資源簡介

雙曲線的簡單幾何性質
雙曲線的標準方程及性質的應用教學設計
（直線與雙曲線）
一、課程分析：
新教學大綱對“直線與圓錐曲線的位置關系”這部分教材的要求是：掌握其簡單應用。主要考查：直線與圓錐曲線公共點個數問題，相交時的弦長，弦中點或相關軌跡問題，三角形面積問題，對稱性問題，存在性問題,與向量綜合等問題，由于本部分內容一直是高考的熱點，這類問題常涉及到圓錐曲線的性質和直線的基本知識點，所以應給以足夠的重視，而用坐標法研究幾何問題，是數學中的一個很大的課題，問題的大小、深淺差別很大。為此，從解析幾何的本質出發，用代數的方法來研究，體現分類討論的數學思想，又體現數形結合的數學思想，是一節很重要但又有一定深度的課。
學情分析：
直線與雙曲線的位置關系是在已經對直線與橢圓的位置關系有了初步的認識和了解的基礎上而進行的，但不少學生考慮問題往往不夠全面，因此在創設問題情境以后，應讓學生充分思考、討論，而不少學生受傳統教學的影響，習慣于聽老師的分析，自己不主動探索，學習比較被動，往往老師分析的頭頭是道，學生也頻頻點頭，但時間一長，就都忘了。應充分調動學生的積極性，讓學生在老師的引導下，自主、探究、合作得出結論，實現學生的主體地位，讓學生真正成為學習的主人。
學習目標：
學生能理解并掌握直線與雙曲線的位置關系，并能類比直線與橢圓的位置關系進行求解。從而培養學生分析、歸納、推理、類比等能力，使學生進一步掌握利用代數方法研究解析幾何的基本方法，加深對解析幾何本質的理解及其應用。
二、設計理念：
根據誘思探究學科教學論，改變“老師滔滔講，學生默默聽”的傳統教學模式，變教師的“滿堂教”為學生的“滿堂學”。讓“教堂”變為“學堂”。在本節課教學中充分安排回憶、嘗試、討論、發言、實物演示，讓學生參與到數學知識的探索、發現過程中去，體驗知識的形成過程。本著這個原則，結合具體的教學內容，本節教學采用引導探究式的教學方法。理論探究采用老師創設問題情境，學生自主探究、分組討論的方法；反饋練習采用學生獨立思考，教師講評的方法。另外，多媒體手段的引入能直觀地加深印象，實物投影儀給了交流的平臺，提高了教學效益。
三、教學流程：
(一) 復習引入，創設問題情境
前面我們學習了直線與橢圓的位置關系，那么請同學們回答：
直線與橢圓的位置關系有幾種？想一想如何通過圖像來表示 它的理論依據是什么
（簡要實錄：由于剛學過大家很齊聲的回答三種：相離、相交、相切。
請一位同學板演草圖，雖不規范但能反映出位置關系。
第三問是理論知識，再請一同學回答應為：聯立方程組，得到一元二次方程通過判別式（或解的個數）來說明。當判別式大于零（或兩個不等的根），相交；當判別式等于零（或兩個等根），相切；當判別式小于零（或無根），相離。回答的比較完整。
設計意圖：通過回憶、總結加強對直線與橢圓位置關系的感性和理性認知，并為學習直線與雙曲線的位置關系這節課作下鋪墊。）
(二) 探索研究，體驗感悟
例1：已知雙曲線，直線l：y＝k(x－1)，直線l與雙曲線有兩個不同的公共點，確定滿足條件的實數k的取值范圍.
（簡要實錄：同學們開始先作圖，由于有參數因此從動的觀點來結合表達式解題，學生在結合橢圓的有關知識解答。再分組討論，老師邊巡視，邊指導。最后把兩三組學生的作品用實物投影機展示，并加以點評。）
延伸探究：若直線l與雙曲線有且只有一個公共點，確定滿足條件的實數k的取值范圍.
（簡要實錄：同學們分組討論，由于在上面的基礎上解決此題，不同的地方就是交點問題，開始討論，氣氛比較熱烈，老師巡回指導，對于程度較好的提出結合圖象理解，最后把兩組學生的作品用實物投影機展示，并加以點評，同學們有了清晰的認識。）
跟蹤訓練1：已知雙曲線x2－＝1，過點P(1,1)的直線l與雙曲線只有一個公共點，求直線l的斜率k.
(簡要實錄：問題層層深入，讓同學們體會知識的聯系和區別。同學們開始討論探索，由于此題涉及的知識點較多，還有分類討論的數學思想，做起來有一定的難度，老師參與到討論不積極的小組中，調動他們的積極性，讓他們參與到討論中來，最后將兩三個組的作品進行實物投影，查漏補缺，并加以點評。)
（設計意圖：三個題中前兩個類似直線與橢圓的位置關系，但變式二既要考慮直線是否存在，又要對二次項的系數加以討論。而且位置關系不同于前面的情況，比較特殊。為此通過多媒體演示其位置關系，給以直觀的感受，從而使抽象問題直觀化，幫助其理解。）
(三) 歸納總結，行成定論
對于直線與雙曲線的位置關系小結一下？
（簡要實錄：讓學生分組討論，進行小結，比賽看哪個組總結的最好。學生有了親身的體驗，學生們非常積極，舉手回答：
學生1：在聯立方程組變為一元的方程后，要對二次項系數加以討論。
學生2：對于有關直線方程的設的問題，注意對直線是否存在要討論。
學生3：既要聯立方程組，又要考慮直線設法及二次項系數是否為零。
（設計意圖：大家發言都很好，通過多媒體演示小結。）
(四)遷移運用（弦長問題）
例2、已知雙曲線C：，過右焦點的直線交雙曲線于A，B兩點，若線段AB中點的橫坐標為4，則弦AB的長為
（簡要實錄：有了前面的研究，同學們積極性很高，能順利地獨立解決問題。）
（設計意圖：通過該練習讓學生加強對一個公共點情況的認識。）
延伸探究：已知雙曲線的方程為.試問：雙曲線上是否存在被點B(1,1)平分的弦？如果存在，求出弦所在的直線方程；如果不存在，請說明理由.
(五)合作小結（多媒體演示）
1.從代數角度一般如何處理直線與雙曲線的位置關系問題？應注意哪幾點？
2.這節課用到哪些數學思想方法
（簡要實錄：學生分組討論，互相補充很快得出結論，摘錄如下：
學生1：聯立方程組，通過根的情況來確定。注意直線的斜率及二次項系數。
學生2：分類討論思想，數形結合思想。這樣的話對于數學思想的運用有了深刻的理解。
教師總結：
1.知識清單：
(1)判斷直線與雙曲線交點個數.
(2)弦長公式.
2.方法歸納：定義法，數形結合.
3.常見誤區：
直線與雙曲線的位置關系可以通過聯立直線方程與雙曲線方程得到的方程來判斷，首先看二次項系數是否為零，若不為零，再利用Δ來判斷直線與雙曲線的位置關系.代數計算中的運算失誤.
(六)作業布置
課時對點練
補充作業：已知直線y=k(x-1),雙曲線x2-y2=4,試討論實數k的取值范圍。
(1) 直線與雙曲線有兩個公共點。
(2) 直線與雙曲線有且只有一個公共點。
(3) 直線與雙曲線無個公共點。
（七）課后思考： 直線與拋物線的位置關系如何呢？
四、課后反思：
本節課在執教的過程中學生的參與性較強，能夠充分發揮學生的主體性；學生掌握知識的過程也是學生探索學習、思考研究、提高能力的過程；打破了傳統的“講授”，變為引導、啟發、發現、總結、深化、提高、遷移。變學為思、變學為悟，并鍛煉了學生的合作能力，加強合作意識。整節課學生的活動貫穿始終，遷移規律運用在理論探究中起了關鍵的作用，充分提高了學習的效率，保證知識落實到位。學生的主體地位得到了充分的體現，師為輔，生為主，以體驗為紅線。
存在的問題：在教學過程中調動學生的積極性做得還不夠好，問題提得不夠自然.還需要用心體會,真正領悟其真理.

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