資源簡介

2 三角形的內角和與外角和
第1課時 三角形的內角和
1.會用平行線的性質與平角的定義證明三角形內角和等于180°.（重點）
2.會利用三角形的內角和求三角形中未知角的度數.（難點）
3.了解直角三角形兩個銳角的關系.
一、新課導入
[情境導入]將三角形紙片分別按下面兩種方法進行折疊、剪拼等操作，你能發現什么？
三角形的三個內角拼到一起恰好構成一個平角.
二、新知探究
（一）三角形的內角和
[提出問題]如圖，已知△ABC，分別用∠1、∠2、∠3表示△ABC的三個內角，證明∠1+∠2+∠3=
180°.
解：如圖，延長邊BC至點E，以點C為頂點，在BE的上側作∠DCE=∠2，
則CD//BA（同位角相等，兩直線平行）.
∵CD //BA，
∴∠1=∠ACD（兩直線平行，內錯角相等）.
∵∠3+∠ACD+∠DCE=180°，
∴∠1+∠2+∠3=180°（等量代換）.
[歸納總結]三角形的內角和等于180°.
[交流討論]小組之間交流討論:還能想出其他的方法推出這個結論嗎？
多種方法證明的核心是什么？
借助平行線的“移角”的功能，將三個角轉化成一個平角.
[典型例題]例1 在△ABC中，∠A的度數是∠B的度數的3倍，∠C比∠B大15°，求∠A、∠B、∠C的度數.
解：設∠B為x°，則∠A為(3x)°，∠C為(x＋15)°， 從而有3x＋x＋(x＋15)＝180，解得x＝33.
所以3x＝99，x＋15＝48.
所以∠A、∠B、∠C的度數分別為99°、33°、48°.
[典型例題]例2 如圖，在△ABC中，∠BAC = 40°，∠B = 75°，AD是△ABC的角平分線，求∠ADB的度數.
解：∵∠BAC = 40°，AD是△ABC的角平分線，
∴∠BAD=∠BAC= 20°.
在△ABD中，∠ADB=180°- ∠B - ∠BAD= 180° - 75° - 20°= 85°.
（二）直角三角形的兩個銳角互余
[提出問題]問題1 如圖，在直角三角形ABC中，∠C = 90°，∠A與∠B有什么關系？
由三角形內角和等于180°，
得∠A+∠B+∠C=180°，
由此可以推出
∠A+∠B=180°-∠C=90°.
思考：由此，你可以得到直角三角形有什么性質呢？
[歸納總結]直角三角形的兩個銳角互余．
應用格式：在Rt△ABC中，
∵∠C=90°，∴∠A+∠B=90°．　
直角三角形的表示：直角三角形可以用符號“Rt△”表示，直角三角形ABC可以寫成Rt△ABC．
[典型例題]例3 如圖，AD是△ABC的邊BC上的高，∠1=45°，∠C=65°.求∠BAC的度數.
解：在Rt△ABD中，
∵∠1+∠B=90°（直角三角形的兩個銳角互余），∴∠B=90°-∠1（等式性質）.
又∵∠1=45°（已知），
∴∠B=90°-45°=45°（等量代換）.
在△ABC中，
∵∠B+∠C+∠BAC=180°（三角形的內角和等于180°）,
∴∠BAC=180°-∠B-∠C（等式性質）.
又∵∠B=45°（已求），∠C=65°（已知），
∴∠BAC=180°-45°-65°=70°（等量代換）.
思考：我們已經知道，直角三角形的兩個銳角互余.反過來，有兩個角互余的三角形是直角三角形嗎？
[交流討論]小組之間交流討論,得出結論.
有兩個角互余的三角形是直角三角形.
三、課堂小結
四、課堂訓練
1.在△ABC中，∠A=35°，∠B=43°，則∠C=
102°.
2.在△ABC中，∠A :∠B:∠C=1:2:3，則△ABC是 直角 三角形.
3.在△ABC中，∠A=∠B+10°,∠C=∠A+10°,
則∠A= 60° ，∠B= 50° ，∠C= 70° .
4.如圖，CD是∠ACB的平分線，DE∥BC，∠A＝50°，∠B＝70°，求∠EDC、∠BDC的度數．
解：∵∠A＝50°，∠B＝70°，
∴∠ACB＝180°－∠A－∠B＝60°.
∵CD是∠ACB的平分線，
∴∠BCD＝∠ACB＝30°.
∵DE∥BC，∴∠EDC＝∠BCD＝30°.
在△BDC中，∠BDC＝180°－∠B－∠BCD=80°.
五、布置作業
本節課通過讓學生體會用不同的方法證明三角形內角和定理，使學生感受到一題多解的重要性，讓學生知道添加輔助線證明的重要性，激發起學生獲取知識的求知欲，充分調動學生學習的積極性，使學生由被動接受知識轉為主動學習，從而提高學習效率．
2.三角形的內角和與外角和
第2課時 三角形的外角
1.理解并掌握三角形的外角的概念．
2.掌握三角形的外角的性質．（重點）
3.會利用三角形的外角的性質解決問題.（難點）
一、新課導入
[復習導入]1.如圖，在△ABC中，∠A=70°, ∠B=
60°.則∠ACB= 50°，∠ACD= 130°.
觀察∠ACD與∠A、∠B之間有什么關系？
2.三角形的內角和等于多少？
三角形的內角和等于180 °.
想一想：三角形的外角和有什么特征？
二、新知探究
（一）三角形的外角的性質
[提出問題]問題1 　如圖，一個三角形的每一個外角對應一個相鄰的內角和兩個不相鄰的內角.那么，外角∠ACD與它不相鄰的內角∠A、∠B之間有什么大小關系？
∵∠ACD+∠ACB = 180°，
∠A +∠B +∠ACB = 180°，
∴∠ACD =180°-∠ACB，
∠A +∠B =180°-∠ACB.
∴∠ACD =∠A +∠B.
[交流討論]小組之間交流討論，得到三角形的外角的兩條性質.
1.三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內角的和.
2.三角形的一個外角大于任何一個與它不相鄰的內角.
[典型例題]例1 說出下列圖形中∠1的度數：
解：（1）∠1=140°.
（2）∠1=18°.
[典型例題]例2 如圖，P為△ABC內一點，∠BPC＝150°，∠ABP＝20°，∠ACP＝30°，求∠A的度數．
解析：延長BP交AC于E或連接AP并延長，構造三角形的外角，再利用外角的性質即可求出∠A的度數．
解：如圖，延長BP交AC于點E，則∠BPC，∠PEC分別為△PCE，△ABE的外角，
∴∠BPC＝∠PEC＋∠PCE，∠PEC＝∠ABE＋∠A，
∴∠PEC＝∠BPC－∠PCE＝150°－30°＝120°，∴∠A＝∠PEC－∠ABE＝120°－20°＝100°.
【變式】 (一題多解)如圖，∠A=51°，∠B=20°，∠C=30°，求∠BDC的度數.
思路點撥：添加適當的輔助線將四邊形問題轉化為三角形問題.
解法一：如圖，連接AD并延長至點E.
在△ABD中，
∠1+∠B=∠3，
在△ACD中，
∠2+∠C=∠4.
∵∠BDC=∠3+∠4，∠BAC=∠1+∠2，
∴∠BDC=∠BAC+∠B+∠C=51° +20°+30°=101°.
解法二：如圖，延長BD交AC于點E.
在△ABE中，
∠1=∠A+∠B，
在△ECD中，
∠BDC=∠1+∠C.
所以∠BDC=∠A+∠B+∠C=51° +20°+30°=101°.
解法三：如圖，延長CD交AB于點F（解題過程同解法二）.
總結：解題的關鍵是正確的構造三角形，利用三角形外角的性質及轉化的思想，把未知角與已知角聯系起來求解.
（二）三角形的外角和
[課件展示]與三角形的每個內角相鄰的外角分別有兩個，這兩個外角是對頂角，如∠1和∠4.
從與每個內角相鄰的兩個外角中分別取一個相加，得到的和稱為三角形的外角和.
如圖所示，∠1+∠2+∠3就是△ABC的外角和.
[提出問題]問題2 如圖，∠1、∠2、∠3是△ABC的三個外角，它們的和是多少？
解：在圖中，
有∠1+∠ACB=180°，
∠2+∠BAC=180°，
∠3+∠ABC=180°，
三式相加，可以得到
∠1+∠2+∠3+∠ACB+∠BAC+∠ABC=360°，
而∠ACB+∠BAC+∠ABC=180°，
∴∠1+ ∠2+ ∠3=360 °.
[交流討論]小組之間交流討論，得到三角形的外角和的數量關系.
三角形的外角和等于360°.
三、課堂小結
四、課堂訓練
1.如圖，AB∥CD，∠A＝37°, ∠C＝63°，那么∠F等于（ A ）
A.26° B.63° C.37° D.60°
第1題圖 第2題圖
2.如圖，試求出∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F= 360° .
3.如圖，∠A=42°，∠ABD=28°，∠ACE=18°，求
∠BFC的度數.
解：∵ ∠BEC是△AEC的一個外角，
∴ ∠BEC= ∠A+ ∠ACE.
∵∠A=42°，
∠ACE=18°，
∴ ∠BEC=60°.
∵ ∠BFC是△BEF的一個外角，
∴ ∠BFC= ∠ABD+ ∠BEF.
∵ ∠ABD=28° ，∠BEC=60°，
∴ ∠BFC=88°.
五、布置作業
本課時教學應突出學生主體性原則，即通過探究學習，指引學生獨立思考，自主得到結果，再讓學生相互交流，或上臺展示自己的發現，或表述個人的體驗，從中獲取成功的體驗后，激發學生探究的激情.

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