資源簡介

1.4.1用空間向量研究直線、平面的位置關系（第二課時）
(人教A版普通高中教科書數學選擇性必修第一冊第一章)
教學目標
1..能用向量語言表述直線與直線、直線與平面、平面與平面的平行關系。
2. 能用向量方法證明必修內容中有關直線、平面平行關系的判定定理。
3. 能用向量方法證明空間中直線、平面的平行關系。
二、教學重難點
1.用向量語言表述直線與直線、直線與平面、平面與平面的平行關系。
2.用向量方法證明空間中直線、平面的平行關系。
三、教學過程
1.創設情境，從圖形中探究新知
問題1：生活中有很多線線平行，線面平行，面面平行的建筑，比如左下圖上海世博會的中國館，右下圖是加拿大館，我們肯定不能僅憑眼睛判斷建筑的各個面之間是否平行。
下圖是武漢大學校門，校門上部的下邊線與柱子垂直,我們就能知道下邊線與地面平行。這是為什么呢
問題2：由直線與直線的平行關系, 可以得到這兩條直線的方向向量有什么關系呢？
【預設的答案】
問題3：由直線與平面的平行關系, 可以得到直線的方向向量與平面的法向量有什么關系呢？
【預設的答案】
問題4：由平面與平面的平行關系, 可以得到這兩個平面的法向量有什么關系呢？
【預設的答案】
【設計意圖】給出直線、平面平行的直觀圖形，引導學生將線線平行，線面平行，面面平行問題，轉化為直線的方向向量和法向量之間位置關系進行表述，學生從中初步體會空間幾何問題代數化的基本思想.
活動：小試牛刀
1.若兩條直線的方向向量分別是,且兩條直線平行,則
2.若平面α∥β,則下面可以是這兩個平面法向量的是(　　)
A. n1=(1,2,3),n2=(-3,2,1) B. n1=(1,2,2),n2=(-2,2,1)
C. n1=(1,1,1),n2=(-2,2,1) D. n1=(1,1,1),n2=(-2,-2,-2)
【預設的答案】
1. 4，-2.
2.D 因為平面α∥β,所以兩個平面的法向量應該平行,只有D項符合.
【設計意圖】讓學生體會將空間中線線、面面的平行關系，轉化為向量語言以及向量的坐標運算。
2.線線垂平行，線面平行，面面平行的空間向量法初步應用
例1 證明“平面與平面平行的判定定理”：若一個平面內的兩條相交直線與另一個平面平行, 則這兩個平面平行.
【活動預設】
【預設的答案】
【設計意圖】
讓學生從不同的角度感受利用向量方法證明線線平行的方法——基向量法:利用空間向量的加法、數乘運算及其運算律,結合圖形,選兩直線的方向向量為基向量,然后根據數量積的運算律證明平面內任意向量與向量的數量積等于0,從而證明也是平面的法向量，因此兩平面平行。
【活動預設】
本題是課本30頁的例題，一些學生會嘗試用之前的立體幾何法，借助圖中的點P猜測P為中點時可滿足線面平行，進而求證。這個方法不難證明。教師應當允許學生自由發揮，但也要引導學生利用本節課的新知識，用向量證明線面平行的思路去思考。
【預設的答案】
方法一：（立體幾何法）
方法二：向量法
【設計意圖】
通過方法二讓學生體會利用空間向量證明線面平行的方法。同時在遇到立體幾何問題的時候，靈活選取自己擅長的方法取證明平行問題。
例3.如圖,在正方體ABCD-A'B'C'D'中,求證:平面AB'D'∥平面BDC'.
【活動預設】
證明面面平行常用的方法有兩種,一是證明它們的法向量共線;二是轉化為線面平行、線線平行即可.
【預設的答案】
證明:(方法1) 設正方體的棱長為1,建立如圖所示的空間直角坐標系,
則A(1,0,0),B'(1,1,1),D'(0,0,1),B(1,1,0),D(0,0,0),C'(0,1,1),
于是=(0,1,1),=(1,1,0),=(1,1,0),
設平面AB'D'的法向量為n1=(x1,y1,z1), 則n1⊥,n⊥,即
令y1=1,則x1=-1,z1=-1,可得平面AB'D'的一個法向量為n1=(-1,1,-1).
設平面BDC'的法向量為n2=(x2,y2,z2).
則n2⊥,n2⊥,即
令y2=1,則x2=-1,z2=-1,可得平面BDC'的一個法向量為n2=(-1,1,-1).
所以n1=n2,所以n1∥n2, 故平面AB'D'∥平面BDC'.
(方法2)由方法1知=(1,0,1),=(1,0,1),=(0,1,1),=(0,1,1),
所以,即AD'∥BC',AB'∥DC',
所以AD'∥平面BDC',
AB'∥平面BDC'.又AD'∩AB'=A,
所以平面AB'D'∥平面BDC'.
(方法3)同方法1得平面AB'D'的一個法向量為n1=(-1,1,-1).
易知=(1,1,0),=(0,1,1).
因為n1·=(-1,1,-1)·(1,1,0)=0,
n1·=(-1,1,-1)·(0,1,1)=0,
所以n1也是平面BDC'的一個法向量,
所以平面AB'D'∥平面BDC'.
【設計意圖】
（1)正方體,長方體,直棱柱,這類圖形中，很容易找到三條兩兩互相垂直且相交于一點的線段,從而可以快速建立空間直角坐標系，寫出相關向量的坐標，求法向量坐標，將空間中的平行問題轉化為向量位置關系的判斷。
(2)通過典例解析，進一步讓學生體會空間向量坐標運算在解決立體幾何平行問題中的應用，鞏固本節所學知識，在學生解決問題的過程中，發展學生的數學運算、邏輯推理能力，培養學生數學建模的核心素養。
3.歸納小結，知識滲透
問題5.本節課我們主要學習了哪些知識？
【預設的答案】
線面的位置關系 向量的位置關系 向量的運算 向量的坐標運算
教師講授：
1.空間平行關系的本質是線線平行,根據共線向量定理,只需證明直線的方向向量.此外,證明線面平行也可用共面向量定理,即只要證明這條直線的方向向量能夠用平面內兩個不共線向量線性表示即可.
2.利用直線的方向向量證明直線與直線平行、直線與平面平行時,要注意向量所在的直線與所證直線或平面無公共點,證明平面與平面平行時也要注意兩平面沒有公共點.
【設計意圖】
使學生對空間向量法解決立體幾何中的平行問題的方法系統化，提高學生的概括能力。從而解決問題的思路更加清晰。體會立體幾何問題代數化的優點，進一步培養學生問題轉化的能力。也為下節課空間向量法證明線線垂直，線面垂直，面面垂直做鋪墊。
四、課外作業
1.若直線l的方向向量為a，平面α的法向量為n，能使l∥α的是(　　)
A. a＝(1，0，1)，n＝(－2，0，0)
B. a＝(1，3，5)，n＝(1，0，1)
C. a＝(0，2，1)，n＝(－1，0，－1)
D. a＝(1，－1，3)，n＝(0，3，1)
答案　D 解析　若l∥α，則a·n＝0，只有選項D中a·n＝0.
2.已知直線l的方向向量為a＝(－1，2，0)，平面α的法向量為n＝(2，1，－1)，則(　　)
A.l⊥α B.l∥α C.l α D.l∥α或l α
答案　D
解析　因為a·n＝(－1)×2＋2×1＋0×(－1)＝0，所以a⊥n，故l∥α或l α.
3.已知平面α的一個法向量是則下列向量可作為平面β的一個法向量的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D 兩個平面平行，其法向量也平行，即可判斷各選項.
4.已知線段AB的兩端點坐標為A(9,-3,4),B(9,2,1),則直線AB (　　 )
A.與坐標平面xOy平行 B.與坐標平面yOz平行
C.與坐標平面xOz平行 D.與坐標平面yOz相交
答案:B　 解析:因為A(9,-3,4),B(9,2,1),所以 =(0,5,-3),而坐標平面yOz的法向量為(1,0,0),顯然(0,5,-3)·(1,0,0)=0,故直線AB與坐標平面yOz平行.
5.已知l∥α，且l的方向向量為(2，m，1)，平面α的法向量為，則m＝________.
答案　－8
解析　∵l∥α，∴l的方向向量與平面α的法向量垂直，
即(2，m，1)·＝0，∴2＋m＋2＝0，∴m＝－8.
7.(選做題)如圖所示，在正方體ABCD－A1B1C1D1中，O為底面ABCD的中心，P是DD1的中點，設Q是CC1上的點，問：當點Q在什么位置時，平面D1BQ∥平面PAO
解　如圖所示，分別以DA，DC，DD1所在直線為x，y，z軸，建立空間直角坐標系，在CC1上任取一點Q，連接BQ，D1Q.
設正方體的棱長為1，
則O，P，
A(1，0，0)，B(1，1，0)，D1(0，0，1)，
Q(0，1，z)(0≤z≤1)，則＝，＝(－1，－1，1)，
∴∥，∴OP∥BD1.
＝，＝(－1，0，z)，
當z＝時，＝，
即AP∥BQ，有平面PAO∥平面D1BQ，
∴當Q為CC1的中點時，平面D1BQ∥平面PAO.
21.4.1用空間向量研究直線、平面的位置關系（第一課時）
(人教A版普通高中教科書數學選擇性必修第一冊第一章)
一、教學目標
1.能用向量表示空間中的點、直線和平面；
2.理解平面的法向量的概念，會求法向量；
3.經歷用代數運算解決幾何問題的過程，提升直觀想象、數學運算素養．
二、教學重難點
1. 理解用位置向量與空間中的點建立對應關系，理解一個點和一個定方向唯一確定一條直線，一個定點和兩個定方向確定一個平面，能推導出直線和平面向量表示式．
2. 理解與平面垂直的直線的方向向量是平面的法向量，從而法向量不是唯一的，清楚在用待定系數法求法向量的坐標時，為什么只需要兩個方程．
3. 重點難點：空間中的點、直線和平面的向量表示.
三、教學過程
引言：我們知道，點、直線和平面是空間的基本圖形，點、線段和平面圖形等是組成空間幾何體的基本元素．因此，為了用空間向量解決立體幾何問題，首先要用向量表示空間中的點、直線和平面．
1.思考空間中點、直線和平面的向量表示
問題1：如何用向量表示空間中的一個點？
追問:取空間中一個定點O為起點,空間中的向量與向量的終點間有怎樣的關系？
師生活動：教師引導學生類比平面中用向量表示點．
設計意圖：引發學生思考起點確定時，空間中任意一個點作為終點都可以得到一個空間向量，這種一一對應關系決定能用向量表示點P．
問題2：我們知道，空間中給定一個點A和一個方向就能唯一確定一條直線l．如何用向量表示直線l？
師生活動：教師在課件中給出圖形，即點A和直線l的方向向量a，并向學生闡明，用向量表示直線l，就是用點A和向量a表示直線l上的任意一點．學生觀察圖形，進行思考．
追問：（1）P是直線l上的任意一點，由方向向量的定義可知，怎樣用a來表示？
（2）假設O是空間任意一點，運用問題1中用位置向量表示點的方法，又可以怎樣表示？
師生活動：教師引導學生觀察、討論、分析．
設計意圖：教材第1節就給出了直線的方向向量的概念，根據空間向量數乘運算的意義，=ta（t∈R）．通過追問2，讓學生得到，從而得出直線的向量表示式，進一步深化理解點的向量表示．同時應指出，點P在直線l上的充要條件是存在實數t，使．
問題3：一個定點和兩個定方向能否確定一個平面？如果能確定，如何用向量表示這個平面？
追問：（1）我們知道，經過兩條相交直線可以確定一個平面α，設這兩條直線的交點為A，方向向量為a和b，P為平面α內任意一點，根據平面向量基本定理，如何表示？
取定空間任意一點O，類似于問題2，你能得到平面ABC的向量表示式嗎？
師生活動：教師展示圖形，引導學生思考并進行演算．
設計意圖：根據平面向量基本定理，存在唯一實數對（x，y），使得．類比問題2的推導過程，學生容易得到平面的向量表示式，由學生自行推導，強調前后知識的聯系，形成解決同類問題的思想方法．
2.平面的法向量的概念及求法
問題4：一個定點和一個定方向能否確定一個平面？如果能確定，如何用向量表示這個平面？
師生活動：教師展示圖形，經過定點A且垂直于l的平面是唯一確定的，給出平面法向量的概念，即l⊥α，l的方向向量a叫做α的法向量．對于第二個問題可進行如下追問．
追問：（1）對于平面內任意一點P，與a有怎樣的關系？可以用哪種運算來表示這種關系？
（2）如果另有一條直線m⊥α，在m上取向量b，則b與a有什么關系？
設計意圖：讓學生在思考中理解垂直關系可以用向量數量積為0來表示，為后面求平面的法向量提供依據．教師給出集合表示平面，加強知識間的聯系，用集合的觀點表示圖形．
例 如圖，在長方體ABCD—A1B1C1D1中，AB=4，BC=3，CC1=2，M是AB中點，以D為原點，DA、DC、DD1所在直線分別為x軸、y軸、z軸，建立如圖所示的空間直角坐標系．
（1）求平面BCC1B1的法向量．
（2）求平面MCA1的法向量．
設計意圖：第（1）問是通過定義法求法向量，第（2）問是用待定系數法求法向量，加深學生對法向量的概念理解，熟練空間直角坐標系和空間向量的坐標表示．
問題5：如果設平面MCA1的法向量為n=（x，y，z），如何得到x、y、z滿足的方程？
師生活動：學生通過觀察結合本節課所學，可知平面MCA1可以看成由，，中的兩個向量所確定，運用法向量與它們的垂直關系，可轉化為數量積運算列出方程．
追問：為什么只需用n與兩個不共線的向量數量積為0列方程組就可以？
設計意圖：讓學生通過線面垂直的判定定理理解用待定系數法求法向量的過程．同時教師應指出方程組有無數個解，我們只需求出平面的一個法向量，求直線的方向向量也是如此．
3.歸納總結、布置作業
教師引導學生回顧本節知識，并回答以下問題：
（1）如何用向量表示空間中的點、直線和平面？
（2）什么是平面的法向量，如何求平面法向量？
（3）通過本節課對你今后解決立體幾何問題有哪些啟發？
設計意圖：從知識內容和研究方法兩個方面對本節課進行小結．
布置作業：教科書習題1.4第1，2題．
思考：由直線與直線、直線與平面或平面與平面的平行、垂直關系，可以得到直線的方向向量和平面的法向量間的什么關系？
4.當堂檢測
1．如圖，在三棱錐A-BCD中，E是CD的中點，點F在AE上，且EF=2FA．設，，，求直線AE、BF的方向向量．
設計意圖：考查學生用基底法求直線的方向向量.
2．如圖，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AB⊥AC，AB=AC=1，AA1=2．以A為原點，建立如圖所示的空間直角坐標系．（1）求平面BCC1B1的法向量；（2）求平面A1BC的法向量．
設計意圖：考查學生用空間向量坐標運算求法向量.
2

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