資源簡介

10.3.1頻率的穩定性
(人教A版普通高中教科書數學必修第二冊第十章)
一、教學目標
1. 通過拋擲硬幣的實驗，理解頻率的穩定性；
2. 通過計算機模擬實驗，理解頻率與概率的關系，掌握用頻率估計概率.
二、教學重難點
1. 用頻率估計概率.
2. 理解頻率的穩定性.
三、教學過程
1.1新課導入
問題1：重復做同時拋擲兩枚質地均勻的硬幣的試驗，設事件A=“一個正面朝上，一個反面朝上”，統計事件A出現的次數并計算頻率，再與其概率進行比較.你發現了什么規律？
【設計意圖】通過日?？梢姷纳顔栴}，加深學生們對概率事件發生的理解.
1.2探索新知
【探究】把硬幣正面朝上記為1，反面朝上記為0，則這個試驗的樣本空間，，所以.
【活動設計】下面分步實施試驗，考察隨著試驗次數的增加，事件A的頻率的變化情況，以及頻率與概率的關系.
第一步：每人重復做25次試驗，記錄事件A發生的次數，計算頻率；
第二步：每4名同學為一組，相互比較試驗結果；
第三步：各組統計事件A發生的次數，計算事件A發生的頻率，將結果填入下表中.
小組序號 試驗總次數 事件A發生的次數 事件A發生的頻率
1 100
2 100
3 100
…
合計
問題2：比較在自己試驗25次、小組試驗100次和全班試驗總次數的情況下，事件A發生的頻率.
（1）各小組的試驗結果一樣嗎？為什么會出現這種情況？
（2）隨著試驗次數的增加，事件A發生的頻率有什么變化規律？
【答案預設】（1）試驗次數n相同，頻率可能不同，這說明隨機事件發生的頻率具有隨機性.
（2）從整體來看，頻率在概率0.5附近波動.當試驗次數較少時，波動幅度較大；當試驗次數較大時，波動幅度較小.但試驗次數多的波動幅度并不全都比次數少的小，只是波動幅度小的可能性更大.
【實驗模擬】利用計算機模擬擲兩枚硬幣的試驗，在重復試驗次數為20，100，500時各做5組試驗，得到事件A=“一個正面朝上，一個反面朝上”發生的頻數和頻率如下表：
序號 n=20 n=100 n=500
頻數 頻率 頻數 頻率 頻數 頻率
1 12 0.6 56 0.56 261 0.522
2 9 0.45 50 0.50 241 0.482
3 13 0.65 48 0.48 250 0.5
4 7 0.35 55 0.55 258 0.516
5 12 0.6 52 0.52 253 0.506
用折線圖表示頻率的波動情況如下圖：
我們發現：
（1）試驗次數n相同，頻率可能不同，這說明隨機事件發生的頻率具有隨機性.
（2）從整體來看，頻率在概率0.5附近波動.當試驗次數較少時，波動幅度較大；當試驗次數較大時，波動幅度較小.但試驗次數多的波動幅度并不全都比次數少的小，只是波動幅度小的可能性更大.
【結論】大量試驗表明，在任何確定次數的隨機試驗中，一個隨機事件A發生的頻率具有隨機性.一般地，隨著試驗次數n的增大，頻率偏離概率的幅度會縮小，即事件A發生的頻率會逐漸穩定于事件A發生的概率.我們稱頻率的這個性質為頻率的穩定性.因此，我們可以用頻率估計概率.
1.3典例分析
例1 新生嬰兒性別比是每100名女嬰對應的男嬰數.通過抽樣調查得知，我國2014年、2015年出生的嬰兒性別比分別為115.88和113.51.
（1）分別估計我國2014年和2015年男嬰的出生率（新生兒中男嬰的比率，精確到0.001）；
（2）根據估計結果，你認為“生男孩和生女孩是等可能的”這個判斷可靠嗎？
【答案預設】（1）2014年男嬰出生的頻率為，
2015年男嬰出生的頻率為.
由此估計，我國2014年男嬰出生率約為0.537，2015年男嬰出生率約為0.532.
（2）由于調查新生兒人數的樣本非常大，根據頻率的穩定性，上述對男嬰出生率的估計具有較高的可信度.因此，我們有理由懷疑“生男孩和生女孩是等可能的”的結論.
【設計意圖】通過頻率的穩定性來估計事件的概率，理解概率在日常生活中的應用.
例2 一個游戲包含兩個隨機事件A和B，規定事件A發生則甲獲勝，事件B發生則乙獲勝.判斷游戲是否公平的標準是事件A和B發生的概率是否相等.
在游戲過程中甲發現：玩了10次時，雙方各勝5次；但玩到1000次時，自己才勝300次，而乙卻勝了700次.據此，甲認為游戲不公平，但乙認為游戲是公平的.你更支持誰的結論？為什么？
【答案預設】當游戲玩了10次時，甲、乙獲勝的頻率都為0.5；當游戲玩了1000次時，甲獲勝的頻率為0.3，乙獲勝的頻率為0.7. 根據頻率的穩定性，隨著試驗次數的增加，頻率偏離概率很大的可能性會越來越小.相對10次游戲，1000次游戲時的頻率接近概率的可能性更大，因此我們更愿意相信1000次時的頻率離概率更近.而游戲玩到1000次時，甲、乙獲勝的頻率分別是0.3和0.7，存在很大差距，所以有理由認為游戲是不公平的. 因此，應該支持甲對游戲公平性的判斷.
【設計意圖】通過模擬游戲兩個事件，來認識進一步加深概率的應用.
【思考】氣象工作者有時用概率預報天氣，如某氣象臺預報“明天的降水概率是90%.如果您明天要出門，最好攜帶雨具”. 如果第二天沒有下雨，我們或許會抱怨氣象臺預報得不準確. 那么如何理解“降水概率是90%”？又該如何評價預報的結果是否準確呢？
【答案預設】降水的概率是氣象專家根據氣象條件和經驗，經分析推斷得到的.對“降水的概率為90%”比較合理的解釋是：大量觀察發現，在類似的氣象條件下，大約有90%的天數要下雨.
只有根據氣象預報的長期記錄，才能評價預報的準確性. 如果在類似氣象條件下預報要下雨的那些天（天數較多）里，大約有90%確實下雨了，那么應該認為預報是準確的；如果真實下雨的天數所占的比例與90%差別較大，那么就可以認為預報不太準確.
1.4課堂練習
1.下列說法中正確的是( )
A.任何事件的概率總是在之間
B.頻率是客觀存在的，與試驗次數無關
C.隨著試驗次數的增加，頻率一般會越來越接近概率
D.概率是隨機的，在試驗前不能確定
【答案】C. 解析：任何事件的概率總是在之間，其中必然事件的概率是1，不可能事件的概率是0，“任何事件”包含“必然事件”和“不可能事件”，故A錯誤. 只有通過實驗，才會得到頻率的值，故頻率不是客觀存在的，一般來說，當試驗的次數不同時，頻率是不同的，它與試驗次數有關，故B錯誤. 當試驗次數增多時，頻率值會逐漸穩定于事件發生的概率，故C正確. 概率是一個確定的值，它不是隨機的，它是頻率的穩定值，故D錯誤. 故選C.
2.某人將一枚硬幣連擲10次，正面朝上的情況出現了8次，若用表示“正面朝上”這一事件，則發生的( )
A.概率為 B.頻率為 C.頻率為8 D.概率接近于8
【答案】B. 解析：做次隨機試驗，事件發生了次，則事件發生的頻率為. 如果進行大量重復試驗，事件發生的頻率總在某個常數附近擺動，那么這個常數可看作事件的概率. 故為事件發生的頻率.
3.任取一個由50名同學組成的班級(稱為一個標準班)，至少有兩位同學的生日在同一天(記為事件)的概率是0.97. 據此我們知道( )
A.取定一個標準班，事件發生的可能性是
B.取定一個標準班，事件發生的概率大概是0.97
C.任意取定10000個標準班，其中大約9700個班發生事件
D.隨著抽取的標準班數不斷增大，事件發生的頻率逐漸穩定在0.97，在它附近擺動
【答案】D. 解析：對于給定的一個標準班來說，事件發生的可能性不是0就是1，故A與B均不對；對于任意取定10000個標準班，在極端情況下，事件有可能都不發生，故C也不對，請注意，本題中A，B，C選項中錯誤的關鍵原因是“取定”這兩個字，表示“明確了結果，結果是確定的”.
4.在擲一枚硬幣的試驗中，共擲了100次，“正面朝上”的頻率為0.49，則“正面朝下”的次數為__________.
【答案】51. 解析：由，知有49次“正面朝上”，故有 (次)“正面朝下”.
5.為了研究某種油菜籽的發芽率，科研人員在相同條件下做了10批試驗，油菜籽的發芽試驗相關數據如下表：
批次 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
每批粒數 2 5 10 70 130 700 1500 2000 3000 5000
發芽的粒數 2 4 9 60 116 637 1370 1786 2709 4490
（1）如何計算每批試驗中油菜籽發芽的頻率？
（2）由各批油菜籽發芽的頻率，可以得到頻率具有怎樣的特征？
（3）如何確定該油菜籽發芽的概率？
【答案】（1）利用公式：，可求出各批油菜籽發芽試的頻率.
（2）批次1的頻率，批次2的頻率，批次3的頻率，批次4的頻率，批次5的頻率，批次6的頻率，批次7的頻率，批次8的頻率，批次9的頻率，批次10的頻率，當試驗次數越來越多時，頻率越來越趨近于一個常數.
（3）由（2）可知，當試驗次數越來越多時，頻率在0.900附近波動，由此估計該油菜籽發芽的概率約為0900.
【設計意圖】在解題中加深對概念的理解，對概率的性質有進一步的認識。
四、課外作業
1. 完成課后相關習題；
2. 試舉一些生活中概率很小和很大的事件.
2

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