資源簡介

3.3.1傾斜角與斜率（第一課時）
(人教A版普通高中教科書數學必修第二冊第三章)
一、教學目標
1．知識與技能
（1）理解直線的傾斜角和斜率的定義；
（2）斜率公式的推導過程，掌握過兩點的直線的斜率公式，并會求直線的斜率。
2．過程與方法
引導幫助學生將直線的位置問題（幾何問題）轉化為傾斜角問題，進而轉化為傾斜角的正切即斜率問題（代數問題）進行解決，使學生不斷體會“數形結合”的思想方法。
3．情感、態度與價值觀
（1）通過直線傾斜角的概念的引入學習和直線傾斜角與斜率關系的揭示，使學生初步了解用代數方程研究幾何問題的思路；
（2）通過斜率概念的建立和斜率公式的推導，幫助學生進一步了解分類討論思想、數形結合思想，在教學中充分揭示“數”與“形”的內在聯系，體現數、形的統一美，激發學生學習數學的興趣；
（3）通過解析幾何發展史的簡單介紹，滲透數學文化教育。
二、教學重難點
1.抽象概括直線的傾斜角和斜率概念，探究發現過兩點的直線的斜率公式。
2.傾斜角概念形成，斜率概念的理解。
三、教學過程
（一）課題導入
在幾何問題的研究中，我們常常直接依據幾何圖形中點、線、面的關系研究幾何圖形的性質(形——數)。今天我們將采用坐標法通過代數運算研究幾何圖形性質（數——形），這門科學稱為解析幾何。它是17世紀法國數學家笛卡爾和費馬共同創立的。
本節我們從最基本的知識——直線的傾斜角與傾斜開始。
【師生互動】教師引導學生閱讀
【設計意圖】通過解析幾何發展史的簡單介紹，滲透數學文化教育，簡單了解用坐標法來解決新的問題。同時使學生明確本課學習的內容。
（二）師生互動，探究新知
探究一：直線的傾斜角
問題1:在直角坐標系中，下圖中的四條直線在位置上有什么聯系和區別？
【師生互動】生：觀察圖形，相互討論，指定學生回答，教師給與補充、糾正。但是在傾斜角定義得出時會有困難。
師：給學生鼓勵、引導，師生共同得出傾斜角概念：
【設計意圖】探索描述直線的傾斜程度的幾何要素，由此引出傾斜角的概念。
問題2:在直角坐標系中，任何一條直線與x軸都有一個相對傾斜度，可以用一個什么幾何量來反映一條直線與x軸的相對傾斜程度呢？
【師生互動】在直角坐標系下，以x軸為基準，當直線與軸相交時，軸正向與直線向上方向之間所成的角，叫做直線的傾斜角。規定：當直線與軸平行或重合時，它的傾斜角為0。根據定義，傾斜角α的取值范圍是0°≤α＜180°。
【設計意圖】讓學生明確傾斜角的取值范圍是0°≤α＜180°
問題3：練習：下列各圖中標出的角α是直線的傾斜角嗎？
【師生互動】學生獨立完成
【設計意圖】對概念的簡單理解
探究二：直線的斜率
問題4：觀察圖中樓梯，我們發現坡越陡，坡面與地平面所成的角越大，你認為這個角的變化與圖中哪個數量變化有關？坡面與地平面所成的角不變的情況下，升高量和前進量都在變化，那么你認為這個角的變化與升高量和前進量之間究竟是怎樣的關系？能不能用一個數學式子來表示它們之間的關系？
【師生互動】師:引導學生在生活中舉例，山坡，樓梯等，教師樓梯的教學情景。
【設計意圖】基于學生的客觀現實，結合已有的生活經驗尋找幾何要素代數化的方法。
問題5：從上面的討論，我們發現，如果使用“傾斜角”的概念，“坡度”實際就是“傾斜角α的正切值”，由此你認為還可以用怎樣的量來刻畫直線的傾斜程度？
【師生互動】生：探索、交流。用數學語言表達自己的發現
【設計意圖】探索描述直線的傾斜程度的代數表示，由此引出斜率概念
問題6：（1）當直線傾斜角為30o 45o 60o 90o 120o 150o時，它的斜率是什么？
（2）傾斜角為銳角、鈍角的直線的斜率的取值范圍分別是什么？
⑶傾斜角的大小與斜率為正或負有何關系
【師生互動】學生自己完成然后教師組織同桌間互相交流，共同得出結論。
【設計意圖】加深概念理解。明確可以用斜率與傾斜角的關系
探究三：過兩點的斜率公式
問題7：在直角坐標系中，經過兩點 A（2，4）、B（－1，3）的直線有幾條？直線AB的斜率是多少？
【師生互動】指定學生回答，如果有錯誤，教師組織學生糾正。
【設計意圖】讓學生自己推導出過兩點的直線的斜率公式（特殊化）
問題8：已知直線上的兩點P1（x1，y1），P2（x2，y2），且直線P1P2與x軸不垂直也不平行，即x1≠x2，y1≠y2，試確定直線P1P2與x軸的關系圖，直線P1P2的斜率你會表示嗎？
【師生互動】師生共同推導過兩點的直線的斜率公式
【設計意圖】探索得到過兩點的直線的斜率公式（一般化）
問題9：(1)直線的傾斜角確定后，斜率k的值與點P1 ，P2的順序是否有關
當直線P1P2平行于x軸或與x軸重合時，上述公式還適用嗎？為什么？
⑶當直線P1P2平行于y軸或與y軸重合時，上述公式還適用嗎？為什么？
【師生互動】師生：總結兩點式斜率計算公式：k=（x1≠x2）。
【設計意圖】通過自己的探索，完善兩點式斜率公式k=（x1≠x2），檢驗得到公式與P1，P2兩點的順序無關
典例分析，能力提升
例1. 已知A(4, 2)，B(－8, 2)，C(0,－2)，求直線AB、AC、BC的斜率，并判斷這些直線的傾斜角是銳角還是鈍角.
【師生互動】學生回答，教師對學生的回答進行評價。在整個練習過程中，教師做好課堂巡視，加強對學生個別指導.
【設計意圖】根據斜率的定義式，結合圖象，熟悉傾斜角和斜率的關系。
（四）梳理歸納，總結提升
（1）在本節課中，你學到了哪些新的概念？他們之間有什么關系？
（2）怎樣求出已知兩點的直線的斜率？
（3）從傾斜角（形）能刻畫直線的傾斜程度，到斜率（數）也能刻畫直線的傾斜程度，這個過程中主要體現了什么數學思想？
【師生互動】學生思考，回答，讓學生歸納出刻畫直線傾斜程度的兩種方法：傾斜角（形）和斜率（數）。利用確定直線的兩種方法，歸納出求斜率的兩個計算公式。在傾斜角和斜率相互轉化的過程中體現了數形結合的數學思想。強調“坐標法”是解決解析幾何問題的基本方法。
【設計意圖】總結本課所學知識，培養學生歸納知識能力及反思的習慣。
（五）課后作業，鞏固提高
必做題： P89習題3.1A組：2,3，4；
選做題：P90習題3.1B組：6.
【師生互動】分層次布置作業
【設計意圖】分層布置作業，使學有余力的同學的創造力得到進一步發揮。
22.2.1直線的傾斜角與斜率（第二課時）
(人教A版普通高中教科書數學必修第二冊第三章)
一、教學目標
1.能根據斜率判定兩條直線平行或垂直。
2.體驗、經歷用斜率研究兩條直線的位置關系的過程與方法，通過兩條直線斜率之間的關系解釋幾何含義即初步體會數形結合思想。
3.感受坐標法對溝通代數與幾何、數與形之間聯系的重要作用。
二、教學重難點
1.兩直線平行與垂直的判定及其應用
2..探究兩條直線斜率與兩條直線垂直的關系
三、教學過程
1.直線平行的判定
1.1復習鞏固、引發思考
一起回顧上節課所學內容（見課件）
【設計意圖】利用表格回顧上節課學習內容：傾斜角、斜率、直線的斜率公式的定義及其范圍，為本節課的學習奠定基礎。
問題1：已知點A（2,3），B（-4,0），P(-3，1),Q(-1,2)，試判斷直線AB與PQ的位置關系，并證明你的結論
問題2.如果兩條直線互相平行，它們的傾斜角滿足什么關系？
通過計算直線的斜率并在直角坐標系中畫出二條直線，給學生時間思考問題，學生很自然發現兩條直線位置與它們的斜率有著某種聯系，從而引出本節課的課題。
【預設答案】直線AB與PQ平行，相等
【設計意圖】兩道練習，既鞏固上節課所學的知識，又引出本節課所要探究的問題，讓學生帶著問題進入新課。培養學生大膽猜測、發現問題、解決問題的能力，激發學生運用舊知探求新知的欲望，體現由特殊到一般的認知規律。
1.2探究新知，形成結論
【活動預設】引導學生歸納概括兩直線位置關系與斜率的關系
對于兩條不重合的直線,設其斜率分別為。
問題3：當，滿足怎樣的關系？
推導過程：
問題4：反之，當，嗎？
明晰：前提條件是兩條直線不重合且斜率存在。
問題5:如果沒有前提條件，這個結論還成立嗎？
如果沒有前提條件又有兩種情況。
兩直線可能重合時：或與重合
【設計意圖】這個環節設計了3道思考題，引導學生探究、發現兩直線平行與斜率的關系，為了降低難度，首先設定兩條直線不重合且有斜率存在，接著討論一般情況，體現了分類討論、由特殊到一般的數學思想。讓學生在導學案上獨立完成推導過程，培養學生運用已有知識解決新問題的能力、自主探究問題的習慣及嚴謹的數學思維。讓學生體驗探究兩條直線平行與斜率關系的過程，更好的理解兩直線平行的條件。
1.3具體感知，理性分析
【活動預設】 已知四邊形ABCD的四個頂點分別為A（0，0），B（2，-1），C（4，2），D（2，3），試判斷四邊形ABCD的形狀，并給出證明。
【引導分析】任取兩點確定一條直線，兩條直線會有一個公共點，有公共點的兩條直線斜率相等時，兩直線重合。也可能會有學生利用兩點確定一次函數關系式，再驗證另外一個點也在這條直線上。
【設計意圖】利用結論：斜率相等，兩直線平行或重合，證明三點共線，這是證明三點共線的常用方法，培養學生解決問題能力。
2.直線垂直的判定
2.1深層探究、形成新知
【活動預設】設兩條垂直直線l1、l2的傾斜角分別為α1、α2，且α1<α2，其斜率分別為k1，k2。
【公式：】
設兩條垂直直線l1、l2的傾斜角分別為α1、α2，且α1<α2，其斜率分別為k1，k2。 【公式：】
問題1：當，k1，k2滿足什么關系呢？
推導過程：
問題2：反之，當，嗎？
結論：直線l1、l2的斜率存在時， 。
問題3:如果沒有前提條件，這個結論還成立嗎？
【引導分析】可提醒學生仿照的推導過程，尋找思路。也可適時引導學生，要想找斜率之間的關系，斜率是傾斜角的正切，可以先找傾斜角之間的關系。
【設計意圖】這個環節設計了3道思考題，引導學生探究、發現兩直線平行與斜率的關系，這是本節課的難點，證明過程中設計到誘導公式：，可能部分學生對誘導公式記得不太清晰，為了降低難度，設定兩條直線的斜率都存在，并且直接給出了誘導公式。體現了從特殊到一般的認知規律，充分滲透了數形結合的數學思想。最后利用幾何畫板動畫演示，讓學生再從形上觀察，這樣更加直觀形象，便于學生記憶。更好的突破本節課的教學難點，便于學生理解兩直線垂直的條件。
2.2初步應用，理解概念
判斷正誤:
(1)若兩條直線的斜率相等,則這兩條直線一定平行。 ( )
(2)若兩條直線平行,則它們的斜率一定相等。 ( )
(3)若兩條不重合的直線的斜率都不存在，則它們平行 ( )
(4)若兩條直線的斜率之積為-1, 這兩條直線一定垂直 ( )
(5)若兩條直線垂直, 則它們的斜率之積一定為–1。 ( )
(6)若兩條直線中，一條沒有斜率，另一條的斜率為零，它們的位置關系也是垂直。 ( )
【設計意圖】給出一組判斷題，讓學生辨析，加深對所學結論的理解，提醒學生在運用結論時注意前提條件。培養學生思維的嚴謹性，也更好的體現了圖形語言、符號語言、文字語言之間的轉換。
2.3初步運用 理解結論
例1 已知A(5,-1),B(1,1),C(2,3)三點，試判斷△ABC的形狀并說明理由.
由學生獨立完成，其中一人上黑板板演，教師巡視并給予必要的指導。
【設計意圖】讓學生體會數形結合思想，畫圖初步猜測三角形的形狀是直 角三角形，并判斷哪兩條邊為直角邊，然后進一步利用直角邊的斜率乘積為-1進而驗證。培養學生應用新知獨立解決數學問題的能力。體會用代數方法解決幾何問題的思想方法。感受數形結合的思想。
3.歸納小結，文化滲透
知識點見課件
【設計意圖】（1）梳理本節課對于直線位置關系與其斜率的關系的認知；
（2）進行數學文化滲透，鼓勵學生積極攀登知識高峰，進一步體會學習直線位置概念性與其斜率的邏輯關系
四、課外作業
已知A(2,3)，B(-4,0)，P(-3,1)，Q(-1,2)，求證：四邊形ABPQ是梯形。
【設計意圖】應用所學的知識解決數學問題，規范解題過程，體會用代數方法解決幾何問題的思想方法，培養學生應用所學的知識獨立解決數學問題的能力。變式訓練是對學生思維的擴展，判斷四邊形是梯形，首先要結合圖形找到一組平行的對邊，然后利用代數方法進一步驗證一組對邊斜率相等，另外一組對邊斜率不相等，很好的體現了數形結合的思想。
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