資源簡介

7.3 解一元一次不等式
第1課時 一元一次不等式及其解法
1.理解一元一次不等式的概念.
2.通過類比一元一次方程的解法，掌握一元一次不等式的解法.（重點）
3.會在數軸上表示一元一次不等式的解集.（難點）
一、新課導入
[復習導入]
1.什么叫一元一次方程
答：只含一個未知數、并且未知數的次數都是1的整式方程.
2.不等式的基本性質：
不等式的基本性質1：不等式的兩邊都加上(或減)同一個數，不等號的方向不變.
不等式的基本性質2：不等式兩邊都乘以(或都除以)同一個正數，不等號的方向不變.
不等式的基本性質3：不等式兩邊都乘以（或都除以）同一個負數，不等號的方向改變.
二、新知探究
（一）一元一次不等式的定義
觀察下面的不等式：
x－7＞26；(2)3x－7＞26；
(3)x＞50；(4)-4x＞3.
它們有哪些共同特征？
左右兩邊都是整式；都只含有一個未知數；未知數的次數是1.
[概念總結] 像這樣，只含有一個未知數、左右兩邊都是整式，并且未知數的次數都是1的不等式，叫做一元一次不等式.
[課件展示]
下列不等式中，哪些是一元一次不等式
(1)3x+2>x-1； √ (2)5x+3<0；√
(3)+3<5x-1； × (4)x(x-1)<2x.×
（二）解一元一次不等式
[典型例題]例1 解不等式：
(1)x-7＜8； (2)3x＜2x-3.
解：（1）不等式的兩邊都加上7，不等號的方向不變，所以x-7+7＜8+7，得x＜15.
（2）不等式的兩邊都減去2x（即都加上-2x），不等號的方向不變，所以3x-2x＜2x-3-2x，得x＜-3.
[歸納總結]由(2)可以看出，運用不等式的基本性質1對3x＜2x-3進行化簡的過程，就是對不等式3x＜2x-3作了如下變形：
從變形前后的兩個不等式可以看出，這種變形就是把不等式一邊的某一項變號后移到另一邊，我們把這種變形稱為移項.
[典型例題]例2 解不等式：利用不等式的基本性質說明下列結論的正確性：
(1)x＞-3；(2)-2x<6.
解：（1）不等式的兩邊都乘以2，不等號的方向不變，所以x×2＞（-3）×2，
得x＞-6.
不等式的兩邊都除以-2（即都乘以-），不等號的方向不變，所以-2x×（-）＞6×（-），
得x＞-3.
[歸納總結]這里的變形，與方程變形中的“將未知數的系數化為1”類似，它依據的是不等式的基本性質2或不等式的基本性質3．
注意:
不等式的兩邊都乘以(或都除以)的數是正數時，不等號的方向不變；
不等式的兩邊都乘以(或都除以)的數是負數時，不等號的方向改變.
[類比探究]
解一元一次不等式與解一元一次方程的依據和步驟有什么異同點？
相同：
1.它們的步驟基本相同，都是去分母、去括號、移項、合并同類項、未知數的系數化為1.
不同：
1.這些步驟中，要特別注意的是：不等式兩邊都乘(或除以)同一個負數，必須改變不等號的方向.這是與解一元一次方程不同的地方.
2.它們的依據不相同.解一元一次方程的依據是等式的基本性質，解一元一次不等式的依據是不等式的基本性質.
[典型例題]例3 解下列不等式，并將解集在數軸上表示出來：
(1)2x-1＜4x+13；(2)2(5x+3)≤x-3(1-2x).
解：（1）移項，得2x-4x＜13+1.
合并同類項，得-2x＜14.
兩邊都除以-2，得x＞7.
它在數軸上的表示如圖所示.
（2）去括號，得 10x+6≤x-3+6x.
移項、合并同類項，得 3x≤-9.
兩邊都除以3，得 x≤-3.
它在數軸上的表示如圖所示.
[典型例題]例4 當x取何值時，代數式與的差大于1？
解：根據題意，得-＞1.
去分母，得2(x+4)-3(3x-1)＞6.
去括號，得2x+8-9x+3＞6.
移項、合并同類項，得-7x＞-5.
兩邊都除以-7，得x＜.
所以，當x取小于的任何數時，代數式與的差大于1 .
[歸納總結]解一元一次不等式的一般步驟：
一般步驟 依據 注意事項
①去分母 不等式的基本性質2、3 （1）不要漏乘不含分母的項； （2）若分子是多項式，去分母時要將分子作為一個整體加上括號； （3）當不等式兩邊都乘以同一個負數時，不等號的方向要改變
②去括號 乘法分配律、去括號 法則 當括號前是“-”時，去掉括號后，原括號內的每一項都要變號
③移項 不等式的基本性質1 （1）所移的項要改變符號，不移的項不變號； （2）移項時，不等號的方向不改變
④合并同類項 合并同類項 法則
⑤系數化為1 不等式的基本性質 2、3 當不等式兩邊都乘以（或都除以）同一個負數時，不等號的方向要改變
三、課堂小結
四、課堂訓練
1.解下列不等式：
(1)-5x≤10 ；(2)4x-3＜10x+7；
x≥-2. x＞-.
2.解下列不等式：
(1) 3x-1＞2(2-5x)；(2)≥.
x＞. x≤.
五、布置作業
本節課通過類比一元一次方程的解法得到一元一次不等式的解法，讓學生感受到解一元一次不等式與解一元一次方程只是在去分母和系數化為1這兩步時有所不同．如果兩邊都乘以（或都除以）同一個正數，不等號的方向不變；如果兩邊都乘以（或都除以）同一個負數，不等號的方向改變．這也是這節課學生容易出錯的地方．教學時要大膽放手，不要怕學生出錯，要通過學生犯的錯誤引起學生注意，理解產生錯誤的原因，以便在以后的學習中避免出錯.
第2課時 一元一次不等式的實際應用
1.會通過列一元一次不等式解決生活中的實際問題，經歷“實際問題抽象為不等式模型”的過程.（重點）
2.體會解不等式過程中的化歸思想與類比思想，體會分類討論思想在列不等式解決實際問題中的應用．（難點）
一、新課導入
[復習導入]
1.應用一元一次方程解實際問題的步驟：
2.將下列生活中的不等關系翻譯成數學語言.
(1)超過； ＞
(2)至少； ≥
(3)最多. ≤
二、新知探究
知識點：一元一次不等式的實際應用
[典型例題]例 一個工程隊原定在10天內至少要挖土600m3，前兩天一共完成了120m3，由于整個工程調整工期，要求提前兩天完成挖土任務.問：后6天內平均每天至少要挖土多少立方米
分析:本題中涉及的數量關系是：前兩天挖土的量+后6天挖土的量＞總挖土量.
解：設后6天內平均每天要挖土xm3.
根據題意，得 120+6x≥600.
解得 x≥80.
答：后6天內平均每天至少要挖土80m3.
[合作探究]
問題 在“科學與藝術”知識競賽的預選賽中共有20道題，對于每一道題，答對得10分，答錯或不答扣5分，總得分不少于80分者能通過預選賽.育才中學有25名學生通過了預選賽，通過者至少應答對多少道題？有哪些可能情形？
解：設通過者答對了x道題.
根據題意列不等式，得10x-5(20-x)≥80.
解得x≥12.
∵答對(或答錯或不答)的題數應是取值范圍內的整數,
∴x可取12、13、14、15、16、17、18、19、20.
所以通過者至少應答對12道題，有以上9種可能情形.
[歸納總結]列不等式解決實際問題時需注意：
1.實際問題中的“節省”“合算”“最多”“最少”“不超過”“超過”等，都是列不等式的關鍵詞.注意所列不等式是否包含等號.
2.列不等式解決實際問題時，要注意題中的限制條件，取解時必須使實際問題有意義，如人數、次數、物體的個數等為非負整數，長度、面積等為正數.
三、課堂小結
四、課堂訓練
1.一次智力測驗，有20道選擇題.評分表標準為：對1題給5分，錯1題扣2分，不答題不給分也不扣分.小明有2道題未答，則他至少要答對幾道題，總分才不會低于60分？
解：設小強答對了x道題，則答錯了（20-2-x）道題.
根據題意，得5x-2（20-2-x）≥60.
解得x≥.
又∵x為正整數，
∴x的最小值為14．
答：他至少要答對14道題，總分才不會低于60分．
2.某童裝店按每套90元的價格購進40套童裝，應繳納的稅費為銷售額的10%. 如果要獲得不低于900元的純利潤，每套童裝的售價至少是多少元？
解：設每套童裝的售價是x元.
則40x-90×40-40x·10%≥900.
解得x≥125.
答:每套童裝的售價至少是125元.
五、布置作業
本節課讓學生積極參與，講練結合，引導學生找不等關系列不等式．在教學過程中，也可通過類比列一元一次方程解決實際問題的應用題來學習，讓學生認識到列方程與列不等式的區別與聯系.

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