資源簡介

8.1 與三角形有關的邊和角
1.認識三角形
第1課時 三角形的有關概念及其分類
1.認識三角形的有關概念.（重點）
2.會用幾何語言表示三角形，了解三角形的分類.（難點）
一、新課導入
[情境導入]走在大街上，進入賓館或飯店，在許多地方，我們經常可以看到由各種形狀的瓷磚鋪成的漂亮地面和墻面，在這些地面或墻面上，相鄰的瓷磚平整地貼合在一起，整個地面或墻面沒有一點空隙.
如圖，這些形狀的瓷磚為什么能鋪滿地面而不留一點空隙呢？換一些其他形狀的行不行？
為了解決這些問題，我們有必要研究多邊形的有關性質．三角形是最簡單的多邊形，讓我們從三角形開始，探究一下其中的道理.
二、新知探究
（一）三角形的有關概念
[提出問題]問題1 觀察三角形的形成過程，說一說什么叫三角形.（課件動態展示）
定義：由三條不在同一條直線上的線段首尾順次連結組成的平面圖形叫做三角形.
[提出問題]問題2 三角形中有幾條線段 有幾個角
有三條線段，三個角.
邊：線段AB，BC，CA是三角形的邊.
頂點：點A，B，C是三角形的頂點.
角：∠A，∠B，∠C叫做三角形的內角，簡稱三角形的角.
記法：三角形ABC用符號表示為 △ABC _.
邊的表示：三角形ABC的邊AB、AC和BC可用小寫字母分別表示為 c、b、a .
辨一辨：下列圖形符合三角形的定義嗎？為什么？
[歸納總結]三角形應滿足以下兩個條件：①位置關系：不在同一直線上；②連結方式：首尾順次.
[交流討論]小組之間交流討論，解決下題.
找一找：（1）圖中有幾個三角形？用符號表示出這些三角形．
5個，分別是△ABE，△ABC，△BCE，△BCD，△ECD.
（2）以AB為邊的三角形有哪些？
△ABC，△ABE.
（3）以E為頂點的三角形有哪些？
△ABE，△BCE，△CDE.
（4）以∠D 為角的三角形有哪些？
△BCD，△DEC.
（5）說出△BCD的三個角和三個頂點所對的邊.
△BCD的三個角是∠BCD、∠D和∠CBD.
頂點B所對的邊為DC，頂點C所對的邊為BD，頂點D所對的邊為BC.
[提出問題]問題 3 如圖，把△ABC的一邊BC 延長，得到∠ACD.它與△ABC有什么聯系呢？（課件動態展示）
像這樣，三角形的一邊與另一邊的延長線所組成的角，叫做三角形的外角.
對外角∠ACD來說，∠ACB是與它相鄰的內角，∠A，∠B是與它不相鄰的內角.
思考：△ABC有多少個內角？多少個外角？與內角∠A相鄰的外角有幾個？它們是什么關系？怎么樣畫出△ABC的外角？
△ABC有3個內角；6個外角；與內角∠A相鄰的外角有2個；它們是對頂角；把三角形一個內角的一邊反向延長，反向延長線與角的另一邊組成的角即為三角形的一個外角.
（二）三角形的分類
[提出問題]問題4 如圖，三個三角形的內角各有什么特點？
第一個三角形中，三個內角均為銳角；第二個三角形中，有一個內角是直角；第三個三角形中，有一個內角是鈍角.
[歸納總結]三角形可以按角來分類：
所有內角都是銳角——銳角三角形；
有一個內角是直角——直角三角形；
有一個內角是鈍角——鈍角三角形.
[提出問題]問題5 量一量，三個三角形的邊各有什么特點？
第一個三角形的三邊互不相等；第二個三角形有兩條邊相等；第三個三角形的三邊都相等.
我們把有兩條邊相等的三角形稱為等腰三角形，相等的兩邊叫做等腰三角形的腰；把三條邊都相等的三角形稱為等邊三角形（或正三角形）.
[交流討論]小組之間交流討論，怎樣對三角形進行分類.
三、課堂小結
四、課堂訓練
1.三角形是指（ C ）
A. 由三條線段所組成的封閉圖形
B. 由不在同一直線上的三條直線首尾順次相
接組成的圖形
C. 由不在同一直線上的三條線段首尾順次相
連結組成的圖形
D. 由三條線段首尾順次相接組成的圖形
2.判斷：
（1）一個鈍角三角形一定不是等腰三角形.（ × ）
（2）等邊三角形是特殊的等腰三角形.（ √ ）
（3）等腰三角形的腰和底一定不相等.（ × ）
（4）等邊三角形是銳角三角形.（ √ ）
（5）直角三角形一定不是等腰三角形.（ × ）
3.（1）如圖所示，圖中共有 3 個三角形，它們分別是 △ABC，△ABD，△ACD .
（2）以AD為邊的三角形分別是△ABD，△ACD .
（3）∠B是 △ABC ， △ABD 的內角；△ACD的三條邊是 AC ， AD ， CD .
（4）∠ACD是 △ABC 的一個外角.
五、布置作業
本節課讓學生經歷一個探究認識三角形的過程，從實際生活中抽象出三角形，進一步探究這些圖形的組成元素及分類方法，這樣教學符合學生的認知特點，既提高了學生學習的興趣，又增強了學生的動手能力．
第2課時 三角形的三條重要線段
1．掌握三角形的高、中線和角平分線的定義，并能夠對其進行簡單的應用．（重點）
2．能夠準確的畫出三角形的高、中線和角平分線．（難點）
一、新課導入
[復習導入]1.過直線外一點，畫已知直線的垂線，能畫幾條，怎么畫？如果一個數的平方等于9，那么這個數是多少？
只能畫一條.
2.已知△ABC中，BC=5cm，高AD=4cm，求△ABC的面積.
.
二、新知探究
（一）三角形的中線
[提出問題]問題1 如圖，如果點C是線段AB的中點，你能得到什么結論？
AC=BC=AB.
[提出問題]問題 2 如圖，如果點D是線段BC 的中點，那么線段AD就稱為△ABC的中線．試說明什么叫三角形的中線.
如圖，連接△ABC的頂點A和它所對的邊BC 的中點D，所得線段AD 叫做△ABC的邊BC上的中線.
想一想：由三角形的中線能得到什么結論？
BD=CD=BC.
[課件展示]畫一畫：如圖，畫出銳角三角形、直角三角形、鈍角三角形的三條中線，它們中線的交點有什么規律？
[交流討論]小組之間交流討論，得出規律.
三角形的三條中線交于三角形內部一點.
（二）三角形的角平分線
[提出問題]問題1 如圖，若OC是∠AOB的平分線，你能得到什么結論？
∠AOC = ∠BOC.
[提出問題]問題2 如圖，在△ABC中，如果∠BAC的平分線AD交BC邊于點D，我們就稱 AD是△ABC的角平分線．三角形的角平分線與角的平分線相同嗎
相同點：∠ABD=∠CBD；
不同點：前者是線段，后者是射線.
[課件展示]畫一畫：如圖，分別畫出銳角三角形、直角三角形、鈍角三角形的三條角平分線，它們的交點有什么規律？
[交流討論]小組之間交流討論，得出規律.
三角形的三條角平分線交于三角形內部一點.
（三）三角形的高
[提出問題]問題1 什么是三角形的高？怎樣畫三角形的高？（課件動態展示）
定義：如圖，從△ABC的頂點A向它所對的邊BC所在直線畫垂線，垂足為D，所得線段AD叫做△ABC的邊BC上的高.
[提出問題]問題2 由三角形的高你能得到什么結論？
∠ADB=∠ADC=90°.
[提出問題]問題3 如圖，在△ABC中，AD是△ABC的中線，AE是△ABC的高．試判斷△ABD和△ACD的面積有什么關系，為什么？
答：相等，因為兩個三角形等底同高，所以它們面積相等.
[提出問題]問題4 通過問題3你能發現什么規律？
答：三角形的中線能將三角形的面積平分.
[課件展示]畫一畫：如圖，分別畫出銳角三角形、直角三角形、鈍角三角形的三條高，高的交點有什么規律？
小組之間交流討論，得出規律.
三角形的三條高交于一點.
[歸納總結]由前面的操作，我們可以發現，三角形的三條中線、三條角平分線和三條高（或所在的直線）分別交于一點；直角三角形三條高的交點就是直角頂點；鈍角三角形有兩條高位于三角形的外部.
[典型例題]例1 如圖，已知AD，AE分別是△ABC的高和中線，AB=6cm，AC=8cm，BC=10cm，∠CAB=90 °，試求：
(1)△ABE的面積；
(2)△ACE和△ABE的周長的差.
解：(1)∵S△ABC=AB·AC=×6×8=24（cm2），
AE是△ABC的中線，
∴S△ABE=S△ABC=×24=12（cm2）.
(2) ∵AE是△ABC的中線，∴BE=CE.
∴△ACE和△ABE的周長的差=（AC+AE+CE)-
(AB+AE+BE)=AC+AE+CE-AB-AE-BE=AC-AB=8-6=2(cm).
例2 如圖，在△ABC中，請作圖.
(1) 畫出△ABC的∠C的平分線；
(2) 畫出△ABC的邊AC上的中線；
(3) 畫出△ABC的邊BC上的高.
解：如圖，CF是一條角平分線；BE是AC邊上的中線；AD是邊BC上的高.
三、課堂小結
四、課堂訓練
1．下列說法正確的是(　B　)
A．三角形的三條高都在三角形內
B．三角形的三條中線相交于一點
C．三角形的三條角平分線可能在三角形內，也可能在三角形外
D．三角形的角平分線是射線
2.作△ABC的邊AB上的高，下列作法中，正確的是(　D　)
3.在△ABC中，AC＝5cm，AD是△ABC的中線，若△ABD的周長比△ADC的周長大2cm，則BA＝ 7cm .
4.如圖,AE是△ABC的角平分線.已知∠B=45°,
∠C=60°,求∠BAE的度數.
解：∵AE是△ABC的角平分線，
∴∠CAE=∠BAE=∠BAC.
∵∠BAC+∠B+∠C=180°，
∴∠BAC=180°－∠B－∠C=180°－45°－60°=75°，∴∠BAE=37.5°.
五、布置作業
本節課從畫圖入手，分三種情況，即銳角三角形、直角三角形和鈍角三角形，學習與三角形相關的線段，培養學生形成分類討論思想，同時，可以在學生頭腦中對這三種線段留下清晰的形象，然后結合這些具體形象敘述它們的定義以及表示方法，最后通過例題進一步鞏固．

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