資源簡介

9.4.2總體離散程度的估計
(人教A版普通高中教科書數學必修第二冊第九章)
一、教學目標
1.結合實例，能用樣本估計總體的離散程度參數（標準差、方差、極差）.
2.會求樣本數據的方差、標準差、極差.
3.理解離散程度參數的統計含義.
二、教學重難點
1.方差、標準差的計算方法
2.利用樣本的方差、標準差對總體數據進行分析
三、教學過程
（一）方差、極差和標準差的概念
引言：平均數、中位數和眾數為我們提供了一組數據“中心位置”的重要信息，可以描述一組數據的集中趨勢。但有時候僅僅知道“中心位置”不足以讓我們做出有效的決策，請看下面的案例。
問題1：有兩位射擊運動員在一次射擊測試各射擊10次，每次命中的環數如下：甲7 8 7 9 5 4 9 10 7 4 乙9 5 7 8 7 6 8 4 7 7
如果你是教練，你如何對兩位運動員的射擊情況做出評價？如果這是一次選拔性考核，你應當如何做出選擇？
預案：通過簡單的排序和計算，可以發現甲、乙兩位運動員射擊成績的平均數、中位數和眾數均為7。從這個角度來看，兩位運動員之間沒有差別。結合初中知識，現在我們用方差來刻畫兩位射擊運動員成績的離散程度。
，
甲運動員10次射擊成績的方差為4，乙運動員10次射擊成績的方差為1.2；由此可知，甲的成績離散程度大，乙的成績離散程度小，說明乙比甲的射擊成績穩定。
追問：高中的方差和我們初中學的有什么不同嗎？
方差的定義：假設一組數據是，用表示這組數據的平均數，用每個數據與平均數的差的絕對值作為“距離”，即，則這組數據到的平均距離為，為了避免式子中含有絕對值，通常改用平方來代替，即，我們將定義為這組數據的方差，用表示。
公式的推導，因為
.
有時為了計算方差的方便，也用上述表達式計算方差。
設計意圖：通過案例，幫助學生回憶方差的概念和統計含義。
問題2：除了方差，你還能想到其他刻畫數據離散程度的統計量嗎？
預案：一種簡單的度量數據離散程度的方法就是極差。極差是數據的最大值與最小值的差，即甲命中環數的極差=10-4=6，乙命中環數的極差=9-5=4。極差在一定程度上刻畫了數據的離散程度，可以發現甲的成績波動范圍比乙大。但因為極差只使用了數據中最大、最小兩個值的信息，所含的信息量很少。
設計意圖：讓學生主動探索多個統計量刻畫數據的離散程度，并認識到每個統計量的優缺點。
問題3：問題1中方差的單位是什么？
預案：由于方差的單位是原始數據的單位的平方，與原始數據不一致。為了使二者單位一致，我們對方差開方，取它的算數平方根，即，我們稱之為這組數據的標準差，用表示。
問題4：方差和標準差的取值范圍是什么？如果方差和標準差為0，這組數據有什么特點？
預案：非負數；方差和標準差都為0，那么這組數據都一樣，都等于平均數。進一步說明，方差和標準差都是刻畫一組數據的離散程度的指標，但是在解決實際問題中，一般多采用標準差。
分層隨機抽樣樣本方差的計算
引言：在實際問題中，往往很難獲得所有的數據，可以用簡單隨機抽樣或分層隨機抽樣的方法抽取樣本，用樣本的方差估計總體的方差。請看下面的例題：
問題5：在對樹人中學高一年級學生身高的調查中，采用樣本量比例分配的分層隨機抽樣，如果不知道樣本數據，只知道抽取了男生23人，樣本的平均數和方差分別為170.6和12.59，抽取了女生27人，樣本的平均數和方差分別為160.6和38.62。你能由這些數據計算出樣本的平均數和方差嗎？并對高一年級全體學生的身高方差做出估計嗎？
預案：把抽取的男生樣本記為，樣本的平均數記為，方差記為；把抽取的女生樣本記為，樣本的平均數記為，方差記為；把總樣本數據的平均數記為，方差記為。
根據平均數的定義，算出；根據方差的定義和變形公式，總樣本的方差
由可得
同理可得
所以，，將=170.6，=12.59和=160.6，=38.62以及=165.2代入上式，可得
因此，總樣本的平均數為165.2，方差為51.4862，據此估計高一年級學生身高的總體方差為51.4862。
追問：比較總樣本方差與男生組及女生組的方差，你能發現什么？
預案：可以看到總樣本反差既大于男生組的方差，也大于女生組的方差.男、女生的平均數相差越大，即兩組差別越大，總樣本方差比男、女生的方差均大得多，這說明分層隨機抽樣的效果也就越好。
設計意圖：引導學生對統計結果進行解釋，進而更好地理解分層隨機抽樣的使用范圍。
問題6：一般地，如果知道兩組數據各自的數據個數、平均數和方差，如何計算全部數據的平均數和方差呢？
預案：一般地，如果已知第一組數據的個數為，平均數和方差分別為和，第二組數據的個數是，平均數和方差分別為和，那么總樣本的平均數，總樣本方差為
設計意圖：將總樣本平均數和總樣本方差從問題5推廣到一般，讓學生體會由具體到一般的思想。
用平均數和標準差反映數據取值信息
問題8：平均數反映數據的集中趨勢，標準差刻畫了數據的離散程度，那么將平均數和方差綜合在一起.例如，考察以平均數為中心的區間[，]，[，]，觀察數據分別落在這兩個區間的百分比，你能發現什么規律？
預案：以100戶居民用戶的月均用水量數據為例。可以發現，100個數據中大部分都集中在[，]內，在[，]外的只有7個數據，也就是說絕大部分的數據落在[，].通過平均數和標準差兩個統計量，就可以得到大部分數據的取值范圍.方差越大，則這個區間越大；方差越小，則這個區間越小.
設計意圖：讓學生認識到利用平均數和標準差也可以部分反映數據的取值規律.
課堂小結
問題9：假設老師請你幫忙完成一個數據分析任務，給了你們學校全體高一年級學生的數學成績數據，請你寫一份數據分析報告.結合這節課的學習內容，你會用哪些統計量？為什么？
預案：引導學生對平均數和方差等統計量的特點進行歸納概括.
設計意圖：通過時間里，讓學生體會平均數和方差等統計量的特點及應用.
布置作業
教科書第213，214頁練習第2，3，4，5題.
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