資源簡(jiǎn)介

3.1.2函數(shù)的表示法（第一課時(shí)）
(人教A版普通高中教科書數(shù)學(xué)必修第一冊(cè)第三章)
一、教學(xué)目標(biāo)
1.掌握函數(shù)的三種表示方法：列表法、圖象法、解析法；
2.了解分段函數(shù)，并能簡(jiǎn)單應(yīng)用；
3.會(huì)用描點(diǎn)法畫出一些簡(jiǎn)單函數(shù)的圖象，并應(yīng)用函數(shù)的圖象解決問(wèn)題.
二、教學(xué)重難點(diǎn)
1.進(jìn)一步理解函數(shù)概念，深化對(duì)具體函數(shù)模型的認(rèn)識(shí)；
2.滲透數(shù)形結(jié)合思想，培養(yǎng)學(xué)生發(fā)展邏輯推理，應(yīng)用直觀想象.
三、教學(xué)過(guò)程
1.對(duì)函數(shù)表示方法的認(rèn)知
1.1回望教材引例，了解函數(shù)常用表示方法
【教材引例】再次閱讀教材3.1.1（P60-61）四個(gè)引例
問(wèn)題情境 自變量的集合 對(duì)應(yīng)關(guān)系 函數(shù)值所在的集合 函數(shù)表示法
問(wèn)題1 解析法
問(wèn)題2 解析法
問(wèn)題3 圖3.1-1 圖象法
問(wèn)題4 表3.1-1 列表法
問(wèn)題1：這些實(shí)際的函數(shù)問(wèn)題是如何表示的？
【預(yù)設(shè)的答案】解析式，圖象表示，表格表示.
【設(shè)計(jì)意圖】使學(xué)生了解針對(duì)不同的實(shí)際情境采用適當(dāng)?shù)暮瘮?shù)表示法，便于直觀或深入的研究，解決問(wèn)題，學(xué)有用的數(shù)學(xué).
【活動(dòng)預(yù)設(shè)】引導(dǎo)學(xué)生歸納概括出函數(shù)常見(jiàn)的三種表示法.
問(wèn)題2：（1）比較函數(shù)的三種表示法，它們各自的特點(diǎn)是什么？
（2）所有函數(shù)都能用解析法表示嗎？請(qǐng)舉出實(shí)例加以說(shuō)明.
【設(shè)計(jì)意圖】讓學(xué)生體會(huì)總結(jié)三種表示法的各自優(yōu)點(diǎn)與不足，為比較三種表示法提供機(jī)會(huì)；培養(yǎng)學(xué)生觀察、總結(jié)、表達(dá)能力.
【活動(dòng)預(yù)設(shè)】（1）鼓勵(lì)學(xué)生舉生活中的函數(shù)例子，并闡述可以用哪種函數(shù)表示法，學(xué)生間可以討論，教師可以引導(dǎo).
使學(xué)生靈活選用函數(shù)表示法來(lái)研究函數(shù)，進(jìn)而使他們認(rèn)識(shí)到三種表示法之間相輔相成，滲透數(shù)形結(jié)合思想.
1.2歸納提煉，形成共識(shí)
在學(xué)生舉例、討論的基礎(chǔ)上，師生共同歸納概括：
（1）“解析法”就是用數(shù)學(xué)表達(dá)式表示兩個(gè)變量之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系.
優(yōu)點(diǎn)：一是簡(jiǎn)明、全面地概括了變量間的對(duì)應(yīng)關(guān)系；二是可以通過(guò)解析式求出任意一個(gè)自變量所對(duì)應(yīng)的函數(shù)值.
缺點(diǎn)：有些實(shí)際問(wèn)題中的函數(shù)關(guān)系很難用解析式表示或根本不存在解析式.
中學(xué)階段研究的函數(shù)，主要是能夠用解析法表示的函數(shù).
（2）“圖象法”就是用“圖形”表示兩個(gè)變量之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系.
優(yōu)點(diǎn)：能直觀形象的表示出隨著自變量的變化，相應(yīng)的函數(shù)值變化的趨勢(shì)，有利于我們研究函數(shù)的某些性質(zhì)，這是數(shù)形結(jié)合的好處.
缺點(diǎn)：感性觀察有時(shí)不夠準(zhǔn)確，畫面局限性大.
（3）“列表法”就是列出表格來(lái)表示兩個(gè)變量之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系.
優(yōu)點(diǎn)：不需要計(jì)算就可以直接看出與自變量的值相對(duì)應(yīng)的函數(shù)值 .
缺點(diǎn)：只能表示有限個(gè)元素時(shí)的函數(shù)關(guān)系且元素較多時(shí)也不方便.
【設(shè)計(jì)意圖】使學(xué)生們?cè)谧约旱睦斫饣A(chǔ)上統(tǒng)一認(rèn)識(shí).
2.初步應(yīng)用，理解概念
例1某種筆記本的單價(jià)是0.5元，買個(gè)筆記本需要元.試用函數(shù)的三種表示法表示函數(shù).
【預(yù)設(shè)的答案】這個(gè)函數(shù)的定義域是
解析式法：
列表法
筆記本數(shù)x 1 2 3 4 5
錢數(shù)y 5 10 15 20 25
圖象法
【設(shè)計(jì)意圖】（1）使學(xué)生體會(huì)到函數(shù)的三種表示法并不是相互獨(dú)立的，它們可以相互轉(zhuǎn)化，是有機(jī)的一個(gè)整體.進(jìn)一步體會(huì)數(shù)形結(jié)合在理解、研究函數(shù)中的重要作用.
（2）使學(xué)生感受到函數(shù)圖象既可以象初中學(xué)習(xí)過(guò)的一、二次函數(shù)那樣是連續(xù)的曲線 ，也可以是離散的點(diǎn)等.
例2 畫出函數(shù)的圖象 .
【預(yù)設(shè)的答案】由絕對(duì)值的概念，我們有，所以函數(shù)的圖象如圖所示
問(wèn)題3：利用函數(shù)的定義判斷這是一個(gè)函數(shù)還是兩個(gè)函數(shù)？
【設(shè)計(jì)意圖】
（1）深化函數(shù)定義的理解，使學(xué)生認(rèn)識(shí)函數(shù)解析式的多樣性，函數(shù)圖象的多樣性.
（2）學(xué)生已經(jīng)熟知所表達(dá)的數(shù)量間關(guān)系，使學(xué)生體會(huì)由數(shù)到形的過(guò)程.
教師講授：（1）是一個(gè)函數(shù)，對(duì)于定義域內(nèi)的任意一個(gè)，都有唯一確定的函數(shù)值與之對(duì)應(yīng).
（2）一些函數(shù)，在它的定義域中，對(duì)于自變量不同的取值范圍，對(duì)應(yīng)的關(guān)系式也不同，這樣的函數(shù)我們通常稱為分段函數(shù).
分段函數(shù)是一個(gè)函數(shù)，而不是幾個(gè)函數(shù)，其定義域?yàn)楦鞫巫宰兞咳≈捣秶牟⒓涤蚴歉鞫沃涤虻牟⒓?分段函數(shù)的解析式是用左大括號(hào)將各段的表達(dá)式括起來(lái)，并分別注明各部分的自變量的取值情況.
例3 給定函數(shù).
（1）在同一直角坐標(biāo)系中畫出函數(shù)的圖象；
（2），用表示中的較大者，記為.例如，當(dāng)時(shí)， .請(qǐng)分別用圖象法和解析法表示函數(shù).
【預(yù)設(shè)的答案】
（1）在同一直角坐標(biāo)系中畫出函數(shù)的圖象
（2）由圖中函數(shù)取值的情況，結(jié)合函數(shù)的定義，可得函數(shù)的圖象
由，得，解得或
結(jié)合圖象得出函數(shù)的解析式為
【設(shè)計(jì)意圖】
（1）此例題是從形到數(shù)的過(guò)程，充分利用圖象特征，可以簡(jiǎn)化代數(shù)運(yùn)算，可以引導(dǎo)學(xué)生從純代數(shù)運(yùn)算，比較大小的角度去函數(shù)的解析式，通過(guò)對(duì)比進(jìn)一步加強(qiáng)學(xué)生的數(shù)形結(jié)合觀念與直觀想象能力.
（2）通過(guò)對(duì)這種符號(hào)化表示的理解，提高學(xué)生的抽象思維能力.
3.歸納小結(jié)，突出重點(diǎn)
（1）表示函數(shù)的方法有解析法、列表法和圖象法三種，掌握分段函數(shù)的概念和解析式表達(dá)形式；
（2）函數(shù)的圖象通常是一段或幾段光滑的曲線，但有時(shí)也可以由一些孤立的點(diǎn)或幾段線段組成，必須根據(jù)定義域畫圖，利用描點(diǎn)法或圖象變換法.
（3）數(shù)形結(jié)合相輔相成，為我們研究函數(shù)的相關(guān)問(wèn)題提供便利，直觀快捷.
【設(shè)計(jì)意圖】
（1）梳理本節(jié)課的學(xué)習(xí)內(nèi)容；
（2）鼓勵(lì)學(xué)生積極探索新知，為下節(jié)課函數(shù)表示法的實(shí)際應(yīng)用提供必要性 .
53.1.2函數(shù)的表示法（第2課時(shí)）
(人教A版普通高中教科書數(shù)學(xué)必修第一冊(cè)第三章)
一、教學(xué)目標(biāo)
1. 明確函數(shù)的三種表示方法.
2.在實(shí)際情境中，會(huì)根據(jù)不同的需要選擇恰當(dāng)?shù)姆椒ū硎竞瘮?shù).
3.通過(guò)具體實(shí)例，了解簡(jiǎn)單的分段函數(shù)，并能簡(jiǎn)單應(yīng)用.
二、教學(xué)重難點(diǎn)
1. 函數(shù)的三種表示方法，分段函數(shù)的概念.
2. 如何根據(jù)不同的需要選擇恰當(dāng)?shù)姆椒ū硎竞瘮?shù)，什么才算“恰當(dāng)”？分段函數(shù)的表示及其圖象．
三、教學(xué)過(guò)程
1.復(fù)習(xí)導(dǎo)入
1.1函數(shù)三種表示方法定義及優(yōu)缺點(diǎn)
列表法 圖像法 解析法
定 義 用表格的形式表示兩個(gè)變量之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系 用圖像表示兩個(gè)變量之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系 用數(shù)學(xué)表達(dá)式表示兩個(gè)變量之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系
優(yōu) 點(diǎn) 不必通過(guò)計(jì)算就能知道兩個(gè)變量之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系，比較直觀 直觀形象的表示隨著自變量的變化，相應(yīng)函數(shù)值變化的趨勢(shì)，研究函數(shù)性質(zhì) 簡(jiǎn)明全面概括了變量的對(duì)應(yīng)關(guān)系，可以通過(guò)解析式求出任意一個(gè)變量對(duì)應(yīng)的函數(shù)值
缺 點(diǎn) 只能表示有限個(gè)元素的函數(shù)關(guān)系 有些函數(shù)的圖像難以精確作出 一些實(shí)際問(wèn)題難以找到它的解析式
1.2分段函數(shù)的定義及特點(diǎn)
(1)分段函數(shù)就是在函數(shù)定義域內(nèi)，對(duì)于自變量x的不同取值范圍，有著不同的對(duì)應(yīng)關(guān)系的函數(shù)．
(2)分段函數(shù)是一個(gè)函數(shù)，其定義域、值域分別是各段函數(shù)的定義域、值域的并集；各段函數(shù)的定義域的交集是空集．
【設(shè)計(jì)意圖】在上節(jié)課的基礎(chǔ)上進(jìn)一步掌握比較函數(shù)三種不同表示方法的優(yōu)缺點(diǎn)，為本節(jié)課在具體情境中選取何種函數(shù)的表示方法作鋪墊，同時(shí)對(duì)分段函數(shù)的特點(diǎn)進(jìn)一步深化，為在具體實(shí)例中應(yīng)用分段函數(shù)做好準(zhǔn)備。
2. 探究典例
例1 下表是某校高一（1）班三名同學(xué)在高一學(xué)年度六次數(shù)學(xué)測(cè)試的成績(jī)及班級(jí)平均分表
問(wèn)題1：上表反映了幾個(gè)函數(shù)關(guān)系？這些函數(shù)的自變量是什么？定義域是什么？
【預(yù)設(shè)的答案】4個(gè)；測(cè)試序號(hào)；{1，2，3，4，5，6}
【設(shè)計(jì)意圖】讓學(xué)生體會(huì)列表法不單單是表示一個(gè)函數(shù)，讓學(xué)生體會(huì)列表法表示多個(gè)函數(shù)，進(jìn)一步理解函數(shù)的定義.
問(wèn)題2：上述4個(gè)函數(shù)能用解析法表示嗎？能用圖象法表示嗎？
【預(yù)設(shè)的答案】用解析法并不能很好的表示出對(duì)應(yīng)的解析式，可以類似例題4用圖像法表示。
【設(shè)計(jì)意圖】在問(wèn)題1的基礎(chǔ)上繼續(xù)追問(wèn)，讓學(xué)生進(jìn)一步深化函數(shù)三種表示方法的優(yōu)缺點(diǎn).
問(wèn)題3：若分析、比較每位同學(xué)的成績(jī)變化情況，用哪種表示法為宜？
【預(yù)設(shè)的答案】表格上并不能很好的看出每位同學(xué)的成績(jī)變化情況，用圖像法較好
【設(shè)計(jì)意圖】讓學(xué)生體會(huì)用表格區(qū)分三位同學(xué)的成績(jī)變化并不直觀，引導(dǎo)學(xué)生用圖像法分別表示出三個(gè)同學(xué)的成績(jī)和班級(jí)平均分對(duì)應(yīng)的函數(shù)圖像，讓學(xué)生體會(huì)在實(shí)際需要中選擇恰當(dāng)?shù)姆椒ū硎竞瘮?shù)是需要給予關(guān)注的.
問(wèn)題4：試根據(jù)圖象對(duì)這三位同學(xué)在高一學(xué)年度的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)情況做一個(gè)分析？
【預(yù)設(shè)的答案】王偉同學(xué)的數(shù)學(xué)成績(jī)始終高于班級(jí)平均水平，學(xué)習(xí)情況比較穩(wěn)定而且成績(jī)優(yōu)秀；張城同學(xué)的數(shù)學(xué)成績(jī)不穩(wěn)定，總是在班級(jí)平均水平上下波動(dòng)，而且波動(dòng)幅度較大；趙磊同學(xué)的數(shù)學(xué)成績(jī)低于班級(jí)平均水平，但他的成績(jī)呈上升趨勢(shì)，表明他的數(shù)學(xué)成績(jī)?cè)诜€(wěn)步提升.
【活動(dòng)預(yù)設(shè)】讓學(xué)生動(dòng)手將每個(gè)同學(xué)的成績(jī)與測(cè)試序號(hào)之間的函數(shù)關(guān)系分別用圖像（均為6個(gè)離散的點(diǎn)）表示出來(lái)，學(xué)生分組討論，能從圖像上得出哪些結(jié)論，每組派代表進(jìn)行發(fā)言，.
【設(shè)計(jì)意圖】讓學(xué)生動(dòng)手做出每位同學(xué)成績(jī)對(duì)應(yīng)的散點(diǎn)圖，讓學(xué)生進(jìn)一步理解函數(shù)定義域與值域的對(duì)應(yīng)關(guān)系，并體會(huì)如何能更好的表示出每位同學(xué)成績(jī)變化情況。（用虛線連接起來(lái)更好展示）
教師講授：在實(shí)際的問(wèn)題中，我們要根據(jù)函數(shù)三種不同的表示方法的優(yōu)缺點(diǎn)，恰當(dāng)?shù)倪x擇表示函數(shù)的方法，這樣才能給我們研究函數(shù)及其性質(zhì)帶來(lái)方便.
例2 依法納稅是每個(gè)公民應(yīng)盡的義務(wù)，個(gè)人取得的所得應(yīng)依照 《中華人民共和國(guó)個(gè)人所得稅法》向國(guó)家繳納個(gè)人所得稅 （簡(jiǎn)稱個(gè)稅）．2019年1月1日起，個(gè)稅稅額根據(jù)應(yīng)納稅所得額、稅率和速算扣除數(shù)確定，計(jì)算公式為
個(gè)稅稅額＝應(yīng)納稅所得額×稅率－速算扣除數(shù)．
應(yīng)納稅所得額的計(jì)算公式為
應(yīng)納稅所得額＝綜合所得收入額－基本減除費(fèi)用－專項(xiàng)扣除 －專項(xiàng)附加扣除－依法確定的其他扣除.其中“基本減除費(fèi)用”（免征額）為每年60000元．稅率與速算扣除數(shù)見(jiàn)下表
（１）設(shè)全年應(yīng)納稅所得額為t，應(yīng)繳納個(gè)稅稅額為y， 求y＝f（t），并畫出圖象；
（２）小王全年綜合所得收入額為189600元，假定繳納的基本養(yǎng)老保險(xiǎn)、基本醫(yī)療保險(xiǎn)、失業(yè)保險(xiǎn)等社會(huì)保險(xiǎn)費(fèi)和住房公積金占綜合所得收入額的比例分別是8%，2%，1% ，9%，專項(xiàng)附加扣除是52800元，依法確定其他扣除是4560元，那么他全年應(yīng)繳納多少綜合所得稅？
問(wèn)題5：如果你家庭對(duì)應(yīng)的年綜合所得收入額為200000元，按照《中華人民共和國(guó)個(gè)人所得稅法》這部分需要全部計(jì)稅嗎？
【預(yù)設(shè)的答案】家庭對(duì)應(yīng)的年綜合所得收入額與個(gè)人年綜合所得收入額不一樣，可能是多個(gè)成員共同的收入，需要按照個(gè)人來(lái)進(jìn)行個(gè)人所得稅的計(jì)稅，就算是個(gè)人的年綜合個(gè)人收入，也不是需要全部計(jì)稅，應(yīng)該先算出個(gè)人應(yīng)納稅所得額。
【設(shè)計(jì)意圖】增強(qiáng)學(xué)生公民意識(shí)，明確依法納稅是每個(gè)公民應(yīng)盡的義務(wù)，明確個(gè)人綜合所得年收入與個(gè)人應(yīng)納稅所得額是兩個(gè)不同的概念，且與家庭對(duì)應(yīng)總收入是兩個(gè)不同的概念。
問(wèn)題6：小王全年綜合所得收入額為189600元，那他個(gè)人全年應(yīng)納稅所得額是多少，處于第幾級(jí)，小王全年應(yīng)該繳納多少個(gè)稅稅額？
【預(yù)設(shè)的答案】個(gè)人應(yīng)納稅所得額34320元，處于第一級(jí)，應(yīng)該繳納個(gè)人稅稅額1029.6元。
【設(shè)計(jì)意圖】通過(guò)分步解決小王全年應(yīng)該繳納多少個(gè)稅，讓學(xué)生更加明確個(gè)人全年綜合所得收入額并不是全部需要納稅的，讓學(xué)生更加深刻理解個(gè)人應(yīng)納稅所得額這個(gè)概念，以后作為一個(gè)社會(huì)公民要自覺(jué)主動(dòng)進(jìn)行個(gè)稅申報(bào)。
活動(dòng)：請(qǐng)學(xué)生舉例不同的.個(gè)人全年應(yīng)納稅所得額并計(jì)算出相應(yīng)繳納全年個(gè)人所得稅稅額，并得出應(yīng)繳納個(gè)稅稅額與年應(yīng)納稅所得額之間的函數(shù)關(guān)系并畫出圖像
【活動(dòng)要求】
第一組第四列學(xué)生說(shuō)出.第二級(jí)個(gè)人全年應(yīng)納稅所得額中的一個(gè)數(shù)值，由第二組第四列學(xué)生計(jì)算出應(yīng)納全年個(gè)人所得稅稅額，并說(shuō)出過(guò)程。
第二組第四列學(xué)生說(shuō)出.第三級(jí)個(gè)人全年應(yīng)納稅所得額中的一個(gè)數(shù)值，由第三組第四列學(xué)生計(jì)算出應(yīng)納全年個(gè)人所得稅稅額，并說(shuō)出過(guò)程。
第三組第四列學(xué)生說(shuō)出.第四級(jí)個(gè)人全年應(yīng)納稅所得額中的一個(gè)數(shù)值，由第四組第四列學(xué)生計(jì)算出應(yīng)納全年個(gè)人所得稅稅額，并說(shuō)出過(guò)程。
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【活動(dòng)預(yù)設(shè)】如果學(xué)生舉例的數(shù)字不在對(duì)應(yīng)組里面，教師提醒學(xué)生另外舉例，如果計(jì)算上有問(wèn)題及時(shí)糾正學(xué)生，找出規(guī)律后引導(dǎo)學(xué)生再次應(yīng)用分段函數(shù)的概念提煉出函數(shù)模型，及時(shí)糾正分段函數(shù)表示格式有問(wèn)題的學(xué)生，做出函數(shù)圖像后引導(dǎo)學(xué)生得出函數(shù)圖像體現(xiàn)出函數(shù)的簡(jiǎn)單性質(zhì)。
【設(shè)計(jì)意圖】
由不同的學(xué)生取出的不同級(jí)數(shù)個(gè)人全年應(yīng)納稅所得額，利用不同的數(shù)據(jù)提煉出不同級(jí)數(shù)個(gè)人全年應(yīng)納稅所得額與應(yīng)納個(gè)稅之間的函數(shù)關(guān)系，讓學(xué)生更加深刻的理解分段函數(shù)及分段函數(shù)模型在實(shí)際生活中的應(yīng)用，并體會(huì)分段函數(shù)圖像與分段函數(shù)之間的關(guān)系。
3.歸納小結(jié)，文化滲透
思考：例2中設(shè)小王的基本減除費(fèi)用，專項(xiàng)扣除，專項(xiàng)附加扣除，依法確定的其他扣除不變，年綜合所得收入額為x,個(gè)人應(yīng)交個(gè)稅為y,你能否得到他們之間的函數(shù)關(guān)系呢？
【設(shè)計(jì)意圖】
（1）深化本節(jié)課對(duì)于函數(shù)的表示三種方法；
（2）進(jìn)行數(shù)學(xué)文化滲透，鼓勵(lì)學(xué)生積極攀登知識(shí)高峰，進(jìn)一步體會(huì)函數(shù)在生活中應(yīng)用.
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