資源簡介

7.2.2 復數的乘、除運算
(人教A版普通高中教科書數學必修第二冊第七章)
一、教學目標
1.掌握復數代數形式的乘法和除法運算；
2.理解復數乘法的交換律、結合律和乘法對加法的分配律;
3.理解且會求復數范圍內的方程根.
4.發展學生數學抽象、邏輯推理、數學運算、數學建模數學學科素養
二、教學重難點
1.復數代數形式的乘法和除法運算．
2.求復數范圍內的方程根.
三、教學過程
1.復數的乘法運算
1.1情境導入，引發思考
問題1：復數如何進行加減法運算？復數的加減法運算法則是如何定義的？
【預設答案】，復數的加減法運算法則是一種規定，與實數加減法法則保持一致．兩個復數的和與差仍然是一個復數．對于復數的加減法可以推廣到多個復數相加或相減的情形．或者類似的回答.
【設計意圖】從熟悉的復數加減法入手，即在復習上一節課的知識同時引導同學們進入復數乘除法的學習，讓同學在已有知識基礎上進入新的知識的學習。
問題 2：經過預習發現，復數的乘法運算是如何實現的？ 并試著計算；
【預設答案】對于兩個任意的復數，我們規定復數的乘法法則如下：
設是任意兩個復數，那么它們的積
也就說依照①按照多項式乘法展開；②將i2 =-1代入；③化簡成復數的代數形式這樣三個步驟來實現兩個復數的乘法。
對于兩個確定的復數進行乘法運算，我們只需要類比多項式乘法的方式將其展開，然后化簡為復數的代數形式即可。即：。
跟蹤練習：
（1）計算復數的乘積運算：
（2）計算多項式的乘積運算：
【設計意圖】經過兩個復數相乘及兩個類似的多項式相乘的對比，讓學生感受復數相乘類似于多項式相乘的觀點，并在老師的引導下再次理解乘法運算法則這一種規定。
（3）計算，它的計算結果是復數嗎？
（4）計算，它的計算結果與相等嗎？
問題 3 復數的乘法運算滿足哪些運算律？
【設計意圖】通過跟蹤習題讓學生理解兩個復數相乘的積仍然為復數；兩個復數相乘時交換兩個因子的順序，其積是相等的，從而引導學生發現復數的乘法運算依然滿足乘法交換律，并未接下來引導學生思考是否存在結合律和乘法對加法分配律提供基礎。
典型例題· 完成下列復數的乘積運算： 計算:(1) (2+3i)(2-3i)； (2) (1+i)2；
【預設答案】解: (1)(2+3i)(2-3i)=4-6i+6i-9i2=4-9i2=13；
解：(2) (1+i)2=1+2i+i2=1+2i-1=2i.
【設計意圖】通過題一讓學生再次鞏固復數相乘的乘法法則，同時引導學生發現互為共軛復數的兩個復數相乘，其乘積為實數，這位后續的復數除法提供基礎，又可以適時的引導學生探究復數實數化的觀點；兩道習題都可以近似理解為（實數系中的）某類公式，經過分析發現，復數系中仍然存在乘法公式，且與實數系中的使用方法大體相近或一致。
問題 4 復數的除法如何運算呢？
【活動預設】通過兩個互為共軛復數的復數相乘的講授感知復數除法運算的法則及其合理性.
【設計意圖】互為共軛復數的兩個復數相乘實現了復數實數化。通過討論讓同學找到破解除法運算的關鍵是對分式形式的除法式子的分子分母同乘分母的共軛復數，然后化簡為熟悉的復數乘法運算，最后得到最簡的代數形式結果即可。
典型例題· 完成下列復數的乘積運算：
計算:
跟蹤練習:計算：
【設計意圖】運用法則解決簡單的復數的除法運算問題，可以檢驗學生對法則的掌握程度，培養學生從特殊到一般的推理能力，發展邏輯推理數學素養.同時讓學生在不斷學習的過程中感受如何將實數集擴充到復數集。
問題 5 復數范圍內可以解方程嗎？
【活動預設】通過和兩個方程找到復數范圍內的解的預設，輔助于特殊到一般的例子探究出在復數范圍內解實系數一元二次方程的一般性結論及求根公式。
【設計意圖】運用法則解決簡單的復數的除法運算問題，可以檢驗學生對法則的掌握程度，培養學生從特殊到一般的推理能力，發展邏輯推理數學素養.同時讓學生在不斷學習的過程中感受如何將實數集擴充到復數集
在復數范圍內，實系數一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的求解公式為：
①當Δ≥0時，x＝；②當Δ<0時，x＝
3.歸納小結，沉淀成長
思考：本節課我們學習了哪些知識，我們一起來回憶和總結一下？
【設計意圖】
梳理本節課對于復數的乘法、除法運算及其在復數范圍內解方程的認知。
四、課外作業
1.完成教材第80頁練習題1-4；
2.閱讀及思考教材第81頁的“代數基本定理”。
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