資源簡介

1.2.2空間向量基本定理（第二課時）
(人教A版普通高中教科書數學選擇性必修第一冊第一章)
一、教學目標
1.能用向量語言表述直線與直線的夾角以及垂直與平行的關系.
2.掌握利用空間向量基本定理中的基底法證明兩直線的垂直和平行，求異面直線成角的三角函數值以及空間兩點間距離.
3.讓學生體驗向量方法在解決立體幾何問題中的作用，提升學生的直觀想象、數學運算、邏輯推理和數學抽象等數學學科核心素養．
二、教學重難點
1.應用空間向量基本定理證明異面直線的垂直、兩直線平行，求異面直線成角以及空間兩點間距離是本節課的重點內容.
2.向量的夾角運算、異面直線所成的角，以及相關向量之間的運算是本節課的難點
三、教學過程
1.1精簡提問，溫故知新
問題1：上節課我們學習了空間向量基本定理，大家還記得它的內容嗎？
【預設的答案】如果三個向量，不共面，那么對任意一個空間向量 ，存在唯一的有序實數組，使得我們把{}叫做空間的一個基底， 都叫做基向量.
問題2：在空間中如何選擇基底？
【預設的答案】（1）三個不共面的非零向量；（2）盡量選擇已知夾角和模長的向量.
【設計意圖】本節課以空間向量基本定理為出發點，準確地回顧有利于課程的順利展開.
【教師總結】選定基底之后，利用空間向量基本定理可以將空間向量之間的運算轉化為基向量之間的運算.
問題3：我們學習過的向量之間的運算有哪些？
【預設的答案】加法、減法、數量積
追問：數量積的定義是什么？
【預設的答案】
【教師總結】在數量積的運算中有兩個經常用到的式子，
和.
【設計意圖】為本節課求空間兩點間的距離，異面直線的夾角及證異面直線相互垂直做鋪墊.
1.2探究典例，掌握方法
活動：如圖，在平行六面體 ABCD－A1B1C1D1中，AB＝2，AD＝2， AA1＝3，∠DAB＝60°，∠BAA1＝60 ° ，∠DAA1＝60 ° ，M，N 分別為D1C1，C1B1的中點．
（1）求證 MN⊥AC1 ．
【活動預設】
在學習立體幾何的時候，如何證明兩條異面直線相互垂直？
【設計意圖】利用幾何法解答有時候比較困難，引入向量法來解決幾何問題，通過具體實例，讓學生體會利用“基底法”解決異面垂直的證明方法.
【師生活動】教師分析解題思路，講解如何找到合適的基底，提示相關的計算方法.學生動筆進行求解.然后教師給出規范解答過程.
【活動預設】
根據第一問的解題過程，能否總結出用向量法解決立體幾何問題的思路？
【設計意圖】通過讓學生自己思考，回顧解題過程，探尋用向量法解決立體幾何問題的關鍵，使學生真正理解解答中每一步的具體含義和作用.
教師講授：用向量法解決立體幾何的途徑如下：
活動：（2）求A和 的長.
【活動預設】如何將求A和 的長轉化為向量問題？
【設計意圖】通過具體實例，讓學生體會空間向量法求解空間兩點間的距離的方法，加深對用向量法解立體幾何問題的理解.
【師生活動】學生分析解題過程，教師根據學生的解答進行補充和評價.
問題4：在立體幾何的學習中，如何求兩條異面直線所成角的余弦值？異面直線所成角的范圍是多少？
【預設的答案】利用等角定理，通過平移做出與異面直線所成角相等或互補的角，放在三角形中求解,.
【設計意圖】回憶異面直線所成角的范圍，為接下來用向量法求異面直線所成角的余弦值消除障礙.
活動：（3）求A和 所成角的余弦值.
【活動預設】
（1）如何用向量表示A和所成角的余弦值？
（2）計算兩向量所成角的余弦值的公式是什么？
【設計意圖】理解兩直線所成的角與直線方向向量所成角的大小關系，以及相應的余弦值之間的關系。通過回憶計算向量余弦值的公式為解題掃清障礙.
【師生活動】先給學生時間解答，最后教師給出標準解題過程，再次強調大家注意異面直線所成角的余弦值一定是正值.
活動：（4）證明MNBD.
【活動預設】
如何用向量表示MNBD ？
【設計意圖】將立體幾何中的平行問題轉化為向量問題來解，讓學生明確轉換方式，進一步掌握轉化與化歸的思想方法.
【師生活動】教師給出標準的解答過程，再次讓學生描述將立體幾何問題用向量法來解的思路方法.
1.3初步應用，牛刀小試
如圖，正方體 ABCD－A'B'C'D'的棱長為1，E， G 分別為C'D'，D'D 的中點．求CE 與AG 所成角的余弦值．
【師生活動】學生自主解答，教師提醒題目中出現了單位正交基底，在以后的解題過程中如果遇到正交基底要盡量選擇正交基底，便于計算.
【設計意圖】
（1）計算異面直線所成角的余弦值對學生有一定的困難，通過再次練習讓學生加深對用向量法解決異面直線所成角的余弦值的理解，強化向量之間的運算.
（2）了解正交基底的便捷性.
問題5：指數式與對數式是等價的，但在兩個式子中的名稱一樣嗎？
【預設的答案】此處畫上連線圖，呈現指數式與對數式之間的關系。
【設計意圖】
（1）體驗對數式與指數式的互相轉化；
（2）理解兩個式子從不同角度表示之間的關系；通過圖示連線，認識在指數式與對數式中的名稱.
1.4知識拓展，自主研究
事實上，空間中線線、線面位置關系，三種空間角和空間中的距離問題都可以用向量基本定理進行求解.本節主要應用空間向量基本定理證明異面直線的垂直、兩直線平行以及求異面直線成角、空間兩點間距離.本節沒有涉及的其他立體幾何中的問題，如何利用空間向量基本定理解決，請學生們課下進行探索和研究.
1.5歸納總結，思想滲透
思考：本節課大家學到了哪些知識？
【預設的答案】用向量法證明兩直線的垂直和平行、求異面直線成角的余弦值、空間兩點間的距離.
【設計意圖】
（1）掌握線線的位置關系及線線角的向量解答方法.
（2）進行數學思想滲透，體會用代數運算研究幾何問題的思想方法.
四、課外作業
教科書14頁 練習 2.3.
教科書15頁習題1.2第6題.
2

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