資源簡介

6.5 平面向量復習課
(人教A版普通高中教科書數學必修第二冊第六章)
一、教學目標
1.理清本章知識網絡,使學生能夠綱舉目張;
2.對本章核心內容重點復習并達到綜合運用的能力.
二、教學重難點：通過一題多解讓學生達到核心內容的融會貫通.
三、教學過程
1.理清脈絡,綱舉目張
【活動預設】布置學生課前編制本章網絡知識圖，教師收集批閱并課中展示學生成果.
【設計意圖】讓學生弄清本章的知識體系，公式之間的聯系，讓學生對本章有個宏觀把握。
2.抓住核心,突破重點
典例1 【平面向量的最值問題】在矩形ABCD中，AB=1，AD=2，動點P在以點C為圓心且與BD相切的圓上.若，則的最大值為( )
A．3 B．2 C． D．2
【活動預設】先由學生獨立思考，再由老師引導學生從特值法、坐標法、等和線法，找到解決問題的突破口，最后由老師展示解答過程，強調解題的關鍵點。
【解法1】特值法
，,故選A
【小結】特值法，特立獨行！
【答案】A
【解析】由題意，畫出右圖．
設與切于點，連接．
以為原點，為軸正半軸，
為軸正半軸建立直角坐標系，
則點坐標為．
∵，．
∴．
∵切于點．
∴⊥．
∴是中斜邊上的高．
即的半徑為．
∵在上．
∴點的軌跡方程為．
設點坐標，可以設出點坐標滿足的參數方程如下：
而，，．
∵
∴，．
兩式相加得：
(其中，)
當且僅當，時，取得最大值3．
，若滿足，
則，，所以，
設，即，點在圓上，
所以圓心到直線的距離，即，解得，
所以的最大值是 ，即的最大值是，故選A.
【小結】解析法，用數據說話！
【小結】等和線法，等你來和一把！
【知識拓廣1】等和線的概念及其性質
1.等和線：平面內一組基底OA, OB 及任一向量OP,OP OA OB , R ，若點 P在直線 AB 上或在平行于 AB 的直線上，則 k (定值) ,反之也成立，我們把直線 AB 以及與直線 AB 平行的直線稱為等和線.
2.等和線性質
①當等和線恰為直線 AB 時， k 1 ；
②當等和線在O 點和直線 AB 之間時， k 0,1 ；
③當直線 AB 在O 點和等和線之間時， k 1, ；
④當等和線過O 點時， k 0 ；
⑤若兩等和線關于O 點對稱，則它們定值 k1,k2 互為相反數；
⑥定值 k 的變化與等和線到O 點的距離成正比；
3.等和線性質應用背景:在平面向量基本定理的表達式中，若需研究兩系數的和時，可以用等值線法.
4.跟蹤練習：　給定兩個長度為1的平面向量和，它們的夾角為.如圖所示，點C在以O為圓心的上運動．若，其中x，y∈R，求x＋y的最大值．
＝x＋y
常規解法：　以O為坐標原點，所在的直線為x軸建立平面直角坐標系，如圖所示，
則A(1,0)，B.設∠AOC＝α，則C(cos α，sin α)
由＝x＋y，得所以x＝cos α＋sin α，y＝sin α
所以x＋y＝cos α＋sin α＝2sin，又α∈，所以當α＝時，x＋y取最大值2
等和線法：連AB,平移AB并使此線與圓弧相切,此時切點為圓弧中點E,連AE、BE,易知OAEB為平行四邊形,此時＝＋,x＋y有最大值2.
【設計意圖】解法1：特值法，四兩撥千斤，化難為易！解法2：解析法，用數據說話，降低思維量！解法3：等和線法，在移動中聯通彼岸！通過一題多解,融會貫通平面向量最值問題的解題技巧,并拓寬學生的知識面。
典例2【平面向量的數量積問題】已知是邊長為2的等邊三角形，P為平面ABC內一點，則的最小值是（ ）
A. B. C. D.
【活動預設】先由學生獨立思考完成該題，小組之間可以互相討論，再由老師引導學生從坐標法、基底法、定義法、極化恒等式法，找到解決問題的突破口，最后由老師展示解答過程，強調解題的關鍵點。
【解法1】（坐標法） 如圖建系：
設點 點為中，可以有兩種思路：
【小結】本題由于是在等邊三角形中的問題，可以考慮用坐標法解決.把所求的向量內積轉化成坐標形式，進一步求出最小值.
【解法2】(基底轉換法)
,當點與重合時=,等號成立.
【小結】基底表示法是解決向量問題的一利器！
【解法3】 定義法
【小結】利用定義結合余弦定理.
【解法4】 極化恒等式法（1）
由解法一可知：，由利用極化恒等式得：，當點與重合時=,.
【解法5】極化恒等式法（2）
設分別為中點，
,
利用性質：“在平行四邊形中對角線的平方和等于各邊的平方和”得：
當點與重合時取最小值.
【小結】利用極化恒等式進行轉換.
【知識拓廣2】極化恒等式及其幾何意義
1.極化恒等式：
2.幾何意義（極化恒等式的三角形模式）：在中，若M是BC的中點，則有
3.跟蹤練習 (2021·深外三模)在等腰直角△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝BC＝2，M，N為AC邊上的兩個動點(M，N不與A，C重合)，且滿足||＝，則·的取值范圍為________．
常規解法 不妨設點M靠近點A，點N靠近點C，以等腰直角三角形ABC的直角邊所在直線為坐標軸建立平面直角坐標系，如圖所示，則B(0,0)，A(0,2)，C(2,0)，
線段AC的方程為x＋y－2＝0(0≤x≤2)．設M(a,2－a)，N(a＋1,1－a)(由題意可知0∴＝(a,2－a)，＝(a＋1,1－a)，
∴·＝a(a＋1)＋(2－a)(1－a)＝2a2－2a＋2＝22＋，
∵0極化恒等式法：取MN的中點P,則·＝BP2－PM2＝BP2－,可得·∈.
【設計意圖】解法1：構造直角坐標系，典型又直接.在有垂直的條件下建立坐標系是首選方法.
解法2：選擇不共線的向量作為基底，把表示出來，體現了轉化的思想.
解法3：利用了余弦定理和“在平行四邊形中對角線的平方和等于各邊的平方和”體現了數形結合的思想.
解法4和解法5：利用了向量的一個性質.積累一些常見結論，適當運用可以起到事半功倍的效果.
典例3【正、余弦定理的應用】(2016 全國三第8題)在△ABC中，， 邊上的高等于,則為 （ ）
（A） （B） （C） （D）
【活動預設】
【小結】兩角和正切求角！
【解法2】（三角函數法2）
如圖，
【小結】. 兩角和余弦求角！
【解法3】余弦定理法：
設則，利用余弦定理
【小結】巧設變量求余弦！
【解法4】正弦定理法：
設則
，明顯為鈍角，
【小結】巧設變量求正弦！
【小結】巧用面積求角度！.
【解法6】面積法：
取中點,,
設則
利用余弦定理求出
【小結】角度轉化求正弦！
【設計意圖】在解題中加深對正、余弦定理的理解，形成解題的基本思路：從角的視角、或從邊的視角、或從面私的視角尋找方法,然后利用正、余弦定理的相關知識解題.
解法1和解法2：從不同的角度用了兩角和的正切和余弦求值，角度不同方法統一：
解法3和解法4：利用了利用余弦和正弦來求解，是解決此類問題的通法！
解法5：以面積為中間紐帶，求出角度的正弦！ 解法6：利用平面幾何轉化求角，簡化了運算，值得嘗試！
3.隨堂演練,學以致用
【活動預設】引導學生從不同角度思考問題,通過一題多解達到融會貫通的效果。
練習1如圖為邊長為2的等邊三角形，在線段上有一點,則= .
【解法1】（定義法）如圖：
【小結】本題關鍵在于構造，求出
【解法2】（基底法）以為基底表示，
，又三點共線，，
=3=18.
【小結】把化為,利用三點共線，再把用基底表示.
【小結】建立坐標系，內積數量化.
【解法4】（特值法）令與重合，
【小結】小題小做，提速神器.
【設計意圖】解法1：從定義出發，直接在直角三角形求夾角的余弦，利用直角三角形中余弦的定義，化簡求出最后結果.
解法2：利用平面向量基本定理，目標明確以為基底，（注意必須是不共線的）利用了轉化思想，簡單實用.
解法3：利用數量積的計算公式，內積數量化，簡化思維過程，體現數形結合思想.（適合有垂直的條件的習題）
解法4：充分利用填空題的特點，小題小做，以特殊代替一般，讓動點P具體化，是解決選擇填空題常用的方法.
本題四種解法包括了求向量內積常用的幾種方法和特值法，方法多元化，能舉一反三，起到事半功倍的效果，與其跳進題海不能自拔，不如仔細研究這樣一題收獲豐厚.
練習24.△ABC中，A＝，a＝2，求2b＋c的最大值．
解1：由正弦定理可得
2b＋c＝(2sinB＋sinC)
＝[2sin(C＋)＋sinC]＝(2sinC＋cosC)
＝sin(C＋φ)．
故2b＋c的最大值為．
解2：＝＝．
令＝t，t＞0，
f (t)＝＝＝－＋1，
所以＝，即t＝時，取得最小值，
所以2b＋c此時取得最大值．
歸納小結,文化滲透
【活動預設】學生討論歸納 ,關注本章注意點。
【設計意圖】
（1）梳理本節課對于平面向量的認知,讓學生感受到在知識、方法和數學思想上的收獲；
（2）進行數學文化滲透，鼓勵學生積極攀登知識高峰，進一步體會學習向量的必要性 .
四、課外作業
1.【2017年高考數學天津卷理12】（13）在中，，，.若，，且，則的值為___________.
【解法1】幾何法
【小結】幾何法，以形助數，不攻自破！
【小結】解析法,“數點”江山！
【解法3】等量代換法
，因此，
結合，因此
即，即，即
【小結】等量代換法，一代勝一代！
【反思】
解法1：幾何法，利用向量三角形法則，“減”掉 難點！
解法2：解析法，用數據稀釋難點，讓問題來得再難一點吧！
解法3：等量代換法，當換則換，不換則亂！
２.【2015天津，理14】在等腰梯形 中，已知，，，，動點 和分別在線段和上，且，，則的最小值為 .
【解法1】【等價轉化思想】因為，，
，，
，
當且僅當，即時，的最小值為.
【小結】以為基底，利用均值不等式求解.
【小結】等腰梯形適合建立坐標系，內積數量化之典例.
【解法3】【數形結合思想】由題意得，，
過、作，垂足分別為、
則，，，
設，
則
當且僅當，即時，的最小值為
(
A
B
H
C
D
E
F
G
)
【小結】數形結合顯神威！
【設計意圖】方法1：在向量運算中常用平面向量基本定理，即在平面內選一組適當的向量（必須不共線）作為基向量，根據向量加減法運算法則將所求向量數量積轉化為基向量數量積，結合向量的數量積定義表示要運算的向量,充分體現了等價轉化思想的應用；
方法2：本解法通過建立平面直角坐標系，根據具體的圖形性質用坐標表示向量，再利用向量數量積的坐標式進行計算，體現了幾何問題轉化為代數問題的解題策略；
方法3：從平面幾何性質出發，利用三角形表示欲求向量的模及夾角，幾何條件與三角代數結合是本方法的關鍵.
３.已知a，b，c分別為△ABC的三個內角A，B，C的對邊，若(a＋b)(sinA－sinB)＝(c－b)sinC，且a＝2，則△ABC面積的最大值為____．
解3：由正弦定理得(a＋b)(a－b)＝(c－b)c，
整理可得a2＝b2＋c2－bc，
由余弦定理得
cosA＝，所以A＝．
因為a＝2，所以A在
以BC為弦，以為半
徑的圓上，所以△ABC面
積的最大值為．
【小結】
(1)正弦定理、余弦定理與三角形面積公式綜合使用是高考命題的趨勢，解題時要綜合分析其中的數量關系，得出方程，通過解方程求得目標值
(2)解三角形中范圍問題的基本思路：把求解目標化為三角形一個內角的三角函數，利用三角函數的性質及基本不等式得出目標的范圍．
４.【2016年北京理科數學第15題】在ABC中，分別是ABC中對應的三條邊，且滿足
（I）求的大小
（II）求的最大值
【答案】，1
【知識點】解三角形、余弦定理、正弦定理、三角函數圖像與性質
（I）解：由，得，
可知
（II）解法一：消元法
由（I），得，
可知，又由，得，
即
解法二：余弦定理
由已知，得
，
又由，
當且僅當時取到等號，此時滿足條件，
得，從而有
解法三：幾何法
過點B作AC的垂線BD，垂足為D，設，由（I），得，則且，
由
令，得在上是單調函數,
即
當時，，即，此時與重合，
故，可知，此時，
當時，，此時與重合，
,可知，
綜上所得
【設計意圖】精心設計課后作業,鞏固提高學生綜合應用向量解題能力。
2

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