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2025年高考數學二輪復習小題基礎練05
一、單選題(本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的)
1．（2024·浙江金華·一模）在復平面中，若復數滿足，則（ ）
A．2 B．1 C． D．
2．（2024·廣東東莞·模擬預測）已知集合，則（ ）
A． B． C． D．
3．（2024·陜西商洛·一模）在四棱錐中，平面，四邊形是正方形，，則四棱錐外接球的體積是（ ）
A． B． C． D．
4．（2024·陜西榆林·模擬預測）“學如逆水行舟，不進則退；心似平原跑馬，易放難收”（明·《增廣賢文》）是勉勵人們專心學習的，如果每天的“進步”率都是1%，那么一年后是；如果每天的“退步”率都是1%，那么一年后是，一年后“進步”的是“退步”的倍．若每天的“進步”率和“退步”率都是20%，則要使“進步”的是“退步”的100倍以上，最少要經過（參考數據：，）（ ）
A．10天 B．11天 C．12天 D．13天
5．（2023·四川·模擬預測）我國古代數學家朱世杰所著《四元玉鑒》記載有“鎖套吞容”之“方田圓池結角池圖”，意思是說，有一塊正方形田地，在其一角有一個圓形的水池（其中圓與正方形一角的兩邊均相切），如圖所示．已知圓O的半徑為2丈，過C作圓O的兩條切線，切點分別為M，N，若，則對角線AC長度為（ ）
A．丈 B．丈
C．丈 D．丈
6．（2024·新疆·二模）過點且與曲線相切的直線方程為（ ）
A． B．
C．或 D．或
7．（2024·福建泉州·模擬預測）已知向量滿足與的夾角為，則與的夾角為（ ）
A． B． C． D．
8．（2024·安徽安慶·三模）已知拋物線的焦點到其準線的距離為2，點是拋物線上兩個不同點，且，則（ ）
A． B． C． D．3
二、多選題(本大題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求，全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分)
9．（2023·山東日照·模擬預測）已知，則（ ）
A．有最大值 B．有最小值
C．有最小值 D．有最小值4
10．（2024·河北·模擬預測）質地均勻的正四面體模型四個表面分別標有四個數字，拋擲一次并記錄與地面接觸面上的數字，記事件“數字為2的倍數”為事件，“數字是5的倍數”為事件，“數字是7的倍數”為事件，則下列選項不正確的是（ ）
A．事件、、兩兩互斥
B．事件與事件對立
C．
D．事件、、兩兩獨立
11．（2023·廣東茂名·三模）我國首先研制成功的“雙曲線新聞燈”，如圖，利用了雙曲線的光學性質：，是雙曲線的左 右焦點，從發出的光線射在雙曲線右支上一點，經點反射后，反射光線的反向延長線過；當異于雙曲線頂點時，雙曲線在點處的切線平分.若雙曲線的方程為，則下列結論正確的是（ ）

A．射線所在直線的斜率為，則
B．當時，
C．當過點時，光線由到再到所經過的路程為13
D．若點坐標為，直線與相切，則
三、填空題(本大題共3小題，每小題5分，共15分，把答案填在題中的橫線上)
12．（2023·甘肅蘭州·模擬預測）已知，，則 .
13．（2022·全國·模擬預測）“楊輝三角”是中國古代重要的數學成就，它比西方的“帕斯卡三角形”早了300多年.下圖是由“楊輝三角”拓展而成的三角形數陣，記為由圖中虛線上的數1，3，6，10，…依次構成的數列的第項，則的值為 .
14．（2024·廣東湛江·一模）若函數為奇函數，則 21世紀教育網(www.21cnjy.com)
21世紀教育網(www.21cnjy.com)2025年高考數學二輪復習小題基礎練05
一、單選題(本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的)
1．（2024·浙江金華·一模）在復平面中，若復數滿足，則（ ）
A．2 B．1 C． D．
2．（2024·廣東東莞·模擬預測）已知集合，則（ ）
A． B． C． D．
3．（2024·陜西商洛·一模）在四棱錐中，平面，四邊形是正方形，，則四棱錐外接球的體積是（ ）
A． B． C． D．
4．（2024·陜西榆林·模擬預測）“學如逆水行舟，不進則退；心似平原跑馬，易放難收”（明·《增廣賢文》）是勉勵人們專心學習的，如果每天的“進步”率都是1%，那么一年后是；如果每天的“退步”率都是1%，那么一年后是，一年后“進步”的是“退步”的倍．若每天的“進步”率和“退步”率都是20%，則要使“進步”的是“退步”的100倍以上，最少要經過（參考數據：，）（ ）
A．10天 B．11天 C．12天 D．13天
5．（2023·四川·模擬預測）我國古代數學家朱世杰所著《四元玉鑒》記載有“鎖套吞容”之“方田圓池結角池圖”，意思是說，有一塊正方形田地，在其一角有一個圓形的水池（其中圓與正方形一角的兩邊均相切），如圖所示．已知圓O的半徑為2丈，過C作圓O的兩條切線，切點分別為M，N，若，則對角線AC長度為（ ）
A．丈 B．丈
C．丈 D．丈
6．（2024·新疆·二模）過點且與曲線相切的直線方程為（ ）
A． B．
C．或 D．或
7．（2024·福建泉州·模擬預測）已知向量滿足與的夾角為，則與的夾角為（ ）
A． B． C． D．
8．（2024·安徽安慶·三模）已知拋物線的焦點到其準線的距離為2，點是拋物線上兩個不同點，且，則（ ）
A． B． C． D．3
二、多選題(本大題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求，全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分)
9．（2023·山東日照·模擬預測）已知，則（ ）
A．有最大值 B．有最小值
C．有最小值 D．有最小值4
10．（2024·河北·模擬預測）質地均勻的正四面體模型四個表面分別標有四個數字，拋擲一次并記錄與地面接觸面上的數字，記事件“數字為2的倍數”為事件，“數字是5的倍數”為事件，“數字是7的倍數”為事件，則下列選項不正確的是（ ）
A．事件、、兩兩互斥
B．事件與事件對立
C．
D．事件、、兩兩獨立
11．（2023·廣東茂名·三模）我國首先研制成功的“雙曲線新聞燈”，如圖，利用了雙曲線的光學性質：，是雙曲線的左 右焦點，從發出的光線射在雙曲線右支上一點，經點反射后，反射光線的反向延長線過；當異于雙曲線頂點時，雙曲線在點處的切線平分.若雙曲線的方程為，則下列結論正確的是（ ）

A．射線所在直線的斜率為，則
B．當時，
C．當過點時，光線由到再到所經過的路程為13
D．若點坐標為，直線與相切，則
三、填空題(本大題共3小題，每小題5分，共15分，把答案填在題中的橫線上)
12．（2023·甘肅蘭州·模擬預測）已知，，則 .
13．（2022·全國·模擬預測）“楊輝三角”是中國古代重要的數學成就，它比西方的“帕斯卡三角形”早了300多年.下圖是由“楊輝三角”拓展而成的三角形數陣，記為由圖中虛線上的數1，3，6，10，…依次構成的數列的第項，則的值為 .
14．（2024·廣東湛江·一模）若函數為奇函數，則
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參考答案：
題號 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 D D C C A C D A ABD ABC
題號 11
答案 ABD
1．D
【分析】由復數的計算化簡得到復數，再求模長.
【詳解】∵，∴，∴，∴.
故選：D.
2．D
【分析】根據二次不等式以及對數不等式化簡兩個集合，即可根據交集的定義求解.
【詳解】由，
，
故，
故選；D
3．C
【分析】根據正方體的外接球即可求解體對角線得半徑，進而利用體積公式求解.
【詳解】將四棱錐放入正方體中，則四棱錐的外接球與正方體的外接球相同，
設四棱錐外接球的半徑為，則，所以，
故四棱錐外接球的體積．
故選：C
4．C
【分析】由題意列出相應不等式，結合對數運算，即可求得答案.
【詳解】設經過x天后，“進步”的是“退步”的100倍以上，則，即，
∴（天）．
故最少要經過12天
故選：C
5．A
【分析】結合圖形的對稱性和切線的性質，通過三角函數或勾股定理，由丈，，求出，可得對角線AC長度.
【詳解】記OC與MN相交于E，過O作AB的垂線，與AB相交于F點，如圖所示，
丈，丈，則丈，
在中，，則，
中，丈，
中，丈，，則丈，
所以丈.
故選：A.
6．C
【分析】先設過點的切線，再根據點在曲線上及切線斜率等于導數值解方程即可求值進而求出切線.
【詳解】設過點的曲線的切線為： ，
有,
解得或,
代入可得或.
故選：
7．D
【分析】對等式進行變形得，再運算數量積的運算求解即可.
【詳解】設，由題得，
所以，
，所以，
所以，又，
所以，
故選:D.
8．A
【分析】拋物線的焦點到其準線的距離為，又，進而利用得，從而可得的值.
【詳解】因為拋物線的焦點到其準線的距離為2，所以，
所以,即,
由得，即，則，
由焦半徑公式可得.
故選：A.
9．ABD
【分析】根據題意，結合基本不等式，逐項判定，即可求解.
【詳解】由，
對于A中，由，可得，可得，
當且僅當時，等號成立，所以有最大值，所以A正確；
對于B中，由，因為有最大值，所以，
當且僅當時，等號成立，所以有最小值，所以B正確；
對于C中，由，
當且僅當時，等號成立，所以有最大值，所以C不正確；
對于D中，由，
當且僅當時，等號成立，所以有最小值，所以D正確；
故選：ABD.
10．ABC
【分析】根據互斥事件、相互獨立事件的概念判斷即可.
【詳解】依題意拋擲一次可能出現的結果有、、、，
事件包含的基本事件有、，則；
事件包含的基本事件有、，則；
事件包含的基本事件有、，則；
顯然事件與事件，事件與事件，事件與事件均可以同時發生，
故事件與事件，事件與事件，事件與事件均不互斥，故A錯誤；
事件包含的基本事件有、、，
事件包含的基本事件有，
當出現時事件與事件均發生，故事件與事件不互斥，
顯然不對立，故B錯誤；
又事件包含的基本事件有，所以，
所以，故C錯誤；
因為事件包含的基本事件有，所以，所以與相互獨立；
因為事件包含的基本事件有，所以，所以與相互獨立；
因為事件包含的基本事件有，所以，所以與相互獨立；
即事件、、兩兩獨立，故D正確.
故選：ABC
11．ABD
【分析】A選項，根據直線與雙曲線的交點位置可判斷.
B選項，利用雙曲線定義和勾股定理化簡可得.
C選項，由雙曲線定義可判斷.
D選項，利用角平分線性質，結合雙曲線的定義可得.
【詳解】解：因為雙曲線的方程為，所以，漸近線方程為，
選項A，因為直線與雙曲線有兩個交點，所以，即A正確；
選項B，由雙曲線的定義知，，
若，則，
因為，
所以，
解得，即B正確；
選項C：，即C錯誤；
選項D，因為平分，由角分線定理知，，
所以，
又，
所以，解得，即D正確.
故選：ABD.
12．
【分析】利用二倍角公式結合兩角和與差的余弦公式展開求解即可.
【詳解】.
由得，
，
原式.
故答案為：
13．
【分析】
利用累加法求得，再利用裂項相消法即可.
【詳解】
設第個數為，則，，，，…，，
疊加可得，
∴
.
故答案為：.
14．/
【分析】先根據函數是奇函數關于原點對稱得出,再應用奇函數的定義計算求出,計算即可求值.
【詳解】由于函數的定義域滿足 ，故定義域為 ，
根據奇函數的定義域關于原點對稱可知 ，
∴ ， ，
∴ ，
故 ，
故答案為： ．
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