資源簡介

8.6.1 直線與直線垂直
(人教A版普通高中教科書數學必修第二冊第八章)
一、教學目標
1. 理解兩異面直線所成角的定義，會求兩異面直線所成的角；
2. 掌握證明兩條異面直線垂直的方法.
3. 使學生感受空間幾何存在于身邊，提高學生觀察能力，提升數學空間想象能力。
二、教學重難點
1.異面直線所成的角，兩條異面直線垂直的定義.
2.求異面直線所成的角.
三、教學過程
1.新課導入
空間中兩條直線的位置關系有三種：平行直線、相交直線、異面直線。初中已經研究了平行直線和相交直線，本節(jié)主要研究異面直線。
如圖所示，在正方體ABCD-A'B'C'D'中，直線A'C'與直線AB，直線A'D'與直線AB都是異面直線，直線A'C'與直線A'D'相對于直線AB的位置相同么？如果不同，如何表示這種差異呢
【設計意圖】理論是源于實際生活的，通過正方體直觀感受異面直線的位置。
2.新課講授
2.1.探索新知
（1）平面內兩條相交直線形成四個角，其中不大于90°的角稱為這兩條直線所成的角
（2）我們可以用“異面直線所成角”來刻畫兩條異面直線的位置關系
已知兩條異面直線啊a,b,經過空間任一點O分別作直線a'//a，b'//b，我們把直線a'與b'所成的角叫做異面直線a與b所成的角(或夾角)
【設計意圖】引入新概念，通過異面直線的夾角來確定異面直線的位置。
2.2.異面直線垂直
如果兩條異面直線所成的角是直角，那么我們就說這兩條異面直線互相垂直。
直線a與直線b垂直，記作：
【設計意圖】通過展示異面直線的夾角的特殊位置，引入本節(jié)課重點兩條異面直線垂直的概念。
2.3.直線與直線垂直
【設計意圖】梳理出空間兩條直線垂直的具體分類。
2.4.角的取值范圍
2.4.1異面直線所成角α的取值范圍范圍：
2.4.2當兩條直線a,b互相平行時，我們規(guī)定它們所成角為0°
【設計意圖】梳理出異面直線以及空間兩條直線角的范圍，以及說明特殊位置。
3.初步應用，理解概念
例1已知正方體ABCD-A'B'C'D' ，
(1) 哪些棱所在的直線與直線AA’垂直？
(2) 求直線BA '與CC '所成的角的大小？
(3) 求直線BA '與AC所成的角的大小？
【設計意圖】創(chuàng)設數學情境，通過正方體模型，指導學生學會快速判斷兩條直線是否垂直，以及學會求解簡單異面直線夾角。
　例2在正方體ABCD-A 'B 'C 'D '，O '為底面A'B'C'D'的中心
　　求證：AO' ⊥BD
【設計意圖】在形成異面直線的主管感受后，遵循從特殊到一般的思路，在實踐活動中進行再認識，提升難度，設計思維梯度，指導學生學會如何判定較為復雜的兩條直線異面垂直。
練習1判斷下列命題是否正確
（1）如果兩條平行直線中的一條與已知直線垂直，那么另一條也與已知直線垂直（ ）
（2）垂直于同一條直線的兩直線平行（ ）
練習2如圖，在長方體ABCD-A'B'C'D'的各條棱所在直線中
（1）與直線AB垂直的直線有______條
（2）與直線AB異面且垂直的直線有______條
（3）與直線AB和A'D'都垂直的直線有_______條
（4）與直線AB和A'D'都垂直且相交的直線是_______條
練習3如圖，在長方體ABCD-A'B'C'D'中AB=AD=2√3,AA'=2.求
（1）直線BC與A'C'所成角的大小；
（2）直線AA'和BC'所成角的大小；
【設計意圖】在解題中加深對概念的理解，形成解題的基本思路，掌握解題的基本技能。
4.課堂小結
異面直線所成角的求法：一作(找)、二證、三求
(1)作：根據異面直線的定義，用平移法（常利用三角形中位線、平行四邊形的性質）作出異面直線所成角。
(2)證：證明作出的角就是要求的角
(3)求：求角度
(4)若求出的角是銳角或直角，則它就是所求異面直線所成角；若求出的角是鈍角，則它的補角就是所求異面直線所成角。
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