資源簡介

3.2.1 雙曲線及其標準方程（第一課時）
(人教A版普通高中教科書數學選擇性必修第一冊第三章)
一、教學目標
1．了解雙曲線的定義、幾何圖形和標準方程；
2．掌握根據條件求雙曲線方程的基本方法；
3．用雙曲線的定義和標準方程解決簡單實際問題．
二、教學重難點
1．重點：雙曲線方程的理解和根據條件求雙曲線方程的基本方法．
2．難點：根據條件求雙曲線方程的基本方法．
三、教學過程
1．雙曲線的標準方程的建立
1.1概念引入
前面我們介紹了圓錐曲線的形成，并在平面直角坐標系中研究了橢圓及其標準方程．本節課我們將學習第二種圓錐曲線——雙曲線．雙曲線也是具有廣泛應用的一種圓錐曲線．如廣州電視塔“小蠻腰”的輪廓就是雙曲線的一部分繞軸旋轉所成的曲面．那么，什么是雙曲線呢？我們將類比橢圓的研究方法研究雙曲線的有關問題．
問題1：橢圓的定義是什么，它的標準方程是怎樣的？
【活動預設】學生回答，教師通過學生的答案，強調求曲線方程的步驟以及方程中a、b、c間的關系．
【設計意圖】通過對橢圓及其標準方程的復習，幫助學生回顧橢圓研究的過程，為研究雙曲線及其標準方程做準備．
問題2：既然平面內與兩個定點F1，F2的距離的和等于常數的點的軌跡是橢圓，那么一個自然的問題是：平面內與兩個定點的距離的差等于常數的點的軌跡是什么？
【活動預設】借助信息技術手段，探究在直線l上取兩個定點A、B，P是直線l上的動點．在平面內取兩個定點F1F2，以F1為圓心，線段PA為半徑作圓，再以F2為圓心，線段PB為半徑作圓，探究點P在線段AB上運動時，兩圓交點的軌跡；點P在線段AB外運動時，兩圓交點的軌跡．
【設計意圖】通過強化雙曲線概念的抽象和建立過程，提高學生思維的嚴謹性與語言表達能力；同時讓學生獲得焦點、焦距等概念．
1.2概念的理解
問題3：遵循解析幾何研究的內在邏輯，了解橢圓的概念后，應建立雙曲線的標準方程．你能類比求橢圓標準方程的過程，嘗試建立雙曲線的方程？
【活動預設】通過生生討論，明確如何建立適當的直角坐標系．觀察雙曲線發現它也具有對稱性，而且直線F1F2是它的一條對稱軸，因此，我們取經過兩焦點F1F2的直線為x軸，線段F1F2的垂直平分線為y軸，建立平面直角坐標系，根據雙曲線的定義，即對應著等量關系，坐標化得到方程．
追問：對于方程如何？
【活動預設】學生嘗試化簡．需先去絕對值，化成
類比橢圓標準方程的化簡過程，移項、平方，整理得
平方整理得
從簡化、美化入手，繼續優化方程．
問題4：討論以上方程的變形是不是同解變形？類似于橢圓，能不能給出結構簡單且優美的方程呢？
【活動預設】明確方程與所給雙曲線是等價的，是雙曲線的方程，并且稱為雙曲線的標準方程．感悟方程蘊含的簡潔美、對稱美，感悟“數”與“形”內在的一致性．
【設計意圖】明確求曲線的方程的大致步驟，避免推導過程中思維的盲目性；引導學生學會建立適當的直角坐標系；以雙曲線標準方程的推導為載體，引導學生掌握推導圓錐曲線方程的一般思路與方法；深化學生對曲線與方程的關系的理解．
2．初步應用，熟悉方程
例1 已知雙曲線的兩個焦點分別為F1（–5,0），F2（5,0），雙曲線上一點P與F1，F2的距離之差的絕對值等于6，求雙曲線的標準方程．
【活動預設】根據焦點位置設雙曲線標準方程，且c=5， a=3，求出b．
【設計意圖】鞏固雙曲線及其標準方程的概念．
例2 已知A，B兩地相距800cm，在A地聽到炮彈爆炸聲比在B地晚2s，且聲速為340m/s，求炮彈爆炸點的軌跡方程．
【設計意圖】本例題是一道實際應用題，指導學生抽象出數學問題，建立適當的直角坐標系進行求解．
3．歸納小結，理論升華
【設計意圖】（1）梳理本節課對于雙曲線的定義與其標準方程的認知；
（2）通過思維導圖，使得學生宏觀把握雙曲線及其標準方程這節課的整體結構．
四、課外作業
（1）教材P121練習第2，3，4題．
（2）教材P127習題3.2第1，2題．
23.2.1 雙曲線及其標準方程（第二課時）
(人教A版普通高中教科書數學選擇性必修第一冊第三章)
一、教學目標
1．了解雙曲線的定義、幾何圖形和標準方程；
2．掌握根據條件求雙曲線方程的基本方法；
3．用雙曲線的定義和標準方程解決簡單實際問題．
二、教學重難點
1．重點：雙曲線方程的理解和根據條件求雙曲線方程的基本方法．
2．難點：根據條件求雙曲線方程的基本方法．
三、教學過程
1．復習引入
1.1雙曲線的定義
在上一節課，我們介紹了第二種圓錐曲線——雙曲線，并學習了雙曲線的軌跡及其標準方程，本節課我們在上一節課的基礎上繼續學習求解雙曲線方程的幾種典型方法，并利用它們解決一些簡單的實際問題
問題1：雙曲線的定義是什么？
【活動預設】學生回答，教師通過學生的答案，強調雙曲線定義中的幾個關鍵信息．
【設計意圖】通過對雙曲線的復習，為后面引出相應的變式做準備。
1.2定義中關鍵要素的理解
問題2：
（1）平面內與兩個定點F1，F2的距離的差的絕對值等于常數（記為2a）的點的軌跡是雙曲線嗎？
【活動預設】通過觀察圖形，學生主動發現隨著a的不同取值，點的軌跡除了雙曲線意外還有另外三種情況．
【設計意圖】通過設問，讓學生強化定義中“距離之差小于”這一細節。
問題3：平面內滿足的點M的軌跡是雙曲線嗎？
【活動預設】讓學生探究發現，當去掉絕對值的限制時，所得到的軌跡只有雙曲線的一支．
【設計意圖】明確雙曲線定義中的另一個關鍵要素：距離之差的絕對值，引導學生全面的了解雙曲線定義中的三個要素，深化學生對雙曲線定義的理解．
問題4：雙曲線的標準方程是什么？
【活動預設】學生總結焦點在x、y軸上的兩種不同情況下的雙曲線標準方程。
【設計意圖】復習上節課這一最重要的知識點，掌握雙曲線的兩種方程，為下面求解雙曲線的標準方程做準備。
2．初步應用，熟悉方程
例1已知線段，直線相交于點，且它們斜率之積是，求點的軌跡方程。
【活動預設】以直接法求軌跡方程作為背景，求解雙曲線標準方程．
【設計意圖】訓練學生利用直接法求解軌跡的能力，同時強化雙曲線標準方程以及曲線與方程的關系．
例2 求下列雙曲線的標準方程
(1)焦點在x軸上,,經過點A(-5,2);
(2)過點(1,1),且
(3)經過兩點
【設計意圖】根據這三個求雙曲線方程的問題，指導學生學習求解雙曲線方程的典型方法以及注意事項。
問題5：表示哪些曲線？
【設計意圖】通過引導學生歸納對的不同取值所引起曲線的不同結果，培養學生邏輯推理的核心素養。
問題6：“神舟”九號飛船返回艙順利到達地球后,為了及時將航天員安全救出,地面指揮中心在返回艙預計到達區域安排了三個救援中心(記A,B,C),A在B的正東方向,相距6千米,C在B的北偏西30°方向,相距4千米,P為航天員著陸點.某一時刻,A接收到P的求救信號,由于B,C兩地比A距P遠,在此4秒后,B,C兩個救援中心才同時接收到這一信號.已知該信號的傳播速度為1千米/秒,求在A處發現P的方位角.
【設計意圖】本例題是一道實際應用題，指導學生抽象出數學問題，建立適當的直角坐標系進行求解．
3．歸納小結，理論升華
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