資源簡介

6.3.1 平面向量基本定理
(人教A版普通高中教科書數學必修第二冊第六章)
一、教學目標
1. 體驗平面向量基本定理的概念生成過程，理解平面向量基本定理
2. 能夠應用平面向量基本定理表示向量、證明簡單的幾何命題
二、教學重難點
1. （重點）平面向量基本定理的內容敘述與理解
2. （重點）用基底表示向量、用向量方法證明簡單的幾何命題
3. （難點）證明幾何命題中的向量思想
三、教學過程
1.平面向量基本定理的概念形成過程
1.1創設情境，引發思考
【實際情境】物理學中的基本方法：受力分析與力的分解
在物理學中，受力分析是最基本最重要的研究方式，而力的分解是受力分析的重中之重.力的分解隨著問題場景的變化而有所不同.考慮如圖所示的兩個物體，圖1中的物體放在光滑水平地面上，圖2中的物體放在光滑斜面上，兩個物體都受到同樣的拉力F（假設拉力方向與斜面不平行）.
問題1：試運用物理學知識將力進行適合的分解.
追問：你在分解的時候使用了怎樣的向量運算法則？
【預設的答案】如圖所示，預設為大部分學生的分解結果.
【設計意圖】對于高一學生而言，力是最常接觸、最常處理的向量（矢量），采用之前已經學過的力的分解作為引入，能夠讓學生從熟悉的情境著手，引起學生的興趣.
1.2探究典例，形成概念
【數學情境】平面向量的分解
問題2：選取平面內的任意兩個兩個不共線的向量，假設向量與都不共線，試將按的方向進行分解.
【活動預設】
（1）分組活動，首先讓學生嘗試將向量進行分解，然后交流成果.
（2）教師講解，將本題的分解過程完整板書.
以向量為對角線，根據所在直線作平行四邊形，則根據平行四邊形法則可找到向量在方向上的分向量.容易看出這兩個分向量分別與共線，根據共線向量定理，他們分別可以寫成的形式，其中都是確定且唯一的實數.于是，向量可以寫成如下的分解式：.
同理將的分解方式也進行板書.題目中向量的方向如此設計，可能會使一部分初學的學生有困難，故合作交流時會提示“直線的無限延展性”.
（3）展示信息技術作圖，用大量實例直觀展示同一平面內任意向量關于的分解過程.
【設計意圖】創設數學情境，通過平面向量分解的實例，讓學生感受在數學學習中，平面向量的分解是規律性的一般問題，值得我們深入探究.
問題2：對比力的分解的過程和向量分解的過程，你發現了什么共同特點？
【活動預設】
（1）引導學生歸納概括出問題的共同特征：給定兩個“方向”（教師適當明確為兩個“不共線的向量”，就能夠對向量進行分解，并且這種分解方式是唯一的）
（2）展示并板書平面向量基本定理的內容.教師解釋定理中的要點：不共線、存在性、唯一性.
【設計意圖】前面創設的實際情境與數學情境是為本節的重要定理：平面向量基本定理而服務的，需要通過清晰準確的敘述和解釋來抓住學生的思維，帶領學生更深刻的思考.
2.初步應用，理解概念
【活動】求解以下問題及變式.
例1 如圖所示，是三角形的中線.試用表示
變式 若是線段上靠近的三等分點，試用表示
【預設答案】例1： 變式：
問題3：觀察分解式兩基底的系數，你發現了什么？再分別觀察以及的位置關系，你又發現了什么？試討論并總結你的觀察.
探究并證明以下問題：若在直線上有一點，滿足，試用表示
【預設答案】
教師將該結論板書總結：三點共線的重要結論
【題后小結】用基底表示向量的一般過程：
選定基底，分析圖形
結合圖形，向量運算
保留結果，未完繼續
【設計意圖】
（1）初步熟悉用基底表示向量的一般過程，回顧向量運算法則.
（2）借助階梯式的設問，一步步深入探究關于三點共線的結論，培養學生的提問意識與問題解決意識.
【跟蹤訓練】
1.在平行四邊形ABCD中,設,,試用基底表示,.
2.已知點是△所在平面內一點,若=+,則△與△的面積之比是________.
【活動】首先獨立思考以下問題，然后跟隨老師解決問題.
例2 如圖所示，是三角形的中線，
試用向量方法證明：三角形為直角三角形.
【預設答案】略
問題4（問題鏈）：
想要用向量方法證明這個命題，首先需要做到什么？（選取兩個不共線的向量）這個向量怎樣選取比較合適？（已知條件中給出長度、角度等數值時）
在選取向量之后，我們怎樣向問題靠攏？（證明是直角）
在向量運算中，證明垂直與怎樣的運算是等價的？（證明數量積為0）
在完成計算后，還需要做怎樣的步驟才算解決問題？（將向量運算結果重新翻譯為幾何命題）
通過問題鏈完成邏輯梳理后，教師板書完整過程.（或者隨著問題鏈逐步板書）
【題后小結】用向量方法證明簡單的幾何命題的一般過程.
選定基底，表示向量
翻譯命題，向量運算
反譯結果，得出結論
【設計意圖】
（1）利用問題鏈，經歷運用向量證明簡單幾何命題的過程.
（2）回顧平面向量基本定理的核心——基底，以及向量的運算律.體會圍繞基底進行向量運算的過程.
3.課后總結，結構搭建
【回顧總結】我們在本節課中學習了如下知識：
平面向量基本定理的內容
用基底表示向量的一般方法
三點共線的重要性質
用向量方法證明簡單的幾何命題
【設計意圖】再次回憶、回顧本節課所學內容，鞏固加深印象，為后續學習做準備.
3.拓展提升，超越自我
思考 如圖所示，在三角形中，為線段上靠近的三等分點，為中點，，相交于點.試用表示.
【設計意圖】
供學有余力的同學研究.
四、課外作業
課本P27 練習1-3；本學案的“跟蹤訓練”
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