資源簡介

5.4.2正弦函數、余弦函數的性質（第一課時）
(人教A版普通高中教科書數學必修第一冊第五章)
一、教學目標
1.通過觀察正弦函數、余弦函數的圖象，感悟正、余弦函數的周期性，理解周期函數的概念，掌握正弦函數、余弦函數以及、等函數周期的一般求解方法．
2. 經歷正弦函數、余弦函數奇偶性的證明過程，掌握與相關函數的奇偶性判斷及對稱軸、對稱中心的問題求解。
3. 感悟函數的周期性、奇偶性對研究函數圖象和性質的作用，為后續利用三角函數性質解決問題作鋪墊。
二、教學重難點
1. 利用正弦函數和余弦函數的圖象，得到其周期性、奇偶性，并給予代數證明
2. 用正弦函數和余弦函數的性質解決有關的問題
三、教學過程
1.直觀感知，新課導入
引導語：同學們，前面我們學習了正弦函數、余弦函數的定義，并掌握了利用“五點作圖法”繪制正弦、余弦函數的圖象，現在同學們觀察其圖象，用自己的語言描述一下正、余弦函數的圖象具有哪些特點？
：
：
生：函數圖象循環往復，周而復始地向兩邊延伸，而且有起有伏，具有很好的對稱性。
師：圖象的這些特點其實蘊藏著正弦函數、余弦函數豐富的規律性，即函數的性質，與“周而復始”相對應的是周期性，而與“對稱”相對應的是函數的奇偶性。下面我們一起來探索學習這兩大性質——周期性、奇偶性。
設計意圖：正弦函數、余弦函數的圖象形態優美，波浪起伏，周而復始，既是軸對稱圖形也是中心對稱圖形。學生首先通過直觀感知函數圖象，發現其中所蘊含的規律，從而激發起探索的欲望。
2.師生互動，新知探究
2.1周期性
師生活動：觀察正弦函數的圖象，可以發現，圖象上橫坐標每隔個單位長度，就會出現縱坐標相同的點，即自變量的值增加的 整數倍時所對應的函數值保持不變，數學上，用周期性這個概念來定量地刻畫這種“周而復始”的變化規律。
定義：一般地，設函數的定義域為,如果存在一個非零常數，使得對每一個都有，且，那么函數就叫做周期函數。非零常數叫做這個函數的周期。
師：根據周期的定義，正弦函數的周期是多少？其周期唯一嗎？
生： 以及都是正弦函數的周期。事實上且，常數都是它的周期。
師：這一點可從定義看出，也能從誘導公式中體現出來。咱們都知道：，那么是正弦函數的一個周期嗎？為什么？
生：不是，比如，并不是對定義域內的每一個都有。
師：若一個函數的一個周期是,則都是函數的周期嗎？
生：是的，由定義可知：。
師：這說明周期函數的周期不止一個。
定義：如果在周期函數的所有周期中存在一個最小的正數，那么這個最小正數就叫做的最小正周期。
注：①如果不加特別說明，所說的周期一般都是指函數的最小正周期。
②并非所有的周期函數都有最小正周期，例如，對于常數函數（是常數），所有的非零實數都是它的周期，顯然在非零實數集中并不存在最小的正數。
根據上述定義，我們有：正弦函數是周期函數，（且）都是它的周期，最小正周期是。類似地，余弦函數也是周期函數，（且）都是它的周期，最小正周期是。
教師指出：最小正周期是函數最具代表性的一個周期，在后續的學習中，如果不加特別說明，那么所涉及的周期，一般都是指函數的最小正周期。但并非所有的周期函數都有最小正周期，例如，常函數（為常數），所有的非零常數都是它的周期，顯然在非零實數組成的集合中并不存在最小的正數，所以常函數并不存在最小正周期。
設計意圖：從正弦函數的圖象入手分析其規律，歸納一般得到周期函數的定義，全方位理解周期及最小正周期的含義，為下面研究做鋪墊。
例1求下列函數的周期：
師生活動：對于這些問題，學生能夠求出周期，但是不清楚如何規范地表達，這是本例的難點所在教師要基于學生課堂上的生成，給出分析求解的思路和程序，并加以示范，幫助學生理解．
求解的步驟如下：
第一步，先用換元法轉換.比如對于“（1），”，令，所以；
第二步，利用已知三角函數的周期找關系.有，代入可得；
第三步，根據定義變形.變形可得，于是就有；
第四步，確定結論.根據定義可知其周期為．
師：回顧例1的解答過程，你能發現這些函數的周期與解析式中哪個量有關？
生：周期和自變量的系數有關。
師：一般地，你能說出函數與的周期嗎？（其中A，，為常數，且），請給出證明。
師生探究：令，由得，且函數及函數的周期都是，由于，所以，自變量增加時，函數值不變，從而函數的周期為。同理，函數的周期也為。
師：上述求函數與周期的方法是否能推廣到求一般周期函數的周期？即命題“如果函數的周期是，那么函數的周期是”是否成立？
師生活動：由猜想到證明，教師引導學生利用周期性定義證明猜想。
設計意圖：通過例題深化對周期和最小正周期概念的理解，形成求解的具體步驟，進而幫助學生理解函數的周期，為后續學習作準備。從特殊到一般，進一步研究函數的性質，從三角函數推向一般函數的周期研究。
2.1奇偶性
師生活動：觀察正弦曲線和余弦曲線，可以看到正弦曲線關于原點對稱。余弦曲線關于 y 軸對稱。這一事實，也可由誘導公式 =；= 得到。所以正弦函數是奇函數，余弦函數是偶函數。
例2（1）函數f(x)＝sin 2x的奇偶性為 (　　)
A．奇函數 B．偶函數 C．既是奇函數又是偶函數 D．非奇非偶函數
(2) 判斷函數的奇偶性．
解：(1)∵f(x)的定義域是R，且f(－x)＝sin 2(－x)＝－sin 2x＝－f(x)，∴函數為奇函數．
(2)，
所以函數為偶函數
方法提煉：
1．判斷函數奇偶性應把握好的兩個方面：
一看函數的定義域是否關于原點對稱；二看f(x)與f(－x)的關系。
2．對于三角函數奇偶性的判斷，有時可根據誘導公式先將函數式化簡
師：今天我們學習了正弦函數、余弦函數的周期性與奇偶性，那么，知道一個函數具有周期性和奇偶性，對研究它的圖象與性質有什么幫助
生：可以根據周期函數圖象的重復性，只要認識一個周期上函數的性質，那么整個定義域上函數的性質就完全清楚了，另外奇偶性也可起到簡化研究函數性質的作用。
設計意圖：進一步加深對周期性和奇偶性的認識與理解，學會運用從部分到整體的思想解決問題。
3.活學活用，及時鞏固
1.求下列函數的周期，并借助信息技術畫出下列函數的圖象進行檢驗：
（1），； （2），；
（3），； （4），.
（5），
2.下列函數中，哪些是奇函數？哪些是偶函數？
（1）； （2）；
（3）； （4），.
3.定義在上的函數既是偶函數又是周期函數，若的最小正周期是，且時，，則的值為_____．
設計意圖：學生當堂限時訓練并派代表上臺板演，老師評價并針對性講解，夯實基礎，及時鞏固本節課內容。
4.課堂小結，知識升華
本節課我們利用正弦函數和余弦函數的圖象學習了周期性和奇偶性，并應用這些性質解決了相關問題，希望大家在今后的學習中不斷深化對正弦函數和余弦函數周期性和奇偶性的理解，下節課我們將在此基礎上繼續探究正、余弦函數的其他性質。5.4.2正弦函數、余弦函數的性質（第二課時）
(人教A版普通高中教科書數學必修第一冊第五章)
一、教學目標
1理解正弦函數、余弦函數的單調性與最值的概念，會用整體法求正弦函數、余弦函數的單調區間與最值.
2.觀察正弦函數、余弦函數圖像，研究出單調性、最值性質.
3.經歷從一般到特殊的抽象過程，培養學生的抽象概括能力、邏輯推理能力.
二、教學重難點
1.重點：通過三角函數圖像，得到三角函數的單調性、最值等性質.
2.難點：如何從一個周期的單調性推廣到整個定義域上的單調性.
三、教學過程
1.創設情境，揭示課題
【生活情境】：觀察正弦函數、余弦函數圖像，我們發現，它不僅有“周而復始”的變化特征，還有“波浪起伏”的特點。正如我們的人生，并不是一帆風順，而是起起伏伏，明白了這一道理就可以更好地把握人生。研究這種“波浪起伏”的特點，就是要研究正弦函數、余弦函數的單調性.
【設計意圖】揭示主題，同時讓學生感受到數學是來源生活的，我們要會用數學的語言表達世界.
問題1 請同學們回顧一下，上節課我們研究了正弦函數、余弦函數的什么性質？是通過什么方式研究的.
【預設的答案】周期性，奇偶性；圖像，定義，單位圓
【設計意圖】回顧舊知，一是為了引入本節課的主要研究內容，二是為了讓學生復習研究函數性質的一般方法.
2.構建知識，形成概念
問題2 同樣地，我們也可以借助于正弦函數的圖像來研究它的單調性，請同學們觀察圖像，思考下列問題.
問題2.1 觀察正弦函數的圖像，請你寫出它的單調增區間.
【設計意圖】從學生熟悉的“形”入手來研究函數單調性.
問題2.2 還有其他單調增區間嗎？你能一一列舉出來嗎？
【設計意圖】根據圖像寫出單調增區間，但是因為圖像是無限延展的，學生就會意識到不可能一一列舉出來.
問題2.3 那能否找一個形式將這些單調增區間統一起來？請觀察你列出來的單調增區間，他們的左、右端點之間有關系嗎？有何關系？你能得到單調增區間的一般結論嗎？
【預設的答案】，
【設計意圖】既然無數個單調增區間，不可能一一列舉，那我們就迫切需要將這些單調增區間進行整合，尋找一個統一的形式來表示，這里主要引導學生從“數”的角度歸納出單調增區間.
問題2.4 你寫的單調增區間與你周圍同學的一樣嗎？如果不一樣，請思考是什么原因.
【預設的答案】形式不一樣，但是本質是一樣的，區別在于所選的周期不一樣。
【設計意圖】引導學生發現單調增區間的寫法可能不一樣，這與我們選擇的周期有關，但是本質是一樣的.也就是說我們研究單調增區間與所選的周期無關.
問題2.5 既然正弦函數的單調增區間與所選的周期無關，那如果我們選擇這個周期，能否直接根據這個周期的圖像得到正弦函數在整個定義域上的單調增區間呢？
【設計意圖】剛才是通過歸納法得到的單調增區間，現在通過周期性的性質，進行說理證明.
問題2.6 因此，我們可以通過研究正弦函數一個周期的圖像進而研究出整個定義域上的單調增區間.觀察你寫的單調增區間上函數值的有何變化特點？
【預設的答案】函數值從-1變為0再變為1
【設計意圖】引導學生發現單調增區間上函數值的變化特點
問題2.7 那我們如果選擇這個周期，請你再試著寫它的單調增區間？函數值又是如果變化的？對你有什么啟發.
【設計意圖】雖然也是一個周期，但是一是單調增區間被割裂了，比較復雜；二是函數值并不是從-1連續變為1.因此引導學生在尋找單調增區間的時候，函數值是從-1連續變為1，而不是斷開的.
問題3 你能仿照剛才的方法，寫出正弦函數的單調減區間嗎？函數值又有何變化特點？
【設計意圖】將研究單調增區間的方法遷移，學生自然而然知道如何研究單調減區間.
問題4 通過研究一個周期的單調性就可以研究出整個定義域上的單調性，請大家仿照同樣的方法，研究出正弦函數的最值.
【設計意圖】研究出了單調性，最值的研究就水到渠成了.
3.合作交流，類比遷移
問題5 請你類比正弦函數單調性和最值的研究方法，研究出余弦函數的單調性和最值.請大家自主研究，完成以下表格，然后小組討論.
單調增區間 單調減區間 最大值 最大值時自變量的值 最小值 最小值時自變量的值
運用新知，鞏固提高
例1 下列函數有最大值、最小值嗎？如果有，請寫出取最大值、最小值時自變量的集合，并求出最大值、最小值.
（1），；
（2），.
【活動預設】學生先獨立完成，然后展示交流解題思路和結果，教師點明換元法及其重要作用.本例中，對于（1），因為1是確定值，因此問題轉化為求的最值；對于（2），令，轉化為求的最值;對于（3），它與（2）的不同之處在于自變量的范圍有限制．
【設計意圖】鞏固對最值概念的理解，初步感受換元法在求解三角函數問題中的作用．
例2 不通過求值，比較下列各組數的大小：
與 （2）與
【活動預設】學生獨立完成，教師進行指導.本例中，對于（1），可直接應用函數的單調性求解；對于（2），首先要將所給的角化簡，使之位于同一個單調區間內，即轉化為第（1）題之后求解．
【設計意圖】初步應用函數的單調性解決比較大小的問題．
例3 求函數，的單調遞增區間．
【活動預設】師生共同分析此問題，然后共同完成求解、本題中，令，，當自變量x的值增大時，的值也隨之增大，因此若函數在某個區間上單調遞增，則函數在相應的區間上也一定單調遞增．
在解題完成后，教師可進一步提出此問題的變式問題：求函數，的單調遞增區間．此變式問題讓學生獨立完成，可能會有一部分學生出錯，教師要引導學生將正確和錯誤解答進行對比分析．
【設計意圖】類比例3求解，進一步熟練換元轉化的思想方法；通過變換自變量系數的符號，提高學生思維的深刻性，提升學生的邏輯推理和數學運算素養．
歸納總結，形成能力
本節課我們利用正弦函數和余弦函數的圖象、在上節課研究完周期性和奇偶性的基礎上，研究了函數正弦函數和余弦函數的單調性和最值，并應用這些性質解決了相關問題，希望大家在今后的學習中不斷深化對正弦函數和余弦函數性質的理解．
知識 通過圖象直觀研究函數的性質，周期性、奇偶性、單調性；
方法 換元法
思想 化歸思想 數形結合
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