資源簡介

8.6.2直線與平面垂直的性質定理（第一課時）
(人教A版普通高中教科書數學必修第二冊第八章)
一、教學目標
1.掌握直線和平面垂直的性質定理。
2.了解直線到平面的距離和兩個平行平面之間距離定義。
3.會用直線和平面垂直的性質定理解決情景問題。
二、教學重難點
1.掌握直線和平面垂直的性質定理。
2.會用直線和平面垂直的性質定理解決情景問題。
三、教學過程
1.創設情境，引發思考
【實際情境】
國際會議會場的國旗與地面都是垂直的，你能發現什么現象
問題1：國際會議會場的國旗與地面都是垂直的，你能發現什么現象
【預設的答案】平行
【設計意圖】通過具體實例引發學生思考，從而到處后面問題。
問題2：在長方體中，棱 所在的直線都垂直于平面ABCD，它們之間具有什么樣的關系？
【預設的答案】引導學生歸納概括出特殊具體問題的特征：平行.進而思考一般性結論，增加由特殊到一般的思維訓練。
問題3：已知直線a、b和平面α，如果a α，b α，那么直線a、b一定平行嗎？
反證法證明命題的一般步驟：
1否定結論 2推出矛盾 3肯定結論
證明：假設a與b不平行，記b∩α＝O．
過O作直線b′∥a，則b與b′是交于點O的兩條不同的直線
記b與b′確定的平面為β．
設α∩β＝c，則有a⊥c，b⊥c．
∵ b′∥a，∴ b′⊥c．
這與“平面β內，過一點O有且僅有一條直線與c垂直”相矛盾．
故a∥b．
【設計意圖】完成問題而的一般化分析。思考如何證明，增強學生代入感，通過反證法證明，得到答案。
問題4：直線與平面垂直的性質定理揭示了“垂直”與“平行”之間的聯系與轉化．你能將該性質定理中的平面換成直線，或者將垂直關系變為平行關系，得出一些新的結論嗎？你能對這些結論進行證明嗎？
【活動預設】
直線a⊥平面α，直線b⊥直線a，則b//α或bСα．
直線a⊥平面α，平面β⊥α，則a//β或aСβ．
直線a⊥平面α，平面β//α ，則a⊥β．
教師講授：第一條具體內容，其他學生課下探究。
【設計意圖】理解具體性質的變形推廣，增強對原結論的掌控力，鍛煉學生發善思維.
問題5：如圖，直線l平行于平面α．求證：直線l上各點到平面α的距離相等
【預設的答案】證明：過直線l上任意兩點A，B，分別作平面α的垂線AA1，BB1，垂足分別為A1，B1．
由直線和平面垂直的性質定理可知AA1∥BB1．
設AA1和BB1確定的平面為β，易知α∩β＝A1B1．
∵l∥α， ∴l∥A1B1
∴四邊形AA1B1B為平行四邊形（矩形）
∴AA1＝BB1 ．∴ 直線l上各點到平面α的距離相等
【設計意圖】
此處畫圖，輔助學生空間想象（2）理解兩個性質結合使用 ，在邏輯分析 中以點帶面思考問題。引申出兩個定義
當一條直線與一個平面平行時，根據例1可知，直線上任意一點到平面的距離都相等我們稱這個距離為這條直線到這個平面的距離．
進一步，當兩個平面平行時，其中一個平面內的任意一點到另一個平面的距離都相等，我們把這個距離叫做兩個平行平面間的距離．
問題6：推導棱臺的體積公式 ．
其中S′，S分別為棱臺上、下底面面積，h是高．
如圖，延長棱臺各側棱交于一點P，過點P作棱臺下底面的垂線，分別交棱臺的上、下底面于點O′，O，則PO垂直于棱臺的上底面．h＝O′O．
設截得棱臺的棱錐的體積為V，去掉的棱錐的體積為V′，高為h′．
【設計意圖】
從從抽象性質倒是問題，加深對數概念外延的理解,為后續空間性質的學習作鋪墊.
2.課堂練習
例1．如圖，EA和DC都垂直于平面ABC，且EA＝2DC，F是EB的中點．求證：DF∥平面ABC．
【設計意圖】
（1）進一步通過實際問題對概念的深化.
（2）讓學生初步掌握性質定理的應用.
例2
1. △ABC所在的平面為α，直線l⊥AB，l⊥AC，直線m⊥BC，m⊥AC，則直線l，m的位置關系是( B )
A．相交 B．平行 C．異面 D．不確定
2．下列命題中是真命題的是（ D ）
A．垂直于同一條直線的兩條直線互相平行
B．與同一個平面夾角相等的兩條直線互相平行
C．平行于同一個平面的兩條直線互相平行
D．垂直于同一平面的兩直線平行
3.下列命題：
①垂直于同一條直線的兩個平面互相平行；
②垂直于同一個平面的兩條直線互相平行；
③若直線a⊥平面α，直線a⊥直線b，則直線b∥平面α．
其中正確的個數是（ C ）．
A．0　　 B．1　　　　C．2　 　D．3
【預設的答案】（1）B;（2）D;（3）C;
【設計意圖】
在解題中加深對概念的理解，形成解題的基本思路：對數問題空間想象的應用；形成解題的基本技能.
3.歸納小結
1.直線與平面垂直的性質定理
2.空間想象能力（畫圖形），邏輯推理能力
【設計意圖】
（1）梳理本節課對于線面垂直性質的認知；
（2）進行數學核心素養的滲透，鼓勵學生積極攀登知識高峰，進一步體會學習對數的必要性 .
28.6.2直線與平面垂直（第一課時）
(人教A版普通高中教科書數學必修第二冊第八章)
一、教學目標
1.理解直線與平面垂直的意義，理解點到平面的距離、直線與平面成角的概念；
2.探索直線與平面垂直的判定定理，能應用判定定理證明直線和平面垂直的簡單問題，能求簡單的直線與平面所成的角；
3.在探索直線與平面垂直判定定理的過程中發展合情推理能力、感悟和體驗“空間問題轉化為平面問題”“線面垂直轉化為線線垂直”，進一步感悟數學中以“化繁為簡”的轉化思想.
二、教學重難點
重點：1.對直線與平面垂直的定義和判定定理的理解
難點：1.概括線面垂直的定義和判定定理時如何將“線面垂直”轉化為“線線垂直”
2.求直線和平面所成角時，直線的射影的尋找學生初接觸會有點難度.
三、教學過程
1.復習引入
回顧直線和平面的位置關系如下圖1：
(
圖
1
)
【設計意圖】由復習舊知可以知道，直線與平面垂直是直線與平面相交關系中的一種，為后續特別是線面角作鋪墊.
2.觀察歸納，形成概念
2.1創設情境，引發思考
問題1：在日常生活中，我們對直線與平面垂直有很多感性認識，比如，圖中旗桿與地面的垂直關系，還有書脊與桌面的垂直關系，給我們以直線與平面垂直的形象.那么什么叫做直線與平面垂直呢？
【設計意圖】列舉生活中的例子，使學生對直線與平面垂直的概念獲得一定的感性認識，化抽象為具體.然后再應到學生概括出定義.
2.2歸納概括，得出定義
問題2：能否把直觀的形象數學化？用確切的數學語言刻畫直線與平面垂直
思考：
（1）書脊AB與桌面上經過B點的直線有什么關系？
（2）書脊AB與桌面上不過B點的直線有什么關系？
（3）書脊AB與桌面上的任意直線有什么關系？
(
圖
2
)追問1：怎么理解“任意”？
結論：直線AB垂直于平面內的任意一條直線,那么它就垂直于這個平面．
追問2：可以用“無數”代替“任意”嗎？
直線與平面垂直的定義：如果一條直線l垂直于平面α 內的任意一條直線，我們就說直線 l 與平面 α 互相垂直.記作： (
圖
4
)
【設計意圖】這里是對直線垂直于平面定義的形成過程，結合幾何直觀感知，就能夠在問題的引導下獲得思路，利用轉化的思想歸納出線面垂直的定義，并讓學生體會到定義的本質是直線與直線垂直；強調直線要與平面內的任意直線都垂直，不等于無數.并規范表達，感受數學思維的嚴密.
2.3知識拓展:
(
圖
3
)點到平面距離的定義：過點P作直線PO垂直于平面α，垂足為O，垂線段PO長度就是點P到平面α的距離.
【活動預設】教師提出問題，師生共同探討，直觀感知和操作確認“過一點垂直于已知平面的直線有且只有一條”，進而提出點到平面的距離的概念，為求棱錐體積做鋪墊.
【設計意圖】類比平面幾何有關性質，結合直線與平面垂直的定義，給出空間類似的性質；呼應前面棱錐的高的概念.
3 實驗探究，得出定理
3.1 簡單探究，得到猜想
問題:3： 如果直線l與平面α內的一條（兩條，無數條）直線垂直，則直線和平面α互相垂直
【活動預設】師生共同探討以下問題： (
圖
4
)
一條直線
(
圖
4
)無數條直線
兩條平行直線
兩條相交直線
【設計意圖】結合圖例，讓學生感受直線與平面垂直需要兩條相交直線，得到猜想，找到一種替代定義去證明線面垂直的辦法.
3.2 動手操作，驗證猜想
問題4：為什么兩條相交直線可以？怎么去驗證這件事情？
【活動預設】教師提出問題，并引導學生動手操作；如圖準備一塊三角形紙片ABC，過頂點A翻折紙片，得到折痕AD，將翻折后的紙片豎起放置在桌面上，并請學生思考;
折痕AD與桌面垂直嗎？
如何翻折才能得到使折痕AD與桌面垂直？為什么？
這樣就初步驗證了剛才的猜想：如果一條直線和一個平面內的兩條相交直線
(
圖
5
)都垂直，這條直線就和這個平面垂直.
追問（1）：為什么一條直線和一個平面內的兩條相交直線 (
圖
4
) (
圖
4
) (
圖
4
) (
圖
4
)
都垂直，這條直線就和這個平面垂直？
可能的回答：兩條相交直線可以確定一個平面？
追問（2）：兩條平行直線也可以確定一個平面，為什么兩條平行直線都垂直于一條直線的時候，直線和平面就不垂直呢？
【設計意圖】通過實踐操作，讓學生有直觀感受，初步判斷剛才的猜想是正確的；不斷追問，引導學生進一步的思考，兩條相交直線可以確定一個平面，但是更主要的是他們可以表示這個平面內的所以直線，這里可以用平面向量基本定理來給出解釋，從而進一步對于判定定理的正確性給出說明，讓學生體會直線與平面垂直向直線與直線垂直轉化，體會感知化無限為為有限，以及歸納猜想、思辨論證這一研究問題的思維過程.
問題5：試分別用文字語言、圖形語言、符號語言來表述直線與平面的判定定理.
【設計意圖】實現圖形語言、文字語言、符號語言之間的轉換是讓學生進一步理解判定定理的需要，也是發展學生邏輯思維的需要.
4 鞏固練習，典例剖析
例1（課本例3）求證：如果兩條平行線中的一條直線垂直與一個平面，那么另一條直線也垂直與這個平面.
追問（1）：你能根據條件與結論畫出示意圖，寫出已知、求證嗎？
追問（2）：結合所畫圖形，你認為該如何證明此問題？
【活動預設】教師要求學生寫出已知求證，并與學生共同分析證明思路：根據直線與平面垂直的判定定理，只需證明另一條直線垂直于這個平面內的兩條相交直線即可.在此問題中，需要構造兩條相交直線，既需要做輔助線.可以請一名同學板書，教師反饋，完成證明.
追問（3）：你還有不同證明方法嗎
可能的答案 ：嘗試用定義證明.
【設計意圖】通過例題，鞏固直線和平面垂直的判定定理，并結合例題讓學生把握判定定理中“兩條相交直線”這一關鍵.通過引導學生從線面垂直的定義出發進行證明時，提高學生思維的靈活性，讓學生認識到證明線面垂直的不同方法，從而感受判定定理證明的優越性.
5 直線與平面所成的角及其應用
問題6：直線與平面垂直是直線與平面相交的一種特殊情況.當它們不垂直時，如圖，可以發現，不同的直線與平面相交的情況也是不同的，如何刻畫這種不同呢？
【活動預設】教師提出問題，給出斜線的概念.引導學生發現，斜線與平面相交位置的不同在于他們相對于平面的“傾斜程度不同”，進而給出直線與平面所成角的概念，并用它來刻畫斜線和平面的位置關系.
(
圖
6
)
【設計意圖】引出直線與平面所成角的概念，同時建立平面的一條斜線在平面上的射影的概念.
例2（課本例4）：如圖，正方體ABCD－A1B1C1D1中，求直線A1B與平面A1DCB1所成的角.
追問：有直線與平面成角的概念知，應該先找到A1B在平面A1DCB1內的射影，
怎樣找到呢？
【活動預設】教師引導學生對題目進行分析，從要解決的問題出發，
要求直線和平面的成角，要先找到這條直線在平面上的射影；進而
要找到這個平面的垂線，再利用直線與平面垂直的判定定理，問題
(
圖
7
)可以解決.然后書寫證明過程，規范解題.
【設計意圖】 通過例題教學，鞏固直線和平面所成角的概念，以及直線與平面垂直的判定定理.結合分析題目，培養學生養成回歸定義思考問題的意識，并引導學生形成解決問題的一般思路,規范書寫.
6 歸納小結，布置作業
問題：本節課你學到了什么？
【活動預設】教師與學生一起回顧本節課所學的主要內容，主要從下列2點進行總結：
（1）知識內容
（2）數學思想方法
【設計意圖】 通過小結，梳理本節所學的知識點，并回顧在學習的過程中所采用的思想方法，培養學生對學習內容的反思意識和習慣，建立知識系統，可以用于后續知識問題的解決.
布置作業：教材152頁練習.
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