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7.3.2復(fù)數(shù)乘、除運(yùn)算的三角表示及其幾何意義
(人教A版普通高中教科書數(shù)學(xué)必修第二冊(cè)第七章)
一、教學(xué)目標(biāo)
1.了解復(fù)數(shù)乘、除運(yùn)算的三角表示及其幾何意義.
2.在知識(shí)的探究過(guò)程和發(fā)現(xiàn)中,感受數(shù)形結(jié)合、化歸與轉(zhuǎn)化、類比等數(shù)學(xué)思想方法，提升直觀想象、邏輯推理和數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng).
二、教學(xué)重難點(diǎn)
1.復(fù)數(shù)乘、除運(yùn)算的三角表示及其幾何意義.
2.對(duì)復(fù)數(shù)乘、除運(yùn)算的三角表示及其幾何意義的理解.
三、教學(xué)過(guò)程
引言:在7.2節(jié)中,我們研究了復(fù)數(shù)代數(shù)形式的四則運(yùn)算,上節(jié)課又學(xué)習(xí)了復(fù)數(shù)的另一種重要的表示形式—三角形式，很自然地，我們想知道復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算是否能用三角形式表示 下面我們就一起來(lái)研究這個(gè)問(wèn)題.
知識(shí)回顧
問(wèn)題1:我們知道,復(fù)數(shù)可以進(jìn)行加、減、乘、除運(yùn)算，請(qǐng)回憶一下，復(fù)數(shù)的代數(shù)形式的加法和乘法運(yùn)算的法則是什么
活動(dòng)：學(xué)生回憶后回答：
設(shè)則
【設(shè)計(jì)意圖】復(fù)數(shù)加法、乘法運(yùn)算的法則是研究復(fù)數(shù)加法、乘法運(yùn)算三角表示的出發(fā)點(diǎn)，提出這個(gè)問(wèn)題，激活學(xué)生已有的認(rèn)知基礎(chǔ)，為本節(jié)課研究復(fù)數(shù)乘法運(yùn)算的三角表示進(jìn)行鋪墊.
復(fù)數(shù)乘法運(yùn)算的三角表示及其幾何意義的探究及其應(yīng)用
問(wèn)題2:上節(jié)課，我們學(xué)習(xí)了復(fù)數(shù)的一種新的表示法—三角形式，那么復(fù)數(shù)加法、乘法運(yùn)算是否能用三角形式來(lái)表示呢
追問(wèn)（1）：如果把復(fù)數(shù)分別寫成三角形式你能計(jì)算和并將結(jié)果分別表示成三角形式嗎
師生活動(dòng)：師生充分自主探究討論后得出：一般來(lái)說(shuō)復(fù)數(shù)的加法不便表示成三角形式；復(fù)數(shù)乘法能表示成三角形式，其三角表示公式為
教師板書復(fù)數(shù)乘法三角形式公式.
追問(wèn)（2）：復(fù)數(shù)的減法運(yùn)算是加法運(yùn)算的逆運(yùn)算，復(fù)數(shù)的減法運(yùn)算能否用三角形式來(lái)表示
師生活動(dòng)：教師引導(dǎo)學(xué)生加減運(yùn)算的關(guān)系得出：復(fù)數(shù)的減法是加法的逆運(yùn)算，類比加法運(yùn)算可知：復(fù)數(shù)減法不便表示成三角形式.
【設(shè)計(jì)意圖】引導(dǎo)學(xué)生獨(dú)立思考，自主探究，側(cè)重經(jīng)歷復(fù)數(shù)乘法的三角表示公式的得出的過(guò)程，從中進(jìn)一步體會(huì)復(fù)數(shù)與三角之間的緊密聯(lián)系.
問(wèn)題3:你能用文字語(yǔ)言來(lái)表述復(fù)數(shù)乘法的三角表示公式嗎
師生活動(dòng)：學(xué)生回答，教師補(bǔ)充完善，得出：兩個(gè)復(fù)數(shù)相乘積，積的模等于各復(fù)數(shù)模的積，積的輻角等于各復(fù)數(shù)的輻角的和，可以簡(jiǎn)述為：“模相乘，輻角相加”.
【設(shè)計(jì)意圖】培養(yǎng)學(xué)生的語(yǔ)言表達(dá)能力，幫助學(xué)生進(jìn)一步加深對(duì)復(fù)數(shù)乘法運(yùn)算三角表示的理解.
問(wèn)題4:我們知道復(fù)數(shù)的加、減運(yùn)算具有幾何意義，那么復(fù)數(shù)乘法很可能也具有幾何意義，請(qǐng)用復(fù)數(shù)乘法運(yùn)算的三角表示進(jìn)行探索、嘗試.
師生活動(dòng)：學(xué)生用紙筆畫出草圖，分組討論交流.教師借助信息工具畫出圖像，師生一起歸納出復(fù)數(shù)乘法運(yùn)算三角表示的幾何意義.
【設(shè)計(jì)意圖】讓學(xué)生借助圖形進(jìn)行分析，探究得出復(fù)數(shù)乘法運(yùn)算三角表示的幾何意義，體會(huì)數(shù)形結(jié)合思想，同時(shí)培養(yǎng)學(xué)生自主學(xué)習(xí)能力和合作意識(shí).
問(wèn)題5：你能解釋和的幾何意義嗎？
師生活動(dòng)：學(xué)生思考并陳述結(jié)論，教師歸納總結(jié)：可以寫成，其幾何意義是“將對(duì)應(yīng)的向量繞點(diǎn)按照逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)，得到對(duì)應(yīng)的向量”；可以寫成，其幾何意義是“將對(duì)應(yīng)的向量繞點(diǎn)按照逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)，得到對(duì)應(yīng)的向量”.
【設(shè)計(jì)意圖】讓學(xué)生利用復(fù)數(shù)乘法運(yùn)算的幾何意義，進(jìn)一步理解熟悉的乘法運(yùn)算的基本結(jié)論.
例1 已知求，請(qǐng)將結(jié)果化為代數(shù)形式，并做出幾何解釋.
【預(yù)設(shè)的答案】
將對(duì)應(yīng)的向量的模長(zhǎng)伸長(zhǎng)到原來(lái)的倍，再繞點(diǎn)按照逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)，得到對(duì)應(yīng)的向量.
【設(shè)計(jì)意圖】讓學(xué)生利用復(fù)數(shù)乘法的三角表示進(jìn)行運(yùn)算，進(jìn)一步熟悉算理和復(fù)數(shù)乘法運(yùn)算三角表示的幾何意義.
例2 如圖，向量對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)為將繞點(diǎn)按照逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)，得到.求與向量對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)（作代數(shù)形式表示）.
【預(yù)設(shè)的答案】向量對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)
【設(shè)計(jì)意圖】讓學(xué)生了解利用復(fù)數(shù)乘法的幾何意義可以解決某些與向量旋轉(zhuǎn)、伸縮有關(guān)的復(fù)數(shù)運(yùn)算問(wèn)題，體會(huì)利用復(fù)數(shù)乘法幾何意義解決問(wèn)題的便捷性.
復(fù)數(shù)除法運(yùn)算的三角表示及其幾何意義的探究及其應(yīng)用
問(wèn)題6:除法運(yùn)算是乘法運(yùn)算的逆運(yùn)算.根據(jù)復(fù)數(shù)乘法運(yùn)算的三角表示，你能得出復(fù)數(shù)除法運(yùn)算的三角表示嗎 你能用文字語(yǔ)言加以表述嗎
師生活動(dòng)：師生充分自主探究討論后得出：復(fù)數(shù)除法能表示成三角形式，其三角表示公式為
教師板書復(fù)數(shù)除法三角形式公式，文字表述為：兩個(gè)復(fù)數(shù)相除，商的模等于被除數(shù)的模除以除數(shù)的模所得的商，商的輻角等于被除數(shù)的輻角減去除數(shù)輻角所得的差.
【設(shè)計(jì)意圖】在復(fù)數(shù)乘法的基礎(chǔ)上，引導(dǎo)學(xué)生借助已有的知識(shí)和運(yùn)算技巧推導(dǎo)復(fù)數(shù)除法的三角表示，體會(huì)轉(zhuǎn)化與化歸和類比的數(shù)學(xué)思想，提升數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng).
問(wèn)題7:類比復(fù)數(shù)乘法的幾何意義，由復(fù)數(shù)除法運(yùn)算的三角表示，你能得出復(fù)數(shù)除法運(yùn)算的幾何意義嗎
師生活動(dòng)：教師引導(dǎo)進(jìn)而由學(xué)生自己畫圖并觀察圖形，得出復(fù)數(shù)除法運(yùn)算的幾何意義，教師借助信息技術(shù)演示.
【設(shè)計(jì)意圖】通過(guò)除法三角表示的幾何意義的自主探究，讓學(xué)生進(jìn)一步感受乘法和除法相互轉(zhuǎn)化的關(guān)系，感受向量與復(fù)數(shù)之間的聯(lián)系，同時(shí)感受數(shù)形結(jié)合、化歸與轉(zhuǎn)化思想在研究數(shù)學(xué)問(wèn)題中的作用.
問(wèn)題8:如果復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的向量，繞點(diǎn)按照逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)，模不變，所對(duì)應(yīng)的新復(fù)數(shù)是什么
師生活動(dòng)：學(xué)生思考、討論后回答：對(duì)應(yīng)的新復(fù)數(shù)是
追問(wèn)（1）：若按順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)呢
師生活動(dòng)：學(xué)生思考口答：新復(fù)數(shù)是
追問(wèn)（2）：若模伸長(zhǎng)或者縮短倍呢
師生活動(dòng)：學(xué)生思考回答，教師借助信息技術(shù)演示，幫助學(xué)生理解.教師總結(jié)：利用復(fù)數(shù)的乘法和除法運(yùn)算的幾何意義，可以把平面向量的旋轉(zhuǎn)和伸縮問(wèn)題轉(zhuǎn)化為復(fù)數(shù)的乘、除運(yùn)算問(wèn)題；反之亦然.
【設(shè)計(jì)意圖】讓學(xué)生思考復(fù)數(shù)乘、除運(yùn)算幾何意義的反向應(yīng)用，培養(yǎng)逆向思維能力，進(jìn)一步感受平面向量與復(fù)數(shù)之間可以相互轉(zhuǎn)化的關(guān)系.
例3 計(jì)算并把結(jié)果化為代數(shù)形式.
【預(yù)設(shè)的答案】.
【設(shè)計(jì)意圖】讓學(xué)生利用復(fù)數(shù)除法運(yùn)算的三角表示公式進(jìn)行運(yùn)算，進(jìn)一步熟悉算理.指導(dǎo)學(xué)生反思：在確保兩個(gè)復(fù)數(shù)都為三角表示形式，才能運(yùn)用復(fù)數(shù)的三角表示公式進(jìn)行運(yùn)算.
課堂練習(xí)
教科書第89頁(yè)練習(xí)1（1）（3）.
教科書第89頁(yè)練習(xí)2（1）（3）.
課堂小結(jié)
復(fù)數(shù)乘法運(yùn)算和除法運(yùn)算的三角表示公式及其幾何意義分別是什么 它們是如何推導(dǎo)出來(lái)的，試簡(jiǎn)述研究思路和方法.
簡(jiǎn)述復(fù)數(shù)的代數(shù)形式和三角形式的區(qū)別與聯(lián)系，它們?cè)谶\(yùn)算上各有什么優(yōu)勢(shì) 分別適合哪些運(yùn)算
【設(shè)計(jì)意圖】幫助梳理本節(jié)課的知識(shí)、研究思路與方法，讓學(xué)生進(jìn)一步明確復(fù)數(shù)乘、除運(yùn)算的三角表示及其幾何意義，進(jìn)一步體會(huì)類比、化歸與轉(zhuǎn)化、數(shù)形結(jié)合等數(shù)學(xué)思想方法，有利于提升學(xué)生直觀想象、邏輯推理等素養(yǎng).通過(guò)比較，讓學(xué)生體會(huì)復(fù)數(shù)的代數(shù)形式和三角形式各自的特點(diǎn)，體會(huì)復(fù)數(shù)的三角形式給復(fù)數(shù)的乘、除運(yùn)算帶來(lái)的便利，以及復(fù)數(shù)三角形式與平面向量、三角函數(shù)之間的緊密聯(lián)系.
布置作業(yè)
教科書習(xí)題7.3第3，4，5，6，8題.
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