳解】如圖，
因為雙曲線，所以，
由雙曲線的對稱性知，
所以，
由雙曲線定義可得，
所以，又，
所以，即，
所以,
故，
故選：A
5．C
【分析】雙曲線的左頂點，設(shè)，根據(jù)圖形特征求出點坐標(biāo)，從而可求的面積.
【詳解】由題意得，點B和點C在雙曲線的左支上，
若是等腰直角三角形，由雙曲線的對稱性可得A為直角頂點，
設(shè)，由對稱性有，
則有 ，代入雙曲線方程，解得，，
則有等腰直角三角形的斜邊，三角形的高，
所以.
故選：C.
6．B
【分析】直線的方程為，聯(lián)立直線與拋物線的方程得到，結(jié)合是MN的中點，可得，由拋物線的定義可將轉(zhuǎn)化為，當(dāng)三點在一條直線時，可求得的最小值.
【詳解】圓C：的圓心，
當(dāng)MN是圓C的直徑時，直線MN的斜率為2，
設(shè)直線的方程為，化簡為：，
，消去可得：，
設(shè)，，所以，
因為是MN的中點，所以，解得：，
故，，由拋物線的定義可知，過點作交于點，
過點作交于點，
所以，所以，
當(dāng)三點在一條直線時取等.
故選：B.

7．B
【分析】根據(jù)給定條件，結(jié)合拋物線的定義求出點的坐標(biāo)，進(jìn)而求出即可求解作答.
【詳解】拋物線：的焦點為，準(zhǔn)線為：，令交于點，即有，

由，直線的傾斜角為，得，則，，
又，則為正三角形，，因此點，
雙曲線：過點的漸近線為，于是，解得，
所以雙曲線的離心率.
故選：B
8．C
【分析】根據(jù)向量關(guān)系可得，進(jìn)而可得，，利用三角形相似可得，將其代入拋物線方程即可求解.
【詳解】設(shè)雙曲線的焦距為，
拋物線的準(zhǔn)線過雙曲線的焦點，
，
又到的距離，即，
，，
，則，
，得，
過作軸，則，
故，
因此
由于在拋物線上，所以即，
，故，
故．
故選：C．
9．A
【分析】先求出雙曲線的頂點坐標(biāo)，焦點坐標(biāo)及漸近線方程，進(jìn)而可求得圓的方程，根據(jù)圓與拋物線都關(guān)于軸對稱，則兩點關(guān)于軸對稱，從而可求得點的坐標(biāo)，代入拋物線方程即可得解.
【詳解】雙曲線的右頂點坐標(biāo)為，焦點為，
漸近線方程為，即，
焦點到漸近線的距離為，
所以題中圓的方程為，
因為圓和拋物線的圖象都關(guān)于軸對稱，
所以兩點關(guān)于軸對稱，
不妨設(shè)點在第一象限，設(shè)，則，
則，所以，
因為點在圓上，
所以，解得或，
所以或，
當(dāng)，則，解得，
當(dāng)，則，解得，
綜上所述，拋物線的焦點到準(zhǔn)線的距離為或4.

故選：A.
【點睛】關(guān)鍵點點睛：根據(jù)圓與雙曲線都關(guān)于軸對稱，得出兩點關(guān)于軸對稱，求得點的坐標(biāo)，是解決本題的關(guān)鍵.
10．ACD
【分析】利用橢圓的定義結(jié)合余弦定理求解角的三角函數(shù)值，在同一個三角形中將離心率表示為三角函數(shù)值，求出離心率即可判斷A，先求出傾斜角的正切值，再利用斜率的幾何意義判斷B，利用橢圓的定義得到邊相等，證明是等腰三角形判斷C，求解關(guān)鍵點的坐標(biāo)，結(jié)合兩點間距離公式判斷D即可.
【詳解】對于A，連接，，，
，，
，
在中，，
故有，解得，則，
而在中，，，故A正確，
對于B，而的傾斜角為，而，
則，故B錯誤.
對于C，由已知得，是等腰三角形，故C正確，
對于D，因為，則，故，
易知的方程為，設(shè)，
聯(lián)立方程組，解得或，
故，又，即，
由兩點距離公式得，
而，，故D正確.
故選：ACD.
11．AD
【分析】當(dāng)時，表直線，求出直線方程即可判斷A；根據(jù)雙曲線的形式，即可判斷B；化為標(biāo)準(zhǔn)方程，根據(jù)橢圓方程形式，即可判斷C；設(shè)出的坐標(biāo)，表示出，結(jié)合橢圓的方程，即可判斷D.
【詳解】對于A項，當(dāng)，即時，方程為，解得，因此可以表示兩條平行的直線，且這兩條直線的距離為2，故A選項正確；
對于B項，若為雙曲線，則，即，故為鈍角或平角，故B選項錯誤；
對于C項，若為銳角，則，即.
將原方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程為，因此為焦點在軸上的橢圓，故C選項錯誤；
對于D項，若為橢圓，則為銳角，
設(shè)橢圓方程為，則，
不妨設(shè)，
將點的坐標(biāo)代入橢圓方程得，即，
故，故選項正確.
故選：AD．
12．BD
【分析】根據(jù)知為等邊三角形，據(jù)此求出漸近線斜率，可判斷A，設(shè)點坐標(biāo)得出點坐標(biāo)，根據(jù)點在圓上求出點為雙曲線的右頂點，據(jù)此求離心率判斷B，由B求出，得出雙曲線方程判斷C，由，再利用均值不等式求最值判斷D.
【詳解】由題意得圓的方程為.
對于A，不妨設(shè)點在第一象限，則，若，則為等邊三角形，
所以直線的斜率為，所以雙曲線的漸近線方程為，故A錯誤；
對于B，不妨設(shè)點在第一象限，點的坐標(biāo)為，，則，
因為點在圓上，所以，所以，
又，所以，所以（負(fù)值已舍去），
則點為雙曲線的右頂點.又點為線段的三等分點，所以，即，
所以雙曲線的離心率，故B正確；
對于C，由選項B可知，則，，所以，
所以雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為，故C錯誤；
對于D，不妨設(shè)點在第一象限，聯(lián)立，得，所以點的坐標(biāo)為，
因為，所以，所以，
當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立，所以，則雙曲線的焦距長的最小值為4，故D正確.
故選：BD.
13．ACD
【分析】A選項根據(jù)離心率找到關(guān)系，代點求方程即可；B選項可由雙曲線漸近線的斜率得到；C選項判斷直線為切線，再由題中所給定義得到結(jié)論；D選項聯(lián)立兩條直線方程求出點坐標(biāo)，求出.
【詳解】A選項：設(shè)焦點在軸上的雙曲線方程為.由離心率，可得，
于是方程為.代入點，解得.雙曲線方程為.故A正確.
B選項: 根據(jù)題中條件分析可知，反射光線所在直線的斜率介于兩條漸近線斜率之間.
焦點在軸上的雙曲線漸近線斜率，答案應(yīng)為.故B錯誤.
C選項：利用點斜式求得，與雙曲線方程聯(lián)立，得到，
可知該直線與雙曲線只有一個交點，即直線為雙曲線在點處的切線.
根據(jù)題中條件“過雙曲線上任意一點的切線平分該點與兩焦點連線的夾角”可知，.故C正確.
D選項：由C選項的計算結(jié)果.因為直線垂直于直線，所以.
因為，可求得.
兩方程進(jìn)行聯(lián)立，解出，因此.故D正確.
故選：ACD
14．
【分析】求出點的坐標(biāo)，求出圓的圓心和半徑，再利用圓的性質(zhì)求出最小值.
【詳解】橢圓中，右焦點，圓的圓心，半徑，
顯然橢圓與圓相離，由點在圓上，得，
于是，
當(dāng)且僅當(dāng)分別是線段與橢圓、圓的交點時取等號，
所以的最小值為.
故答案為：
15．
【分析】先根據(jù)長軸及離心率列式求出得出橢圓方程，再設(shè)點應(yīng)用數(shù)量積得出點P的坐標(biāo)，最后計算面積即可.
【詳解】因為,
所以,
所以橢圓方程為,
設(shè),橢圓的上、下頂點,
所以且，
所以，
所以
即得.
故答案為：.
16．
【分析】由題意可知雙曲線為等軸雙曲線，四邊形為矩形，設(shè)雙曲線的半焦距為，利用雙曲線的定義和勾股定理，及的面積為2，求出與的值即可得雙曲線的焦距.
【詳解】雙曲線為等軸雙曲線，設(shè)雙曲線的半焦距為，則
由雙曲線的對稱性可知四邊形為平行四邊形，
因為，所以四邊形為矩形，，
不妨設(shè)點在的右支上，，則，
所以，得，
所以，得，
又，所以的焦距為．
故答案為：．
17．
【分析】由直線EF與漸近線方程聯(lián)立求出E的坐標(biāo)，代入雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程即可求出離心率．
【詳解】直線EF與漸近線方程聯(lián)立得解得，，
∴EF中點M的坐標(biāo)為，
又M點在雙曲線上，代入其標(biāo)準(zhǔn)方程，得，
化簡得，∴，．
故答案為：．
18．(1)
(2)證明見解析
(3)
【分析】（1）根據(jù)條件列出方程組，解出即可；
（2）設(shè)直線，聯(lián)立直線和橢圓方程，消元后，利用，建立方程，解出后驗證即可；
（3）設(shè)直線，聯(lián)立直線和橢圓方程，消元后，利用韋達(dá)定理得到條件，利用進(jìn)行計算，換元法求值域即可.
【詳解】（1）由題設(shè)得，解得，
所以的方程為；
（2）由題意可設(shè)，設(shè)，，
由，整理得，
．
由韋達(dá)定理得，，
由得，
即，
整理得，
因為，得，解得或，
時，直線過定點，不合題意，舍去；
時，滿足，
所以直線過定點．
（3））由（2）得直線，所以，
由，
整理得，，
由題意得，
因為點與連線的斜率為，所以，所以，
令，，
所以，在上單調(diào)遞減，
所以的范圍是．

19．(1)
(2)證明見解析
【分析】（1）設(shè)，根據(jù)以及整體代換法求得結(jié)果；
（2）設(shè)直線,與橢圓方程聯(lián)立得出韋達(dá)定理，再表示，結(jié)合韋達(dá)定理求出結(jié)果.
【詳解】（1）設(shè)，，，
∵，∴，
∴，
又∵焦距為，可得，則，
結(jié)合，∴，，
∴雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為：．
（2）如圖，
由（1）知，，設(shè)，．
因為不與重合，所以可設(shè)直線．
聯(lián)立，
消得：，
故，，
，，，
∴．
20．(1)橢圓:，拋物線:
(2)
【分析】（1）根據(jù)焦點求出可得拋物線方程，代入點以及關(guān)系可得橢圓方程；
（2）利用導(dǎo)數(shù)求出拋物線的切線方程，將切線方程聯(lián)立可得點坐標(biāo)，再求出，點到的距離，表示出，消元，利用二次函數(shù)的性質(zhì)求最值.
【詳解】（1）由，得，故拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為，
由，得，得，
由橢圓過點，得，
得，，
故橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為；
（2）設(shè)，，由得，，
故拋物線在點處的切線方程為，化簡得，
同理可得拋物線在點處的切線方程為．
聯(lián)立得，得，
易得直線的斜率存在，設(shè)直線的方程為，
聯(lián)立得，得，，
故，，
因此，由于點在橢圓上，故．
又，
點到直線的距離，
故．
令，又，
故，其中，
因此當(dāng)時，最大，則，
所以，
即的面積的最大值為．
21．(1)
(2)（ⅰ）；（ⅱ）.
【分析】（1）根據(jù)橢圓的離心率得到之間的關(guān)系，再結(jié)合橢圓過點，求出的值，從而得到橢圓的方程.
（2）（ⅰ）利用根與系數(shù)的關(guān)系及中點坐標(biāo)公式求得點的坐標(biāo)，再根據(jù)三點共線得之間的關(guān)系；（ⅱ）求得，并利用等比數(shù)列的前項和公式求得.
【詳解】（1）因為，，所以，
所以橢圓的方程為，
因為橢圓過點，所以，解得，
所以橢圓的方程為.
（2）（ⅰ）當(dāng)直線中一條直線的斜率不存在，另一條直線的斜率為0時，直線與軸重合，不符合題意.
故直線的斜率均存在且不為0.
設(shè)直線的方程為，,
聯(lián)立方程，消去并整理得，
因為直線與橢圓相交于兩個不同的交點，所以，
根據(jù)韋達(dá)定理得，，
則，
同理可得，
因為三點共線，所以，
易知，
則，
因為，所以.
（ⅱ）結(jié)合（ⅰ）可知，
所以，
所以數(shù)列是首項為，公比為的等比數(shù)列，
所以數(shù)列的前項和.
【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題考查橢圓的幾何性質(zhì)、直線與橢圓相交以及等比數(shù)列求和的問題.其中關(guān)鍵點是聯(lián)立直線與橢圓的方程，根據(jù)韋達(dá)定理和三點共線，求出點的坐標(biāo)，從而得到.
22．(1)；
(2)證明見解析.
【分析】（1）根據(jù)距離公式列等量關(guān)系即可求解，或者利用拋物線的定義求解，
（2）根據(jù)點差法可得斜率關(guān)系，聯(lián)立直線與拋物線方程得韋達(dá)定理，即可根據(jù)弦長公式求解長度，由點到直線的距離公式表達(dá)面積，即可利用導(dǎo)數(shù)求解函數(shù)的最值.
【詳解】（1）解法一：設(shè)，易知，
根據(jù)題意可得，化簡得，
所以的方程為.
解法二：因為點到定點的距離比到定直線的距離小，
所以點到定點的距離與到定直線的距離相等，
由拋物線的定義可知，點的軌跡是以定點為焦點，定直線為準(zhǔn)線的拋物線，
所以的方程為.
（2）證明：設(shè)，直線的斜率為，線段的中點為，

因為平行四邊形MANB對角線的交點在第一 三象限的角平分線上，
所以線段的中點在直線上，
設(shè)，所以
所以，
又
所以，即.
設(shè)直線的方程為，
即，
聯(lián)立整理得，
所以，解得，
，
則
.
又點到直線的距離為，
所以，
記，
因為，所以，
所以.
令，則，
令，可得，
當(dāng)時，在區(qū)間,內(nèi)單調(diào)遞增，當(dāng)時，在區(qū)間上單調(diào)遞減，
所以當(dāng)，即時，取得最大值，即，
所以.
【點睛】方法點睛：圓錐曲線中的范圍或最值問題，可根據(jù)題意構(gòu)造關(guān)于參數(shù)的目標(biāo)函數(shù)，然后根據(jù)題目中給出的范圍或由判別式得到的范圍求解，解題中注意函數(shù)單調(diào)性和基本不等式的作用．另外在解析幾何中還要注意向量的應(yīng)用，如本題中根據(jù)向量的共線得到點的坐標(biāo)之間的關(guān)系，進(jìn)而為消去變量起到了重要的作用
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圓錐曲線的方程與性質(zhì)
[考情分析]　圓錐曲線的方程與幾何性質(zhì)是高考的重點，多以選擇題、填空題或解答題第一問的形式命題，題目常為中檔難度．
【練前疑難講解】
一、圓錐曲線的定義與標(biāo)準(zhǔn)方程
1．圓錐曲線的定義
(1)橢圓：|MF1|＋|MF2|＝2a(2a>|F1F2|)．
(2)雙曲線：||MF1|－|MF2||＝2a(2a<|F1F2|)．
(3)拋物線：|MF|＝d(d為M點到準(zhǔn)線的距離)．
溫馨提醒：應(yīng)用圓錐曲線定義解題時，易忽視定義中隱含條件導(dǎo)致錯誤．
2．圓錐曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程
(1)橢圓：＋＝1(a>b>0)(焦點在x軸上)或＋＝1(a>b>0)(焦點在y軸上)．
(2)雙曲線：－＝1(a>0，b>0)(焦點在x軸上)或－＝1(a>0，b>0)(焦點在y軸上)．
(3)拋物線：y2＝2px，y2＝－2px，x2＝2py，x2＝－2py(p>0)．
二、橢圓、雙曲線的性質(zhì)
橢圓、雙曲線的性質(zhì)
(1)橢圓、雙曲線中a，b，c之間的關(guān)系
①在橢圓中：a2＝b2＋c2；離心率為e＝＝.
②在雙曲線中：c2＝a2＋b2；離心率為e＝＝.
(2)雙曲線的漸近線方程與焦點坐標(biāo)
①雙曲線－＝1(a>0，b>0)的漸近線方程為y＝±x；焦點坐標(biāo)F1(－c，0)，F(xiàn)2(c，0)．
②雙曲線－＝1(a>0，b>0)的漸近線方程為y＝±x，焦點坐標(biāo)F1(0，－c)，F(xiàn)2(0，c)．
三、拋物線的性質(zhì)
拋物線的焦點坐標(biāo)與準(zhǔn)線方程
(1)拋物線y2＝2px(p>0)的焦點F，準(zhǔn)線方程x＝－.
(2)拋物線x2＝2py(p>0)的焦點F，準(zhǔn)線方程y＝－.
一、單選題
1．（2023·全國·高考真題）設(shè)O為坐標(biāo)原點，為橢圓的兩個焦點，點 P在C上，，則（ ）
A． B． C． D．
2．（23-24高三上·四川成都·階段練習(xí)）已知，是雙曲線的左、右焦點，若雙曲線上存在點P滿足，則雙曲線離心率的最小值為（ ）
A． B． C．2 D．
二、多選題
3．（23-24高三上·甘肅武威·期末）已知橢圓的離心率分別為它的左、右焦點，分別為它的左、右頂點，是橢圓上的一個動點，且的最大值為，則下列選項正確的是（ ）
A．當(dāng)不與左、右端點重合時，的周長為定值
B．當(dāng)時，
C．有且僅有4個點，使得為直角三角形
D．當(dāng)直線的斜率為1時，直線的斜率為
4．（2024·山西晉中·模擬預(yù)測）已知拋物線的焦點為為拋物線上的任意三點（異于坐標(biāo)原點），，且，則下列說法正確的有（ ）
A．
B．若，則
C．設(shè)到直線的距離分別為，則
D．若直線的斜率分別為，則
三、填空題
5．（23-24高三下·河南·階段練習(xí)）已知雙曲線的左、右焦點分別為，過作一條漸近線的垂線交雙曲線的左支于點，已知，則雙曲線的漸近線方程為 ．
6．（2024·福建泉州·模擬預(yù)測）已知拋物線C的頂點為坐標(biāo)原點，對稱軸為坐標(biāo)軸，準(zhǔn)線為l．若C恰過，，三點中的兩點，則C的方程為 ；若過C的焦點的直線與C交于A，B兩點，且A到l的距離為4，則 ．
【基礎(chǔ)保分訓(xùn)練】
一、單選題
1．（2024·浙江溫州·三模）已知是橢圓的左右焦點，上兩點滿足：，，則橢圓的離心率是（ ）
A． B． C． D．
2．（2024·全國·模擬預(yù)測）已知分別是橢圓的左、右焦點，點是橢圓上的任意一點，若的最大值是，則橢圓的方程為（ ）
A． B． C． D．
3．（2024·全國·模擬預(yù)測）雙曲線的左、右焦點分別為，且的一條漸近線與直線平行，則雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為（ ）
A． B． C． D．
4．（2024·安徽合肥·一模）雙曲線的焦距為4，則的漸近線方程為（ ）
A． B．
C． D．
5．（23-24高三上·湖北·期末）已知，分別為雙曲線：的左，右焦點，點P為雙曲線漸近線上一點，若，，則雙曲線的離心率為（ ）
A． B． C． D．2
6．（2024·陜西商洛·三模）已知點在拋物線上，拋物線的準(zhǔn)線與軸交于點，線段的中點也在拋物線上，拋物線的焦點為，則線段的長為（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
7．（2024·江蘇揚州·模擬預(yù)測）已知橢圓的離心率為，則拋物線的焦點坐標(biāo)為（ ）
A． B． C． D．
8．（23-24高三上·內(nèi)蒙古赤峰·開學(xué)考試）已知拋物線C：的頂點為O，經(jīng)過點，且F為拋物線C的焦點，若，則p＝（ ）
A． B．1 C． D．2
二、多選題
9．（23-24高二上·甘肅武威·階段練習(xí)）已知橢圓，則（ ）
A．的焦點都在軸上 B．的焦距不相等
C．有公共點 D．橢圓比橢圓扁平
10．（21-22高二上·遼寧沈陽·階段練習(xí)）十七世紀(jì)法國數(shù)學(xué)家費馬在《平面與立體軌跡引論》中證明，方程表示橢圓，費馬所依據(jù)的是橢圓的重要性質(zhì)：若從橢圓上任意一點P（異于A，B兩點）向長軸AB引垂線，垂足為Q，記.下列說法正確的是（ ）
A．M的值與Р點在橢圓上的位置有關(guān) B．M的值與Р點在橢圓上的位置無關(guān)
C．M的值越大，橢圓的離心率越大 D．M的值越大，橢圓的離心率越小
11．（23-24高二下·江西·階段練習(xí)）雙曲線與的離心率分別為和，則下列結(jié)論正確的是（ ）
A．的焦點在x軸上，的焦點在y軸上
B．的焦點到其漸近線的距離與的焦點到其漸近線的距離相等
C．的最小值為
D．
12．（2024·湖南株洲·一模）已知雙曲線，則下列說法中正確的是（ ）
A．雙曲線C的實軸長為2 B．雙曲線C的焦點坐標(biāo)為
C．雙曲線C的漸近線方程為 D．雙曲線C的離心率為
三、填空題
13．（2024·山東·二模）已知橢圓的焦點分別是，，點在橢圓上，如果，那么點到軸的距離是 .
14．（2023·廣東深圳·一模）若橢圓上的點到焦點距離的最大值是最小值的2倍，則該橢圓的離心率為 ．
15．（2024·湖南長沙·一模）已知為坐標(biāo)原點，，，，向量，動點滿足，寫出一個，使得有且只有一個點同時滿足，則 .
16．（2023·四川成都·一模）已知雙曲線的漸近線與圓相切，則雙曲線的離心率為 ．
四、解答題
17．（2021·陜西西安·三模）已知橢圓的長軸長是短軸長的倍，且右焦點為．
(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
(2)直線交橢圓于，兩點，若線段中點的橫坐標(biāo)為．求直線的方程．
18．（21-22高二上·河北保定·期中）已知點A(-2，0)，B(2，0)，動點M滿足直線AM與BM的斜率之積為，記M的軌跡為曲線C.
(1)求C的方程，并說明C是什么曲線；
(2)若直線和曲線C相交于E，F(xiàn)兩點，求.
19．（2021·四川·二模）已知點，直線，為軸右側(cè)或軸上動點，且點到的距離比線段的長度大1，記點的軌跡為.
（1）求曲線的方程；
（2）已知直線交曲線于，兩點（點在點的上方），，為曲線上兩個動點，且，求證：直線的斜率為定值.
【能力提升訓(xùn)練】
一、單選題
1．（2024·山西·一模）已知是橢圓的左 右焦點，經(jīng)過的直線與橢圓相交于兩點，若，則橢圓的離心率為（ ）
A． B． C． D．
2．（2024·山東濰坊·三模）已知，分別為橢圓：的左、右焦點，點 在上，若大于，則的取值范圍是（ ）
A． B．
C． D．
3．（2023·四川雅安·一模）已知為雙曲線的左、右焦點，點在上，若，的面積為，則的方程為（ ）
A． B．
C． D．
4．（2024·河北石家莊·模擬預(yù)測）已知雙曲線的左、右焦點分別為、，過坐標(biāo)原點的直線與雙曲線C交于A、B兩點，若，則（ ）
A． B． C． D．4
5．（2024·湖南長沙·三模）已知點A為雙曲線的左頂點，點B和點C在雙曲線的左支上，若是等腰直角三角形，則的面積是（ ）
A．4 B． C． D．
6．（2023·湖北武漢·三模）已知點M，N是拋物線：和動圓C：的兩個公共點，點F是的焦點，當(dāng)MN是圓C的直徑時，直線MN的斜率為2，則當(dāng)變化時，的最小值為（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
7．（2023·天津濱海新·三模）已知雙曲線：，拋物線：的焦點為，準(zhǔn)線為，拋物線與雙曲線的一條漸近線的交點為，且在第一象限，過作的垂線，垂足為，若直線的傾斜角為，則雙曲線的離心率為（ ）
A． B． C． D．2
8．（2024·天津·一模）已知雙曲線與拋物線，拋物線的準(zhǔn)線過雙曲線的焦點，過點作雙曲線的一條漸近線的垂線，垂足為點，延長與拋物線相交于點，若，則雙曲線的離心率等于（ ）
A． B． C． D．
9．（2024·天津·一模）以雙曲線的右頂點為圓心，焦點到漸近線的距離為半徑的圓交拋物線于A，B兩點.已知，則拋物線的焦點到準(zhǔn)線的距離為（ ）
A．或4 B． C．或4 D．4
二、多選題
10．（2024·江蘇南通·二模）已知橢圓（）的左，右焦點分別為，，上，下兩個頂點分別為，，的延長線交于，且，則（ ）
A．橢圓的離心率為
B．直線的斜率為
C．為等腰三角形
D．
11．（2024·全國·模擬預(yù)測）關(guān)于方程表示的曲線，下列說法正確的是（ ）
A．可以表示兩條平行的直線，且這兩條直線的距離為2
B．若為雙曲線，則為鈍角
C．若為銳角，則為焦點在軸上的橢圓
D．若為橢圓，為橢圓上不與長軸頂點重合的點，則
12．（2024·全國·模擬預(yù)測）已知雙曲線的左、右焦點分別為，，以線段為直徑的圓交雙曲線的一條漸近線于點，過點作軸的垂線，垂足為．則下列說法正確的是（ ）
A．若，則雙曲線的漸近線方程為
B．若點為線段的三等分點，則雙曲線的離心率為3
C．若點為線段的三等分點，，則雙曲線的方程為
D．若的面積為1，則雙曲線的焦距長的最小值為4
13．（2024·廣西賀州·一模）“雙曲線電瓶新聞燈”是記者常用的一種電瓶新聞燈，具有體積小，光線柔和等特點．這種燈利用了雙曲線的光學(xué)性質(zhì)：從雙曲線的一個焦點發(fā)出的光線，經(jīng)雙曲線反射后，反射光線的反向延長線經(jīng)過雙曲線的另一個焦點．并且過雙曲線上任意一點的切線平分該點與兩焦點連線的夾角，如圖所示：
已知左、右焦點為的雙曲線C的離心率為，并且過點，坐標(biāo)原點O為雙曲線C的對稱中心，點M的坐標(biāo)為，則下列結(jié)論正確的是（ ）
A．雙曲線的方程為
B．若從射出一道光線，經(jīng)雙曲線反射，其反射光線所在直線的斜率的取值范圍為
C．
D．過點作垂直的延長線于H，則
三、填空題
14．（2024·陜西咸陽·三模）已知橢圓的左、右焦點分別為、，為橢圓上任意一點，為曲線上任意一點，則的最小值為 .
15．（24-25高三上·云南德宏·階段練習(xí)）已知橢圓（）的長軸長為4，離心率為.若，分別是橢圓的上、下頂點，，分別為橢圓的上、下焦點，為橢圓上任意一點，且，則的面積為 .
16．（2024·四川·模擬預(yù)測）已知雙曲線的左、右焦點分別為，過原點的直線與交于兩點．若，且的面積為2，則的焦距為 ．
17．（2024·江蘇·一模）設(shè)雙曲線C：(，)的一個焦點為F，過F作一條漸近線的垂線，垂足為E．若線段EF的中點在C上，則C的離心率為 ．
四、解答題
18．（2024·新疆烏魯木齊·一模）已知橢圓的離心率為，點在橢圓上，過點的兩條直線，分別與橢圓交于另一點A，B，且直線，，的斜率滿足．
(1)求橢圓的方程；
(2)證明直線過定點；
(3)橢圓C的焦點分別為，，求凸四邊形面積的取值范圍．
19．（2024·吉林白山·一模）已知分別為雙曲線的左、右頂點，為雙曲線上異于的任意一點，直線、斜率乘積為，焦距為．
(1)求雙曲線的方程；
(2)設(shè)過的直線與雙曲線交于，兩點（不與重合），記直線，的斜率為，，證明：為定值．
20．（2024·全國·模擬預(yù)測）已知橢圓：與拋物線：有相同的焦點，且橢圓過點．
(1)求橢圓與拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程；
(2)橢圓上一點在軸下方，過點作拋物線的切線，切點分別為，求的面積的最大值．
21．（2024·河北·二模）已知橢圓的離心率．
(1)若橢圓過點，求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程．
(2)若直線，均過點且互相垂直，直線交橢圓于兩點，直線交橢圓于兩點，分別為弦和的中點，直線與軸交于點，設(shè).
（ⅰ）求；
（ⅱ）記，求數(shù)列的前項和．
22．（2024·遼寧·一模）已知平面上一動點到定點的距離比到定直線的距離小，記動點的軌跡為曲線.
(1)求的方程；
(2)點為上的兩個動點，若恰好為平行四邊形的其中三個頂點，且該平行四邊形對角線的交點在第一 三象限的角平分線上，記平行四邊形的面積為，求證：.
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