資源簡介

2.1.2 兩條直線平行和垂直的判定
(人教A版普通高中教科書數學選擇性必修第一冊第二章)
一、教學目標
1. 學會用斜率判斷兩條直線的平行和垂直關系，并解決相應的幾何問題；
2. 體會利用代數方法研究幾何問題的解析幾何基本方法；
3. 促進數學運算、直觀想象、邏輯推理等素養的發展.
二、教學重難點
1. 重點：根據斜率判定兩條直線平行和垂直.
2. 難點：將判定兩條直線平行和垂直轉化為判斷兩條直線斜率的關系來研究.
三、教學過程
1.復習鞏固，引入課題
為了在平面直角坐標系中用代數方法表示直線，我們從確定直線位置的幾何要素出發，引入直線的傾斜角，再利用傾斜角與直線上點的坐標關系引入直線的斜率，從數的角度刻畫了直線相對于x軸的傾斜程度，并導出了用直線上任意兩點的坐標計算斜率的公式，從而把幾何問題轉化為代數問題. 我們知道，兩條直線的位置關系只與兩條直線的相對方向有關，也就是說只與斜率有關，若直線的斜率為，則它的一個方向向量的坐標為. 因此，我們可以通過直線的斜率來判斷兩條直線的位置關系.
【設計意圖】復習前一節的知識和研究方法，運用已有知識，建立新舊知識的聯系，為本節課的研究打下基礎，引出課題.
2.合作交流，探究新知
2.1具體感知，理性分析
問題1：我們知道，平面中的兩條直線有兩種位置關系：相交、平行. 當兩條直線l1與l2平行時，它們的斜率k1與k2滿足什么關系？并論證你的結論.
注：若沒有特別說明，說“兩條直線l1，l2”時，指兩條不重合的直線.
【預設的答案】相等，因為兩條直線平行，它們的傾斜角相等.
【設計意圖】引導學生進行主動探究，先通過直觀感知，提出兩條直線平行的條件，再進行理性分析，通過傾斜角相等、方向向量共線進行論證，建立知識之間的聯系.
問題2：兩條直線平行，它們的斜率一定相等嗎？
【預設的答案】不一定，因為兩條直線平行，有可能它們的斜率都不存在.
【設計意圖】啟發學生理解問題1所得結論的前提條件，完善知識體系，強化分類討論的意識，培養嚴謹的思維習慣.
2.2探究典例，初步應用
例1 已知A(2，3)，B(–4，0)，P(–3，1)，Q(–1，2)，試判斷直線AB與PQ的位置關系，并證明你的結論．
【預設的答案】AB∥PQ.
【設計意圖】將判定兩條直線平行轉化為判斷兩條直線斜率的關系來研究，體會用代數方法研究幾何問題的思路.
例2 已知四邊形ABCD的四個頂點分別為A(0，0)，B(2，–1)，C(4，2)，D(2，3)，試判斷四邊形ABCD的形狀，并給出證明．
【預設的答案】四邊形ABCD是平行四邊形.
教師活動：啟發學生先畫圖，直觀感知，提出猜想，再計算直線的斜率，解決問題.
【設計意圖】強化數形結合的思想，進一步體會用代數方法研究幾何問題的思路.
2.3類比研究，滲透思想
問題3：顯然，當兩條直線相交時，它們的斜率不相等；反之，當兩條直線的斜率不相等時，它們相交. 在相交的位置關系中，垂直是最特殊的情形，直線l1，l2垂直時，它們的斜率除了不相等外，是否還有特殊的數量關系？類比前面的研究進行討論.
【活動預設】類比前面的研究方法，通過研究兩條直線的傾斜角之間的關系，或者通過兩條直線方向向量的關系，得到結論.
教師活動：利用GGB軟件，通過具體的數據，啟發學生直觀感知兩條直線垂直時，傾斜角和斜率之間的關系.
【設計意圖】啟發學生進行研究討論，探究兩條直線垂直的條件.
問題4：當兩條直線垂直時, 它們的斜率之積一定等于－1嗎？為什么？
【預設的答案】不一定，因為其中一條直線的斜率不存在，另一條直線的斜率為0時，兩條直線也垂直.
【設計意圖】啟發學生理解所得結論的前提條件，完善知識體系，培養嚴謹的思維習慣.
例3 已知A(–6，0)，B(3，6)，P(0，3)，Q(6，–6)，試判斷直線AB與PQ的位置關系．
【預設的答案】垂直.
【設計意圖】將判定兩條直線垂直轉化為判斷兩條直線斜率的關系來研究.
例4 已知A(5，–1)，B(1，1)，C(2，3)三點，試判斷 ABC的形狀．
【預設的答案】直角三角形.
教師活動：啟發學生先發圖，直觀感知，提出猜想，再計算直線的斜率，解決問題.
【設計意圖】強化數形結合的思想，進一步體會用代數方法研究幾何問題的思路.
變式：已知點A(5，–1)，C(2，3) ，點B在x軸上，且∠ABC為直角，
求點B的坐標．
【預設的答案】點B的坐標為(，0)或(，0).
【設計意圖】通過變式訓練，強化應用意識.
3.鞏固練習，加深理解
1. 判斷下列各對直線是否平行或垂直：
(1)經過A(2，3)，B(–1，0)兩點的直線l1，與經過點P(1，0)且斜率為1的直線l2；
(2)經過C(3，1)，D(–2，0)兩點的直線l3，與經過點M(1，– 4)且斜率為–5的直線l4．
2. 試確定m的值，使過A(m，1) ，B(–1，m)兩點的直線與過P (1，2) ，Q (–5，0)兩點的直線： (1)平行； (2)垂直．
【預設的答案】1.(1)平行，(2)垂直. 2.(1) , (2) .
【設計意圖】通過獨立完成，再相互交流確認答案，掌握直線的斜率與兩條直線的平行和垂直之間的關系.
4. 歸納小結，深化認識
思考：通過本節課的學習，你在知識和方法上有哪些體會或收獲？
教師活動：從知識和思想方法層面啟發學生總結歸納，并提問：在平面直角坐標系中，除了研究兩直線的位置關系，你還能提出哪些幾何問題進行研究？用代數方法解決這些問題還需要我們建立直線的方程.
【預設的答案】點與直線的位置關系，兩條平行直線之間的距離，兩條相交直線交點的坐標等.
【設計意圖】歸納本節課的知識和方法，滲透利用代數方法研究幾何問題的解析幾何基本方法，引出接下來要研究的問題.
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