資源簡介

7.2.1 復數加減法及其幾何意義
(人教A版普通高中教科書數學必修第二冊第七章)
一、教學目標
1.掌握復數加、減法的運算法則及其運算律.
2.掌握復數加、減法運算的幾何意義.
3.發展學生邏輯推理、數學運算、數學建模數學學科素養
二、教學重難點
1.復數加、減法的運算法則及其運算律
2.復數加、減法運算的幾何意義
三、教學過程
1.復數的加法運算
1.1情境導入，引發思考
問題1：你是否學習過某些復數的加減運算？能否用復數形式表達 若能，從復數的概念角度如何解釋？
【預設答案】
或者類似的回答.
【設計意圖】從已知到未知符合學生的認知規律.數域的擴充需滿足不改變原數域的結構和基本性質，包括運算性質，可通過觀察比較熟悉的實數運算所對應的復數代數形式的運算，以觀察其結構.
問題2：復數還有其它特殊情形嗎？是什么？對這類復數的加法，你有什么想法？舉例說明
【預設答案】純虛數2i與3i的和是多少呢 即=0+2i ，=0+3i， 猜想+=(0+0)+(2+3)i=0+5i=5i ．
1.2 歸納整理，學習規則
教師教授：我們規定，復數的加法法則如下：
設是任意兩個復數，那么它們的和
點評:（1）復數的加法運算法則是一種規定．當時與實數加法法則保持一致．
（2）兩個復數的和仍然是一個復數．對于復數的加法可以推廣到多個復數相加的情形．
【活動預設】通過老師的講授感知復數加法的法則及其定義的合理性.
【設計意圖】在這里，運算法則是一種定義，教師的完整詳細的介紹有助于豐富學生對規則的認識.
1.3 推演復數加法運算律
問題3：復數的加法滿足交換律，結合律嗎？
【活動預設】
教師引導學生嘗試寫出復數所滿足的交換律與結合律，即：
對任意的，有，
要求學生對其進行證明，并對證明給出合理的評價.
【設計意圖】規則的建立需要一個認同的過程，只有經過嚴密的推理記憶才能更加長久.
1.4 類比推理，學習減法法則
問題4：類比復數的加法法則,你認為復數有減法嗎 復數的減法法則如何呢？
【活動預設】
學生可根據實數中加法是減法的逆運算，嘗試給出復數減法的運算法則.
教師講授：我們規定，復數的減法是加法的逆運算，即把滿足的復數叫做復數減去復數的差，記作.
根據復數相等的定義可知.
點評：根據復數相等的定義，我們可以得出復數的減法法則，且知兩個復數的差是唯一確定的復數。
小結：兩個復數復數的加、減法，類似與兩個多項式的加、減.
【設計意圖】通過類比實數的減法運算，推演復數減法的運算法則，通過與多項式類比，加強對復數加、減法運算法則的理解與記憶，發展學生的邏輯推理等數學素養。
1.5 典型例題 運用法則
請同學根據剛給出的復數加、減法的運算和運算律完成例1.
例1、計算
【活動預設】根據復數加、減法的運算法則，可得
原式=.
【設計意圖】
運用法則解決簡單的復數的加、減運算問題，可以檢驗學生對法則的掌握程度，培養學生從特殊到一般的推理能力，發展邏輯推理數學素養.
2.復數加、減法的幾何意義
2.1 復數加法的幾何意義
問題5：復數加法運算有什么幾何意義呢？
【活動預設】
我們知道復數中的點與以原點為起點的向量一一對應，你能幾何向量的加法討論復數加法的幾何意義嗎？
設分別與復數對應，則，，由向量加法的平行四邊形法則，得.
這說明與復數對應，即復數的加法可以按照對應向量的加法進行，這就是復數加法的幾何意義
【設計意圖】
從數與形兩個角度理解復數的加法.多角度認知一個事物會讓認知更加立體、豐富.此設計為學生處理復數加法提供了更多的方法與手段，發展了學生的直觀想象數學素養.
2.2 復數減法的幾何意義
問題6：你能類比復數加法運算的幾何意義，得到復數減法的幾何意義嗎？
【活動預設】
設分別與復數對應，則，，.
這說明與復數對應，即復數的加法可以按照對應向量的減法法進行，這就是復數減法的幾何意義.
【設計意圖】
通過類比復數加法的幾何意義，得到復數減法的幾何意義，體會類比在獲取新知中的應用，發展學生的邏輯推理素養.
2.3 復數加、減法的幾何意義的應用
【活動預設】例2.根據復數及其運算的幾何意義求復平面內的兩點，之間的距離
解：因為復平面內的點，對應的復數分別為，，所以點之間的距離為
=
【設計意圖】
（1）利用復數減法的幾何意義解決問題，加深理解；
（2）從這個例題中推導復平面內兩點的距離公式.
【活動預設】例3.利用復數減法的幾何意義，思考在復平面內所有滿足的組成的圖形是什么？
解：滿足，則復平面中與對應的點到點的距離為1.
所有這樣的組成的圖形為以為圓心，1為半徑的圓.
【設計意圖】
在解題中加深對復數加減運算的理解，形成解題的基本思路：復數與點、向量之間一一對應，利用其幾何意義思考問題的解，再反饋給原問題。
3.歸納小結，沉淀成長
思考：本節課我們學習了復數的加、減法及其幾何意義，它們分別是什么呢？
【設計意圖】
梳理本節課對于復數加、減法運算及其幾何意義的認知.
四、課外作業
1.教材第77頁練習題1-4.
2.根據今日所學，命制一道能利用復數加、減法運算及其幾何意義的題目，并給出答案.
2

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