資源簡介

2.2.1直線的點斜式方程
(人教A版普通高中教科書數學選擇性必修一第二章)
一、教學目標
1..理解直線方程的點斜式、斜截式的形式特點和適用范圍；
2.能正確利用直線的點斜式、斜截式公式求直線方程；
二、教學重難點
1.直線的點斜式方程和斜截式方程。
2.直線的點斜式方程和斜截式方程的應用。
三、教學過程
一）、知識回顧
問題1.直線的傾斜角的定義以及傾斜角與斜率之間的關系是怎樣的？
問題2.經過兩點P1(x1,y1),P2(x2,y2)(x1≠x2)直線的斜率公式是什么？
【學生活動】學生回顧并回答。
【教師活動】強調直線傾斜角，斜率的定義及求解方法。
【設計意圖】通過這些問題的復習，加深學生對相關知識點的理解，同時也為本節課的順利開展做必要的準備。
二）、新課引入
我們知道，給定一點和一個方向可以唯一確定一條直線。這樣，在平面直角坐標系中，給定一個點P0(x0，y0)和斜率k（或傾斜角），就能唯一確定一條直線.也就是說，這條直線上任意一點的坐標（x,y）與點P0(x0，y0)和斜率k之間的關系是完全確定的。這一關系如何表示？這就是我們這節課所要探究的內容。
探究：如圖,直線l經過點P0(x0,y0),且斜率為k,設點P (x，y)是直線l上不同于點P0的任意一點，試問x與y之間滿足怎樣的關系式？
【學生活動】小組合作探究，根據斜率公式推導x與y之間應滿足y-y0=k(x-x0)。
【教師活動】引導學生得到x與y之間應滿足的關系式y-y0=k(x-x0)。
【設計意圖】通過合作探究，培養學生自主探索的能力，并體會直線的方程，就是直線上任意一點的坐標（x,y）滿足的關系式，從而掌握根據條件求直線方程的方法。
思考1：點P0的坐標(x0,y0)滿足關系式y-y0=k(x-x0)嗎？
思考2：過點P0(x0,y0)，斜率為k的直線l上任意一點P (x,y) 都滿足y-y0=k(x-x0)嗎？
思考3：坐標滿足關系式y-y0=k(x-x0)的點都在過點P0(x0,y0)，斜率為k的直線l 上嗎？
【學生活動】學生驗證并回答。
【教師活動】老師引導學生總結。
【設計意圖】使學生了解方程為直線方程必須滿足兩個條件。
三）、新課講解
我們把方程y-y0=k(x-x0)稱為過點P0(x0,y0),且斜率為k的直線l的方程。
方程y-y0=k(x-x0)由直線上一個定點(x0,y0)及該直線的斜率k確定，我們把它叫做直線的點斜式方程，簡稱點斜式。
思考1：直線的點斜式方程能否表示坐標平面上的所有直線？
【學生活動】學生思考并回答。
【教師活動】老師提問學生。
【設計意圖】使學生理解直線的點斜式方程的適用范圍，
思考2：當直線l的傾斜角為0°時，直線l的方程是什么？
思考3：當直線l的傾斜角為90°時，直線l的方程是什么？
【學生活動】學生思考并回答。
【教師活動】老師引導學生通過畫圖分析，求得問題的解決。
【設計意圖】進一步使學生理解直線的點斜式方程的適用范圍，掌握特殊直線方程的表示形式。
思考4：方程y-y0=k(x-x0)與方程一樣嗎？
思考5：當k取任意實數時，方程y-y0=k(x-x0)表示什么樣的直線？
【學生活動】學生思考并回答。
【教師活動】老師引導學生。
【設計意圖】進一步加深學生對直線的點斜式方程的理解。
四）、鞏固新課
例1：一條直線經過點P0(-2，3)，傾斜角α=45°，求這條直線的方程，并畫出圖形。
【學生活動】學生思考例題，回答思路。
【教師活動】教師引導學生用點斜式求直線方程，以及在坐標系內如何畫一條直線。
【設計意圖】通過例題設計，讓學生熟練掌握使用點斜式的兩個條件：定點，斜率，以及畫圖的思想方法。
變式訓練：
1、寫出下列直線的點斜式方程：
（1）經過點A(3,-1),斜率是 （2）經過B(-,2）,傾斜角是30°
（3）經過點C（0，3），傾斜角是0° （4）經過點D(-4，-2），傾斜角是120°
【學生活動】學生思考并回答。
【教師活動】老師及時評價。
【設計意圖】鞏固新學知識，運用新學知識。
例2：已知直線l的斜率是k，與y軸的交點是P（0，b），求直線方程。
1.截距的概念：直線l與y軸交點(0,b)的縱坐標b叫做直線l在y軸上的截距。
2.直線的截距式方程
方程y=k x + b由直線的斜率k與它在y軸上的截距b確定，方程y=k x + b叫做直線的斜截式方程，簡稱斜截式。
【學生活動】學生獨立求出直線l的方程y=k x + b。
【教師活動】教師給出截距的概念，引導學生分析方程由哪兩個條件確定，讓學生理解斜截式方程概念的內涵。
【設計意圖】讓學生懂得斜截式方程源于點斜式方程，是點斜式方程的一種特殊情形。
思考1：直線的斜截式方程能否表示坐標平面上的所有直線？
【學生活動】學生思考并回答。
【教師活動】老師提問學生。
【設計意圖】使學生理解直線的斜截式方程的適用范圍，
思考2：截距是距離嗎？
【學生活動】學生思考并回答。
【教師活動】老師及時給予評價。
【設計意圖】使學生理解“截距”與“距離”兩個概念的區別。
練習：寫出下列直線的斜截式方程
（1）斜率為 3 ，在y軸上的截距為－5； （2）斜率為－2，與y軸交于點（0，4）
【學生活動】學生思考討論。
【教師活動】老師引導學生分析：用斜率、截距判斷兩條直線平行、垂直的結論。
【設計意圖】讓學生掌握從直線方程的角度判斷兩條直線相互平行或垂直，進一步理解斜截式方程中k,b的幾何意義。通過例題設計，讓學生熟練掌握點斜式與斜截式的應用。
五）課堂小結
【教師活動】老師引導學生概括：通過本節課的學習，你有哪些收獲呢？
【學生活動】學生口述所學習的知識。
1.直線的點斜式方程和斜截式方程。
2.數學思想方面：通過直線的點斜式方程向斜截式方程的過渡，訓練學生由一般到特殊的處理問題方法。通過讓學生體會直線的斜截式方程與一次函數的關系，進一步培養學生數形結合的思想。
【設計意圖】使學生對本節課所學的知識有一個整體性的認識，了解知識的來龍去脈。培養學生獨立思考的能力，再以多媒體形式呈現出來，教師滲透數學思想方法，讓學生慢慢體會。
六）、作業布置
教材 ： P61-62 1、 2、3、4
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