資源簡介

3.1.1橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程（第一課時(shí)）
(選擇性必修第一冊第三章)
一、教學(xué)目標(biāo)
1.根據(jù)創(chuàng)設(shè)的情景，理解橢圓的定義.
2.理解橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的推導(dǎo)過程，在化簡中提高學(xué)生的運(yùn)算能力.
3.掌握用定義法和待定系數(shù)法求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程．
二、教學(xué)重難點(diǎn)
1.重點(diǎn)：①理解橢圓的定義及橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程．
②掌握用定義法和待定系數(shù)法求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程．
2.難點(diǎn)：理解橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的推導(dǎo)過程，領(lǐng)會坐標(biāo)法的應(yīng)用.
三、教學(xué)過程
1.橢圓的概念生成
1.1生活中的橢圓
問題1:當(dāng)我們用一個(gè)垂直于圓錐的軸的平面截圓錐，截口曲線（截面和圓錐側(cè)面的交線）是一個(gè)圓.如果改變圓錐的軸和截平面所成的角，那么會得到怎樣的曲線呢？
如果，用一個(gè)不垂直于圓錐的軸平面截圓錐，當(dāng)截面與軸所成角度不同時(shí)，得到的截口曲線也不同。它們分別是橢圓，雙曲線，拋物線，統(tǒng)稱為圓錐曲線。橢圓是圓錐曲線的一種，在科研、生產(chǎn)和人類生活中具有廣泛的應(yīng)用.在生活中，哪些地方有橢圓的身影呢？
【預(yù)設(shè)答案】橢圓形桌子，盤子，火腿腸的斜切面
【設(shè)計(jì)意圖】先直觀感受橢圓的形狀，在生活中尋找例子，建立數(shù)學(xué)和實(shí)際的聯(lián)系.
1.2繪制橢圓，生成概念
【數(shù)學(xué)活動】取一條細(xì)繩，用圖釘把繩子兩端固定，用鉛筆尖（M）把細(xì)繩拉緊，在圖紙上慢慢移動，看看能畫出什么圖形？這一過程中，移動的筆尖（動點(diǎn)M）滿足的幾何條件是什么 （請三名同學(xué)上黑板共同參與實(shí)驗(yàn)活動，其他同學(xué)分組進(jìn)行）
【活動預(yù)設(shè)】第一幕：細(xì)繩兩端相距特別近，圖形很接近圓
第二幕：細(xì)繩兩端相距適中，圖形扁一些，橢圓形狀更直觀.
第三幕：細(xì)繩兩端相距較遠(yuǎn)，筆尖繞著細(xì)繩轉(zhuǎn)動那么順暢，圖形更扁長.
第四幕：細(xì)繩一端固定后，固定另一端時(shí)之前的一端被拉掉了
學(xué)生總結(jié)畫圖變化中的不變量，師生一起總結(jié)得出：
橢圓的定義：平面內(nèi)，與兩個(gè)定點(diǎn)F1 、F2 的距離的和等于常數(shù)（大于）的點(diǎn)的軌跡叫做橢圓，這兩個(gè)定點(diǎn)叫做橢圓的焦點(diǎn)，兩焦點(diǎn)的距離叫做橢圓的焦距。
在歸納橢圓定義的過程中，根據(jù)實(shí)驗(yàn)中同學(xué)們出現(xiàn)的現(xiàn)象，如第三幕和第四幕情形，結(jié)合學(xué)生回答的情況，突出體現(xiàn)“常數(shù)”及“常數(shù)的范圍”等關(guān)鍵詞與相應(yīng)的特征.同時(shí)強(qiáng)調(diào)平面內(nèi)的大前提.
問題2：在定義中，如果，動點(diǎn)的軌跡又是什么？
當(dāng)時(shí)點(diǎn)M的軌跡為:線段
當(dāng)時(shí)點(diǎn)M的軌跡不存在
【設(shè)計(jì)意圖】改變單一、被動的學(xué)習(xí)方式，讓學(xué)生成為學(xué)習(xí)的主人，給他們提供一個(gè)自主探索學(xué)習(xí)的機(jī)會，讓他們通過觀察、討論，歸納概括出橢圓的定義，這樣既獲得了知識，又培養(yǎng)了學(xué)生抽象思維、歸納概括的能力.)
2.橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程
2.1橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的探求
（1）建系：（思考：如何建立適當(dāng)?shù)钠矫嬷苯亲鴺?biāo)系？）
學(xué)生回答，引導(dǎo)學(xué)生總結(jié)建系的基本原則. (關(guān)注對稱性，方程的最簡性)
（2）設(shè)點(diǎn)：設(shè)為橢圓上的任意一點(diǎn)，橢圓的焦距2c(c>0), M與F1和F2的距離的和等于正常數(shù)2a (2a>2c) ，則F1，F(xiàn)2的坐標(biāo)分別是(-c,0)、(c,0) .
（3）動點(diǎn)的幾何特征：
（4）坐標(biāo)化：
（5）化簡：（通過設(shè)問、點(diǎn)撥“怎么化簡帶根式的式子”突破難點(diǎn)學(xué)生會提出兩種方案：一、是直接將根式平方。二、是將其中一個(gè)根式平移再平方.這時(shí)教師讓學(xué)生進(jìn)行小組討論，對比、分析這兩種方法的優(yōu)缺點(diǎn).教師引導(dǎo)，發(fā)現(xiàn)以上同學(xué)們提出的這兩種方法都需要進(jìn)行兩次平方，只是方法二計(jì)算較方法一較簡單.）
先讓學(xué)生各自在練習(xí)本上自行化簡，在此過程中，教師一邊巡視，一邊給予指導(dǎo)和提示，然后選出1—2位學(xué)生的推導(dǎo)過程展示出來，并請學(xué)生本人作簡要陳述．
問題3：①怎么能讓方程 更簡潔？
②怎么能讓方程更簡潔？
不妨設(shè),再化簡方程得：
該方程叫做焦點(diǎn)在x軸上的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.
【設(shè)計(jì)意圖】暴露自然思維，通過比較，得出最簡潔的方案，而不是被動地接受教材或老師強(qiáng)加給的方法，使學(xué)生完全成了學(xué)習(xí)的主人，由被動的接受變成主動的獲取。在師生互動的過程中，讓學(xué)生體會數(shù)學(xué)的嚴(yán)謹(jǐn)，使他們的觀察能力、運(yùn)算能力、推理能力得到訓(xùn)練，滲透數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想。并感受橢圓方程、圖形的對稱美，簡潔美，獲得成功的喜悅！)
問題4：你能在圖中找出表示的線段嗎？
讓點(diǎn)運(yùn)動到軸正半軸上，由學(xué)生觀察圖形自行獲得的幾何意義，讓學(xué)生在講解的過程中體會數(shù)形結(jié)合思想，引出特征三角形，也為后續(xù)學(xué)習(xí)做好準(zhǔn)備.
【設(shè)計(jì)意圖】對照圖形加以引導(dǎo)，數(shù)形結(jié)合讓學(xué)生明白方程中字母的幾何意義，對方程的理解有很大的作用.
問題5：如果橢圓的焦點(diǎn)在軸上，那橢圓的方程又如何？（讓學(xué)生猜想方程，并說明如何驗(yàn)證？）
方法1：焦點(diǎn)坐標(biāo)變?yōu)椋貜?fù)推導(dǎo)過程，布置為作業(yè).
方法2：引導(dǎo)學(xué)生回答，如果橢圓的焦點(diǎn)在軸上（選取方式不同，調(diào)換軸）,只要將方程中的調(diào)換，可得
這個(gè)方程叫焦點(diǎn)在y軸上的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.
【設(shè)計(jì)意圖】利用類比對稱，化歸的思想讓學(xué)生體會問題的本質(zhì)所在，只是位置不同，圖形是一致的，得出焦點(diǎn)在軸上的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，避免繁雜計(jì)算.
2.2 橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的特點(diǎn)
焦點(diǎn)在x軸上的標(biāo)準(zhǔn)方程： （）
焦點(diǎn)在y軸上的標(biāo)準(zhǔn)方程： （）
其中
觀察：橢圓的兩種標(biāo)準(zhǔn)方程有什么異同點(diǎn)？
思考：如何從橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程判斷橢圓焦點(diǎn)的位置？
（小組討論，教師引導(dǎo):看形式，看細(xì)節(jié)）
【預(yù)設(shè)答案】學(xué)生總結(jié)方程特征：①形式上：平方+平方=1，且
②細(xì)節(jié)上：x和y順序交換（焦點(diǎn)位置不同）
③哪個(gè)變量下的分母大,焦點(diǎn)就在哪個(gè)軸上.
3.學(xué)以致用
例1 平面內(nèi)，動點(diǎn)P到兩定點(diǎn)F1(-4,0)，F(xiàn)2(4,0)的距離和是10 ，則動點(diǎn)P的軌跡為（ A ）
A.橢圓 B.線段F1F2 C.直線F1F2 D.無軌跡
變式1平面內(nèi)，動點(diǎn)P到兩定點(diǎn)F1(-4,0)，F(xiàn)2(4,0)的距離和是8 ，則動點(diǎn)P的軌跡為（ B）
A.橢圓 B.線段F1F2 C.直線F1F2 D.無軌跡
變式2平面內(nèi)，動點(diǎn)P到兩定點(diǎn)F1(-4,0)，F(xiàn)2(4,0)的距離和是7，則動點(diǎn)P的軌跡為（ D ）
A.橢圓 B.線段 C.直線 D.無軌跡
【設(shè)計(jì)意圖】強(qiáng)調(diào)橢圓定義中常數(shù)的范圍.
例2 請完成下列表格：
橢圓方程 圖象 焦點(diǎn)坐標(biāo)
同2
【設(shè)計(jì)意圖】鞏固標(biāo)準(zhǔn)方程a,b,c的含義，焦點(diǎn)位置的判斷方法.
例3 (1)已知橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)的坐標(biāo)分別是，并且經(jīng)過點(diǎn)，求它的標(biāo)準(zhǔn)方程.
（2）求適合條件的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程：
【預(yù)設(shè)答案】(1)(2)
【方法總結(jié)】用待定系數(shù)法求橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的一般步驟
(1)定位置：根據(jù)條件判斷橢圓的焦點(diǎn)是在x軸上，還是在y軸上，若兩個(gè)坐標(biāo)軸都有可能，則需分類討論．
(2)設(shè)方程：根據(jù)上述判斷設(shè)方程()或()
(3)找關(guān)系：根據(jù)已知條件建立關(guān)于a，b，c的方程組．
兩個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)：先定型，再定量. 常用方法：待定系數(shù)法
【設(shè)計(jì)意圖】讓學(xué)生學(xué)會用待定系數(shù)法求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程; 分析解答中注意發(fā)現(xiàn)學(xué)生思維的閃觀點(diǎn)，注重不同思維、方法的碰撞. .
4.課堂小結(jié)
問題6：（1）本節(jié)課學(xué)習(xí)的主要知識是什么
（2）求橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程常用方法是什么？
（3）本節(jié)課涉及到了哪些數(shù)學(xué)思想方法？
活動過程:（師）提問 ----- （生）小結(jié) ----- （師生）補(bǔ)充完善.
一動二定求和常：兩個(gè)方程大對焦；
三個(gè)字母勾股弦；四個(gè)想法留心間：
求美，求簡，定義，待定系數(shù)法
【設(shè)計(jì)意圖】歸納小結(jié)由學(xué)生來完成，讓學(xué)生回顧本節(jié)所學(xué)知識與方法,以逐步提高學(xué)生自我獲取知識的能力，他們及時(shí)發(fā)現(xiàn)并糾正自己學(xué)習(xí)中存在的問題，培養(yǎng)學(xué)生學(xué)習(xí)的主動性和良好的學(xué)習(xí)習(xí)慣.）
23.1.1 橢圓及其標(biāo)準(zhǔn)方程（第二課時(shí)）
(人教A版普通高中教科書數(shù)學(xué)選擇性必修第一冊第三章)
一、教學(xué)目標(biāo)
1.鞏固橢圓的定義和標(biāo)準(zhǔn)方程，掌握求點(diǎn)的軌跡方程的三種方法：定義法、直接法、代入法（相關(guān)點(diǎn)法）；
2.通過動點(diǎn)軌跡方程的求解過程，培養(yǎng)學(xué)生歸納、類比、遷移的能力，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)興趣，提高學(xué)生的創(chuàng)新意識.
二、教學(xué)重難點(diǎn)
1.重點(diǎn)：求動點(diǎn)軌跡方程的三種方法.
2.難點(diǎn)：結(jié)合條件選取恰當(dāng)?shù)姆绞角髣狱c(diǎn)的軌跡方程.
三、教學(xué)過程
1.復(fù)習(xí)鞏固，引入新課
上節(jié)課我們學(xué)習(xí)了橢圓的定義并推導(dǎo)出了它的標(biāo)準(zhǔn)方程，那橢圓的定義是什么？標(biāo)準(zhǔn)方程有哪幾種形式？
【答案預(yù)設(shè)】
平面內(nèi)到兩個(gè)定點(diǎn)，的距離之和等于常數(shù)（大于）的點(diǎn)的軌跡叫做橢圓．其中，叫橢圓的焦點(diǎn)，叫橢圓的焦距.
橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程有兩種形式：
焦點(diǎn)在x軸上，
焦點(diǎn)在y軸上,
其中
【設(shè)計(jì)意圖】加深對橢圓定義及其標(biāo)準(zhǔn)方程的理解，為求動點(diǎn)的軌跡方程做準(zhǔn)備.
2.自主探究，得出新知
活動1：如圖所示，已知?jiǎng)訄AP過定點(diǎn)A(－3,0)，并且在定圓B：的內(nèi)部與其內(nèi)切，求動圓圓心P的軌跡方程.
【活動預(yù)設(shè)】經(jīng)過分析，發(fā)現(xiàn)點(diǎn)P的軌跡符合橢圓的定義，再根據(jù)橢圓的定義求出點(diǎn)P滿足的標(biāo)準(zhǔn)方程.
【設(shè)計(jì)意圖】讓學(xué)生掌握定義法求動點(diǎn)的軌跡方程.
活動2：如圖設(shè)A，B兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為(-5，0)，(5，0). 直線AM，BM相交于點(diǎn)M，且他們的斜率之積是，求點(diǎn)M的軌跡方程.
【活動預(yù)設(shè)】設(shè)動點(diǎn)M的坐標(biāo)為(x，y)，根據(jù)題目意思用含x，y的式子表示直線AM，BM的斜率，得到x，y的關(guān)系式,求出軌跡方程.寫出的關(guān)系式若學(xué)生沒有注明限制條件時(shí)，引導(dǎo)學(xué)生關(guān)注特殊點(diǎn)的要求.
【設(shè)計(jì)意圖】類比橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程推導(dǎo)過程，利用直接法求動點(diǎn)的軌跡方程，并去除不符合條件的特殊點(diǎn).
活動3：如圖，在圓上任取一點(diǎn)P，過點(diǎn)P作x軸的垂線段PD，D為垂足．當(dāng)點(diǎn)P在圓上運(yùn)動時(shí)，線段PD的中點(diǎn)M的軌跡是什么？為什么？
【活動預(yù)設(shè)】由點(diǎn)M是線段PD的中點(diǎn)得到點(diǎn)M的坐標(biāo)與點(diǎn)P坐標(biāo)之間的關(guān)系式，并由點(diǎn)P坐標(biāo)滿足圓的方程代入得到點(diǎn)M的坐標(biāo)所滿足的方程.
【設(shè)計(jì)意圖】讓學(xué)生體會橢圓生成的另一種方式，利用代入法（相關(guān)點(diǎn)法）求動點(diǎn)的軌跡方程.
思考：由活動3我們發(fā)現(xiàn)，可以由圓通過“壓縮”得到橢圓.想一想，能由圓通過“拉伸”得到橢圓嗎？如何“拉伸”？由此你能發(fā)現(xiàn)橢圓與圓之間的關(guān)系嗎？
3.應(yīng)用鞏固，強(qiáng)化方法
已知A(0，-1)，B(0，1)，三角形ABC的周長為6，求頂點(diǎn)C的軌跡方程.
4.歸納小結(jié)，思維提升
（1）回顧了橢圓的定義和標(biāo)準(zhǔn)方程，學(xué)習(xí)并體會了生成橢圓軌跡的幾種方式，掌握了求軌跡方程的三種方法：①定義法 ②直接法 ③代入法(相關(guān)點(diǎn)法).
（2）數(shù)學(xué)思想：數(shù)形結(jié)合、轉(zhuǎn)化化歸、類比歸納
【設(shè)計(jì)意圖】
（1）梳理本節(jié)課學(xué)習(xí)的數(shù)學(xué)知識，體會探究過程中滲透的數(shù)學(xué)思想方法；
（2）培養(yǎng)學(xué)生敢于思考，不斷總結(jié)的思維習(xí)慣，提升學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)，鼓勵(lì)學(xué)生積極攀登知識高峰，為進(jìn)一步的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)做好準(zhǔn)備.
課外作業(yè)
課本109頁，練習(xí)第3、4題；
課本115頁，習(xí)題3.1 第6、8、9、10題.
課后探究：
課下與同學(xué)一起探究完成思考題，體會由圓得到橢圓的兩種方式，并思考由圓得到的橢圓有哪些性質(zhì).
【設(shè)計(jì)意圖】
通過練習(xí)鞏固本節(jié)課所學(xué)的內(nèi)容和方法，讓學(xué)生學(xué)會用知識解決問題；
分層布置作業(yè)，讓學(xué)有余力的同學(xué)多思考，多花時(shí)間研究問題.
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