資源簡介

1.3.1空間直角坐標(biāo)系
(人教A版普通高中教科書數(shù)學(xué)選修第一冊第一章)
一、教學(xué)目標(biāo)
1.了解空間直角坐標(biāo)系
2.理解空間直角坐標(biāo)系的知識形成過程和原理，會用空間直角坐標(biāo)系刻畫點(diǎn)的位置，掌握空間向量的坐標(biāo)表示
3.學(xué)會用空間直角坐標(biāo)系解決數(shù)學(xué)問題和實際問題，體會類比歸納的數(shù)學(xué)思想
二、教學(xué)重難點(diǎn)
重點(diǎn)：空間直角坐標(biāo)系的建立
難點(diǎn)：空間向量的坐標(biāo)表示
三、教學(xué)過程
1.概念形成
1.1復(fù)習(xí)引入，引發(fā)思考
問題1：請同學(xué)們回憶上節(jié)課的內(nèi)容，什么是空間向量基本定理？它的用途是什么？你能舉出一些具體的例子嗎？
【預(yù)設(shè)的答案】
空間向量基本定理：如果三個向量不共面,那么對任意一個空間向量,存在唯一的有序?qū)崝?shù)組,使得． 我們把叫做空間的一個基底，都叫做基向量．所有空間向量組成的集合就是
應(yīng)用：可以利用基底表示任意一個空間向量，進(jìn)而把空間向量的運(yùn)算轉(zhuǎn)化為基向量的運(yùn)算，為解決問題帶來方便；比如用基底法判斷空間中線、面的位置關(guān)系（教材P15-習(xí)題6、7），用基底法求空間中線段的長度（教材P15-習(xí)題5）。
【設(shè)計意圖】讓學(xué)生回憶空間向量基本定理以及應(yīng)用，讓學(xué)生體會基底概念的引入為幾何問題代數(shù)化奠定基礎(chǔ)，也為本節(jié)課的知識內(nèi)容做好鋪墊，加強(qiáng)知識間的聯(lián)系.
問題2：請同學(xué)們回憶平面向量與平面直角坐標(biāo)系之間的聯(lián)系和對應(yīng)關(guān)系，能否利用空間向量基本定理和空間的單位正交基底，建立空間直角坐標(biāo)系，進(jìn)而建立空間向量的坐標(biāo)與空間點(diǎn)的坐標(biāo)的一一對應(yīng)呢？
【預(yù)設(shè)的答案】在平面向量中，我們以平面直角坐標(biāo)系中的與x軸、y軸方向相同的兩個單位向量i, j為基底，結(jié)合平面向量基本定理，建立了向量的坐標(biāo)與點(diǎn)的坐標(biāo)的一一對應(yīng)關(guān)系，從而把平面向量的運(yùn)算化歸為數(shù)的運(yùn)算。學(xué)生提出可以嘗試進(jìn)行類比，將知識拓展到空間。
【設(shè)計意圖】讓學(xué)生回憶平面直角坐標(biāo)系表示向量及進(jìn)行運(yùn)算的形成過程，為本節(jié)課的知識內(nèi)容做鋪墊，同時體會類比的數(shù)學(xué)思想。
1.2合情推理，形成概念
【探究一】類比平面直角坐標(biāo)系，你能猜想如何構(gòu)建空間直角坐標(biāo)系嗎？以小組為單位進(jìn)行討論。
【活動預(yù)設(shè)】通過類比的數(shù)學(xué)思想嘗試構(gòu)建空間直角坐標(biāo)系。
【設(shè)計意圖】以討論的形式加強(qiáng)學(xué)生間的交流和合作探究能力，為后續(xù)建立空間直角坐標(biāo)系與空間向量之間的聯(lián)系做鋪墊。
問題3：平面直角坐標(biāo)系包含哪些要素？類比到空間直角坐標(biāo)系應(yīng)該有哪些要素？它們需要滿足什么條件？引導(dǎo)學(xué)生填寫表格。
【活動預(yù)設(shè)】
坐標(biāo)系三要素 平面直角坐標(biāo)系 空間直角坐標(biāo)系
原點(diǎn) 坐標(biāo)原點(diǎn)O 坐標(biāo)原點(diǎn)
坐標(biāo)軸 相互垂直的兩條坐標(biāo)軸x軸和y軸 三條互相垂直的坐標(biāo)軸
單位長度 單位長度 單位長度
【設(shè)計意圖】學(xué)生自主或通過討論完成表格，體會坐標(biāo)系的三要素、平面直角坐標(biāo)系與空間直角坐標(biāo)系的異同。
問題4：利用單位正交基底概念，我們可以如下這樣理解平面直角坐標(biāo)系（給出左邊表格內(nèi)容，讓學(xué)生自主簡述右邊表格內(nèi)容）。類比到空間，你能否給出空間直角坐標(biāo)系的定義呢？
【活動預(yù)設(shè)】
平面直角坐標(biāo)系 空間直角坐標(biāo)系
在平面內(nèi)選定一點(diǎn)O和一個單位正交基底｛i, j｝ 在空間選定一點(diǎn)O和三個基向量，叫做i, j, k，它們是兩兩互相垂直的單位向量
以O(shè)為原點(diǎn)，分別以i, j的方向為正方向，以它們的長為單位長度建立兩條數(shù)軸：x軸、y軸 以O(shè)為原點(diǎn)，分別以i, j, k的方向為正方向，以它們的長為單位長度建立三條數(shù)軸：x軸、y軸、z軸
教師講授：空間直角坐標(biāo)系定義：
在空間選定一點(diǎn)和一個單位正交基底, , . 以點(diǎn)為原點(diǎn)，分別以，，的方向為正方向、以它們的長為單位長度建立三條數(shù)軸：軸、軸、軸，它們都叫做坐標(biāo)軸. 這時我們就建立了一個空間直角坐標(biāo)系，叫做原點(diǎn)，，，都叫做坐標(biāo)向量，通過每兩個坐標(biāo)軸的平面叫做坐標(biāo)平面，分別稱為平面，平面，平面，它們把空間分成八個部分.
【設(shè)計意圖】利用單位正交基底的概念，類比平面直角坐標(biāo)系，自然而然地生成空間直角坐標(biāo)系的定義。
問題5：請回憶平面直角坐標(biāo)系是怎么畫的？空間坐標(biāo)系又如何畫呢？回憶學(xué)習(xí)立體幾何時用到的斜二測畫法。先討論，再找學(xué)生代表板演講解。
【活動預(yù)設(shè)】
學(xué)生回想平面直角坐標(biāo)系Oxy的畫法：在平面內(nèi)畫兩條與單位正交基底向量i, j方向相同的數(shù)軸x軸和y軸，它們互相垂直、原點(diǎn)重合。
拓展到空間中，在x軸和y軸的基礎(chǔ)上添加與x軸和y軸都垂直的z軸。
借鑒在立體幾何中學(xué)習(xí)的斜二測畫法，在畫空間直角坐標(biāo)系Oxy時，讓x軸與y軸所成的角為135°(或45°)，即∠xOy=135°(或45°)，畫z軸和y軸垂直，即∠yOz=90°
在空間直角坐標(biāo)系中，讓右手拇指指向x軸的正方向，食指指向y軸的正方向，如果中指指向z軸的正方向，則稱這個坐標(biāo)系為右手直角坐標(biāo)系.
【設(shè)計意圖】
（1）通過回憶斜二測畫法掌握直角坐標(biāo)系的畫法；
（2）直觀感受直角坐標(biāo)系的圖像與立體感。
1.3具體感知，理性分析
【探究二】在平面直角坐標(biāo)系中，每一個點(diǎn)和向量都可以用一對有序?qū)崝?shù)（即它的坐標(biāo)）表示，對空間直角坐標(biāo)系中的每一個點(diǎn)和向量，是否也有類似的表示呢？
問題6：空間中任意一點(diǎn)A與哪個向量的坐標(biāo)相同？在空間直角坐標(biāo)系中如何定義的坐標(biāo)呢？那么對于給定的向量a又該如何定義它的坐標(biāo)呢？
【活動預(yù)設(shè)】
（1）點(diǎn)A的坐標(biāo)與從原點(diǎn)出發(fā)的坐標(biāo)相同
（2）
平面直角坐標(biāo)系內(nèi) 空間直角坐標(biāo)系內(nèi)
取與x軸、y軸方向相同的兩個單位向量i, j為基底，由平面向量基本定理，有且只有一對實數(shù)x, y，使得a=xi+yj.我們把有序數(shù)對(x, y)叫做a的坐標(biāo)，記作a=(x, y) 取與x軸、y軸、z軸方向相同的單位向量i, j, k為基底，由空間向量基本定理，存在唯一的有序?qū)崝?shù)組(x, y, z)，使得a=xi+yj+zk.
所以，在單位正交基底｛i, j, k｝下與向量對應(yīng)的有序?qū)崝?shù)組(x, y, z)叫做點(diǎn)A在空間直角坐標(biāo)系中的坐標(biāo)，記做A(x, y, z)，其中x叫做點(diǎn)A的橫坐標(biāo)，y叫做點(diǎn)A的縱坐標(biāo)，z叫做點(diǎn)A的豎坐標(biāo)。
（3）因為空間向量是可以進(jìn)行平移的，我們在空間直角坐標(biāo)系Oxyz中可以作=a。由空間向量基本定理，存在唯一的有序?qū)崝?shù)組(x, y, z)，使a=xi+yj+zk,有序?qū)崝?shù)組(x, y, z)叫做a在空間直角坐標(biāo)系Oxyz中的坐標(biāo)，上式可簡記為
a=(x, y, z)
這樣，在空間直角坐標(biāo)系中，空間中的點(diǎn)和向量都可以用三個有序?qū)崝?shù)表示。
【設(shè)計意圖】通過層層啟發(fā)和類比思想，引導(dǎo)學(xué)生理解空間直角坐標(biāo)系中每一個點(diǎn)和向量的表示與一一對應(yīng)關(guān)系。
【探究三】在空間直角坐標(biāo)系Oxyz中，對空間任意一點(diǎn)A，或任意一個向量，你能借助幾何直觀確定它們的坐標(biāo)(x, y, z)嗎？
過點(diǎn)分別作垂直于x軸、y軸、z軸的平面，依次交x軸、y軸、z軸于點(diǎn)B,C和D. 可以證明在x軸、y軸、z軸上的投影向量分別為，由向量加法的意義可知，,,即. 設(shè)點(diǎn)B,C和D在x軸、y軸、z軸上的坐標(biāo)分別是x、y、z，那么=xi+yj+zk，即點(diǎn)或者向量的坐標(biāo)就是(x, y, z).
【設(shè)計意圖】從空間向量基本定理出發(fā)，得到空間內(nèi)任意點(diǎn)和向量的坐標(biāo)表示.
2.初步應(yīng)用，理解概念
例1：如圖，在長方體中，，，，以，，為單位正交基底，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系.
（1）寫出，，，四點(diǎn)的坐標(biāo)；
（2）寫出向量,,,的坐標(biāo).
【預(yù)設(shè)的答案】（1）D (0,0,2) C (0,4,0) A (3,0,2) B (3,4,2)
（2）
=，，
-，，
例2：在長方體中，，，，與相交于點(diǎn)，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系.
（1）寫出點(diǎn)的坐標(biāo)；
（2）寫出向量，的坐標(biāo).
【設(shè)計意圖】
通過例題加深對于空間直角坐標(biāo)系和點(diǎn)、向量坐標(biāo)表示的理解，鞏固強(qiáng)化。
3.歸納小結(jié)，文化滲透
思考：本節(jié)課同學(xué)們的收獲是什么？
【活動預(yù)設(shè)】
通過本節(jié)課的探究學(xué)習(xí)，我們體會到類比思想在數(shù)學(xué)研究中的重要作用，它引領(lǐng)我們從二維的平面直角坐標(biāo)系拓展到三維的空間直角坐標(biāo)系，將空間點(diǎn)和空間向量與有序數(shù)組建立一一對應(yīng)的關(guān)系，實現(xiàn)了形向數(shù)的轉(zhuǎn)化，提供了解決幾何問題的新思路.
【設(shè)計意圖】
（1）對整節(jié)課的內(nèi)容進(jìn)行歸納整理，形成知識框架；
（2）滲透數(shù)學(xué)文化，體會數(shù)學(xué)來源于生活，服務(wù)于生活，解決實際問題，增強(qiáng)學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣.
四、課外作業(yè)
1、完成教材對應(yīng)的練習(xí)題，布置分層作業(yè)
2、自主預(yù)習(xí)下一節(jié)課的知識內(nèi)容
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