資源簡(jiǎn)介

2.2.2直線的兩點(diǎn)式方程
(人教A版普通高中教科書(shū)數(shù)學(xué)選擇性必修第一冊(cè)第二章)
一、教學(xué)目標(biāo)
1．探索并掌握直線的兩點(diǎn)式方程；
2．根據(jù)直線位置的不同幾何要素，確定直線方程的不同形式．
二、教學(xué)重難點(diǎn)
重點(diǎn)：直線的兩點(diǎn)式和截距式方程．
難點(diǎn)：直線的兩點(diǎn)式方程的建立．
三、教學(xué)過(guò)程
1．直線的兩點(diǎn)式方程的建立
1.1溫故知新，引發(fā)思考
我們知道確定直線位置的基本幾何要素有兩類：（1）直線上一點(diǎn)和方向（斜率）；（2）兩點(diǎn)確定一條直線．
我們已經(jīng)探索了過(guò)點(diǎn)，斜率為的直線的點(diǎn)斜式方程為．
特例：直線的斜截式方程．
問(wèn)題1：（1）已知直線經(jīng)過(guò)兩點(diǎn)，（其中，），因?yàn)閮牲c(diǎn)確定一條直線，所以直線是唯一確定的．即是說(shuō)，對(duì)于直線上的任意一點(diǎn)，它的坐標(biāo)與點(diǎn)，的坐標(biāo)之間具有唯一確定的關(guān)系．這一關(guān)系是什么？
【預(yù)設(shè)答案】方案一：用點(diǎn)，的坐標(biāo)可以唯一確定直線的方程，點(diǎn)的坐標(biāo)是方程的解；方案二：由點(diǎn)與點(diǎn)，三點(diǎn)中任意兩點(diǎn)確定的直線的斜率相等．
【設(shè)計(jì)意圖】通過(guò)方案一可以引導(dǎo)學(xué)生理解“直線上任意點(diǎn)的坐標(biāo)都是直線方程的解”，從而領(lǐng)悟到“表示直線上任意點(diǎn)的坐標(biāo)滿足的關(guān)系，也就是確定直線的方程”．方案二可以直線建立點(diǎn)的坐標(biāo)滿足的關(guān)系式，兩種方案中斜率均處于核心地位．
1.2嘗試探究，建立方程
探究活動(dòng)：以小組為單位在方案一和方案二中選取一種方案探究點(diǎn)的坐標(biāo)與點(diǎn)，的坐標(biāo)之間的關(guān)系，然后以組為單位匯報(bào)探究的過(guò)程和分享探究成果．
【活動(dòng)預(yù)設(shè)】讓學(xué)生自主設(shè)計(jì)探究思路，規(guī)劃探究步驟，經(jīng)歷數(shù)學(xué)探究過(guò)程，規(guī)范探究成果，從而積累數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)．
【設(shè)計(jì)意圖】不同的方案將得到不果的探究成果，根據(jù)所得關(guān)系式的不同，進(jìn)而引導(dǎo)學(xué)生思考，如何統(tǒng)一結(jié)論，規(guī)范探究成果．
問(wèn)題2：如何用統(tǒng)一的形式表示所得結(jié)果，談?wù)勀愕南敕ǎ?br/>【活動(dòng)預(yù)設(shè)】
（1）從得到的關(guān)系式的形式上，分析其異同點(diǎn)；
（2）化異為同，使得結(jié)果的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)更明確，形式更美．
【設(shè)計(jì)意圖】引導(dǎo)學(xué)生對(duì)所得成果，進(jìn)一步分析，找出其區(qū)別與聯(lián)系，并在此基礎(chǔ)上進(jìn)行優(yōu)化，積累數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)．
問(wèn)題3：在探究過(guò)程中，你認(rèn)為關(guān)鍵步驟是什么，談?wù)勀愕捏w會(huì)？
【活動(dòng)預(yù)設(shè)】引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)兩種方案中，斜率均處于核心地位．斜率公式是聯(lián)系直線上任意點(diǎn)與兩已知點(diǎn)橋梁，是化“兩點(diǎn)”為“一點(diǎn)和方向”的關(guān)鍵，體會(huì)所得直線方程與點(diǎn)斜式方程的關(guān)系．
【設(shè)計(jì)意圖】引導(dǎo)學(xué)生體會(huì)斜率在建立直線方程的過(guò)程中處于核心地位，以斜率公式為橋梁，將問(wèn)題“兩點(diǎn)確定一條直線”轉(zhuǎn)化為“一點(diǎn)和斜率唯一確定一條直線”，體會(huì)直線的兩點(diǎn)式方程是點(diǎn)斜式方程的一個(gè)“變式”或推論．
課堂新授：已知直線經(jīng)過(guò)兩點(diǎn)，，其中，．則直線的方程為
．
我們把它叫做直線的兩點(diǎn)式方程，簡(jiǎn)稱兩點(diǎn)式（two-point form）．
問(wèn)題4：請(qǐng)分析直線的兩點(diǎn)式方程的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)、適用條件，以及它與直線的點(diǎn)斜式方程的關(guān)系．
【預(yù)設(shè)答案】（1）直線方程的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)：運(yùn)算：兩邊均是分式形式；數(shù)量：左邊均是縱坐標(biāo)（），右邊均是橫坐標(biāo)（）；下標(biāo)：上下、左右下標(biāo)序號(hào)一致；兩邊分子之比與分母之比相等，且都等于直線的斜率．所以直線的兩點(diǎn)式方程具有結(jié)構(gòu)美、對(duì)稱美、有序美、運(yùn)算美等特點(diǎn)．
（2）適用條件，由，的條件，可知當(dāng)直線與坐標(biāo)軸不垂直（或平行）時(shí)，才可以寫(xiě)出直線的兩點(diǎn)式方程．
（3）直線的兩點(diǎn)式方程可以看作是直線的點(diǎn)斜式方程的“變式”或推論．
【設(shè)計(jì)意圖】引導(dǎo)學(xué)生認(rèn)識(shí)直線的兩點(diǎn)式方程的本質(zhì)與結(jié)構(gòu)特點(diǎn)，了解它與直線的點(diǎn)斜式方程之間的關(guān)系，發(fā)現(xiàn)感受數(shù)學(xué)之美．
1.3操作確認(rèn)，創(chuàng)新應(yīng)用
問(wèn)題5：直線方程的斜截式是點(diǎn)斜式的特例，類比探索直線的兩點(diǎn)式方程的特例，并對(duì)你的結(jié)果進(jìn)行優(yōu)化和評(píng)析．
【預(yù)設(shè)答案】當(dāng)直線的兩點(diǎn)是它分別與軸，軸的交點(diǎn)時(shí)，兩點(diǎn)式可改寫(xiě)成更簡(jiǎn)潔美觀的形式（截距式）．
【設(shè)計(jì)意圖】引導(dǎo)學(xué)生根據(jù)已有活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，利用特殊化的方法，類比斜截式的探索過(guò)程，自主探索直線的斜截式方程，對(duì)方程進(jìn)行結(jié)構(gòu)優(yōu)化，并對(duì)方程結(jié)構(gòu)特點(diǎn)進(jìn)行評(píng)析，感受方程之美．培養(yǎng)學(xué)生的探索意識(shí)和創(chuàng)新精神，提升數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)．
課堂新授：已知直線與軸的交點(diǎn)為，與軸的交點(diǎn)為，其中，．則直線的方程為
．
我們把它叫做直線的截距式方程，簡(jiǎn)稱截距式（intercept form）．
其中是直線在軸上的截距，類似的叫做直線在軸上的截距．
1.4典型例題，靈活應(yīng)用
例4 已知的三個(gè)頂點(diǎn)，，，求邊所在直線的方程，以及這條邊上的中線所在直線的方程．
【思路分析】（1）直接寫(xiě)出所在直線的兩點(diǎn)式方程，然后化簡(jiǎn)；
（2）先確定邊中點(diǎn)的坐標(biāo)，然后寫(xiě)出中線所在直線的兩點(diǎn)式方程，化簡(jiǎn)．
【追問(wèn)】你是否還有其他方案求解？
【預(yù)設(shè)答案】先求斜率，再寫(xiě)出所在直線的斜截式方程，中線所在直線的點(diǎn)斜式方程，然后化簡(jiǎn)．
【設(shè)計(jì)意圖】例4主要是兩點(diǎn)式方程的綜合應(yīng)用．既需要根據(jù)兩點(diǎn)的坐標(biāo)建立兩點(diǎn)式方程，也需要確定線段中點(diǎn)坐標(biāo)，由邊的中點(diǎn)與對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)坐標(biāo)建立三角形中線的方程．引導(dǎo)學(xué)生理解和感受用坐標(biāo)和方程量化點(diǎn)和直線，從而把圖形的幾何特征轉(zhuǎn)化為代數(shù)表達(dá)．
變式 若求邊所在直線的方程，你能設(shè)計(jì)幾種不同的方案？
【預(yù)設(shè)答案】（1）斜截式；（2）兩點(diǎn)式；（3）截距式．
【設(shè)計(jì)意圖】引導(dǎo)學(xué)生理解根據(jù)確定直線的幾何要素不同可以建立不同形式的直線方程，但這些方程形異而質(zhì)同，從而為進(jìn)一步學(xué)習(xí)直線方程的一般式做鋪墊．
1.5反思總結(jié)，理解升華
思考：直線的點(diǎn)斜式、斜截式、兩點(diǎn)式、截距式方程，各有什么幾何意義？它們本質(zhì)是什么？它們之間存在怎樣的聯(lián)系？談?wù)勀愕睦斫夂驼J(rèn)識(shí)．
【預(yù)設(shè)答案】（1）直線的點(diǎn)斜式、斜截式、兩點(diǎn)式、截距式方程，都具有明確的幾何意義，都涉及確定直線位置的兩個(gè)基本要素：兩點(diǎn)或一點(diǎn)與斜率；
（2）它們形式不同，但本質(zhì)一致，都是對(duì)直線（幾何圖形）的定量（代數(shù)）刻畫(huà)，并且在對(duì)直線的定量刻畫(huà)中，斜率均處于核心地位；
（3）點(diǎn)斜式方程是所有形式方程的基礎(chǔ)，其他所有形式的方程都是點(diǎn)斜式方程在一定條件下的變式或推論；
（4）所有不同形式的直線方程都有不同的適用條件，且都不能刻畫(huà)斜率不存在的直線．
【設(shè)計(jì)意圖】
梳理直線方程的不同形式，理解其區(qū)別與內(nèi)在聯(lián)系，認(rèn)識(shí)到所有這些形式的方程在刻畫(huà)直線時(shí)的局限性，從而為進(jìn)一步學(xué)習(xí)直線的一般式方程做好必要的鋪墊；在此基礎(chǔ)上加深學(xué)生對(duì)直線方程本質(zhì)的理解，初步加深對(duì)解析法研究幾何問(wèn)題的認(rèn)識(shí)．
1.5課堂練習(xí)，自我檢測(cè)
教材P64 練習(xí)
四、課后作業(yè)
教材P67 習(xí)題2.2 第1、4、9題
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