資源簡介

2.5.1直線與圓的位置關系（第二課時）
(人教A版普通高中教科書數學選擇性必修第一冊)
一、教學目標
1.掌握利用直線與圓位置關系解決實際問題的一般方法；
2. 掌握用坐標法研究幾何問題的基本思想及其解題過程；
3.激發學生學習數學的興趣,并體會數學的應用價值。
二、教學重難點
1.利用直線與圓的位置關系解決實際問題的一般方法和思想；
2.學生的數學抽象、數學轉化能力與數學建模能力的培養。
三、教學過程
（一）復習回顧
1.直線與圓的位置關系的判斷方法：直線Ax+By+C=0(A,B不同時為0)與圓(x-a)2+(y-b)2=r2(r>0)的位置關系及判斷：
2. 直線與圓C交于A，B兩點，設弦心距為d，圓的半徑為r，弦長為|AB|，則有： ()2＋d2＝r2，即|AB|＝2.
3.過某點的圓的切線方程問題：
（1）若點P(x0，y0)在圓上，利用切線和圓心與點P的連線垂直求解切線方程；
(2)求過圓外一點P(x0，y0)的圓的切線，常利用幾何方法求解，即：圓心到切線的距離等于半徑，設切線方程，利用待定系數法求解。
易錯提示：直線方程的點斜式無法表示斜率不存在的直線
【設計意圖】以提問的方式，幫助學生復習前面所學知識，同時ppt動態演示復習內容，給學生以直觀的感受和提醒，為本節課內容做好鋪墊。
（二）問題引入新課
臺風中心從A地以20 km/h的速度向東北方向移動，離臺風中心30 km內的地區為危險區，城市B在A地正東40 km處，則城市B處于危險區的時間為多少？
【設計意圖】通過現實生活中的實例，讓學生體會到數學源于生活并可以指導生活，感受數學的魅力
（三）講授新課
例3.如圖是某圓拱形橋一孔圓拱的示意圖.圓拱跨度AB=20m,拱高OP=4m,建造時每間隔4m需要用一根支柱支撐，求支柱A2P2的高度（精確到0.01m).
問題1.如何建立適當的平面直角坐標系？（大家分組討論，給出方案）
（教師展示學生方案，引導學生回憶建立平面直角坐標系應該遵循的原則，選擇最合適的坐標系。）
學生：（回憶回答建立直角坐標系的原則）
①若曲線是軸對稱圖形，則可選它的對稱軸為坐標軸.
②常選特殊點作為直角坐標系的原點.
③盡量使已知點位于坐標軸上.
建立適當的直角坐標系，會簡化運算過程.
【設計意圖】進一步鞏固建立適當的坐標系的方法技巧
師生活動：選擇最適合的坐標系后在平民啊直角坐標系下解決代數問題：
預設答案：
解：建立如圖所示的直角坐標系，使線段AB所在直線為x軸，
O為坐標原點，圓心在y軸上，由題意，點P,B的坐標分別為
（0,4),(10,0),設圓心坐標是(0,b),圓的半徑是r，那么圓的方程是x2＋(y－b)2＝r2 .
因為P,B兩點都在圓上，所以它們的坐標(0,4),(10,0)都滿足方程x2+(y-b)2=r2.于是，得
到方程組 解得b=－10.5, r2=14.52所以,圓的方程是x2+(y+10.5)2=14.52
答：支柱的高度約為3.86 m.
【設計意圖】學習利用直線與圓的位置關系解決實際問題的解答過程
問題2.如果不建立平面直角坐標系，你能解決這個個問題嗎？
預設答案：
追問1：這兩種方法有什么特點？
追問2：坐標法的基本步驟有哪些？（回到解答過程中去尋找答案）
預設答案：
第一步： 建系，轉化；第二步：解答；第三步： “翻譯”
【設計意圖】及時歸納總結，力爭達到舉一反三的效果
例4一個小島的周圍有環島暗礁，暗礁分布在以小島中心為圓心，半徑為20km的圓形區域內，已知小島中心位于輪船正西40km處，港口位于小島中心正北30km處.如果輪船沿直線返港，那么它是否會有觸礁危險？
(師生活動：教師引導學生按照上例總結歸納的步驟一步步解答例4)
預設答案：解：以小島的中心為原點O,東西方向為x軸，建立如圖所示的直角坐標系，為了運算的簡便，我們取10km為單位長度，則港口所在位置的坐標為(0,3),輪船所在位置的坐標為(4,0).
則暗礁所在圓形區域邊緣對應圓O的方為 ,其圓心坐標（0，0），半徑為2；輪船航線所在直線l方程為
聯立直線與圓的方程：
方程組無解。所以直線l與圓O相離，輪船沿直線返航不會有觸礁危險。
追問：還有沒有其他方法解決這個問題？
師生活動：教師引導學生給出不同的解法并分析不同解法的特點
預設答案：
【設計意圖】通過例4 的解答進一步熟悉、鞏固坐標法解決實際問題的步驟
師生活動：解決導入時的問題：臺風中心從A地以20 km/h的速度向東北方向移動，離臺風中心30 km內的地區為危險區，城市B在A地正東40 km處，則城市B處于危險區的時間為多少？
預設答案：以A地為坐標原點，AB所在直線為x軸，建立平面直角坐標系，
則臺風中心經過以B(40,0)為圓心，30為半徑的圓內時城市B處于危險區，
MN:y=x, 圓B：，
利用弦長公式可求得|MN|＝20，即B處于危險區時，臺風中心在線段MN上，所以時間為1 h.
【設計意圖】1.鞏固練習坐標法；2.前后呼應
（四）課堂小結
解決直線與圓的實際應用題的步驟：
第一步：建立適當的平面直角坐標系，用坐標和方程表示問題中的幾何要素，如點、直線、圓，把平面幾何問題轉化為代數問題；
第二步：通過代數運算，解決代數問題；
第三步：把代數運算的結果“翻譯”成幾何結論.
（五）課后作業
課本95頁練習
趙州橋的跨度是37.4 m，圓拱高約為7.2 m.求這座圓拱橋的拱圓方程.
在一個平面上，機器人從與點C(5,-3)的距離為9的地方繞點C順時針而行，在行進過程中保持與點C的距離不變.它在行進過程中到過點A(-10,0)與B(0,12)的直線的最近距離和最遠距離分別是多少？
某圓拱橋的水面跨度20m，拱高4m。現有一船，寬10m,水面以上高3m,這條船能否從橋下通過？
42.5.1直線與圓的位置關系（第一課時）
(人教A版普通高中教科書數學選擇性必修第一冊第二章)
一、教學目標
1. 掌握直線與圓的三種位置關系及判定方法（幾何法和代數法），能夠解決一些簡單的直線與圓位置關系相關的問題；
2. 經歷觀察、探索、總結和運用直線與圓位置關系的判斷方法的過程，培養直觀想象、運算求解、總結概括的思維能力；
3. 學會用代數方法解決幾何問題，體會數形結合、函數與方程、化歸等數學思想.
二、教學重難點
1. 教學重點：直線與圓的三種位置關系及其判定方法.
2. 教學難點：用代數方法探求直線與圓的位置關系的過程.
三、教學過程
1. 創設情境
【實際情境】（展示日出的動圖）古詩里描寫道：“日出江花紅勝火，春來江水綠如藍”，它生動地描繪了日出的絢麗景象。大家有沒有想過，在日出的過程中，其實也蘊含了有趣的數學知識。
問題1：如果我們把太陽近似看作一個圓，海天交線看做一條直線，請大家觀察一下，在日出的過程，體現了直線與圓的哪些位置關系？
【預設的答案】直線與圓相交，相切，相離。
【設計意圖】直線與圓的位置關系在現實生活中有非常多的實例，通過日出的圖象來引入本節課的內容，直觀且自然，讓學生體會到數學是源于實際生活的.
2. 知識回顧
問題2：（呈現直線與圓的三種位置關系的圖象）對于這三種位置關系，圖象呈現出什么樣的幾何特征呢？在初中，我們是怎么判斷直線與圓的位置關系的？
【預設的答案】通過直線與圓的公共點個數來判斷，直線與圓相交時有兩個公共點，相切時有一個公共點，相離時沒有公共點。
問題3：除了公共點個數的不同，我們還能直觀地看到，從相交到相離，圓和直線的“距離”在“變遠”，如何從這個角度來刻畫直線與圓的位置關系呢？
【預設的答案】比較圓心到直線的距離d與半徑r之間的大小關系，當dr時直線與圓相離。
問題4：這兩種判定方法都是從幾何特征來認識直線與圓的位置關系，前面我們學習了直線和圓的方程，已知直線和圓的方程，如何判斷直線與圓的位置關系呢？下面，我們將通過具體例子來進行研究。
【設計意圖】通過回顧初中時判定直線與圓位置關系的方法，調動學生原有的知識經驗，在定性描述的基礎上，結合直線和圓的方法，讓學生思考如何定量刻畫，從而引出本節課的主要內容。
3. 探究典例，總結方法
例1：已知直線和圓心為C的圓，判斷直線l與圓C的位置關系；如果相交，求直線l被圓C所截得的弦長.
【活動預設】探究直線與圓位置關系的判定方法，引導學生將問題進行轉化，轉化為判斷它們的方程組成的方程組有無實數解、有幾個實數解的問題。
【預設的答案】
解法1：聯立直線l與圓C的方程，得
消去y，得，解得
所以，直線l與圓C相交，有兩個公共點.
把分別代入方程①，得
所以直線l與圓C的兩個交點是，
因此
解法2：圓C的方程可化為，因此圓心C的坐標為，半徑為，圓心C到直線l的距離
所以，直線l與圓C相交，有兩個公共點.
由垂徑定理，得
【活動預設】引導學生總結直線與圓位置關系的判定方法以及求直線與圓相交時弦長的方法。
位置關系 相交 相切 相離
公共點個數 2個 1個 0個
判 斷方法 幾何法：設圓心到直線的距離為d＝ dr
代數法：由 消元得到一元二次方程，可得方程的判別式Δ Δ>0 Δ＝0 Δ<0
求直線與圓相交時弦長的兩種方法：
(1)幾何法：如圖①，直線l與圓C交于A，B兩點，設弦心距為d，圓的半徑為r，弦長為|AB|，則有2＋d2＝r2，即|AB|＝2.
(2)代數法：如圖②所示，將直線方程與圓的方程聯立，設直線與圓的兩交點分別是A(x1，y1)，B(x2，y2)，則|AB|＝
【設計意圖】通過對例1的探究，學會將幾何問題代數化，總結出利用方程來判斷直線與圓位置關系的兩種方法，體會數形結合、轉化與化歸的數學思想。
例2：過點作圓的切下l，求切線l的方程.
【活動預設】探究過某一點求圓的切線方程的問題，先探究點在圓外的情況，再設計兩個變式探究點在圓上、點在圓內的情況。
【預設的答案】
解法1：設切線l的斜率為k，則切線l的方程為，即
由圓心到切線l的距離等于圓的半徑1，得
解得或
因此，所求切線l的方程為或
解法2：設切線l的斜率為k，則切線l的方程為
因為直線l與圓相切，所以方程組只有一組解
消元，得 ①
因為方程①只有一個解，所以
解得或
因此，所求切線l的方程為或
變式1：過圓x2＋y2－2x－4y＝0上一點P(3,3)的切線方程為(　　)
A．2x－y＋9＝0 B．2x＋y－9＝0
C．2x＋y＋9＝0 D．2x－y－9＝0
【預設的答案】B
變式2：已知圓C: x2＋y2－4x＝0，l是過點P(3,0)的直線，則(　　)
A．l與C相交 B．l與C相切
C．l與C相離 D．以上三個選項均有可能
【預設的答案】A
【活動預設】引導學生總結出求過某一點的圓的切線方程的方法。
（1）點(x0，y0)在圓上．
①先求切點與圓心連線的斜率k，再由垂直關系得切線的斜率為－，由點斜式可得切線方程．
②如果斜率為零或不存在，則由圖形可直接得切線方程y＝y0或x＝x0.
（2）點(x0，y0) 在圓外．
①設切線方程為y－y0＝k(x－x0)，由圓心到直線的距離等于半徑建立方程，可求得k，也就得切線方程．
②當用此法只求出一個方程時，另一個方程應為x＝x0，因為在上面解法中不包括斜率不存在的情況．
③過圓外一點的切線有兩條．
【設計意圖】通過對例2的探究，掌握求過圓外一點的圓的切線方程的兩種方法，再通過變式將問題進行拓展，總結出點在圓外、點在圓上和點在圓內的情況。
4. 課堂練習
練習：已知圓C：(x－2)2＋(y－3)2＝4外有一點P(4，－1)，過點P作直線l.
（1）當直線l與圓C相切時，求直線l的方程；
（2）當直線l的傾斜角為135°時，求直線l被圓C所截得的弦長．
【預設的答案】
解：（1）圓C的圓心為(2,3)，半徑r＝2.
當斜率不存在時，直線l的方程為x＝4，此時圓C與直線l相切；
當斜率存在時，設直線l的方程為kx－y－4k－1＝0，
則＝2，解得k＝－，
所以此時直線l的方程為3x＋4y－8＝0.
綜上，直線l的方程為x＝4或3x＋4y－8＝0.
（2）當直線l的傾斜角為135°時，直線l的方程為x＋y－3＝0，
圓心到直線l的距離d＝＝，
故所求弦長為2＝2＝2.
【設計意圖】通過課堂練習，運用本節課所學知識來解決一些簡單的與直線與圓位置關系相關的問題（求切線方程、求弦長），檢測學生對知識的理解，鞏固所學內容。
5. 課堂小結
【活動預設】引導學生總結本節課所學內容，結合圖象進行理解。
（1）判斷直線與圓的位置關系（幾何法、代數法）
（2）求直線與圓相交時的弦長（幾何法、代數法）
（3）求過某一點的圓的切線方程（點在圓上、點在圓外）
【設計意圖】數形結合，總結本節課所學內容，形成知識框架。
四、課外作業
教材P98頁“習題2.5”（復習鞏固）
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