資源簡介

8.5.1直線與直線平行
(人教A版普通高中教科書數學必修第二冊第八章)
一、教學目標
1.理解基本事實4，會用基本事實4證明線線平行；
2.掌握等角定理及其證明方法，能用等角定理求角度。
二、教學重難點
1.基本事實四，等角定理
2.利用基本事實4證明線線平行
三、教學過程
1.情境引入
1.1創設情境，引發思考
【實際情境】在長方體 中，，那么與平行嗎？觀察你所在的教室，你能找到實例嗎？實際生活中還有沒有這樣的實例呢？
問題1：在平面中平行線具有傳遞性，這個性質在空間中是否仍然成立？
【預設的答案】仍然成立
【設計意圖】本節課的內容就是平面圖形中的兩個結論推廣到空間圖形中，平面圖形的性質不一定能全部推廣立體圖形，一般來說，要把平面圖形的結論推廣到空間，要經過證明.
問題2：在平面內，一個角的兩邊分別平行于另一個角的兩邊，則兩個角相等或互補，在空間中，這一結論是否還成立呢？
【活動預設】引導學生從已知到未知，由平面上的問題思考空間中的問題。
1.2探究典例，形成概念
【平行直線】基本事實4 平行于同一條直線的兩條直線相互平行。
可以用符號語言表示為，若，則
基本事實4表述的性質通常稱為空間中平行線的傳遞性。
【設計意圖】創設數學情境，生活中的實例，讓學生體會到平行關系在空間中也具有傳遞性，從而很自然的得出基本事實4。.
【等角定理】當空間中的兩個角的對應邊分別平行時，兩個角有如圖所示的兩種位置關系
對于圖（1）可以構造兩個三角形，通過三角形全等來證明
教師講授：如下圖，分別在和的兩邊上截取和，使得，連接
且
四邊形是平行四邊形，
且
同理可證且
四邊形是平行四邊形
【設計意圖】證明空間中的等角定理，培養學生數學思維的嚴謹性.
【等角定理】空間中如果兩個角的兩邊分別對應平行，則這兩個角相等或互補
特別說明：若兩個角的兩邊分別平行且方向相同，則兩個角相等；如果兩邊分別平行，且一邊方向相同，另一邊方向相反，則這兩個角互補。
1.3具體感知，理性分析
例1、已知是四個頂點不在同一個平面內的空間四邊形，分別是的中點，連接，求證四邊形是一個平行四邊形。
思考：在例1中，如果再加上，那么四邊形是什么圖形？
【設計意圖】
基本事實4的一個簡單應用，考察學生的空間想象能力和空間中平行線傳遞性的理解.
練習 如圖，四邊形ABEF和四邊形ABCD都是直角梯形，且，且，分別為的中點。
證明：四邊形BCHG是平行四邊形。
C，D，F，E四點是否共面？為什么？
2.初步應用，理解概念
1 下列結論中正確的是（ ）
在空間中，若兩條直線不平行，則它們一定相交；②平行于同一條直線的兩條直線平行；③一條直線和兩條平行直線中的一條相交，那么它和另一條也相交；④空間中有四條直線，若，且，那么。
A．①②③ B．②④ C．③④ D．②③
【預設的答案】B
【設計意圖】通過概念辨析，進一步理解空間中直線的位置關系
2 如圖，在三棱錐中，分別是線段的中點，則下列說法正確的是（ ）
【預設的答案】C
【設計意圖】
（1）進一步加深對基本事實4的理解；
（2）會判斷平面外一點和平面內一點的連線，與平面內不經過該點的直線是異面直線。
3．已知，，則（ ）
【預設的答案】B
【設計意圖】在解題中加深對等角定理的理解，形成解題的基本思路.
4．如圖所示，在長方體中，與交于點，分別是的中點，則長方體各棱中與平行的有（ ）
A．三條 B．四條 C．五條 D．六條
【預設的答案】B
【設計意圖】強調空間中平行線的傳遞性的應用。.
3.歸納小結，文化滲透
本節課的重點內容：
基本事實4 平行于同一條直線的兩條直線相互平行。
可以用符號語言表示為，若，則
等角定理 如果空間中的兩個角的兩邊分別平行，則這兩個角相等或互補。
作用：判斷兩個角相等或互補。
【設計意圖】
梳理本節課的兩個重點內容，理解平面圖形的有關結論推廣到空間圖形，必須經過證明；
求證兩直線平行，目前有兩種途徑：一是應用基本事實4，即找到第三條直線，證明這兩條直線都與之平行，要充分用好平面幾何知識，如有中點時用好中位線性質等；二是證明在同一平面內，這兩條直線無公共點．
求證角相等：一是用等角定理；二是用三角形全等或相似．
證明線線平行的常用方法：(1)利用三角形、梯形中位線的性質．(2)利用平行四邊形的性質．(3)利用平行線分線段成比例定理．(4)利用基本事實4.
（5）進行數學文化滲透，進一步體會數學邏輯的嚴謹性以及數學在實際生活中的應用 .
四、課外作業
1．如圖，三棱柱中，，，分別為，，的中點.求證：.
2．長方體中，分別為棱的中點.
（1）求證：；
（2）求證：.
3．已知棱長為a的正方體ABCD－A1B1C1D1中，M，N分別是棱CD、AD的中點.
求證：（1）四邊形是梯形；
（2）∠DNM＝∠D1A1C1.
解答：
1． 證明：因為，分別是，的中點，所以，
所以四邊形為平行四邊形，所以.
同理可證，
又與方向相同，所以.
2．證明：（1）如圖，取的中點，連接.
在矩形中，易得，
因為，，所以，
所以四邊形為平行四邊形，所以.
在矩形中，易得，.
所以四邊形為平行四邊形，
所以，所以.
（2）因為，，
又與的對應邊方向相同，
所以.
3． （1）連接，
因為M，N分別是棱CD、AD的中點，所以，，
又因為且，所以四邊形為平行四邊形，
所以，且，
所以且，
所以四邊形是梯形.
（2）由（1）知，又根據正方體的性質可知，，且與的方向相同，
所以根據等角定理可得.
2

展開更多......

收起↑