資源簡介

1.4.3用空間向量研究距離、夾角問題（第三課時）
(人教A版普通高中教科書數學選擇性必修第一冊第一章)
一、教學目標
1.理解利用空間向量解決立體幾何問題的三步曲；
2.理解解決立體幾何問題，可用的三種方法：幾何法、向量法、坐標法；
3.理解如何求解直線上的相關動點坐標；
4.了解用空間向量法解決立體幾何問題時，不一定非要建立空間直角坐標系，也可以建立空間基底，或直接進行向量線性運算。
二、教學重難點
1. 如何讓立體幾何問題合理轉化為向量問題來進行求解；
2. 解決立體幾何問題時，如何讓幾何法和向量法綜合運用；
三、教學過程
1.課前練習，復習引入
【學生實際情況】經過前面兩課時的學習，學生已經懂得運用空間向量法解決空間幾何問題，為了溫顧知新，簡單設計了三個空間立體幾何問題的練習，讓學生加深理解空間幾何與空間向量的關系。
【設計意圖】創設數學復習情境，讓學生感受在數學學習中，基礎知識是解決數學問題的重要依據.讓學生能熟練運用空間向量來解決空間幾何問題。
【課前練習】
1．已知直線l在平面外，且是直線l的方向向量，是平面的法向量，則直線l與平面的位置關系為___________.答案：平行關系
2．已知直線的方向向量為，平面的法向量為，則直線與平面夾角的余弦值為___________.答案：
3．已知點在平面內，點在平面外，若是平面的法向量，則點到平面的距離為___________.答案：3
2.探究典例，形成應用
舉例9：如圖為某種禮物降落傘的示意圖,其中有8根繩子和傘面連接,每根繩子和水平面的法向量的夾角均為.已知禮物的質量為1kg,每根繩子的拉力大小相同.求降落傘在勻速下落的過程中每根繩子拉力的大小（重力加速度 取9.8m/ 2,精確到0.01 ）.
【問題預設】
問題1:降落傘在勻速下落的過程中,8根繩子拉力的大小總和與禮物重力大小有什么關系
【設計意圖】讓學生區分力是一個矢量，要看問題研究的對象，如果只講大小，根據這個力的平衡關系，學生應該能回答8根繩子的拉力大小的總和是大于禮物重力大小.
【問題預設】
問題2:降落傘在勻速下落的過程中,8根繩子拉力的和與禮物重力有什么關系
【設計意圖】問題遞進，當問題研究的對象是力的時候，根據這個力的平衡關系，學生應該能回答8根繩子的拉力總和與禮物重力的關系是大小相等，方向相反.
【問題預設】
問題3:如何用向量方法解決這個問題
【設計意圖】研究拉力的合力，就是看作每個向量在豎直方向上的投影向量。其大小就是投影向量的模長。通過這一組問題，能讓學生更好的讀懂題和準確理解題意.
【解題板演】
解： 記鉛垂線方向的單位向量為,設每根繩子的拉力為,
因為=, 所以向量在向量上的投影向量為：
由于8根繩子的合力大小與禮物重力大小相等，所以
，所以
即：降落傘在勻速下落的過程中每根繩子拉力的大小是.
【設計意圖】規范解題，作好學生的示范.特別強調先設向量，再把實際問題轉化為向量問題來求解，最后回答實際問題。
舉例10：如圖,在四棱錐中,底面ABCD是正方形,側棱PD底面ABCD,
PD＝DC, E是PC的中點,作EF PB交PB于點F.
求證：PA平面EDB ;
（2）求證：PB 平面EFD ;
（3）求平面CPB與平面PBD的夾角的大小.
【問題預設】
問題1:線面平行的幾何法證明思路是怎么樣分析得到的
學生容易想到，如圖作輔助線，從而利用三角形中位線來證明：PAEG
問題2:線面平行的向量法證明思路又是怎么樣呢
也可以利用向量知識，先建立空間坐標系，再來證明：
也可以直接證明與平面EDB的法向量垂直，從而得到線面平行.
【設計意圖】立體幾何問題，首先想想利用掌握的空間關系來試證明，若能完成，則用幾何法解決問題，若不能完成，則考慮向量法來補充證明。
【解題板演】
證明：（1）連接AC交BD于點G，再連接EG，
由正方形ABCD可得：AG=GC
　　　 又因為E是PC的中點，　
　　 所以PA EG ，
　　　 又因為PA， EG
　　　 所以PA平面EDB
【設計意圖】第一問還是采用幾何法證明簡單，沒必要轉化為向量法來證明，所以只設計了幾何法證明的答案，向量法只了解一下思路。我們還是追求數學的簡潔美。
【問題預設】
問題3:線面垂直的幾何法證明思路是怎么樣分析得到的
學生能夠回答，要證明PB 平面EFD , 由于PBEF , 所以只需要證明PBDE 或PBDF.
問題4:發現幾何法證明線線垂直有點麻煩，若用向量法怎么樣才能證明呢
此時發現利用向量知識，很容易證明： PBDE，即證明
【設計意圖】立體幾何問題，首先還是想想利用掌握的空間關系來試證明，若某個環節不能完成證明的時候，則考慮向量法來補充證明。
【解題板演】
證明：（2）以D為原點，DA, DC, DP 所在的直線分別為軸, 軸, 軸,
　　 如圖建立坐標系，設DC=1，則依題意得：
A(1,0,0) , P(0,0,1), C(0,1,0), B(1,1,0), E(0,, ).
故
所以
由已知EF PB，且
所以PB 平面EFD ．
【問題預設】
問題5:求二面角的幾何法證明思路是怎么樣分析得到的
如圖，由于PB 平面EFD , 所以
此時發現幾何法求這個角有難度，但利用向量知識,很容易想到用向量夾角來求的大小．
問題6：用向量思想來求向量夾角，但是如何求出點F 的空間坐標
如圖,要研究點的坐標,可以用設未知數的方法,來找到點滿足的相關條件,然后求出這個點的坐標,從而利用向量方法解決二面角問題.
【設計意圖】立體幾何問題，首先還是想想利用掌握的空間關系來試證明，若某個環節不能完成求解的時候，則考慮向量法來補充求解。
【解題板演】
（3）由(2)得PB 平面EFD , PB EF, PB DF ,
所以
設點F坐標為,則,
因為EF PB且交PB于點F, 所以
,
所以
又由
所以
所以
即cos
所以
即平面CPB與平面PBD的夾角的大小為
【學習要求】
懂得如何求出直線上動點的坐標，再用向量的坐標運算解決幾何問題。
3.例題變式，提高能力
變式1：如圖,在四棱錐中,底面ABCD是正方形,
側棱PD底面ABCD,PD＝DC, E是PC的三等分點,且PE=2EC.
PB上是否存在點F ,使得AF平面EDB ,
若存在,求出BF: PB的值 ;若不存在,請說明理由.
【問題預設】
問題1:此題用幾何法研究線線平行有點難度，但轉化為向量法研究線面平行，容易想到研究什么向量？
如圖，可以研究線向量與平面BDE的法向量之間的垂直關系。
問題2:用向量思想來解此題，關鍵是如何求出點F 的空間坐標
此時和剛才例題一樣，利用設坐標的思想，通過三點共線得到其中兩條向量共線，從而找到坐標之間的關系．
【設計意圖】從感知個例到分析通例，遵循從特殊到一般的思路，在具體問題實踐的基礎上提高能力，認識直線上的動點是如何用坐標來研究并解決問題的,為以后提升空間幾何問題的解題能力作鋪墊.
【解題板演】
解：以D為原點，DA, DC, DP 所在的直線分別為軸, 軸, 軸,
如圖建立坐標系，設DC=1，則依題意得：
A(1,0,0) , P(0,0,1), C(0,1,0), B(1,1,0), E(0,, ).
設平面
，
所以，又設
,
所以
因為要滿足AF平面EDB ，
，
PF: PB的值是 .
4.探究典例，形成應用
例11：如圖,二面角的棱上有兩個點A,B，線段BD與AC分別在這個二面角的兩個平面內，并且都垂直于棱。若AB＝４，AC=6，BD＝８， CD ＝, 求
平面與平面的夾角.
【問題預設】
問題1:此題二面角的幾何法求解思路是怎么樣的
如圖，可以作,連接CE.
二面角的平面角就是
但是容易發現這個角所在的三角形有一條邊不好求邊長.
問題2:此題二面角的幾何法求解思路受阻，請問轉換空間向量思想如何來求解
思考向量方法，發現二面角的大小就是
最后，我們
而我們想到這里有四條線段長全部已知，要求角大小，可以利用向量模與數量積的關系來求解
【解題板演】
又因為AB＝４，AC=6，BD＝８， CD ＝
，
，所以平面與平面的夾角是.
【設計意圖】
（1）幾何法有困難，向量法又不好建系，也就想到向量的基底法或線性運算法來求夾角大小.
（2）懂得當已知首尾連接的四條線段長時，又知道其中兩組相鄰邊的夾角，就可以求相對兩邊所成的角.
5.習題變式，形成技能
P41頁練習2：如圖,在三棱錐A-BCD中，AB＝AC=BD＝CD=3， AD=BC=2, M, N分別是AD,BC的中點. 求異面直線AN與CM所成角的余弦值.
【問題預設】
問題1：此題與書中例7相類似，肯定可以用書中方法來求解。
但是除此方法外，是否由前面例題的解題思想總結出來
的經驗來解此題，請問求解的思路是怎么樣的
根據經驗總結，可以選擇一條向量用其它三條向量來線性表示，并且這四條向量的模長都是已知的，而且能已知兩組相鄰邊的夾角。
問題2：這里的每兩條向量的數量積分別怎么計算
【解題板演】
所以異面直線AN與CM所成角的余弦值是.
所以異面直線AN與CM所成角的余弦值是.
【設計意圖】
此題利用向量法，一題多解，除了課本上的方法外，還補充驗證了向量法求異面直線所成角的思路，針對這一類題型既要總結到位，又要嫻熟應用。
6.課堂小結，強調重點
1、通過這節課的學習，我們對立體幾何中的向量法是否有了新的認識？
，從而解決問題。
以上就是利用向量法解決立體幾何問題的三步曲。
2、相信通過這節課的學習，我們已經提高了應用向量知識來解決綜合性較強的立體幾何問題的能力。
特別是對直線上的動點研究及其運算方法；
就是利用四條線段的長及相鄰兩邊夾角大小來求異面直線所成的角的大小。
【設計意圖】
（1）突出本節課的重點，利用向量法解題的三步曲；
（2）加強本節課對于向量法求解立體幾何問題的新認知，即向量法解題可以建系用坐標運算法，也可以不建系用基底運算法，還可以用線性運算和數量積運算；
（3）突出求直線上動點的運算方法和求異面直線所成角的方法。
7.課外作業，鞏固提高
【設計意圖】
（1）第14題突出直線上的動點研究；
（2）第16題是突出例題10的變式應用；
（3）第18題突出直線上的動點研究，及二面角的向量法求解。
91.4.2用空間向量研究距離、夾角問題（第二課時）
(人教A版普通高中教科書數學選擇性必修第一冊第一章)
一、教學內容
兩條直線所成的角，直線與平面所成角，兩個平面的夾角.
二、教學目標
1、理解兩異面直線所成角與它們的方向向量之間的關系，會用向量方法求兩異面直線所成角.
2、理解直線與平面所成角與直線的方向向量和平面的法向量夾角之間的關系，會用向量方法求直線與平面所成角.
3、理解二面角大小與兩個平面法向量夾角之間關系，會用向量方法求二面角的大小.
4、讓學生體驗向量方法在解決立體幾何問題中的作用.
5、通過本節學習，提升學生的直觀想象、數學運算、邏輯推理和數學抽象等數學學科核心素養．
三、教學重點與難點
重點：利用向量的數量積研究兩條直線所成的角、直線與平面所成角、兩個平面的夾角.
難點：根據問題的條件選擇適當的基底.
四、教學過程設計
導入問題：與距離一樣，角度是立體幾何中的另一類度量問題.本質上，角度是對兩個方向的差的度量，向量是有方向的量，所以利用向量研究角度問題有其獨特的優勢.本節我們用空間向量研究夾角問題，你認為可以按怎樣的順序展開研究.
師生活動：學生獨立思考、小組討論后，通過全班討論達成對研究路徑的共識，即：直線與直線所成的角直線與平面所成的角平面與平面所成的角.
設計意圖：明確研究路徑，為具體研究提供思路.
1.典型例題，求解直線與直線所成的角
例7 如圖1.4-19，在棱長為1的正四面體（四個面都是正三角形）中，分別為的中點，求直線和夾角的余弦值.
用向量方法求解幾何問題時，首先要用向量表示問題中的幾何元素.對于本問題，如何用向量表示異面直線和？它們所成的角可以用向量之間的夾角表示嗎？
追問1：這個問題的已知條件是什么？根據以往的經驗，你打算通過什么途徑將這個立體幾何問題轉化成向量問題？
師生活動：首先教師分析題目的條件：已知正四面體的棱長和棱與棱之間夾角，和是中線，其模長可求，與其他棱的夾角也是確定的，這些條件都有利用向量基底的選取.接著在學生回答的基礎上，教師補充后形成共識：求異面直線和的夾角時，只要用基底向量表示它們的方向即可，這樣，異面直線和的夾角，可以轉化為求向量與向量的夾角.為此，選擇為基底并表示向量，.
在此基礎上，將此問題推廣到一般，學生思考后作答，教師對學生的回答給予補充.梳理出將立體幾何問題轉化成向量問題的途徑：
途徑1：通過建立一個基底，用空間向量表示問題中涉及的點、直線、平面等元素，從而把立體幾何問題轉化成向量問題；
途徑2：通過建立空間直角坐標系，用坐標表示問題中涉及的點、直線、平面等元素，從而把立體幾何問題轉化成向量問題.實際上，空間直角坐標系也是基底，是“特殊”的基底.
追問2：請你通過向量運算，求出向量，夾角的余弦值，進而求出直線和夾角的余弦值.
師生活動：學生利用向量的數量的數量積求出向量，夾角的余弦值，從來解決問題.
解：化為向量問題
以為基底，則，
設向量夾角為，則直線和夾角的余弦值為.
進行向量運算
，
而都是正三角形，所以，
所以， ，
回到圖形問題
所以，直線和夾角的余弦值為.
小結：研究立體幾何問題要注意轉化思想，將立體幾何問題化為向量問題進行向量運算回到圖形，解決立體幾何問題.
追問3：回顧問題1的求解過程，你能歸納出利用向量求空間直線與直線所成的角的一般方法嗎？
師生活動：教師引導學生梳理，得出：將直線與直線所成的角轉化成直線的方向向量的夾角，進而利用向量的數量積求解.也就是說，若異面直線所成的角為，其方向向量分別為，則
在此基礎上，教師板書下面的過程，讓學生進一步認識用向量方法解決幾何問題的基本步驟：
幾何問題向量問題向量運算幾何解釋
設計意圖：通過用向量方法求解一個空間直線與直線所成角的具體問題，歸納得出用向量方法求解直線與直線所成角的角度的一般方法.
2.類比研究，求解直線與平面、平面與平面所成的角
問題2：你能用向量方法求問題1中的直線與平面所成的角嗎？一般地，如何求直線和平面所成的角？
追問：這個問題的已知條件是什么？如何將幾何問題轉化成向量問題？
師生活動：教師引導學生分析已知條件，明確平面的法向量在解決直線與平面所成角的問題中的關鍵作用，將直線與平面所成的角轉化成直線的一個方向向量與平面的一個法向量的夾角，進而利用向量的數量積求解.
進一步地，師生共同給出求直線與平面所成角的步驟和方法.即將直線與平面所成的角轉化為直線的方向向量與平面的法向量的夾角，從而得到直線與平面所成角的一般表達式
其中，為直線的方向向量，為平面的法向量.
設計意圖：通過本問題的解決，讓學生體會法向量在求解直線與平面所成角時的關鍵作用，并得出一般的求解直線和平面所成角的量表達式.
問題3：類比已有的直線、平面所成角的定義，你認為應如何合理定義兩個平面所成的角？進一步地，如何求平面和平面的夾角？
師生活動：教師給出兩個相交平面的圖形，讓學生類比已有的空間基本元素所成角的定義，給兩個平面所成的角下定義.教師可以追問學生：“角度是度量方向差異的量，那么決定平面方向的是什么？”從而啟發學生用兩個平面的法向量刻畫兩個平面所成的角.在學生討論、交流的基礎上，教師小結如下：
如右圖，平面和平面相交，形成四個二面角，我們把這四個二面角中不大于的二面角稱為平面和平面的夾角.
類似兩條異面直線所成的角，若平面，的法向量分別是，，則平面和平面的夾角即為向量和的夾角或其補角.
設平面和平面的夾角為，則
追問1：如何求平面的法向量？
師生活動:學生思考、回答后，師生共同總結求平面法向量的方法：在平面內找兩個不共線的向量和，設平面的法向量為，則
根據這個不定方程組，可以求得一個法向量.
教師在學生回答的基礎上進一步指出，求得的是法向量中的一個，不是所有的法向量，但所有法向量可以用表示，即.
追問2：你能說說平面與平面的夾角與二面角的區別和聯系嗎？
師生活動：學生思考、回答，教師與學生共同總結.二面角的大小是指其兩個半平面的張開程度，可以用其平面角的大小來定義，它的取值范圍是；而平面和平面的夾角是指平面和平面相交，形成的四個二面角中不大于的二面角.
設計意圖：引導學生類比已有的空間基本元素所成角的定義，建立平面與平面的夾角的概念，并進一步利用向量方法得到求解兩個平面夾角的表達式.結合法向量的求解，使學生體驗不定方程組的“通解”和“特解”之間的關系，體會一般性寓于特殊性之中的道理.通過對平面與平面的夾角和二面角的辨析，使學生對平面與平面的夾角的理解更加深入.
3.鞏固應用，解決立體幾何中的角度問題
例8 如圖1.4-22，在直棱柱中，，，，為中點，分別在棱，上，，.求平面與平面夾角的余弦值.
師生活動：教師引導學生先分析題意，明確解題思路，再讓學生獨立解答，教師根據學生的解答板書補充，其中重點關注法向量的求法.為了保證解題規范，教師展示學生的解答，并適當完善學生板書.
設計意圖：通過例題鞏固平面與平面所成的角的求解方法，進一步理解法向量的夾角和兩個平面所成角的關系，進一步體會向量方法解決立體幾何問題的一般步驟.
分析：平面與平面夾角可以轉化為
平面與平面法向量的夾角.
解：轉化為向量問題
以為坐標原點，所在直線
為建立空間直角坐標系，設平面法向量為，平面法向量為，平面與平面夾角即為，的夾角或其補角.
進行向量運算
平面的一個法向量為.
由題意，，，，，.
設，則即
所以 令得，則
回到圖形問題
設平面與平面夾角為，則，
即平面與平面夾角的余弦值為.
小結：用空間向量解決立體幾何問題的“三部曲”：
建立立體圖形與空間向量的聯系，用空間向量表示問題中涉及的點、線、面，把立體幾何問題轉化為向量問題；
通過向量的運算，研究點、線、面之間的位置關系和它們之間距離、夾角等問題；
把向量運算的結果“翻譯”成相應的幾何問題.
4.歸納小結
教師引導學生回顧本節課的學習內容，回答下面的問題：
（1）這節課主要學習了哪些內容？
（2）研究這些內容主要用了什么方法？
（3）用向量方法解決立體幾何問題的一般步驟是什么？
設計意圖：師生共同小結本節課學習的內容和學習過程，通過小結，讓學生體會到，直線、平面間的角度刻畫了它們的方向的差異，因而可用方向向量或法向量“代表”直線或平面，從而將直線、平面間的角度問題轉化為相應的求相應的方向向量、法向量的夾角.進一步體會用向量方法解決立體幾何問題的一般步驟.
5.布置作業
教科書習題1.4第9，10題.
五、目標檢測設計
教科書練習第1，2，3，4題.
設計意圖：考查利用向量方法解決直線與直線、直線與平面、平面與平面所成角的能力.
21.4.2用空間向量研究距離、夾角（第一課時）
(人教A版普通高中教科書數學選擇性必修第一冊第一章)
一、教學目標
1. 能利用投影向量得到點到直線的距離公式、點到平面的距離公式．
2. 能用向量方法解決點到直線、平行線間、點到平面、直線到平面（直線與平面平行）、平行平面間的距離問題．
3. 結合一些具體的距離問題的解決，體會向量方法在研究距離問題中的作用，提升學生的直觀想象、邏輯推理、數學運算等素養.
二、教學重難點
1. （重點）利用投影向量推導點到直線的距離公式、點到平面的距離公式．.
2. （難點）利用投影向量統一研究空間距離問題.
三、教學過程
1.公式的推導
1.1復習回顧
【實際情境】如圖，在空間中任取一點，作， (
x
) (
O
) (
O
).
問題1：（1）怎樣表示向量方向上的單位向量？（2）如何作出向量在向量方向上的投影向量？（3）怎樣用單位向量表示向量在向量方向上的投影向量及投影向量的模？
【活動預設】學生回憶已學的概念、討論交流．
【預設的答案】（1）； （2）過點作垂直于直線，垂足為，向量即為向量在向量方向上的投影向量；（3），即，.
【設計意圖】投影向量的概念是一個比較抽象的概念，不易被學生理解，而本節課距離公式的推導主要依賴于投影向量.投影向量的幾何意義、代數表示及模，既體現了幾何直觀，又體現了代數定量刻畫，從而提供了研究距離的方法. 復習回顧求任意非零向量方向上的單位向量，及投影向量的相關知識點，以便于學生更好的參與后續公式的推導過程，以及對公式的理解，進而突破難點.
1.2探究思考，提煉公式
探究一：已知直線的單位方向向量，是直線上的定點，P是直線外一點.
如何利用這些條件求點到直線的距離？
【活動預設】結合已有知識，小組討論思考，每組選出代表回答. 連接，得到向量在直線直線上的投影向量，表示投影向量，求.進而利用勾股定理，可以求出點到直線的距離.
【預設的答案】如圖，設，則向量在直線上的投影向量.
在中，由勾股定理，得.
【設計意圖】學生多思考，多發言，老師引導學生實現問題的轉化，讓學生經歷公式的推導過程， 發展學生邏輯推理和數學運算的核心素養.
問題2：若與直線垂直，點到直線的距離還等于嗎？
【預設的答案】若與直線垂直，則，.
問題3：在立體幾何圖形中求解距離的問題時，已知條件中一般只會給出點以及直線，那么點應該如何確定？
【預設的答案】 點到直線的距離,即點到直線的垂線段的長度不會隨著點的變化而變化，故點可以是直線上的任意一點.
問題4：求解距離的過程中是否需要確定垂線段的垂足？
【預設的答案】不需要，只需要參考向量和直線的單位方向向量.
【設計意圖】通過問題串，引導學生繼續深入理解用空間向量的方法解決點到直線距離問題的方法，理解利用向量求解點到直線距離問題時，只需該點和直線上的任意一點確定的參考向量，不必確定垂足的位置，體會向量方法的的優越性.
教師講授：要理解公式中各字母的含義，明確點到直線的距離為參考向量的平方與投影向量的平方差的算術平方根.因此，求解點到直線距離問題時，只需直線的方向向量及直線上的任意一點，這樣得到參考向量或， 再求得直線的單位方向向量帶入公式即可.
問題5：求點到直線距離的主要有哪些方法？
【預設的答案】(1)作點到直線的垂線,點到垂足的距離即為點到直線的距離；
(2)在三角形中用等面積法求解；
(3)向量法，即點到直線的距離為參考向量的平方與投影向量的平方差的算術平方根.
思考：類比點到直線的距離的求法,如何求兩條平行線間的距離？
【預設的答案】在其中一條直線上任取一點，將求兩條平行直線之間的距離轉化為求點到另一條直線的距離.
【設計意圖】根據已有知識類比學習，引導學生明確平行直線間的距離的求法：轉化為一條直線上的任一點到另一條直線的距離，讓學生感悟轉化思想，化未知為已知．為后續把直線與平面間的距離、兩個平行平面間的距離轉化為點到平面的距離，在思想方法上做鋪墊.
探究二 已知平面的法向量為,是平面內的定點，是平面外一點.過點作出平面的垂線，交平面于點.類比點到直線距離的研究過程，如何用向量表示？
【預設的答案】如圖,向量在直線上的投影向量是，且.
問題6：點到平面的距離應該怎樣表示？
【預設的答案】 .
【設計意圖】 教師提出問題串，類比點到直線距離的研究過程，合作探究，得到點到平面的距離公式，讓學生進一步體會平面的法向量在刻畫平面、求距離中的作用.在求解點到平面的距離的過程中，平面的法向量的方向和法向量上投影向量的長度既體現了圖形直觀，又提供了代數定量刻畫.在這個過程中，向量與起點無關的自由性也為求距離帶來了便利.
問題7： 在立體幾何圖形中求解距離的問題時，已知條件中一般只會給出點以及平面，那么點應該如何確定？求解距離的過程中是否需要找出點在平面內的投影以及垂線段？
【預設的答案】點可以是平面內的任意一點.不需要找出點在平面內的投影以及垂線段.
【活動預設】教師提出問題串，引導學生思考，加深對公式的理解，教師總結.
教師講授：求解點到平面距離問題時，理解公式中各字母的含義，只需平面的法向量及平面內的任意一點，這樣得到“參考向量”，明確點到平面的距離為參考向量與法向量數量積的絕對值與法向量的模之比，即參考向量與法向量方向上的單位向量的數量積取絕對值.
【設計意圖】 類比點到直線距離的研究方法，以類似的方法研究點到平面的距離，使學生學會距離公式的同時，體會數學中常見的研究問題的方法“類比”.
思考：如果直線與平面平行，如何求直線與平面的距離？如何求兩平行平面之間的距離？
【預設的答案】 先證明直線與平面平行或面面平行，再轉化為點到平面的距離.
【設計意圖】 通過對所提問題的思考，引導學生明確直線到平面的距離以及兩平行平面的距離的求法：都可以轉化為點到平面的距離．師生共析，將平行于平面的直線和兩個平行平面間的距離轉化為點到平面的距離，得到統一的向量表達式，進一步體會轉化的思想.
問題8：求點到平面的距離主要有哪些方法？
【預設的答案】 (1)作點到平面的垂線,點與垂足的距離即為點到平面的距離. (2)在三棱錐中用等體積法求解. (3)向量法，即點到平面的距離為參考向量與法向量數量積的絕對值與法向量的模之比.
2.初步應用，解決問題
例1 如圖，在棱長為1的正方體中，為線段的中點，為線段的中點.
(1)求點到直線的距離；
(2)求直線到平面的距離.
【活動預設】學生分析解題思路，教師給出解答示范.讓學生注意到點在直線上，因此，可以選擇作為參考向量.事實上，可以選擇直線上的任意一點和確定“參考向量”，另外，讓學生注意到平面的法向量不唯一.
【預設的答案】
解：以為原點， ，，所在直線為軸、軸、軸，建立如圖所示的空間直角坐標系，則，，，，，，所以，,,,,.
取，，則 ，．
所以，點到直線的距離為．
(2) 因為，所以，又面，面，
所以平面，所以點到平面的距離，即為直線到平面的距離．
設平面的法向量為，則 所以
所以
取，則，,
所以，是平面的一個法向量,
又因為，
所以點到平面的距離為 ,
即直線到平面的距離為．
【設計意圖】通過典型例題，使學生鞏固并逐步掌握利用向量方法求空間距離的方法，體會向量方法再解決距離問題中的作用，滲透用空間向量解決立體幾何問題的一般過程,并注意培養學生規范的解題能力.
追問： 求兩種距離的步驟是怎樣的？
【活動預設】學生結合具體實例及公式特征，嘗試總結解題步驟，教師總結.
【預設的答案】點到直線的距離 ：
第一步：建系，在直線上任取一點 (注：選擇特殊便于計算的點)，求“參考向量(或)”的坐標.
第二步： 依據圖形先求出直線的單位方向向量.
第三步：帶入公式求解.
點到面的距離 :
第一步：建系，選擇“參考向量”；
第二步：確定平面的法向量；
第三步： 帶入公式求值.
【設計意圖】總結求解距離問題的步驟，培養學生抽象概括的數學素養.
3. 梳理歸納，感悟本質
思考：回顧這節課的學習，我們學習了哪些內容？用的是什么方法？
【預設的答案】本節課我們一起應用空間向量及其運算研究了求空間中的距離問題，包括兩點間的距離，點到直線的距離，平行直線之間的距離，點到平面的距離，直線到平面的距離，平行平面之間的距離等，結合投影向量、勾股定理以及向量數量積運算等，我們得到了這些距離問題的計算公式，并通過例題的解決，體會了公式的使用，在很多問題中，我們需要建立空間直角坐標系，求出點的坐標，以及直線的方向向量、平面的法向量的坐標表示，代入公式進行計算．
我們用類比和轉化的研究方法，把要解決的五個距離問題轉化為兩個距離問題，幾何問題轉化為向量問題，求解距離轉化為向量運算，在此過程中提升直觀想象、數學運算和邏輯推理等數學學科核心素養．
教師講授：本節課的學習你體會到向量方法解決立體幾何問題的“三步曲”嗎？與用平面向量解決平面幾何問題的 “三步曲”類似，我們可以得出用空間向量解決立體幾何問題的 “三步曲”：
（1）建立立體圖形與空間向量的聯系，用空間向量表示問題中涉及的點、直線、平面,
把立體幾何問題轉化為向量問題；
（2）通過向量運算，研究點、直線、平面之間的位置關系以及它們之間的距離和夾角等問題；
（3）把向量運算的結果“翻譯”成相應的幾何結論.
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