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2.4.1圓的標準方程
(人教A版普通高中教科書數學選擇性必修第一冊第二章第四節)
一、教學目標
1．根據圓的標準方程寫出圓的半徑和圓心坐標，掌握待定系數法、幾何性質法求出圓的標準方程；
2．會判斷任意點與圓的位置關系；
3．體會形與數的轉化，培養學生的直觀想象和數學運算能力．
二、教學重難點
1．掌握圓的標準方程的建立與應用；
2．根據不同的已知條件，求圓的標準方程．
三、教學過程
1．提出問題，形象概括
問題1：在平面中，圓的定義是什么？如何用集合語言描述？
【預設的答案】平面上，到定點的距離等于定長的點的集合，稱為圓；其中，定點稱為圓心，定長稱為半徑．設圓心為點，半徑為，則圓就是以下點的集合：．
【設計意圖】開門見山，引出課題“圓”．這是完成圓的標準方程的數學抽象第一階段，即完成對現實世界中圖形的抽象，得到圓的圖形，獲得圓的基本概念，此時是從感性具體上升到理性思維的過程，并引導學生用符號化的集合語言表示圓．
2．探究問題，生成新知
問題2：在平面直角坐標系中，如何確定一個圓呢？
【預設的答案】設圓心的坐標為，半徑為，為圓上任意一點，則根據兩點間的距離公式有，兩邊平方得到(1)．
顯然，若點在圓上，則點的坐標就滿足方程(1)；反過來，若點的坐標滿足方程(1)，就說明點與圓心間的距離為，點就在圓上．
如此，我們就可以通過方程(1)，在平面直角坐標系中確定一個圓．
問題3：圓的特征是什么？通過哪些要素刻畫圓？
【預設的答案】圓心決定圓的位置，半徑決定圓的大小，通過圓心和半徑這兩個要素來刻畫圓．所以，在平面直角坐標系中，確定一個圓的方程，核心就是確定它的圓心坐標以及半徑大小．我們把方程(1)稱為圓心為，半徑為的圓的標準方程．
【設計意圖】問題2和問題3是完成圓的標準方程的數學抽象第二階段．第二階段是基于邏輯的抽象，通過問題2和問題3，引導學生用符號化的語言表示圓的標準方程，從理性具體上升為理性一般的思維過程．這兩個階段同時也是學生完成直觀想象的過程．
3．典例分析，深化理解
問題4：
例1．（1）判斷下列方程是否為圓的方程：
①；②．
（2）求圓心為，半徑為5的圓的標準方程，并判斷點是否在這個圓上．
（3）點在圓內的條件是什么？在圓外的條件又是什么？
【預設的答案】
解：（1）①是圓心為、半徑為2的圓的方程；
②當時，不是圓的方程；當時，是圓心為、半徑為的圓的方程．
（2）圓心為，半徑為5的圓的標準方程是．
把點的坐標代入方程成立，即點的坐標滿足圓的方程，所以點在圓上；
把點的坐標代入方程不成立，即點的坐標不滿足圓的方程，所以點不在圓上．
（3）根據圓的定義，點在圓內的條件是點到圓心的距離小于半徑，即；點在圓外的條件是點到圓心的距離大于半徑，即．
【設計意圖】例1（1）的設計有兩個目的，一是加深學生對圓的方程結構特點的認識，二是已知圓的標準方程能獲取圓心坐標和半徑大小；方程②需要考慮是否為0，考察學生思維的嚴密性．（2）是課本上的例1，目的是引出（3），讓學生學會判斷點與圓的位置關系．這里有兩種方法可以使用：一是根據點的坐標與圓的方程的關系判斷（代數法），二是根據點到圓心的距離與半徑的大小關系判斷（幾何法）．最后引導學生發現幾何法與代數法的內在聯系，滲透數形結合思想．
問題5：
例2．寫出下列各圓的標準方程：
（1）圓心為，半徑是；
（2）圓心為，且經過點；
（3）以線段為直徑的圓，其中；
（4）△的外接圓，其中．
【預設的答案】
解：（1）；
（2）解法1（幾何法）：設圓的半徑為，則，所以圓的標準方程是．
解法2（代數法）：設圓的標準方程是,將點的坐標代入方程得，所以圓的標準方程是．
（3）設圓的半徑為，則，即；圓心為中點，即，所以該圓的標準方程是．
（4）解法1（幾何法）：設△的外接圓的圓心為，則點是線段的垂直平分線的交點．
由線段中點及直線斜率知線段的垂直平分線為；同理可得線段的垂直平分線為．
聯立解得，即圓心坐標為．
而半徑，所以△的外接圓的標準方程是．
解法2（代數法）：設△的外接圓的標準方程為，將三點坐標分別代入方程，聯立解出參數的值．
此處略，詳見課本P83例2解法．
【設計意圖】例2為已知圓的相關條件，求圓的標準方程．通過例2的練習，幫助學生理解圓的標準方程由兩個要素（圓心坐標、半徑大小）確定，由淺入深，符合學生的認知規律．(1)直接給出圓心和半徑，(2)需要求出半徑，(3)、(4)需要間接求出圓心及半徑，層層遞進，滲透兩種求法，為例3做鋪墊．
問題6：
例3．已知圓心為的圓經過兩點，且圓心在直線上，求此圓的標準方程．
【預設的答案】解：解法1（幾何法）：此處略，詳見課本P84-85例3解法．
解法2（代數法）：設圓的標準方程為，將兩點坐標分別代入得到兩個方程，再將圓心坐標代入直線的方程可得第三個方程．聯立三個方程解出參數的值．
【設計意圖】例3在例2的基礎上增加了難度，設計的目的是使學生明確求圓的標準方程關鍵是求出圓心坐標和半徑，主要有兩種方法：
①幾何法：借助圓的幾何性質，直接求出圓心坐標和半徑大小；
②代數法（待定系數法）：設含有參數的圓的標準方程，建立關于的方程組，解出參數，求出圓的標準方程．
一般地，在解決有關圓的問題時，有時利用圓的幾何性質做轉化較為簡捷．
四、課外作業
（完成課本P85練習題3、4）
練習3．已知兩點，求以線段為直徑的圓的標準方程，并判斷點在圓上、圓內，還是在圓外．
練習4．已知△的三個頂點分別是點，求△的外接圓的標準方程．
5

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